INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A

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1 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atención y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opción elegida. DURACIÓN: 90 minutos. CALIFICACIÓN: Se indica en cada apartado. OPCIÓN A EJERCICIO. (2,5 Puntos). Resuelva la ecuación matricial: A X = B, donde A y B son las siguientes matrices: A = ( 0 2), B = ( 2 ) Dado el sistema: x + 2y 2x y 4x + y = = } = a 2 + a) (,25 Puntos). Para qué valores de a el sistema es compatible determinado? b) (,25 Puntos). Resuelva el sistema en tales casos. Se consideran las rectas de ecuaciones: r: x = y 2 = z 2 s: x 2 = y = z+ 2 a) (,5 Puntos). Compruebe que son secantes y calcule las coordenadas del punto de intersección, P. b) ( Punto). Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a las rectas r y s. Sea la función f(x) = x2 5x+4 x a) ( Punto). Halle su dominio, puntos de corte con los ejes y asíntotas. b) ( Punto). Halle sus máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen. c) (0,5 Puntos). Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función.

2 EJERCICIO. Se considera el sistema: OPCIÓN B x + 2y 2x + 2 y ax + 2y 2z = = } = a) (,5 Puntos). Estudie, en función del parámetro a, cuándo es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) ( Punto). Resuélvalo cuando sea compatible determinado. Dadas las rectas de ecuaciones: x + y = 2 x = t r: { s: { y = + 2t 2y + z = 4 z = + t a) (0,75 Puntos). Pruebe que las rectas se cruzan. b) ( Punto). Calcule la mínima distancia entre las dos rectas. c) (0,75 Puntos). Halle la ecuación del plano que contenga a la recta r y pase por el origen de coordenadas Sea la función f(x) = 4 x² x+ (solo se considera el signo positivo de la raíz). a) ( Punto). Halle su dominio de definición. b) (,5 Puntos). Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=0. (2,5 Puntos). Calcule la siguiente integral: ʃ 4x2 0x+7 dx (x )³

3 CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A EJERCICIO. Despejar X en la ecuación: 0,75 puntos. Cálculo correcto de A - : punto. Cálculo final de X: 0,75 puntos. Si se resuelve directamente, multiplicando A por una matriz cuadrada de orden desconocida X = (xij), e igualando a B (da lugar a sistemas de ecuaciones con incógnitas): planteamiento,,25 puntos; resolución,,25 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado b). Resolución correcta:,25 puntos. Apartado a). Comprobación de que las rectas son secantes: punto. Determinación del punto de intersección: 0,5 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado a). Dominio: 0,25 puntos. Puntos de corte: 0,25 puntos. Asíntotas: 0,5 puntos. Apartado b). Cálculo correcto de y e y : 0,5 puntos. Cálculo de máximo y mínimo y comprobación de que no tiene punto de inflexión: 0,5 puntos. Apartado c). Dibujo de unos ejes de coordenadas y traslado al plano determinado de todos los elementos de los apartados anteriores: 0,25 puntos. Dibujo de la gráfica: 0,25 puntos. OPCIÓN B EJERCICIO. Apartado a). Planteamiento: 0,75 puntos. Resolución: 0,75 puntos. Apartado b). Resolución correcta: punto. ERCICIO 2. Apartado a). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,25 puntos. Apartado b). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado c). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,25 puntos. Apartado a). Planteamiento: 0,5 puntos. Resolución: 0,5 puntos. Apartado b). Cálculo correcto de f (x): 0,75 puntos. Determinación de la recta tangente: 0,75 puntos. Planteamiento: punto. Resolución:,5 puntos.

4 SOLUCIONES OPCIÓN A EJERCICIO. A - A X = A - B, X = A - B A =, A - = ( 0 2), X = ( 4 7 ) 0 a) 2 2 A = ( 2 ), A * = ( ), A = -5a² + 20 a 2 + rango (A) = 2. Para que el sistema sea compatible determinado, debe ser A = 0, luego a = 2. b) Tanto si a = 2 como si a = -2, a 2 = 4, luego la resolución es la misma en ambos casos: x + 2y = La tercera ecuación es el doble de la primera más la segunda, luego el sistema 2x y = } es equivalente al formado por las dos primeras ecuaciones. 4x + y = 7 Solución: x =, y =. a) Recta r: punto: A (, 2, ), vector director: a = (,, 2) Recta s: punto: B (,, -), vector director: b = ( 2,, 2) Como a y b no son proporcionales, las rectas son secantes o se cruzan. 2 [a, b, AB ] = 2 2 = 0, luego son secantes. 2 2 Punto de intersección: se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas. Resulta: P(, 2, ). b) La recta pedida tiene como vector director: 2 a b = 2 = (4, 6, ). 2 2 La ecuación de la recta es: x = y = z a) Dom ( f ) = R - {0}. Puntos de corte: (, 0), (4, 0). Asíntotas: x = 0, y = x - 5. b) y = x2 4, y = 8, Máximo: (-2, -9), mínimo: (2, -), no tiene puntos de inflexión. x² x³

5 c)

6 SOLUCIONES OPCIÓN B EJERCICIO. a) A = ( 2 2 2), A * = ( 2 2 a 2 0 a ), A = 4( a) b) a, rango (A) = rango (A*) =. Compatible determinado. a =, rango (A) = rango (A*) = 2. Compatible indeterminado. Por tanto, nunca es incompatible. a x + 2y 2x + 2y 2z ax + 2y = = } Solución: x = 0, y = /2, z =. = a) Recta r: Punto A (2, 0, 4), vector director: a = Recta s: Punto B (,, ), vector director: b = (-, 2, ) 2 [a, b, AB ] = 2 = 0, luego se cruzan. 0 = (,, 2) b) d(r, s) = [a,b,ab ] 2, a b = 2 = ( 7, 5, ), a b 2 a b = 75 = 5. Por tanto, d(r, s) = = ud. 5 5 c) Haz de planos que contienen a r: (x + y - 2) + (2y + z - 4) = 0. Por pasar por O(0, 0, 0): = -2. Sustituyendo y simplificando, la ecuación del plano es: -2x + z = 0. a) 4 x 2 0 } Dom(f) = [ 2, ) (,2] x b) Recta tangente: y - f(0) = f (0) x, f (x) = Sustituyendo: y - 2 = -2x x 4 (x+) 2 4 x², f(0) = 2, f (0) = -2.

7 4x 2 0x+7 (x )³ = A + B + C x (x )² (x+) Identificando coeficientes: A = 4, B = -2, C =. 4x2 0x+7 dx = 4 dx + (x )³ x 2 dx + (x )² (x )³, 4x² - 0x + 7 = A (x - )² + B(x-) + C dx = 4 ln x + 2 x 2(x ) 2 + c

8 OBJETIVOS GENERALES Y CONTENIDOS De acuerdo con la Resolución de 29 de mayo de 202, de la Dirección General de Universidades e Investigación, por la que se da publicidad al Acuerdo de la Comisión Organizadora, por el que se dictan las normas e instrucciones reguladoras de la prueba de acceso a la universidad para mayores de veinticinco años en el ámbito de la Comunidad de Madrid, publicado en el BOCM el 2 de junio de 202 (BOCM nº 47, pg. 7 y siguientes), el currículo de los ejercicios para la materia de Matemáticas será el establecido para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas. Específicamente, los contenidos correspondientes para la materia Matemáticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 467/2007 de 2 de noviembre son:. Álgebra lineal: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Geometría: Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.. Análisis: Concepto de límite de una función. Calculo de límites. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas. Según el mismo Real Decreto 467/2007 de 2 de noviembre: Matemáticas II requiere conocimientos de Matemáticas I. En relación con los bloques Álgebra Lineal, Geometría y Análisis correspondientes a los contenidos para la materia Matemáticas II, los contenidos para la materia Matemáticas I son:. Aritmética y Álgebra: Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones. Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas. 2. Geometría: Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.. Análisis: Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Dominio, recorrido y extremos de una función. Operaciones y composición de funciones. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales.