UNIDAD 2 RELACIONES Y ESTRUCTURAS DE ORDEN. M.C. Mireya Tovar Vidal

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1 UNIDAD 2 RELACIONES Y ESTRUCTURAS DE ORDEN M.C. Mireya Tovar Vidal

2 CONTENIDO 2.1 Relaciones y sus propiedades 2.2 Relaciones de equivalencia y particiones. 2.3 Relaciones de orden parcial y retículos 2.4 Aplicaciones

3 Se dice que R es una relación de equivalencia si es: Reflexiva Simétrica Transitiva Por ejemplo, sea A={1,2,3,4,5,6} R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

4 GRAFO Y MATRIZ DE UNA RELACIÓN R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

5 EJERCICIOS Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4,5} y la relación R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}, obtenga el grafo y la representación matricial correspondiente Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4} y la relación R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}, obtenga el grafo y la representación matricial correspondiente

6 CLASES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES Una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia y éstas forman particiones. Las clases de equivalencia son conjuntos que contienen a todos los elementos b B y que están relacionados con a A. Se indica: [a] = {b b B, arb} Una partición es un conjunto de clases de equivalencia. Es un subgrafo completo. Deben estar contenidos todos los elementos del conjunto A. La intersección entre las clases de equivalencia es vacia.

7 EJERCICIO: Verifique que R es una relación de equivalencia. Sean A=B={1,2,3,4,5} y R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1), (2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}. Obtenga la matriz y grafo correspondiente.

8 Como R es una relación de equivalencia, entonces sus clases de equivalencia son: [1] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 1 [2] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 2 [3] = {3,4} [4] = {3,4} [5] = {1,2,5} De esto obtenemos [1] = [2] = [5] [3] = [4] Dos particiones: P ={{1,2,5},{3,4}}

9 CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO Sea R una relación en un conjunto A, y sea R una relación de orden parcial. El conjunto A con R se llama conjunto parcialmente ordenado y se denota como (A,R). Dada una relación de orden parcial, esta puede representarse mediante un grafo dirigido de orden parcial c b a

10 DIAGRAMAS DE HASSE 1. Los lazos de cada nodo pueden ser eliminados para simplificar el grafo. 2. Si se eliminan las aristas que representan la propiedad transitiva. 3. Las flechas pueden omitirse y los círculos se reemplacen por punto. El diagrama resultante de un orden parcial, mucho más simple que su grafo dirigido, se llamará diagrama de Hasse de un orden parcial o de un conjunto parcialmente ordenado. c c c c b b a b a b a a Diagrama de Hasse

11 DIAGRAMA DE HASSE Es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. Ejemplo Sea S={a,b,c} y sea R el conjunto potencia de S, es decir R={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. Dibujar el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado con el orden. {a,b,c} {b,c} {a,b} {a,c} {b} {c} {a}

12 sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Diagrama de Hasse:

13 La relación "< " en Z + no es un orden parcial porque no es reflexiva. Las ordenes parciales mas comunes son las relaciones >= y <= en Z y N.

14 EJERCICIOS 1. Dibujar el diagrama de Hasse de la relación a>=b (en orden alfabético), donde a,b A, A={a,b,c,d,e,f} 2. Sea A={1,2,3,4,12}, Examine el orden parcial de la divisibilidad en A (a<=b si y sólo si b/a). Dibuja el diagrama de Hasse

15 Ejemplo Sea S un conjunto no vacío. Definimos R como (contenido en o igual a) P(S). Claramente, (P(S), ), es un conjunto de orden parcial. A P(S), A A A, B P(S), A B y B A => A = B A, B, C, P(S), si A B y B C => A C Por lo tanto, es una relación de orden parcial sobre P(S) (conjunto potencia de S).

16 Ejemplo Sea un orden parcial sobre el conjunto de los enteros (Z), y a, b, c son enteros. Claramente a a; a Z Si a b y b a entonces, a = b, donde a,b Z Si a b y b c entonces a c, donde a, b, c Z Por lo tanto, (Z, ) es un conjunto de orden parcial (poset).

17 Ejercicio Dibuje el diagrama de Hasse que represente el orden parcial {(a,b) a b} sobre {2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}. Nota: a b = b a (división entera)

18 Solución La relación es: R={ (2,2), (2, 4), (2, 12), (4,4), (4, 12), (5,5), (5,10), (5, 20), (5, 25), (10,10), (10, 20), (20,20) }

19 ELEMENTOS EXTREMOS DE LOS CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Elemento Maximal Elemento Minimal Elemento Máximo Elemento Mínimo Mínima Cota Superior Máxima Cota Inferior

20 ELEMENTO MAXIMAL Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento xa se llama elemento maximal de A si para todo aa, ax entonces xra. a 3 a 1 a 2 Elementos maximales a 1,a 2,a 3 b 1 b 2 b 3 Ejemplo 1 : sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los números reales no negativos con el orden parcial <=, en este caso no existen elementos maximales. Ejemplo 2 : En este caso el elemento maximal es c c b a

21 ELEMENTO MINIMAL Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento ya se llama elemento minimal de A si para todo ba, by entonces bry. a 3 a 1 a 2 Elementos minimales b 1,b 2,b 3 b 1 b 2 b 3 Ejemplo 1: sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los números reales no negativos con el orden parcial <=, en este caso el cero es el elemento minimal. Ejemplo 2 : En este caso el elemento minimal es a c b a

22 ELEMENTO MÁXIMO Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento xa se llama elemento máximo de A y es único si para todo aa, entonces arx existe. a Elemento máximo a b Ejemplo 1: sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los números reales no negativos con el orden parcial <=, en este caso no existe un elemento máximo. Ejemplo 2 : En este caso el elemento máximo es c c b a

23 ELEMENTO MÍNIMO Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento ya se llama elemento mínimo de A y es único, si para todo aa, entonces yra existe. a Elemento mínimo b b Ejemplo 1: sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los números reales no negativos con el orden parcial <=, en este caso el cero es el elemento mínimo. Ejemplo 2 : En este caso el elemento mínimo es a c b a

24 Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A. MÍNIMA COTA SUPERIOR aa,a es cota superior de B si bra para todo bb. a A a es mínima cota superior(mcs)(lub) de B si a es una cota superior de b y si a Ra para todas las demás a cotas superiores de B. Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse, determinar las cotas superiores y su mínima cota superior para los subconjuntos B 1 ={a,b} y B 2 ={c,d,e}. h f d c e g B 1 tiene como cotas superiores a c,d,e,f,g,h y como mínima cota superior tiene a c B 2 tiene como cotas superiores a f,g,h y no tiene mínima cota superior porque no existe frg a b

25 Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A. MÁXIMA COTA INFERIOR ya,y es cota inferior de B si yrb para todo bb. y A, y es máxima cota inferior(mci)(glb) de B si y es una cota inferior de B y si y Ry para todas las demás y cotas inferiores de B. Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse, determinar las cotas inferiores y su máxima cota inferior para los subconjuntos B 1 ={a,b} y B 2 ={c,d,e}. h f d c e g B 1 no tiene cotas inferiores y por ende no tiene máxima cota inferior B 2 tiene como cotas inferiores a a,b,c y su máxima cota inferior es c a b

26 EJERCICIOS 1. Dados los diagrama de Hasse determinar los maximales, minimales, máximo, mínimo. Define dos subconjuntos de A y determina cotas inferiores, superiores, mínima cota superior, máxima cota inferior. {a,b,c} a b {b,c} {a,b} {a,c} d e {b} {c} {a}

27 Ejercicio Encontrar la mínima cota superior y máxima cota inferior de los conjuntos {3, 9, 12} y {1, 2, 4, 5, 10} si existen en el poset (Z+, )

28 Solución Encontrar la mínima cota superior y máxima cota inferior de los conjuntos {3, 9, 12} y {1, 2, 4, 5, 10} si existen en el poset (Z+, ) Un entero es una cota inferior de {3,9,12} si 3, 9 y 12 son divisibles por este entero. Tales enteros son 1 y 3 unicamente. Claramente 3 es la máxima cota inferior de {3,9,12}. Similarmente la máxima cota inferor para {1,2,4,5,10} es 1. Un entero es una cota superior para {3, 9, 12} si es divisible por 3, 9 y 12. Los enteros con esta propiedad son los divisibles por la mínima cota superior de 3, 9 y 12, el cual es 36. Es decir, 36 es la minima cota superior para el conjunto {3, 9, 12}. Similarmente 20 es la minima cota superior para el conjunto {1,2,4,5,10}

29 Retícula (red o lattice) El conjunto parcialmente ordenado (A,R) es una retícula (red o lattice) si para cualquier x,ya la MCS{x,y} (denotada x y) y MCI{x,y} (denotada xy) existen. Ejemplo 1 : sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los números naturales con el orden parcial, en este caso Para todo a,bn MCS{a,b}=mínimo{a,b}, MCI{a,b}=máximo{a,b} Por tanto es una retícula

30 Ejemplo 2, retícula En este caso el diagrama de Hasse representa a los divisores positivos de 20, y si cumple que sea una retícula dado que: CS{1,2} ={2,4,10,20} MCS{1,2}={2} CS{1,4} ={4,20} MCS{1,4}={4} CS{1,20} ={20} MCS{1,20}={20} CS{1,5} ={5,10,20} MCS{1,5}={5} CS{1,10} ={10,20} MCS{1,10}={10} CS{2,4} ={4,20} MCS{2,4}={4} CS{2,5} ={10,20} MCS{2,5}={10} CS{2,10} ={10,20} MCS{2,10}={10} CS{2,20} ={20} MCS{2,20}={20} CS{4,10} ={20} MCS{4,10}={20} CS{4,20} ={20} MCS{4,20}={20} CS{5,4} ={20} MCS{5,4}={20} CS{5,10} ={10,20} MCS{5,10}={10} CS{5,20} ={20} MCS{5,20}={20} CS{10,20} ={20} MCS{10,20}={20} CI{1,2} ={1} MCI{1,2}={1} CI{1,4} ={1} MCI{1,4}={1} CI{1,20} ={1} MCI{1,20}={1} CI{1,5} ={1} MCI{1,5}={1} CI{1,10} ={1} MCI{1,10}={1} CI{2,4} ={1,2} MCI{2,4}={2} CI{2,5} ={1} MCI{2,5}={1} CI{2,10} ={1,2} MCI{2,10}={2} CI{2,20} ={1,2} MCI{2,20}={2} CI{4,5} ={1} MCI{4,5}={1} CI{4,10} ={1,2} MCI{4,10}={2} CI{4,20} ={1,2,4} MCI{4,20}={4} CI{5,10} ={1,5} MCI{5,10}={5} CI{5,20} ={1,5} MCI{5,20}={5} CI{10,20} ={1,2,5,10} MCI{10,20}={10}

31 Lattice Un poset en el que cada par de elementos tiene ambos una minima cota superior y una máxima cota inferior se llama lattice. Ejemplo El poset ({1,2,4,8}, ) es un lattice El poset (P(S), ) es un lattice, para cualquier A S, B S A υ B = minima cota superior de A y B, ( sup{a,b}= a v b ) A B = máxima cota inferior de A y B, ( inf{a,b} = a b )

32 Propiedad Retículo Si arb <-> a v b = b y a b= a Es decir, siempre existen a v b y a b entre los elementos relacionados. Sólo hay que revisar, los que son incomparables. Ejemplo: Sup(2,3)=6 Sup(3,4)=12 Sup(4,6)=12 Inf(2,3)=1 Inf(3,4)=1 Inf(4,6)=2 Es una retícula, porque todos tienen supremo (Sup) e ínfimo (Inf).

33 Ejercicio Sea (A; R) con A={serpiente, pollito, canario, gato, león, araña, hormiga } y la relación tiene menos patas que o es el mismo animal que El diagrama de hasse es un lattice?

34 Solución No es un lattice, porque No hay Sup(pollito, canario) Cotas superiores(pollito, canario)={gato, león, hormiga, araña}, pero no hay forma de definir la inferior cota superior, es decir, ninguna precede a todas.

35 Referencias N. Iyengar. Discrete Mathematics. Vikas Publishing House Pvt Ltd, 2003