Ayu. Ignacio Trujillo Silva (alias nao) Integrales Impropias

Transcripción

1 Mamáicas II Ingrals Impropias

2 Mamáicas II IMPORTANTE: Es ipo d ingrals s llaman ipo P (EN ESTE CASO TIPO ALFA)

3 Mamáicas II

4 Mamáicas II Ejmplo 7.5. (Problma 5.f) Dcida si la siguin ingral convrg d ln( ) Usmos l orma 7. anriormn nunciado. Es claro qu, ln( ) < Para odo [,] Lugo, lvando a la mnos uno. < ln( ) < Para odo [,] Por orma 7., como la d divrg, la ingral d ln( ) ambién divrg. Ejmplo 7.6 (Problma 5.q) Dcida si la siguin ingral convrg sn d Usmos l orma 7. anriormn nunciado. Es claro qu, sin Para odo [,] Lugo, dividindo la cuación por. d Divrg, pus la ingral ln( )

5 Mamáicas II sin Para odo [,] sin Para odo [,] Como los valors absoluos son mayors qu cro, sin Para odo [,] Por orma 7., como la ambién convrg. d convrg, la ingral sin d Ejmplo 7.7 (Problma 5.h) Dcida si la siguin ingral convrg sin( ) d Para rsolvr s problma s ocupa un ruco qu consis n ingrar por pars la cuación, para lugo ralizar l análisis d convrgncia. Primro vamos l problma con límis gnrals, s dcir a,b. Aplicar la ingración por pars para dmosrar qu b d a sin cos a a cosb b b a cos d Y dducir qu sin d is. Convrg, pus la ingral d [ ]

6 Mamáicas II Analizarmos dos limis por sparado, - El d a y l d al infinio. Noa: Esa división n los limis la ralizamos, pus la cuación anrior s indfin n cro. La ingral d a, s claramn acoada, pus sin( ) Para odo [,] Ahora, al dividir por. ( ) sin Para odo [,]

7 Mamáicas II Por orma 7., como la convrg. d convrg, la ingral sin( ) d ambién Ejmplo 7.8 (Problma 5.i) Dcida si la siguin ingral convrg 3 4 d 3 5 Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. Simpr qu s nga un polinomio dividido por oro polinomio (como n l caso n qu nos nconramos), la función con la qu dbo comparar l problma s la siguin. Primro scojo l mayor grado dl numrador y l mayor grado dl dnominador. Es dcir, mí g ( ) 3 Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions). 3 4 f( ) 3 lim lim 5 g( ) lim 3 5

8 Mamáicas II Dividindo por l d mayor grado, lim lim lim 5 3 Por orma 7., como la ambién convrg. d convrg, la ingral d 3 5 Ejmplo 7.9 (Problma 5.j) Dcida si la siguin ingral convrg sin d Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. La función con la qu vamos a comparar a sin s g( ) Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions). sin f( ) lim lim g( ) Por orma 7., como la d 4 divrg, la ingralsin d ambién divrg. 3 Convrg, pus la ingral d, s ipo p con p>. 4 Divrg, pus la ingral d ln( )

9 Mamáicas II Ejmplo 7. (Problma 5.k) Dcida si la siguin ingral convrg sin d Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. La función con la qu vamos a comparar a sin s g ( ) Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions). sin sin sin ( ) f lim lim lim g( ) Por orma 7., como la d 5 convrg, la ingralsin d ambién convrg. Ejmplo 7. (Problma 5.l) Dcida si la siguin ingral convrg sin d Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. La función con la qu vamos a comparar a sin s g ( ) Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions). 5 Convrg, pus la ingral d, s ipo p con p>.

10 Mamáicas II sin sin sin ( ) f lim lim lim g( ) Por orma 7., como la d 6 convrg, la ingralsin convrg. d ambién Ejmplo 7. (Problma 5.l) Dcida si la siguin ingral convrg ln( ) d Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. La función con la qu vamos a comparar a ln() s g ( ) Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions). ln( ) f( ) ln( ) lim lim lim g( ) Por L Hopial ln( ) lim lim lim lim Por orma 7., como la d 7 ln( ) divrg, la ingral d divrg. ambién 6 Convrg, pus la ingral d, s ipo p con p>. d d 7 Divrg, pus la ingral [ ], s ipo p con p/ <.

11 Mamáicas II Oro méodo para rsolvr s problma, s ingrar por pars. ln( ) d Considrmos, f( ) ln( ) f'( ) g'( ) g( ) ln( ) ln( ) d ln( ) d ln( ) d ln( ) d [ ln( )ln( ) ] [ ln ( ) ] [ ln ( ) ] ln( ) Por lo ano, la ingral divrg. Ejmplo 7.3 (Problma 5.m) Dcida si la siguin ingral convrg d Ingrmos por pars, d Sa, f( ) f'( ) g'( ) g ( )

12 Mamáicas II lim lim d d d d d d o o 3 El primr limi l aplicamos l L Hopial. lim d d 3 Como la ingral s igual a uno, implica qu convrg. Ejmplo 7.4 (Problma 5.n) Dcida si la siguin ingral convrg d Para sa ingral dbmos hacr un cambio d variabl. du udu u d udu d u u d u u Como s un función par

13 Mamáicas II u du u du π 8 Eso implica qu la ingral convrg. Ejmplo 7.5 (Problma 5.ñ) Dcida si la siguin ingral convrg d Para sa ingral dbmos hacr un cambio d variabl. d ) [ arcan( ] El grafico d la an() s como sigu, 8 du π u s s un rsulado conocido pro algo difícil d dmosrar.

14 Mamáicas II S sigu qu, π lim arcan( ) π lim arcan( ) π π Eso dbido a qu la angn s indfin n y π π d π Eso implica qu la ingral convrg. Ejmplo 7.6 (Problma 5.o) Dcida si la siguin ingral convrg d Usmos l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions) anriormn nunciado. Simpr qu s nga un polinomio dividido por oro polinomio (como n l caso n qu nos nconramos), la función con la qu dbo comparar l problma s la siguin. Primro scojo l mayor grado dl numrador y l mayor grado dl dnominador. Es dcir, mí g( ) Lugo, ocupando l orma 7. (cririo dl cuocin nr funcions).

15 Mamáicas II f( ) lim lim g( ) lim Dividindo por l d mayor grado, lim lim lim lim Por orma 7., como la divrg. d 9 divrg, la ingral d ambién Ora forma d hacr l prsn jrcicio, s la siguin: d Para odo < < < / 9 Divrg, pus la ingral d, s ipo p con p/<.

16 Mamáicas II < < < d d d d d finio 443 Eso implica qu la ingral divrg. Ejmplo 7.7 (Problma 5.p) Dcida si la siguin ingral convrg 4 d Para odo lim / < < < < b b d d Eso implica qu la ingral convrg.

17 Mamáicas II Problma 6 La vlocidad promdio d moléculas n un gas idal s v 4 π M RT v 3 Mv p RT dv Dond M s l pso molcular dl gas, R s la consan dl gas, T s la mpraura dl gas, y v s la vlocidad molcular. Musr qu, v 8RT Mπ Dbmos ralizar un cambio d variabl, Mv RT Mvdv d RT RT dv d Mv v RT M Si v Si v v v v 4 M π RT 4 4 π π RT M RT M RT M p vp ( ) d p( )d ( ) RT Mv d Lugo, la ingral p( ) d por jrcicio m. 4 RT v (Esa mal l rsulado propuso). π M

18 Mamáicas II Problma 7 Considr la rgión, ( ) y y R, /, Qu como vimos s una ára infinia. Musr qu al roar sa rgión n orno al j X s obin un sólido qu in volumn finio. La rgión R s la siguin, Es claro qu la cuación gnral d roación n orno al j, s lasiguin: d f π v b a ) ( En nusro caso, f b a ) ( π π v d π d π v )

19 Mamáicas II. El limi lim f ( ) d b b a d ingral impropia. (a) Drminar r, si is, s dsigna por a d, si r<-. (b) Dmosrar qu d, qu s pud dcir d d?. f ( ) d, y s l da l nombr n

20 Mamáicas II ) b (b) d lim( ln( b ) divrg En l siguin paso hay qu hacr n cambios d variabl para las ingrals d la forma u.

21 Mamáicas II Problma 8 a) La ingral d ciramn is, ya qu is los suficinmn grands, nmos crc muy rápido). Por ora par, si >, noncs d is para > la ingral impropia si < ), s sigu qu < d (problma 5.a), y para < (pus ponncial ; puso qu la ingral is para > d (s

22 Mamáicas II Los dmás: Problma 4 Dmusr qu la siguin ingral s acoada. d Para qu una función sa acoada, db sr acoada suprior infriormn. Coa Infrior: Como la función ponncial s mayor qu cro, simpr sarmos sumando ára posiiva. Lugo, d Coa Suprior: Esamos d acurdo con qu ln( ), s pud confirmar por la grafica. Al aplicar ponncial,

23 Mamáicas II Ahora, ingrmos nr mnos infinio infinio. d d Por problma 5.ñ, d d π Finalmn, d π d π Los qu falan d la par 5, a) [ ] d Convrgn b) d ln( ) ln() limln( ) Divrgn c) d [ ] Esa ingral no s coninua n cro, lugo no s ingrabl n s dominio. d) d d [ ln(ln) ] ln( ) ln( ) Divrgn

24 Mamáicas II ) d d ) ( ) Convrgn [ arcan( ] π

25 Mamáicas II