6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

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1 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA PARA EMPEZAR Calcula el término desconocido en las siguientes proporciones. a) b) x 8 x 5 a) 7 2 x 7 2 x 8 28 x c) 5 x 2 b) 9 8 x 9 5 8x x 5, c) 5 x 2 2 5x x 2 5, 2 2 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones Escribimos todas con el mismo denominador para poder comparar los numeradores Como: Entonces tenemos que: Expresa en tantos por ciento las razones siguientes. a) De cada 5 estudiantes, aprueban inglés. b) De los 25 alumnos de una clase, 5 han ido al teatro. c) En una ciudad, 7 de cada 0 individuos tienen más de 20 años. a) % b) % c) 70%

2 En 998 una región tenía 000 hectáreas de bosque nativo. En los diez años siguientes el % de su superficie se ha convertido en terrenos para el cultivo y la ganadería. Calcula cuántos metros cuadrados de bosque nativo han sido deforestados. Calculamos el número de hectáreas que han sido deforestadas. % de hectáreas 00 Como hectárea hm m 2 Han sido deforestados m metros cuadrados de bosque nativo. Magnitudes directamente proporcionales PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto. Comprueba si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. A 5 0 B M 2 N 2 5 Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: , Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: Decide si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. A B 5 7,5 7,5 25 M 2 N 5 Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: 2 5 7, ,. 7,5 25 Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: 2.. Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. a) El número de lados de un polígono regular de 5 centímetros de lado y su perímetro. b) El número de prendas de ropa compradas en una tienda y el precio total de la compra. c) La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene. d) El radio de una circunferencia y su longitud. e) La edad de una persona y su peso. f) El número de horas trabajadas durante un mes y el sueldo al final del mismo. Son directamente proporcionales las magnitudes de los apartados a y d, siendo y las constantes de proporcionalidad respectivas Completa la siguiente tabla para que las magnitudes A y B sean directamente proporcionales. Hallamos la razón de proporcionalidad y completamos los términos restantes: 0,25. 8 A 0 2,75 2 B 2, 8 8,75, 29

3 .5 Reparte de forma directamente proporcional a los siguientes números. a) 0, 2 y 8 c) 2, y 7 b), 5 y 2 d), y 5 x y z 0000 a) x ; y 2 000; z x y z b) x 9000; y 5 000; z x y z 0000 c) 7 x 8000; y 2 000; z x y z 0000 d) 5 x 5 000; y ; z PARA APLICAR Problema resuelto. En el mismo instante en que Jaime, de,80 metros de estatura, proyecta en el suelo una sombra de,0 metros de longitud, su casa de campo proyecta una sombra de metros. Qué altura tiene la casa? Las sombras que proyectan Jaime y su casa son directamente proporcionales a sus alturas respectivas; es decir, los cocientes entre magnitudes vendrían dados por: Así:, 8 x x 7 m, La casa mide 7 metros de altura. altura Jaime altura casa s ombra Jaime s ombra casa.7 Cinco amigas han comprado entradas para un concierto por 75 euros. Cuánto tendrían que haber pagado si hubieran comprado entradas? El coste de las entradas es proporcional al número x de entradas compradas. Es decir, son directamente proporcionales. Coste de las entradas: x 20 euros 7 5 x x Para colaborar en el viaje de fin de curso, un centro escolar reparte 800 euros entre las tres clases de.º de ESO de manera proporcional al número de alumnos que se han apuntado de cada una: 2, 0 y, respectivamente. Qué cantidad recibirá cada clase? Repartimos 800 euros de manera directamente proporcional a 2, 0 y. Sean x, y, z las cantidades que corresponden a cada una de las tres clases de.º de ESO. x y z x 80 euros; y 00 euros; z 720 euros En una tienda de música, Carlota ha comprado 2 CD; Marcos,, y Samuel, 5. Cuánto pagará cada uno si todos los discos valen lo mismo y el total abonado ha sido de 0 euros? Precio de un disco: 0 : 0 euros Carlota paga: 2 22 euros. Marcos paga: euros. Samuel paga: 5 55 euros. 0

4 .0. En la biblioteca de un barrio hay 200 libros de ciencia ficción, de género policíaco y de viajes. Cuántos habrá de cada clase si su número es proporcional a, 2 y, respectivamente? x y z 200 Se tiene la proporcionalidad: 2 200, siendo x, y, z los libros que corresponden a cada grupo. Libros de ciencia ficción: Libros policíacos: Libros de viajes: Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes diferentes. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación y Sergio resolvió correctamente 2 de las 0 preguntas que tenía su examen. Cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas? Sea x el número de aciertos que obtuvo Jorge. Planteamos la proporción: 2 x x Jorge obtuvo aciertos. Aumentos y disminuciones porcentuales PARA PRACTICAR.2 Calcula los siguientes porcentajes. a) 8% de 0 c) 5% de 90 b) 7% de 2 d) 8% de 20 a) 0,8 0 5, c) 0, ,5 b) 0,07 2 0,8 d) 0, ,. Calcula los siguientes aumentos porcentuales: a) 75 en un 20%. b) en un %. c) 50 en un 5%. a) 75, b) 5 725, 22 72,25 c) 50,5 07,5. Realiza las siguientes disminuciones porcentuales: a) 200 en un 2%. b) 00 en un,8%. a) 200 ( 0,2) 200 0,7 08 b) 00 ( 0,08) 00 0,92 577,2 Ejercicio resuelto.5 Qué porcentaje es 9 de 50? Como los porcentajes son magnitudes proporcionales, se verifica que: 9 x x 9 00 %

5 . Halla, en cada caso, el valor de la variable x. a) El 2% de x es 8. b) El x% de 250 es 0. c) El 95% de 200 es x. d) El x% de 505 es a) x 8 00 x 50 x b) x % c) x 0, x d) x 5,% 0 0 Ejercicio resuelto.7 Qué variación porcentual se produce si un artículo que costaba 0 euros pasa a costar 72 euros? Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que: 7 2 x x Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 20%..8 Calcula, en cada caso, la variación porcentual que se ha producido si el precio de un artículo sufre las siguientes modificaciones. a) Pasa de 5 a 2 euros. b) Pasa de 0 euros a 2 euros. c) Pasa de 50 euros a 0 euros. d) Pasa de 0 euros a 8 euros. Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que: a) 2 x x Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 0% b) 2 x x Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 0% c) 0 x x Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 0% d) 8 x x Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 20% PARA APLICAR.9 En una clase de.º de ESO han aprobado Matemáticas 8 de los 25 alumnos. Qué porcentaje de alumnos ha aprobado? Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que: % Ha aprobado el 72% de la clase. 2

6 .20 Un jugador de baloncesto ha lanzado en un partido 2 tiros, de los que ha encestado 7. Qué porcentaje de acierto ha obtenido? Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que: 7 x x ,8%. Ha obtenido un acierto del 70,8% En una ONG trabajan 2 mujeres, que representan el 80% de la plantilla. Cuántos hombres trabajan para esa ONG? Cuántas personas componen el total de la plantilla? Como se trata de magnitudes directamente proporcionales, planteamos la siguiente proporción, en la que x es el número de hombres que trabajan en la ONG. Teniendo en cuenta que los hombres representan el 20% de la plantilla. 2 x x Por tanto, en la ONG trabajan 8 hombres y un total de 2 8 empleados..22 Un estadio de fútbol tiene capacidad para espectadores. Como el estadio siempre se llena, su presidente decide hacer una remodelación mediante la cual su capacidad se verá aumentada en un 5%. Qué capacidad tendrá el estadio tras la remodelación? Se trata de aumentar porcentualmente en un 5% ( 0,5) , Tras la remodelación, el estadio tendrá capacidad para espectadores..2 Teo lleva a clase una bolsa de caramelos para celebrar su cumpleaños. A la hora del recreo reparte el 80%. Si aún le quedan caramelos en la bolsa, cuántos ha llevado al colegio esa mañana? 80 x x x Teo ha llevado a clase 80 caramelos..2 Laura ha comprado un equipo de música y le han hecho un descuento de un 5%, lo que supone que ha pagado,5 menos que lo que marcaba. Cuánto le ha costado el equipo de música? Sea x el importe inicial del equipo de música. Como le rebajan un 5%, tenemos que: 5% de x,5 0,5 x,5 x 0 Laura ha pagado 0,5 9,50 euros por el equipo de música..25 Halla el aumento porcentual de los latidos del corazón de una persona que pasa de 8 a 5 pulsaciones por minuto latidos por minuto es lo que ha aumentado la frecuencia cardíaca. x 8 7 x 9,2% es el porcentaje que han aumentado los latidos Una botella de limonada de 2 litros indica que tiene un porcentaje de zumo de un 5%. Cuánta agua habría que echarle para que el porcentaje de zumo se rebajara a un 2%? Hallamos la cantidad de zumo que hay en la limonada: 5% de 2 L 0,5 2 0, L de zumo. Si añadimos agua a la limonada, la cantidad de zumo que contiene es la misma, 0, L, pero queremos que represente el 2% del total, así que tenemos la siguiente relación, donde x representa la cantidad total de limonada tras añadir el agua. 0, 2% de x 0, x 2,5 L 0, 2 Por tanto, debemos añadir medio litro de agua para que la concentración de zumo sea del 2%.

7 Porcentajes sucesivos Problema resuelto.27 Un artículo vale 20 euros. Ante la excesiva demanda por la proximidad de las fiestas navideñas, sube un 20%. Luego, cuando estas han terminado, se rebaja un 20% el precio marcado en ese momento. El producto sigue valiendo lo mismo que antes de la subida? El importe del artículo, al incrementarse el precio, es de: ,20 euros. Al aplicar el 20% sobre este importe, el nuevo precio es de: 0,20 5,20 euros. Ahora, su precio es inferior al que tenía inicialmente. PARA PRACTICAR Expresa en forma de porcentaje las siguientes fracciones. a) b) 2 25 c) 2 a) 75 75% b) % c) 2 8,75% Expresa en tantos por ciento: a) Dos de cada cinco personas dejaron de fumar en los primeros meses de b) Ocho de cada nueve encuestados duermen menos de 8 horas diarias. c) Uno de cada doce residentes españoles colabora con una ONG. a) El 0% b) ,89 00 El 88,89% c) 8, 2 00 El 8,%.0 Calcula los porcentajes siguientes y explica si el proceso modifica el resultado: el 0% del 50% de 50 y el 50% del 0% de ( 0,50) ( 0,0) 50 0,50 0,90 57,50 50 ( 0,0) ( 0,50) 50 0,90 0,50 57,50 El resultado es el mismo intercambiando el proceso. No sería así si se calculase la suma de los porcentajes, es decir, el 0% de 50.. El x% de x vale 9. Calcula el valor de x. x x% de x x 9 x x 0 Ejercicio resuelto.2. Es lo mismo aumentar el precio de un artículo un 0% y luego rebajarlo un 5% que rebajarlo directamente un 5%? No, ya que si el precio inicial del artículo es C, al aumentar su precio un 0% y luego rebajarlo un 5%, el precio final del artículo es: C,0 0,85 0,95 C. Es decir, la rebaja final del artículo es de 00% 9,5%,5%, superior al 5%. En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si aumenta su precio un 0% y luego se rebaja un 0%? Si una cantidad C aumenta de precio un 0% y luego se rebaja un 0%, su precio final será C,0 0,90 C 0,99, es decir, que su precio se habrá rebajado un %.

8 . En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si su precio se rebaja un 5%, luego se rebaja otro 5% y finalmente su precio aumenta un 7%? Si C es el precio inicial, el precio final será C(0,85) (0,95) (,7) C 0,98; con lo que se habrá rebajado un 5,52%. PARA APLICAR.5 Con la llegada del calor, la venta de aparatos de aire acondicionado se ha disparado. El precio de lanzamiento de uno de estos productos es de 280 euros, y se ha incrementado la primera vez en un 0%, y una segunda, en un 20%. a) Esta doble subida es equivalente a un aumento del 0%? b) Calcula, en cada caso, el importe del aparato. a) Sea C el precio inicial de un artículo. Con la doble subida se obtiene: C,0,20 C,2, es decir, un aumento equivalente del 2%, superior al 0% que menciona el enunciado. b) Para un artículo de 280 euros, con la doble subida, el precio final del aparato sería de: 280,2 9,0 euros. Con el aumento del 0% supondría que el precio final es de: ,0 euros. Efectivamente, se comprueba que la subida ha sido mayor que si se hubiera aplicado directamente un 0%.. Calcula el descuento que se ha aplicado a un artículo de liquidación que costaba 2850 euros si en la primera oferta se rebajó un 0%, y en la segunda, un 20% sobre el precio ya rebajado. Explica si el descuento total fue del 50%. El descuento fue de: 0,20 0, Si la rebaja hubiera sido del 50%, se habría descontado la mitad. Por tanto, no ha sido ese el descuento total..7 Una nevera cuesta 50 euros más el % de IVA, pero con la rebaja aplicada en la tienda se queda en 7,0 euros. Cuál es el descuento aplicado? El precio de la nevera con el IVA aplicado es de x ,0 x 20. El descuento aplicado es del 20% En la bolsa, unas acciones estaban cotizando un lunes a 0,25. El martes subieron un %, el miércoles bajaron un % y el jueves subieron un %. Cuál fue la cotización al final del jueves? Tras estas variaciones, las acciones cotizarán a: 0,25,0 0,9,0 0,2 euros..9 Un tendero antes de las rebajas aumenta los precios de sus artículos un 5%. Cuando llegan las rebajas disminuye su precio un 5%. Cuál es la rebaja real de los precios? Si un artículo cuesta C, tras esas variaciones costará C(,05) (0,85) 0,8925, con lo que la rebaja real será de un 0,75%. 5

9 .0 Observa la factura del teléfono que ha recibido Ana. Tarifa básica: 0 Descuento de un 2% por ser empleado de la empresa. Rebaja de un 5% por una promoción. Aumento de un % de impuestos. Qué cantidad final paga por el teléfono? Finalmente, Ana pagará: 0 0,88 0,95, 29,09.. A Pablo le han regalado una caja de bombones. El primer día se ha comido el 20% de los bombones. Al día siguiente se comió el 20% de los bombones que le quedaban. Si en la caja quedaron bombones, cuántos había originalmente? Como cada día se come el 20% de los bombones que había, cada día quedará en la caja el 80% de los bombones que había. Si x son los bombones que traía la caja: x 0,8 0,8 0,x x 25 bombones 0, Interés simple Problema resuelto.2 Daniel ha depositado en un banco 580 euros a un interés simple del %. a) Qué intereses obtendrá al finalizar el año? b) Y al cabo de 5 años? c) Y si retira el dinero a los 00 días? a) En un año generarían unos intereses de: 580 7,0. 00 b) Intereses en 5 años: c) En 00 días se generaría la parte proporcional de intereses: 7, x x 7, 00 9, PARA PRACTICAR. Se depositan 250 a un interés simple del,5% durante 2 años. Calcula los intereses que se generan cada año y el capital final. Los intereses de cada año son 250,5, En consecuencia, el capital final al cabo de dos años será: 250 2,25 272,50.

10 . En un banco se depositan 5000 euros al 8% de interés simple anual. a) Cuánto pagará el banco al cabo de años? b) Y de 08 días? a) Interés anual: ,08 00 euros Interés en años: euros b) Interés en 08 días: euros 0.5 Se depositan 5000 a un interés simple anual del %. a) Cuáles son los intereses anuales? b) Completa la siguiente tabla: Año Intereses acumulados c) Cuál es el capital final al cabo de dos años? a) Los intereses anuales serán de c) El capital final será de Ejercicio resuelto. Tras tres años de depósito, un capital de 000 se ha convertido en un capital de 05. Qué interés se ha aplicado? Se han obtenido 05 de intereses, es decir, cada año, el capital inicial ha proporcionado unos intereses de euros. Se trata de averiguar qué porcentaje de 000 representa 5. 5 x x 5 00, Se ha aplicado un interés del,5%..7 Calcula el interés simple al que se han depositado 800 euros en un banco durante un año si el capital al cabo de ese tiempo ha sido de 872 euros r 0 r %.8 Un capital de 00 euros ha producido unos intereses de 20 euros al 5% anual. Cuánto tiempo ha estado el capital depositado en el banco si el interés es simple? 5 00 t 20 t 8 años 00 7

11 PARA APLICAR.9 Calcula el capital acumulado por un depósito de 200 euros a un interés simple del,2% después de, 5 y 0 años. La cantidad acumulada entre los 5 y 0 años es el doble que la correspondiente a los 5 primeros? Capital acumulado después de un año: C 200 ( 0,02) 28,0. Capital acumulado después de 5 años: C 200 ( 5 0,02) 92. Capital acumulado después de 0 años: C 200 ( 0 0,02) 58. Cantidad acumulada entre los 5 y 0 años: Cantidad acumulada en los 5 primeros años: 92 28,0 5,0. Por tanto, la cantidad acumulada entre los años 5 y 0 no es el doble de la acumulada en los 5 primeros años..50 Raquel ha depositado 000 euros a un interés simple de un %. Ayúdala a representar gráficamente el capital que va a ir acumulando a lo largo de 5 años. Cuál es la ecuación de dicha función? Los intereses anuales serán de El capital final será de Año Intereses acumulados Representamos gráficamente la situación: y capital x años y x Capital acumulado (euros) y = x Años.5 a) Qué tipo de curva se obtiene al representar el capital generado por un capital inicial depositado a cierto interés simple en función del tiempo transcurrido? b) Qué significado tendría el hecho de que la curva fuera una recta horizontal? a) Una función afín. Si C 0 es el capital inicial y está depositado a un interés simple del i%, la función que representa el capital generado, C, con el paso del tiempo, t, viene dada por: C C 0 C 0 i t 00 b) Si la curva fuera una recta horizontal, entonces significaría que el capital inicial se mantiene siempre constante y no se irían acumulando intereses. Es decir, los intereses serían nulos. 8

12 .52 Bernardo observa dos anuncios en diferentes bancos. En uno ofrecen por cada depósito de 000 a tres años un interés simple anual de un 5%. En el otro ofrecen por cada depósito de 000 euros a tres años un interés anual del,25% más un ordenador valorado en 50 euros. En el supuesto de que Bernardo necesitara un ordenador, en qué banco es más recomendable depositar el dinero? En el primer banco obtiene unos intereses de En el segundo banco obtiene unos intereses de 000,25 75 euros y además le dan el ordenador valorado en 50 euros. 00 En el supuesto de que Bernardo necesitara un ordenador, parece más recomendable depositar el dinero en el segundo banco..5 Pablo depositó 500 euros en un banco a un interés simple anual del %. Al cabo de un cierto tiempo canceló el depósito y el banco le dio 20, euros de intereses. Cuántos días tuvo Pablo abierto el depósito? En un año le darían unos intereses de Recordamos que el año comercial se considera de 0 días. Con lo cual, , 0 días x d ías x 20, 0 2 9,5 días 0 Es decir, Pablo tuvo abierto el depósito durante 9 días..5 Sandra obtuvo en bolsa unas ganancias de 525 euros que depositó en un banco a un interés simple de un,5%. Durante cuánto tiempo debe mantener el depósito para que el capital final alcance los 5000 euros? Cada año, los intereses serán de 52 5,5 58,75 euros. 00 Sandra quiere obtener euros de intereses. 75 Deberá tener su dinero en el depósito durante: años. 5 8,75 Interés compuesto Problema resuelto.55 El precio de un automóvil se devalúa un 20% cada año. Si Lola se ha comprado uno que le ha costado euros, cuál será su valor transcurridos meses? El capital final se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto, teniendo en cuenta que hablamos de una disminución porcentual y de un período de capitalización dado en meses. C , ,97 euros Transcurridos meses, el importe del coche de Lola será de 0 85,97 euros. 9

13 PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto.5 Se depositan 000 euros en una entidad bancaria al 8% de interés compuesto anual durante 0 años. a) Cuál será el capital acumulado? b) Cuál será el interés producido? a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto. C , ,92 euros b) El interés producido será: C C 0 258, ,92 euros..57 Calcula el capital final que se genera y los intereses producidos en los siguientes casos: a) Se depositan euros a un interés compuesto del,5% anual durante años. b) Al depositar 2500 euros a un interés compuesto del % anual durante cuatro años. a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto. C 0 500, ,8 euros El interés producido será: C C , ,8 euros. b) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto. C , euros El interés producido será: C C 0 292, , euros..58 Calcula el capital final que generarán 500 euros a un interés compuesto del % durante años si los intereses se pagan: a) Anualmente. b) Semestralmente. c) Trimestralmente. d) Mensualmente. e) Diariamente. a) Si el pago es anual: C ,89 euros. b) Si el pago es semestral: C ,7 euros. 2 c) Si el pago es trimestral: C ,7 euros. d) Si el pago es mensual: C ,72 euros. 080 e) Si el pago es diario: C ,70 euros. 0

14 .59 Estudia, entre las siguientes, cuál es la opción más rentable al ingresar 00 euros en una cuenta durante 2 años a un interés compuesto. a) Mensual del 0,% b) Semestral del,7% c) Anual del 2,5% 2 a) C 00 0, ,2 euros b) C 00, , euros 2 c) C 00 2,5 00 0,75 euros La opción más rentable es la del interés compuesto anual del 2,5%..0 Es lo mismo un interés compuesto mensual del % que uno trimestral del %? Razónalo sobre un capital inicial de 000 euros. 2 Interés compuesto mensual del %: C ,28 euros Interés compuesto trimestral del %: C , euros El capital acumulado es mayor si los intereses se abonan de forma mensual.. Supón que una determinada cantidad de dinero se deposita en un banco al mismo interés compuesto durante un año. Qué resultará más beneficioso, un interés diario, mensual, trimestral, semestral o anual? 2 Mensual: C C 0 r 2 00 Trimestral: C C 0 r 0 0 r r Comparando las bases mensuales y trimestrales: r Comparando las bases mensuales y semestrales: Semestral: C C 0 r 20 0 Dividiendo entre r, que es positivo: 00,0005,0007. Por tanto, es mejor mensual. r ,0007,00025 Por tanto, la opción más beneficiosa es la mensual. Dividiendo entre r, que es positivo: PARA APLICAR Problema resuelto.2 Clara pidió un préstamo de 000 euros en una entidad bancaria al % de interés compuesto anual durante años. a) Cuánto tendrá que devolver al banco transcurrido ese tiempo? b) Y si salda su deuda en tres años y medio? a) Transcurridos los seis años, Clara debe haber pagado los intereses completos, es decir: C ,0 582,5 b) Si salda su deuda a los tres años y medio, el período de capitalización debemos tomarlo en semestres. 7 C , ,5

15 . Cuando nació Elena, sus abuelos depositaron 000 euros en una cuenta a un interés compuesto del 8%. Por cuánto se habrá multiplicado la cantidad cuando Elena cumpla 8 años? Capital acumulado: C , ,02 euros 000 euros Como vemos, el dinero se ha multiplicado aproximadamente por, es decir, se ha cuadruplicado.. Una ciudad tiene en la actualidad una población de habitantes. Si crece cada año un,5%, cuántos habitantes tendrá dentro de 0 años? El crecimiento de habitantes seguirá la situación del interés compuesto. Número de habitantes ( 0,05) ,5.5 Un empresario pide un préstamo al 2% de interés compuesto durante años. Si el capital final a devolver asciende a euros, cuál habrá sido el capital prestado? El capital inicial se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto: C C ,57 euros. Una empresa deposita euros en una entidad bancaria al 0% de interés compuesto anual. Al cabo de cierto tiempo, retira el capital y los intereses acumulados, que son 000 euros. Calcula el tiempo que ha estado el dinero en el banco. Aplicamos la fórmula del interés compuesto: t , t, t 000, Para resolver la ecuación resultante vamos dando valores a la variable t y así obtenemos que el dinero ha estado en el banco 2 años. En efecto:, 2,2. Magnitudes inversamente proporcionales PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto.7 Comprueba que las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. Cuál es la constante de proporcionalidad? A 2 2,5 0 5 B 7,5,75 0,75 0,5 Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales, ya que: 7,5 2,75 2,5 0 0,75 5 0,5 7,5. La constante de proporcionalidad es k 7,5..8 Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes inversamente proporcionales y calcula su constante de proporcionalidad. a) A 2 5 b) B C 2 7 D k 0 k 8 2

16 .9 La constante de proporcionalidad de dos magnitudes inversamente proporcionales, A y B, es 8. Calcula: a) El valor de A cuando B es 2. b) El valor de B cuando A es. a) A 2 8 A b) B 8 B 0,5.70 Estudia si las magnitudes de las siguientes tablas son inversamente proporcionales. a) A 2 b) B C D 2 8 a) b) No son inversamente proporcionales. Son inversamente proporcionales..7 Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son inversamente proporcionales. a) Número de amigos que alquilan un piso y la cantidad que debe pagar cada uno. b) La edad de una persona en años y su peso en kilogramos. c) La base de un triángulo de área 50 centímetros cuadrados y su altura. d) El número de kilogramos de naranjas que se pueden comprar con 20 euros, y el precio del kilogramo. Son inversamente proporcionales las magnitudes de los apartados a, c y d..72 Reparte 72 de forma inversamente proporcional a 2, y. Repartir de forma inversamente proporcional a 2, y es equivalente a repartir de forma directamente proporcional a 2, y. Como además: 2, 2 y. Por tanto, hay que repartir 72 de forma directamente proporcional a, 2 y. Como 2, el reparto será: 7 2 8; ; Reparte 5920 en partes inversamente proporcionales a 2, y 5. Repartir 5920 en partes inversamente proporcionales a 2, y es equivalente a repartir 5920 en partes directamente proporcionales a 2, y 5. 5 Como 2 5 0, el reparto será: ; ;

17 PARA APLICAR.7 Un motorista que circula a 80 km/h de velocidad media emplea horas en viajar de Madrid a Burgos. Cuánto tardará un automóvil si su velocidad media es de 20 km/h? Cómo son las magnitudes tiempo y velocidad? Cuál es la constante de proporcionalidad? Las magnitudes tiempo y velocidad son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es: 80 20, que coincide con la distancia en km de Madrid a Burgos. El motorista tardará: 20 : 20 2 horas..75 Un rectángulo tiene 200 centímetros cuadrados de superficie. Calcula su altura en los casos en los que su base mida 80, 0 ó 20 centímetros. Cómo son estas magnitudes? Para hallar la altura, h, de un rectángulo, conocidas su área y su base, se utiliza la fórmula S b h, donde S es la superficie de la figura, y b, su base. A b h h A b para b 80 cm, h 2,5 cm para b 0 cm, h 5 cm para b 20 cm, h 0 cm Las magnitudes son inversamente proporcionales..7 En una carrera ciclista se reparte un premio de 2 00 euros entre los tres primeros corredores que llegan a la meta de forma inversamente proporcional al tiempo empleado en concluir la carrera:, 5 y horas, respectivamente. Cómo queda establecido el reparto del premio? Se calcula la constante de proporcionalidad. k 5 k k 2 00 k Por tanto, cada ciclista recibirá: Primero: euros Segundo: euros 5 Tercero: euros.77 En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de 20 euros de manera inversamente proporcional al tiempo que han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados: 5, 0 y 5 minutos, respectivamente. Qué cantidad le corresponde a cada uno? Se calcula la constante de proporcionalidad. 5 k k k 20 k 20 k Por tanto, cada concursante recibirá: Primero: euros 5 Segundo: 00 0 euros 0 Tercero: euros 5

18 .78 A José le ha tocado un premio de 000 euros en la Lotería de Navidad y quiere repartirlo entre sus hijos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 20, 25, 0 y años. Qué cantidad recibirá cada uno? Se calcula la constante de proporcionalidad. k k k k 000 k 2 5, Por tanto, cada hijo recibirá: Hijo de 20 años: 2 79,0 2 25,9 euros 2 0 Hijo de 25 años: 2 79,0 988,7 euros 2 5 Hijo de 0 años: 2 79,0 57,0 euros 0 Hijo de años: 2 79,0 2 9,7 euros Matemáticas aplicadas PARA APLICAR.79 Calcula el porcentaje que hay que indicar en una fotocopiadora para conseguir los siguientes tamaños respecto del original. a) Dos veces y media más grande. b) Reducido a una cuarta parte. Expresamos la razón de semejanza en forma de porcentaje. a) 2, % 00 b) 25 25% Roberto ha fotocopiado un recorte de prensa de 5 centímetros de ancho por 2 de alto. Calcula el tamaño de la fotocopia si ha introducido los siguientes porcentajes. a) 5% b) 0% c) 225% d) 75% Sean x e y el ancho y el alto de la fotocopia, respectivamente. A partir de los porcentajes obtenemos las razones de semejanza y establecemos la relación de proporcionalidad entre los lados del original y los de la copia. 5 a) Porcentaje 5% r 0,5 00 x y 0,5 x,75 cm 0,5 y,2 cm 5 2 b) Porcentaje 0% r 0, 00 x y, x 7 cm, y,8 cm 5 2 c) Porcentaje 225% r ,25 00 x y 2,25 x,25 cm 2,25 y 27 cm d) Porcentaje 75% r 0,75 00 x y 0,75 x,75 cm 0,75 y 9 cm 5 2 5

19 Actividades finales PARA PRACTICAR Y APLICAR.8 Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales y calcula su razón de proporcionalidad. a) A 2 b) C B 8 9 D 2 8 r r En todas las excursiones que realiza un determinado centro escolar, por cada alumno se pagan,75 euros de seguro de accidentes. Si en la última excursión el importe total fue de 99,75 euros, cuántos alumnos fueron? Como son magnitudes directamente proporcionales, tenemos que fueron: x 9 9, alumnos., 75.8 Tres amigos han compuesto las 2 canciones de un CD. Uno de ellos es el autor de 2 canciones; otro, de, y el tercero, de las restantes. Por cada CD vendido obtendrán un beneficio de euros. Qué cantidad se llevará cada uno si reparten las ganancias de forma directamente proporcional al número de canciones que han compuesto? x y z x ; y 2 ; z Los abuelos paternos de Ada quieren repartir 80 euros entre ella y su hermano de forma proporcional a sus edades, 8 y 2 años. Por otra parte, sus abuelos maternos distribuirán 2 euros entre sus tres nietos, también de forma proporcional a sus edades,, 8 y 2 años. Si Ada es la nieta de 2 años, con qué reparto obtendrá más dinero? Y su hermano, que es el nieto de 8 años? x y 80 x 72 al de 8 años; y 08 al de 2 años x y z 8 2 x al de años; y 72 al de 8 años; z 08 al de 2 años 2 2 En los dos casos, Ada y su hermano reciben la misma cantidad..85 Se hallan, consecutivamente, el 28% y el % de una determinada cantidad. Qué único porcentaje se podría aplicar a dicha cantidad para obtener el mismo resultado? 0,28 0, 0,20 Para obtener el mismo resultado habría que aplicar un 2,0%..8 Una empresa ha pedido presupuesto de una mercancía a un proveedor habitual. El precio real de la misma es de 250 euros, pero el proveedor le aplicará un 20% de margen y un % por su transporte. A cuánto ascenderá el presupuesto? Si finalmente la empresa acepta la oferta y lo paga al contado, el proveedor le hará un descuento del 5%. Cuánto pagaría finalmente la empresa por la mercancía? Cuál sería el porcentaje final aplicado al precio inicial? El presupuesto ascenderá a: 0,2 0,0 250, 250, 2,0 Si lo pagase al contado, se quedaría en: 0,95 2, 225, ,90 0,0 0, 0 00,% de descuento fue el porcentaje final aplicado. 250

20 .87 En un banco se depositan 000 euros al 5% de interés simple anual. a) Cuánto pagará el banco al cabo de años? b) Y de 9 meses? c) Y de 08 días? a) Interés anual: 000 0, euros Interés en años: euros 9 b) Interés en 9 meses: euros 2 c) Interés en 08 días: euros 0.88 Halla en qué cantidad se incrementarían 000 euros depositados en una cuenta corriente durante años a un interés simple anual y a un interés compuesto anual del %. Compara el resultado y coméntalo. A un interés simple anual: Interés anual: 000 0,0 80 euros Interés en años: euros Capital final: euros A un interés compuesto anual: C = ,0 787, euros Es mayor el capital final si se deposita a un interés compuesto. Es lógico, ya que con esta modalidad los intereses de cada año se añaden al capital inicial para generar nuevos intereses..89 Halla el tiempo que han estado ingresados 2500 euros en una cuenta si han producido unos intereses de 250 euros al,5% anual, en los casos de que sea un interés simple o compuesto. Interés simple: t 0,05 t 2,8. Han estado aproximadamente años. Interés compuesto: ( 0,05) t,05 t, t 2,77 años. Por tanto, aproximadamente el mismo tiempo..90 Reparte de forma inversamente proporcional a los siguientes números. a) 2 y b) 2, y c) 2, y 8 a) 2 k k k k ; b) 2 k k k k k 07, ,92 558, 07,92 92, 07,92 279,2 c) 2 k k 8 k k k 7, ,29 857,5 7,29 28,58 7,29 7,29 8 7

21 .9 En un concurso de pintura rápida se va a repartir la cantidad de 000 euros entre los tres primeros clasificados de manera inversamente proporcional a su lugar en la clasificación. Calcula la cantidad que se llevará cada uno de ellos. k 2 k k 000 k 000 k 272,7 El primer clasificado se lleva 272,7. El segundo: 272,7, Un arquitecto dibuja el plano de una casa a escala :5. En qué porcentaje se han reducido las medidas reales de la casa para trazar el plano? 2, 22 En el 2,22% 5 00 PARA REFORZAR.9 Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razón de proporcionalidad. a) Peso de las almendras (g) Precio ( ) 2,5 7, r 2, 5 b) Gasolina consumida (L) Distancia recorrida (km) r 5.9 Reparte de forma directamente proporcional a los siguientes números. a) y b) 2 y 8 c) 5, 0 y 20 x y a) x 8800; y x y b) x 8800; y x y z c) x 2,8; y 285,7; z 2 57, En un videoclub se han alquilado 5 películas durante el primer fin de semana de julio, de las cuales 27 fueron comedias. En el primer fin de semana de agosto se alquilaron 8 comedias de un total de 52 películas. En cuál de los dos fines de semana fue mayor el porcentaje de comedias alquiladas? 2 7 5,5% 8 52,2% En el primer fin de semana de julio, el porcentaje de comedias alquiladas fue mayor..9 El presupuesto de una cocina es de 7200 euros a los que hay que añadir el % de IVA. Los clientes deben pagar un 0% del importe total en el momento de hacer el encargo. Qué cantidad han de pagar al final? 7200, 852 será el precio de la factura. Como hay que pagar el 0% antes de empezar el trabajo, al terminar se pagará el 0%. 0, ,2 habrá que pagar entonces. 8

22 .97 Al solicitar un préstamo de euros para comprar un coche, Lucía ha estudiado estas tres opciones. a) El banco le ofrece un interés simple anual del,2%. b) El concesionario le presenta un interés compuesto semestral del,5%. c) Una empresa de dinero fácil le garantiza un interés compuesto del 2,% anual. Si en los tres casos saldara su deuda en años, qué opción sería más conveniente para Lucía? a) C ( 0,02) 5 8 b) C 2 000, ,9 c) C , ,52 La más conveniente es la que le ofrece el banco..98 Estudia si son inversamente proporcionales las magnitudes A y B dadas en las siguientes tablas. a) b) A 2 8 B ,5 A 9 B a) ,5. Son inversamente proporcionales. b) Son inversamente proporcionales..99 Reparte 8500 de forma inversamente proporcional a los siguientes números. a) y 2 c), y 8 b) y d) 2, y a) k 2 k k 8500 c) k k 8 k 8500 k k 5,7 k 8,82 2 5,7 28, 8,82 55, 8,82 772,7 8 b) k k 8500 k 8500 d) 2 k k k 8500 k k k 9272, ,7 9272,7, , 9272,7 28,8 9272,7 55, 9

23 PARA AMPLIAR.00 Completa las tablas conociendo la razón de proporcionalidad de las magnitudes relacionadas. a) r 0,75 x x 0,75 x,75 8 y 0,75 y 8 8 y b) r 2,5 x x 2,5 x 5 25 y 2 5 2,5 y 0 y.0 Qué porcentaje hay que aplicar al 5% de 0 para obtener 55,07? 0, x 20 55,07 x 27% Después de 50 días a un interés compuesto del,2% anual, la cantidad que figura en una cartilla de ahorros es de 298,57 euros. a) Cuál ha sido el capital inicial? b) Qué interés hubiera sido necesario, durante el mismo tiempo, para que al final hubiera 000 euros? c) Si se quisiera duplicar los 298,57 euros en la mitad de tiempo a partir de ahora, qué interés debería ofrecer el banco? 50 a) 298,57 C 0, b) , i 0 00 i 0, i,7% c) 597, 298,57 i 0 00 C ,57 29,,08 50 i 0 00 i 0, i,07% 0 00 i,2079, i 0 00 i 225 2, El 0% del 70% de x es 00,. Halla x. 0, 0,7 x 00, x 25.0 Calcula el tiempo por el que se ha contratado una oferta bancaria si por depositar 5000 euros se han obtenido unos intereses de 2,2 euros al % de interés compuesto t ,2,0 t,25 t años 00 t 2, t,25 50

24 .05 Con el fin de obtener dinero para el viaje de fin de curso, 5 amigos deben montar unas cajas de regalos. Han tardado horas en hacer 50 cajas. Como deben montar 00 cajas y solo disponen de dos horas más, cuántos compañeros más deben participar para conseguir el objetivo? 5 amigos h 50 cajas x amigos h 00 cajas x x 20 amigos deben participar en total. Por tanto, 5 compañeros más. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.0 Reparto de escaños Para repartir los escaños entre los partidos políticos que se presentan a unas elecciones, algunos países utilizan el sistema proporcional puro. Este método consiste en realizar un reparto proporcional al número de votos obtenidos y, en un principio, adjudicar a cada partido tantos escaños como indique la parte entera del número obtenido en el reparto. Si después de este reparto quedaran escaños por asignar, estos se irán adjudicando, hasta agotarse, a aquellos partidos con mayor parte decimal en el reparto inicial. Observa los resultados de las últimas elecciones y reparte 2 escaños entre los cuatro partidos. Partido político Votos A B C 5 5 D Partido político Número de votos Número de escaños Reparto proporcional.ª Reparto aproximación definitivo A , 0 85 B , C , D ,

25 .07 El premio a una carrera En una carrera se ofrece un premio de 80 euros para repartir entre los tres primeros clasificados. El comité organizativo ha aprobado los siguientes criterios. El primer clasificado debe recibir más dinero que el segundo, y éste, más que el tercero. Cuantas más horas semanales de entrenamiento certificadas por el inspector de la carrera, mayor premio se debe recibir. Observa el resultado de la prueba. Yo tengo 2 horas semanales certificadas. Pues yo tengo 5. Yo tengo horas. Finalmente, se decide que la cantidad a recibir sea directamente proporcional al cociente entre las horas de entrenamiento y el puesto conseguido. Calcula cuánto dinero obtendrá cada corredor y comprueba si se han cumplido los criterios iniciales aprobados por el comité. La tabla siguiente muestra el resultado de la prueba: Corredor Puesto Entrenamiento A 2.º horas B.º 2 horas C.º 5 horas Se trata de un reparto proporcional a y 5 Los corredores A y B reciben cada uno El C recibe euros euros. Por tanto, el reparto ha quedado del siguiente modo: Corredor Puesto Entrenamiento Premio A 2.º horas 20 B.º 2 horas 20 C.º 5 horas 200 Observamos que no se cumple ninguno de los criterios iniciales aprobados por el comité, ya que: El primer clasificado no recibe más dinero que el segundo. El corredor que ha recibido menor premio es el que tenía más horas de entrenamiento certificadas. 52

26 AUTOEVALUACIÓN.A Calcula la constante de proporcionalidad y completa la tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales. 5 k 0 2 A 2 5 B A2 Indica si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales, y calcula la constante de proporcionalidad. a) A 2 b) B 8 2 C 0 0 D a) Son directamente proporcionales porque: 2 2 k, b) Son inversamente proporcionales porque: k 250..A Calcula x en los siguientes casos. a) x es el 8% del 7% de 00. b) El % de x es 0,80. c) El x% de 00 es 57. a) x 0,08 0,7 00,88 b) x 0, c) x % 00.A.A5.A.A7 Halla el importe del alquiler mensual de una vivienda por la que se pagaban 0 euros sabiendo que desde principios del año actual ha subido un 2%. Actualmente se paga: 0,2 7,80. Cuánto costará una lavadora de 25 euros que, por ser la de exposición, se encuentra rebajada un 8%? Después del descuento cuesta: 25 0,82 8,50. Un empresario decide repartir unos beneficios de 800 euros entre sus tres empleados de forma directamente proporcional al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 2, y 2 años. Qué cantidad le corresponderá a cada uno? x y z 8 00 x 80 para el que lleva 2 años en la empresa y 0 para el que lleva años. z 2880 para el más antiguo. En un concurso de poesía se van a repartir 00 euros entre los tres participantes con mejor puntuación. El reparto será de manera inversamente proporcional al lugar que ocupen en la clasificación. Calcula la cantidad que recibirá cada uno de ellos. k 2 k k 00 k 00 k 800 euros El primer clasificado se lleva 800. El segundo: El tercero:

27 .A8 Leo ha prestado euros a un amigo, el cual se los devolverá en meses con un interés simple del 0,% anual. Halla la cantidad total que recibirá Leo. C , recibirá Leo..A9 Calcula el interés que producen 2800 euros a un interés compuesto del,% durante 5 años. 5 C 2800, 00 0,28 i 0, ,28 de interés Entretenido EL JUEGO DE LOS QUINCE En su libro Aventuras matemáticas, Guzmán saca mucho partido a este juego, que causó furor a finales del siglo XIX. Tú mismo puedes fabricar uno:. Pinta una cuadrícula de x. 2. Recorta 5 fichas de cartón un poco más pequeñas que las cuadrículas y escribe en ellas los números del al 5.. Colócalas en la cuadrícula igual que en la figura A. El juego consiste en deslizar las piezas sin levantarlas, aprovechando el hueco, para conseguir colocar los números como en la figura B. El creador del juego ofreció una enorme suma de dinero al primero que le presentase una solución. Lo consigues tú? Miguel de Guzmán, en su libro Aventuras matemáticas, saca mucho partido a este juego, al que dedica un capítulo completo. Si los alumnos se han fabricado un juego de los 5, después de un rato largo jugando puede que empiecen a sospechar que el inventor del juego tenía asegurado su dinero: no se puede conseguir el objetivo propuesto. Una forma más sencilla de abordar este problema es reduciendo la dificultad del tablero. Si en lugar de trabajar con una cuadrícula de lo hacemos con una de 2 2 (de la que surgirá el juego de los ), comprobaremos que es imposible llevar a cabo la tarea propuesta

28 Haciendo todos los movimientos posibles hasta llegar a terminar con el cuadro vacío en la parte inferior derecha, vemos que de la posición de partida se puede llegar a: 2 O bien a: 2 Pero nunca a ninguna de estas otras tres opciones: