Matemática Aplicada y Estadística - Farmacia Soluciones del Primer Examen Parcial - Grupo 3

Transcripción

1 1. Se está haciendo un estudio de medicamentos diferentes que contienen un principio activo común La distribución de frecuencias se indica en la tabla que sigue: Cantidad de sustancia mg [10,20 [20,30 [30,40 [40, [,60] Medicamentos a Calcular la media aritmética y la desviación típica. b Hallar el porcentaje de medicamentos que tienen la cantidad de sustancia menor o igual que 3 mg. c Calcular la cantidad de sustancia por encima de la cual está el 80 % de los medicamentos. Apartado a: Se trata de una variable cuantitativa continua distribuida en intervalos de clase de la misma amplitud. Construimos la tabla de frecuencias junto con los porcentajes y las marcas de clase: Sustancia n i c i c i x 2 c i x 2 n i f i % % acumulado [10, [20, [30, [40, [, 60] Total Calculamos la média aritmética: x 1 Calculamos la desviación típica: c i n i s 1 c i x 2 n i Apartado b: Tenemos que L 2 30 < 3 < 40 L 3 y los porcentajes acumulados correspondientes son P 2 30 y P La recta que interpola los valores L 2, P 2 30, 30 y L 3, P 3 40, 66 viene dada por y 2 + P 3 P 2 L 3 L 2 x L Para x 3 obtenemos el siguiente valor en la recta: 36 x x x y % Apartado c: La sustancia que deja por encima el 80 % de los medicamentos es la que deja por debajo el 20 % de los mismos. Se trata de calcular entonces el percentil 20. Tenemos que P 1 10 < 20 < 30 2 y L 1 20 y L La recta que interpola los valores L 1, P 1 20, 10 y L 2, P 2 30, 30 viene dada por y 1 + P 2 P x L x x 20 2x 30 L 2 L Dpto. EDAN - 10 de noviembre de Curso 2013/14

2 Para y 20 obtenemos de donde obtenemos que el percentil 20 es 2 mg 20 2x 30 x 2 2. La concentración de albúmina en sangre en personas sanas sigue una distribución Normal de media 4 4gr/dL y desviación típica 0 7gr/dL. Se pide: a Calcular el porcentaje de personas que tienen una concentración de albúmina en sangre entre 3 4 y 4gr/dL. b Hallar la probabilidad de que la concentración de albúmina esté por encima de 6gr/dL. c Hallar el valor tal que el 80 % de la población tiene una concentración de albúmina comprendida entre 4 4 y gr/dl. Apartado a: Sea X la variable aleatoria que da el nivel de albúmena en sangre de un sujeto sano. Sabemos que X N4.4,. Se trata de calcular P 3.4 X.4. Tipificando la variable, tenemos Z X µ σ N0, 1, luego P 3.4 X.4 X.4 P X P 1.43 P P Z P P Aquí, hemos usado que P Finalmente, le porcentaje buscado el %. Apartado b: Tenemos que calcular P X.6. Tipificando de nuevo la variable, tenemos P X.6 1 P X.6 1 P donde hemos usado que P P 1.71 Apartado c: Buscamos el valor de tal que P 4.4 X Tenemos de donde X 4.4 X P X 4.4 2P Usando la tabla de la Normal, obtenemos P P P Z 1 + P P P Dpto. EDAN - 10 de noviembre de Curso 2013/14

3 3. De una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de ventas, X, en miles de euros y al gasto de publicidad, Y, en miles de euros de los últimos años. a Calcular el coeficiente de correlación lineal. Volumen de ventas X Gastos publicidad Y b Calcular la recta de regresión Y sobre X. Resultaría adecuado utilizar dicha recta para estimar el volumen de ventas en función del gasto en publicidad? c Estimar el volumen de ventas que se podría esperar cuando se gaste en publicidad euros. Apartado a: Para calcular el coeficiente de correlación lineal entre el volumen de ventas, X, y gastos de publicidad, Y, tenemos que calcular la media aritmética de ambas variables, x, y, la desviación típica, s X, s Y, y la covarianza, s XY. Se observa que todos los pares de valores tienen frecuencias absolutas iguales a 1. Tenemos: Luego, x 1 x i y 1 y i / s X x i x / / s Y y i y / s XY 1 x i xy i y 1 r s XY s X s Y Apartado b: Resultaría muy aceptable utilizar la recta de regresión para hacer predicciones sobre el volumen de ventas en función de gastos en publicidad ya que el coeficiente de correlación lineal obtenido se aproxima bastante al valor 1. Se observa que como r > 0, la recta de regresión es creciente, luego el volumen de ventas aumenta a medida que aumenta el el gasto en publicidad. Calculamos la recta de regresión de Y respecto de X: y y + s XY s 2 X x x y x x x Dpto. EDAN - 10 de noviembre de Curso 2013/14

4 Apartado c: Para estimar el volumen de ventas, x, que se podría esperar cuando se gaste en publicidad y 60 mil euros usamos la recta de regresión obtenida. Teniendo en cuenta que las unidades de medición son miles de euros, tenemos x x x x Por tanto, el volumen de ventas esperado para el gasto de publicidad de 60 mil euros es aproximadamente miles de euros. Gastos publiciad miles de euoros Volumen de ventas miles de euros 4. La vida útil de una marca de neumáticos está normalmente distribuida con media y desviación típica desconocidas. En una muestra de 26 neumáticos se obtiene una media de 400 Km y una desviación típica muestral de 3000 Km. a Obtener un intervalo de confianza al 9 % de la media de la vida útil de este tipo de neumático. b La marca afirma que la vida útil media del neumático es 400 Km. Podemos asegurar que esta afirmación es cierta con un nivel de significación del %? Tenemos que la desviación típica muestral es s 3000 Km, n 26 es el tamaño de la muestra y x 400 Km y que la población sigue una distribución Normal. Apartado a: El nivel de confianza es 1 α 0.9, de donde el nivel de significación α 0.0 y α/ Como la desviación típica es desconocida, tenemos que usar la variable t-student, con n grados de libertad. Más concretamente, el intervalo de confianza para la media viene dado ŝ ŝ µ x t α/2, x + t α/2 n n donde t α/2 se busca en la tabla de t de Student de 2 grados de libertad tal que P T t α/2 1 α/ , siendo T t 2 : P T t α/ t α/ Por otra parte, para determinar el intervalo de confianza hace falta calcular la media de la muestra, la cuasidesviación típica muestral, ŝ o mejor dicho el cociente ŝ n. Usamos la siguiente relación entre la desviación típica muestral, s y cuasidesviación típica mustral: n ŝ s n 1 Finalmente, el intervalo de confianza es ŝ s n n I , , , Apartado b: Paso 1: Establecer H 0 y H 1. Para ver si los datos obtenidos en la muestra contradicen los valores establecidos, consideramos como hipótesis nula H 0 : µ 400 µ 0, y como hipótesis alternativa, H 1 : µ 400. Dpto. EDAN - 10 de noviembre de Curso 2013/14

5 Paso 2: Elegir un estadístico de contraste. Como queremos hacer un contraste de hipótesis para la media, el estadístico de contraste adecuado es T X µ0 ŝ/ que sigue una distribución de t de Student con 2 grados de n libertad. Paso 3: Construcción de la zona crítica. El contraste es un contraste bilateral con un nivel de significación de α 0.0. La región crítica es, t α/2 t α/2, +. El valor crítico es t α/2 es tal que P T t α/2 1 α/2 0.97, que ya hemos calculado en el apartado anterior: t α/ y la región crítica es, , +. Paso 4: Información muestral. Hemos visto en el apartado anterior que s n 600, luego t x µ 0 ŝ/ n Paso : Decisión. Se tiene que 0 /, , +, es decir no pertenece a la región crítica. Por tanto, no podemos rechazar H 0 µ 40 y es decir aceptamos H 0 y concluimos que esta afirmación es cierta con un nivel de significación del %. Dpto. EDAN - 10 de noviembre de 2013 Curso 2013/14