División 2b. Mecanismos de cuatro barras Análisis Algebraico Vectorial de Posición, Velocidad y Aceleración

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1 Vrsión 007 PITULO MENISMOS ivisión b Mcanismos d cuatro barras nálisis lgbraico Vctorial d Posición Vlocidad y clración UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

2 Vrsión Introducción En sta división dl capítulo d mcanismos s prsntarán los concptos básicos d los mcanismos d cuatro barras fctuado l análisis algbraico d posición para lugo fctuar l análisis vctorial polar d posición vlocidad y aclración.. nálisis algbraico d posición S rcordará d las cuacions (.6) a (.10) qu un mcanismo d cuatro barras pud sr sinttizado mdiant un grupo d xprsions qu idntifican la posición d los puntos caractrísticos dl mcanismo n función d los datos gométricos y dl valor dl grado d librtad qu s prscrib (la vlocidad d rotación d la barra b). Sin mbargo s rcordará dl aso d Estudio 6 qu pudn suscitars inconvnints para podr dscribir la posición (y conscuntmnt la vlocidad y aclración) d los puntos caractrísticos y n conscuncia d todo l mcanismo dbido a la dscripción vinculada furtmnt a funcions trigonométricas invrsas. Tals funcions s tndrá prsnt al sr rsultas n calculadoras no discriminan strictamnt la ubicación dl cuadrant y n conscuncia pudn aparcr discontinuidads indbidas si no s toman los rcaudos apropiados. Figura.0. Síntsis algbraica d un mcanismo d cuatro barras En la Figura.0 s mustra un mcanismo d cuatro barras idéntico al d la Figura.19 pro con otras rfrncias angulars. hora para indicar la ubicación d las barras b c y d s mplarán los ángulos d rfrncia θ θ y θ rspctivamnt. tal manra qu la posición dl punto vin dada claramnt por: b. os b. [ θ] [ θ ] (.11) hora bin las coordnadas d los puntos y stán asociadas ntr si a la condición d rigidz d la cada una d las barras. En conscuncia mplando l torma d Pitágoras s pud obtnr: UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

3 Vrsión 007 c ( ) + ( ) ( a) ( ) d + (.1a) (.1.b) las xprsions (.1) s pudn obtnr y. En fcto rstando mimbro a mimbro la (.1.b)d (.1.a) s pud obtnr s dcir: b c + d a S ( a) ( a) ( a) (.1) Lugo sustituyndo la (.1) n la (.1.b) s pud obtnr una cuación d sgundo grado: uya solución s + S a 0 ( ) d (.1) a ± PR (.15) P En (.1) a (.15) s han dfinido las siguints funcions: b S c + d ( a) a P 1+ ( a) R a S d ( ) ( a S ) ( a) (.16) Por otro lado los ángulos θ y θ vinn dados por: θ rctan (.17) θ rctan (.18) a hora bin la posición dl punto P s pud obtnr d la misma manra qu n la cuación (.10) s dcir: P P b. os b. [ θ] + r. os[ θ + α ] [ θ ] + r. [ θ + α ] (.19) Nóts qu la posición dl punto P aún dpnd dl valor dl ángulo θ calculado sgún (.17). Esto xig tnr un cuidado spcial con los signos d los argumntos. En la Tabla.1 siguint s aprcia las posibls variants para la función rctan. Nóts qu d la xprsión (.15) s pudn obtnr dos solucions. Esto quir dcir qu la solución s válida para dos configuracions qu prmit l mcanismo d cuatro barras. Tals posicions s llaman onfiguración abirta y onfiguración cruzada Tal como s v n la siguint Figura.1 UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

4 Vrsión 007 θ rctan Si Si Si Si > 0 y > 0 > 0 y 0 < 0 y 0 < 0 y 0 θ ubicado n l cuadrant Primro θ [ 090] < Sgundo θ [ 90180] < Trcro θ [ 18070] > uarto θ [ 7060] Tabla.1. Valors d la función rctan. Figura.1. Posibls configuracions para un mcanismo d cuatro barras.. nálisis vctorial d posición Una forma vntajosa para fctuar l análisis d posición (y lugo d vlocidad y d aclración) s mdiant l mplo d formas vctorials para los slabons rcurrindo al concpto vctorial d los númros compljos. En fcto s rcordará qu un vctor R n l plano (vr Figura..a) pud rprsntars por mdio d cualquira d las siguints xprsions: R. R con R R (.0.a) [ θ ] ˆi R. [ ] ˆj R R. os θ (.0.b) + [ θ ] i. R [ θ ] R R. os +. (.0.c) La (.0.a) s dnomina rprsntación polar n tanto qu las dos rstants s dnominan rprsntacions cartsianas. Todas son útils sin mbargo la rprsntación polar s bastant más útil n tanto qu prmit condnsar sobr una xprsión simpl un contnido d información important. dmás la función (.0.a) s una d las más fácils para drivar (n conscuncia para podr fctuar lugo l análisis d vlocidad y aclración) s dcir: UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

5 Vrsión 007 Si R R. lugo dr i. R. θ i (.1) Por otro lado rcuérds qu n los vctors n rprsntación complja como la (.1) o (.0.a) o (.0.c) al fctuar una multiplicación con l oprador i s tin como rsultado una rotación d 90º n l sntido antihorario. sí pus l vctor smjant i R y R i. R i. R R. R i. R lugo y d modo tal como s pud aprciar n la Figura..b. Figura.. Rprsntación d vctors n númros imaginarios Figura.. Mcanismo d cuatro barras rprsntado vctorialmnt sí pus la cuación vctorial qu dscrib l mcanismo d cuatro barras d la Figura. pud rprsntars como: R + R R R 0 (.) 1 O bin. 1 a + b. c. d. 0 (.) UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

6 Vrsión 007 Téngas prsnt qu la (.) s una cuación d quilibrio vctorial y qu ncsita conocr los valors d θ θ y θ. laramnt θ s la variabl indpndint y s dbn obtnr θ y θ n función d a b c d y d θ. Nóts qu θ 1 s un ángulo nulo. sí pus para rsolvr n forma polar la cuación (.) s dbrá dscomponr n sus parts rals imaginarias rcordando qu θ 1 0 s dcir: a [ ] + b. os[ θ ] c. os[ θ ] d 0. os θ (..a) [ θ ] + b. [ θ ] c. [ θ ] 0 a (..b). Las xprsions (.) forman un sistma d dos cuacions con dos incógnitas lo cual prmit su rsolución. sí pus d la (.) podmos obtnr: [ θ ] + c. os[ θ ] + d b os[ ] a. os θ (.5.a). [ θ ] + c. [ θ ] b [ ]. a. θ (.5.b) dond lvando al cuadrado mimbro a mimbro y sumando ambas xprsions s tin lugo d una sri d simplificacions: Sindo [ θ ] os[ θ ] + os[ θ ] os[ θ ] [ θ ] [ ] + (.6) 1os θ d a 1 d c a b + c d (.7) ac Para rsolvr la (.6) n θ s mplan las siguints idntidads trigonométricas: θ Tan θ 1+ Tan [ θ ] [ θ ] tal manra qu s pud hallar la siguint cuación dond θ Tan + θ 1 Tan os (.8) θ 1+ Tan θ Tan + ( 1 ) os[ θ] 1 + [ θ] 1 ( 1+ ) os[ θ] + Lugo la solución d (.9) dará: 0 (.9) (.0) ± θ rctan (.1) hora bin para hallar una xprsión dl ángulo θ n función d a b c d y d θ s procd n forma similar a la fctuada más arriba. manra qu: UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

7 Vrsión 007 Sindo: con E ± E F θ rctan (.) d a E F 1 ( 1+ ) os[ θ] [ θ] 1 ( 1 ) os[ θ] + 5 d b 5 (.) c d a b (.) ab Nóts qu n (.1) y (.) s pudn obtnr dos solucions tanto para θ como para θ. En stas circunstancias si l numrador dl argumnto d la función rco Tangnt s positivo s tndrá la configuración abirta dl mcanismo d cuatro barras d la Figura.1 (o sa la corrspondint al punto ) n tanto qu si l numrador dl argumnto d la función rco Tangnt s ngativo s tndrá la configuración crrada dl mismo mcanismo (o sa la corrspondint al punto ).. nálisis vctorial d vlocidad Las cuacions d posición para l mcanismo d cuatro barras s obtuviron n forma vctorial n l apartado antrior. En la Figura. s mustra l mismo squma qu n la Figura. pro ahora indicando los vctors d vlocidad. La vlocidad d rotación w s la vlocidad d ntrada y s supon conocida n conscuncia s dbn obtnr las rstants componnts d vlocidad n función d los ángulos d posición (obtnidos sgún l apartado antrior) las longituds d los slabons y la vlocidad d rotación d ntrada. Figura.. Mcanismo d cuatro barras rprsntado vctorialmnt junto con sus vlocidads Para obtnr la cuación vctorial d vlocidads dl mcanismo d la Figura. s tin qu drivar rspcto dl timpo la cuación vctorial d la posición dada por (.). manra qu s tin: UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

8 Vrsión 007 i. a. + i. b. i. c. 0 (.5) Obsérvs qu la cuación (.5) no s otra cosa qu la cuación d difrncia d vlocidad o cuación d la vlocidad rlativa dada por: V V V 0 (.6) + tal manra qu: V i. a. V i. b. (.7) V i. c. Téngas prsnt qu ω ω (.8) ω Lo qu s prtnd obtnr son los valors d V V V ω y ω n función d los datos gométricos y cinmáticos disponibls. sí pus l procdiminto d solución srá parcido al dsarrollado n l apartado antrior. Entoncs xpandindo la (.5) n su forma trigonométrica tnindo n cunta (.0.c) s obtinn las siguints dos componnts (ral imaginaria o n ): [ θ ] bω [ θ ] + cω [ θ ] 0 a ω (.9) [ θ ] + bω os[ θ ] cω os[ θ ] 0 a ω (.0) os Rsolvindo n forma simultana la (.9) y la (.0) s tin: aω ω b aω ω c [ θ θ] [ θ θ ] [ θ θ] [ θ θ ] (.1) (.) Lugo rmplazando (.1) y (.) n (.7) s obtinn las vlocidads d la siguint manra: V V V a. ω b. ω c. ω ( i. os[ θ] [ θ] ) ( i. os[ θ] [ θ] ) ( i. os[ θ ] [ θ ]) (.) UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

9 Vrsión 007 La xprsión (.) también va a contnr las dos posibls configuracions d la Figura.1 n tanto qu los ángulos θ y θ tinn dos solucions sgún s xplico antriormnt. 5. nálisis vctorial d aclración En l apartado y n l apartado s obtuviron xprsions para calcular la posición y las vlocidads dl mcanismo d cuatro barras. En st apartado s dsan calcular las aclracions d los slabons. Tals aclracions y sus componnts tangncials y normals s pudn aprciar n la Figura.5. ado qu s tinn como datos las dimnsions dl mcanismo la vlocidad ω y aclración α dl slabón d ntrada (s dcir la manivla o slabón a ) las posicions d los puntos y y las vlocidads d los slabons b y c s dsa obtnr las aclracions d los slabons b y c. Figura.5. Mcanismo d cuatro barras rprsntado vctorialmnt junto con sus aclracions La cuación vctorial d aclración s obtin drivando rspcto dl timpo la cuación vctorial d la vlocidad s dcir la (.5). Esta opración dará: ( ω +. α ). a. + ( ω + i. α ). b. ( ω + i. α ). c. 0 i (.) Nóts qu la xprsión (.) s la cuación d difrncia d las aclracions o bin d la aclración rlativa s dcir: tal manra qu: Téngas prsnt qu 0 (.5) + t n ( + ) ( ω + i. α ). a. t n ( + ) ( ω + i. α).. t n ( + ) ( ω + i. α ). c. b (.6) UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

10 Vrsión 007 ω ω ω Lo qu s prtnd obtnr son los valors d gométricos y cinmáticos disponibls. y dω α dω α dω α (.7) α y α n función d los datos sí pus mplando la rprsntación vctorial (.0.c) n la cuación (.) y rordnando s obtinn las componnts ral imaginaria (n rspctivamnt) como: ( α [ θ] + ωos[ θ] ) b( α[ θ] + ωos[ θ] ) + c( α [ θ] + ωos[ θ] ) 0 ( α os[ θ ] ω [ θ ]) + b( α os[ θ ] ω [ θ ]) c( α os[ θ ] ω [ θ ]) 0 a (.8) a (.9) Lugo d la (.8) y (.9) s tinn dos cuacions con dos incógnitas n α y α. tal forma qu rsolvindo l sistma mncionado s obtin: sindo E F c. b. a F α (.50) E E F α (.51) E [ θ] [ θ] [ θ] + ωos[ θ] [ θ] [ θ] [ θ ] ω [ θ ] ( α ) + bω os[ θ ] cω os[ θ ] c. os b. os a Finalmnt las aclracions ( α os ) bω [ θ ] + cω [ θ ] (.5) y s obtinn rmplazando (.50) y (.51) n (.6). Las componnts tangncials y normals d las aclracions y s obtinn proyctando los vctors d aclración sobr los vctors unitarios corrspondints. Tals vctors unitarios s pudn calcular (Vr Figuras. y.) conocindo los vctors d vlocidad (para las componnts normals d la aclración) y los vctors d posición (para las componnts radials d la aclración). 6. ibliografía [1] R.L. Norton isño d Maquinaria ª Ed. McGraw Hill Mxico 000. [] J.E. Shigly. Th standard handbook of machin dsign. McGraw-Hill 00. UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan

11 Vrsión 007 [].G.Erdman y G.N Sandor isño d mcanismos. nálisis y síntsis. ª Ed. McGraw- Hill Mxico [] SM [5] Working Modl V.0. UTN-FR átdra: Elmntos d Máquinas. Profsor: r. Ing. Marclo Tulio Piovan