Variables que se relacionan... líneas insertadas < coste del anuncio (i) Variable A

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1 Estudiar en el libro de Texto: No PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD (1) Proporcionalidad directa e inversa Ejemplo 1. Proporcionalidad directa En un diario leemos que los anuncios que se pueden insertar en él tienen la tarifa siguiente : 2'5 euros por cada línea. Hay una relación entre dos magnitudes o variables : Variables que se relacionan... líneas insertadas < coste del anuncio (i) Variable A Variable B < Al aumentar una ( doble, triple,... ) la otra también aumenta ( doble, triple,... ). < Al disminuir una ( mitad, tercio,... ) la otra también disminuye ( la mitad, tercio,... ). Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al multiplicar por un número cualquiera (distinto de cero ) una cantidad de la primera magnitud, la correspondiente cantidad de la segunda magnitud queda multiplicada por ese mismo número. Ejemplo 2. Proporcionalidad inversa La distancia entre Jaén y Cádiz es de 360 kilómetros. El tiempo que tarda en recorrerla un coche es proporcional a la velocidad con la que se mueve. De nuevo tenemos una relación entre dos magnitudes / variables : Variables que se relacionan... Velocidad ( km/h) < tiempo en horas Variable A Variable B < Al multiplicar uno de los valores de una de ellas por un número, el correspondiente de la otra queda dividido por el mismo número. Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al multiplicar por un número cualquiera (distinto de cero ) una cantidad de la primera magnitud, la correspondiente cantidad de la segunda magnitud queda dividida por ese mismo número. Ejercicio. Indicar qué tipo de proporcionalidad existe entre las magnitudes relacionadas... En una tienda se venden botes de café a 7'5 euros el bote. Se llena un depósito de 1200 m 3 mediante un grifo de caudal variable. Una impresora láser imprime 20 páginas por minuto. El lado de un cuadrado y su perímetro. El lado de un cuadrado y su área. El tiempo que tarda un modem en bajarse un archivo de 2 megas. El número de fotocopias que hago y el precio que debo pagar. 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ] mn

2 Estudiar en el libro de Texto: No PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD (2) Proporcionalidad simple Seis excavadoras remueven 7500 metros cúbicos de tierra, cuántos removerán 14 excavadoras? < Identificación de las magnitudes / Tipo de proporcionalidad. A : Número de excavadoras ; B : Metros cúbicos de tierra que mueven. Proporcionalidad directa. < Reducir a la unidad / Saber los metros cúbicos que mueve una máquina. Lo que sabemos : 6 excavadoras mueven 7500 m 3 de tierra Una máquina : 1 excavadora mueve 7500/6 = 1250 metros cúbicos < Solución del problema : 14 excavadoras mueven 14 x 1250 = m 3 Con el agua de un depósito se llenan 60 bidones de 5 litros cada uno. Cuántas botellas de dos litros se llenarían? Cuántas botellas de tres cuartos de litro? < Identificación de las magnitudes / Tipo de proporcionalidad. A : Capacidad del recipiente ; B : Número de recipientes que se llenan. Proporcionalidad inversa. < Reducir a la unidad / Saber los envases de 1 litro que se llenarían. Lo que sabemos : De 5 litros se llenan 60 bidones Una unidad : De 1 litro se llenan 60 x 5 = 300 bidones < Solución del problema : Botellas de 2 l se llenan 300 / 2 = 150 botellas Botellas de 0,75l se llenan 300 / 0,75 = 400 botellas En una granja de 48 vacas hay forraje para alimentarlas durante 18 semanas. Para cuántas semanas tendría si fuesen 24 vacas más que ahora? Si pasadas 7 semanas se compran 18 vacas, hasta cuándo habrá hierba? Si 15 litros de agua se convierten en 16 l de hielo, qué volumen ocuparán, al congelarse, 2 metros cúbicos de agua? 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ] mn

3 Estudiar en el libro de Texto: No PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD (3) Proporcionalidad compuesta Para calentar una pieza de hierro de 1240 g de 10 C a 150 C se han necesitado calorías. Cuántas calorías se necesitarán para subir una pieza de 3480 g de 0 C a 210 C. < Identificación de las magnitudes / Tipos de proporcionalidad. A : Peso de la barra de hierro ( g ) ; B : Temperatura ( C ) ; C : Calorías suministradas ( cal ) A y C : Proporcionalidad directa ; B y C : Proporcionalidad directa < Reducir a la unidad / Saber las calorías necesarias para aumentar en 1 C una barra de hierro de 1 gramo. Lo que sabemos : Para calentar 1240g 140 C se necesitan cal La unidad : Para calentar 1240g 1 C se necesitan / 140 cal = 130,200 cal Para calentar 1g 1 C se necesitan 130,2 / 1240 cal = 0,105 cal < Solución : Para calentar 1g 210 C se necesitan 0,105 x 210 cal = 22,050 cal Para calentar 3480g 210 C se necesitan 22,05 x 3480 cal = 76734,000 cal Para calentar una pieza de hierro de 1240 g de 10 C a 150 C se han necesitado calorías. A qué temperatura se pondrá una pieza de hiero de 5 kg que está a 20 C, si se le suministran cal? < Identificación de las magnitudes / Tipos de proporcionalidad. A : Peso de la barra de hierro ( g ) ; B : Calorías ( cal ) ; C : Aumento de la temperatura ( C ) A y C : Proporcionalidad inversa ; B y C : Proporcionalidad directa < Reducir a la unidad / Saber el salto térmico cuando a 1 g hierro se le aporta 1 caloría. Lo que sabemos : Si se aportan a 1240 g cal la temperatura sube 140 C La unidad : Si se aportan a 1240 g 1 cal la temperatura sube 140 / C = 0,00768 C Si se aporta a 1 g 1 cal la temperatura sube 0,00768 x 1240 C = 9,52320 C < Solución : Si se aporta a 5000 g 1 cal la temperatura sube 9,5232 / 5000 C = 0,0019 C Si se aportan a 5000 g cal la temperatura subirá 0,0019 x C = 38,0 C Como la barra de 5 kg estaba a 20 C, después de aportarle calorías alcanzará una temperatura de 58 C. Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km. Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando 8 horas diarias? Cien personas trabajando 8 horas diarias tardan 300 días en construir un barco. Si aumentasen la plantilla en 20 personas, cuántos días se adelantaría la construcción? Si se redujese la plantilla en 20 personas, cuántos días se retrasaría la construcción? Y si la plantilla se redujese en 20 personas pero se aumentasen los turnos a 10 horas diarias de trabajo? 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ] mn

4 Estudiar en el libro de Texto: No PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD (4) Repartos directamente proporcionales La Unión Europea concede una subvención de euros a repartir entre tres pueblos, de manera directamente proporcional al número de habitantes de cada ciudad. Los dos primeros, A y B, tienen 700 y 500 habitantes. Si al tercer pueblo le corresponden 9000 euros, calcula los habitantes que tiene y qué cantidades les corresponden a los otros dos pueblos. < Incógnita : Los habitantes del pueblo C : x < Dato : La subvención de euros se reparte proporcionalmente a los habitantes y le corresponden 9000i. Solución : El que el dinero se reparta directamente proporcional a los habitantes de cada pueblo quiere decir que: x = x, 6000 x = , x = 1800 habitantes < Incógnita : Lo que le corresponde al pueblo A : y < Dato : El pueblo tiene 700 habitantes. Solución 1 : = 3000 y, y = 3500 euros Solución 2 : El total de habitantes es de = 3000 personas. El total de la subvención es de euros, es decir, corresponde 15000/3000 = 5 euros por cada habitante. El pueblo A tiene 700 habitantes y le corresponderá 3500 euros. < Incógnita : Lo que le corresponde al pueblo B : z < Dato : Sabemos lo que le corresponde a los otros dos pueblos. Solución : z = = 2500 euros Una abuela decide repartir sus tierras entre sus nietos en partes directamente proporcionales a sus edades, que son 8, 12 y 15 años. Si al menor le tocan 12 hectáreas, averigua el total de hectáreas repartidas. 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 103 / Nº 26 ] mn

5 Estudiar en el libro de Texto: No PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD (5) Repartos inversamente proporcionales Los tres camareros de una cafetería, Olga, Juan y Félix, han estado enfermos durante 3, 6 y 9 días del mes de Junio. Durante este mes se han recibido 275 euros de propinas que se han de repartir entre ellos de forma inversamente proporcional a los días que han faltado. Cuántos euros corresponde a cada camarero? < Incógnitas : Las cantidades que corresponden a cada camarero : x, y, z < Dato : Las propinas se reparten de manera inversamente proporcional a los días que han faltado al trabajo. Solución 1 : Como las cantidades x, y, z correspondientes a cada uno deben ser inversamente proporcionales a 3, 6 y 9 : 6 k + 3k + 2k = 4950, 11k = 4950, k = 450 Olga, que faltó al trabajo 3 días, recibirá : x = k/3 = 150 euros Juan, que faltó seis días : y = k/6 = 75 euros Félix recibirá : z = k/9 = 50 euros Solución 2 : Repartir 275 euros en partes inversamente proporcionales a 3, 6 y 9 días es lo mismo que repartir la cantidad en partes directamente proporcionales a 1/3, 1/6 y 1/9. El coste de la matrícula de una academia es menor cuantos más notables se han obtenido en el curso anterior. Tres amigos, Pedro, Sara y Leonor, han obtenido 2, 3 y 5 notables y entre los tres han pagado 310 euros. Cuánto le ha costado la matrícula a cada uno? 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ NO ] mn

6 Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 33 PROBLEMAS. EDADES Edades Preguntando un padre por la edad de su hijo, contesta: Si del doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que tenía hace seis años se tendrá su edad actual. Halla la edad del hijo en el momento actual. < Incógnita edad actual del hijo : x años < Planteamiento Si del doble... : Una señora tiene 70 años y su hijo la mitad. Cuántos años hace que la madre tenía tres veces la edad del hijo? < Incógnita Hace : x años < Planteamiento La madre tenía... : Un padre tiene 40 años y sus hijos 10, 7 y 3 respectivamente. Cuántos años deben transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los tres hijos? < Incógnita < Planteamiento La edad actual de Andrés es 19 años y hace tres años su amigo Jesús tenía el doble que la edad que tenía Andrés en aquel momento. Qué edad tiene ahora Jesús? < Incógnita < Planteamiento 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 104 / Nº 34, 35 ] mn

7 Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 49 PROBLEMAS. GRIFOS Y TRABAJOS Grifos, trabajos Un depósito tiene un grifo que lo llena en 3 horas; otro en 4 horas y un desagüe lo vacía en 5 horas. Cuánto tardará en llenarse si se abren los dos grifos y, por un descuido, se deja abierto el desagüe? Reducir la información a una hora Se llena / vacía en... En 1 hora llena / vacía Sólo con el grifo A 3 h 1/3 Sólo con el grifo B 4 h 1/4 Si el depósito está lleno y se abre el desagüe 5 h -1/5 Abriendo los dos grifos y estando abierto el desagüe x h 1/x < En una hora : < Solución : El depósito tardaría en llenarse 2 horas y 36 minutos. Los dos surtidores de una fuente llenan un depósito en 16 horas. Cuánto tardaría en hacerlo cada uno por separado, sabiendo que el segundo surtidor invertiría el doble de tiempo que el primero? Reducir la información a una hora Se llena / vacía en... En 1 hora llena / vacía Sólo con el grifo A Sólo con el grifo B Abriendo los dos grifos < En una hora : < Solución : Dos albañiles tardan 2 horas y 24 minutos en levantar un tabique, trabajando juntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado 6 horas en hacer el mismo trabajo. Cuánto habría tardado el de más edad sin la ayuda de su compañero? Reducción de la información a un minuto! < En un minuto : < Solución : 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 106 / Nº 50, 51 y 52! PÁG. 107 / Nº 62 ] mn

8 Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 2 PROBLEMAS. MEZCLAS Mezclas, aleaciones Se dispone de dos disoluciones de ácido acético: una al 25% y otra al 60%. Qué cantidad hay que mezclar de cada una para obtener 130 gramos de una disolución al 40%? Organización de los datos Disolución 1 Disolución 2 Mezcla Cantidad gramos Concentración de la disolución % Cantidad de ácido acético gramos < La cantidad de ácido acético puro resultante tiene que ser la suma del ácido acético aportado por cada disolución... < Solución : Una joya de 80 g está elaborada con una aleación de oro y cobre. Si la densidad de la joya es 14, calcula la cantidad de oro que tiene. ( Densidad del oro es 19,25, y la del cobre 8,75 ) Organización de los datos Oro Cobre Joya Cantidad gramos Densidad gramos / cm 3 Volumen cm 3 < Suponiendo que en la aleación no hay pérdida de volumen, recordando que : volumen = masa / densidad < Solución : Tenemos un lingote de oro que pesa 875 g de ley 850 milésimas. Cuántos gramos de oro de ley 675 milésimas hay que añadir para obtener una aleación de ley 800 milésimas. La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal más preciado y el peso total de la misma. Así, si una aleación tiene por ley 0,800 ( 800 milésimas ) significa que por cada 1000 gramos de aleación, 800 serían de oro puro y 200 corresponderían a impurezas. Organización de los datos Oro 1 Oro 2 Aleación Peso gramos Ley Cantidad de oro puro gramos < La cantidad de oro puro de la aleación resultante tiene que ser la suma de las cantidades de oro puro aportadas... < Solución : 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 101 / Nº 2! PÁG. 104 / Nº 38, 39, 40 ]. VER ACTIVIDADES DE REFUERZO mn

9 Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 42 PROBLEMAS. MÓVILES Problemas de movimiento Una furgoneta sale de un punto A a una velocidad de 80 km/h. Hora y media más tarde sale del mismo punto un coche a una velocidad de 100 km/h. Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo? A qué distancia de A lo alcanzará? < Esquema < Furgoneta espacio que recorre km : Ecuación 1 velocidad que lleva km/h : tiempo que se mueve h : < Coche distancia que recorre km : Ecuación 2 se mueve a km/h : tiempo que se mueve h : < Solución Sabiendo que la velocidad de un coche supera en 30 kilómetros por hora la de otro y que parten al mismo tiempo de dos ciudades que están a 250 kilómetros, cuánto tiempo tardarán en cruzarse si en ese momento uno de ellos ha recorrido 2/5 del trayecto? A qué velocidad va cada coche? < Esquema < Coche A espacio que recorre km : Ecuación de A velocidad que lleva km/h : tiempo que se mueve h : < Coche B distancia que recorre km : Ecuación de B se mueve a km/h : tiempo que se mueve h : < Solución 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 105 / Nº 43, 44 ] mn

10 PROBLEMAS. VARIADOS (1) Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 1 Problemas variados Un jugador entra en un casino con una cierta cantidad de dinero. Comienza perdiendo 27 euros. Después juega todo lo que le queda y gana tres veces su apuesta. Continua jugando y pierde 39 euros. En este momento se da cuenta que posee el mismo dinero que cuando entró y decide dejar el juego. Con cuánto dinero entró? Organizar la información Tiene Lo que gana / pierde Lo que le queda Primera apuesta x -27 x - 27 Segunda apuesta x - 27 Tercera apuesta < Le queda Una empresa pierde la mitad de su capital y después un tercio de lo que le quedaba, quedando con un capital de euros. Calcular el capital inicial. Organizar la información Capital Lo que pierde Lo que le queda Primera operación x Segunda operación < Le queda En un hotel hay habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. Cuántas habitaciones dobles y sencillas tiene el hotel? < Incógnitas Habitaciones sencillas : Habitaciones dobles : < Condición C Hay 87 camas... : En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños sabiendo que en total hay 156 personas. < Incógnitas Número de hombres : Número de mujeres : Número de niños : < Condición C Hay 156 personas... : 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 103 / Nº 16 a 25! PÁG. Nº 104 / Nº 27 a 32 ]. WWW : VER ACTIVIDADES DE REFUERZO. mn

11 Estudiar en el libro de Texto: Pág Ejercicio 1 PROBLEMAS. VARIADOS (2) Problemas variados Descomponer el número 42 en dos sumandos, de modo que el primero sea el cuadrado que el segundo. < Incógnitas Primer sumando : Segundo sumando : < Condición C El primero es el cuadrado del segundo... Halla cuando miden los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 45 metros y su perímetro mide 108 metros. < Incógnitas Cateto 1 : Cateto 2 : < Condición C El triángulo es rectángulo... El denominador de una fracción excede en 4 a su numerador, y la suma de la fracción con su inversa es 58/21. Encontrar la fracción. < Incógnitas Numerador : Denominador : < Condición C La fracción sumada con su inversa es... Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 centímetros cuadrados. Cuánto mide el lado del cuadrado? < Incógnitas Lado del cuadrado : x cm < Condición C Si aumentamos el lado... 3º ESO. PARA PRACTICAR : LIBRO [ PÁG. 104 / Nº 36 y 37! PÁG. 105 / Nº 41, 45 a 48! PÁG. 106 / 53 A 59! PÁG. 107 / Nº 60, 61 ] mn

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