SOLUCIÓN Se trata de un problema de programación lineal. Organicemos los datos en una tabla: FÁBRICAS Nº DE HORAS SILLAS MESAS TABURETES COSTE

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1 Se trata de un problema de programación lineal. Organicemos los datos en una tabla: FÁBRICAS Nº DE HORAS SILLAS MESAS TABURETES COSTE A x x x 4x 500x B y 4y y y 00y Condiciones: x 0, y 0 x 4y 80 x y 4x y 96 F x,y 500x 00y La función objetivo es F x,y 500x 00y (coste) que debe ser mínimo. El conjunto de restricciones a las que debe estar sometida la solución son: x 0, y 0, x 4y 80, x y, 4x y 96 Obtengamos, gráficamente, la región factible (solución del conjunto de restricciones): A 4x + y = 96 B x + y = REGIÓN FACTIBLE C x + 4y = 80 - La recta x 0 es el eje de ordenadas y la inecuación x 0 tiene por solución el semiplano de su derecha (en blanco) - La recta y 0 es el eje de abscisas y la solución de la inecuación y 0 es el semiplano superior (en blanco). - La recta x 4y 80 pasa por los puntos 80,0 y 0,0. La solución de la inecuación x 4y 80 es el semiplano en el que no está el origen de coordenadas (en blanco). - La recta x y pasa por 60,0 y x y tiene por solución el semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas (en blanco). D 0,40. La inecuación

2 - La recta 4x y 96 pasa por los puntos 4,0 y semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas (en blanco). 0,48. La inecuación 4x y 96 tiene por solución el La región factible (en blanco) es una región abierta de vértices A, B, C, y D. La función objetivo se optimiza en alguno F x,y 500x 00y de sus vértices. Obtengamos las coordenadas de los vértices y el valor de la función objetivo en ellos: x 0 4x y 96 Vértice A: Vértice B: A 0, 48 F 0, x y 96 x y 48 6 y 7 y 6 x 6 x y x y B 6,6 F 6, Vértice C: x y x y 5y 40 y 8 x x 4y 80 x 8y 60 C 48,8 F 48, y 0 x 4y 80 Vértice D: D 80, 0 F 80, Por lo tanto, el coste mínimo, de 45000, se obtiene al trabajar 6 horas la fábrica A y 6 horas la fábrica B. SOLUCIÓN a) Al tratarse de una función racional, su dominio es menos los valores de x que anulen al denominador. En nuestro caso: b) x x x 0 x x como x 0 x excepto para x en que se anula: x 0 x Por tanto, la función es positiva para x,, c) Asíntotas verticales: x pues x x lím x x x x Asíntotas horizontales: no tiene pues lím x x Asíntotas oblicuas y mx n : x x f(x) x x x x x x x x m lím lím lím x x n lím f(x) mx lím lím lím x x x x 4x 6 x 4x 6 4 x x x x 4x x x 7x 7

3 d) luego 7 y x es una asíntota oblicua de la función. 4 x x x x x x 4x 6x 4x 6 x 4x f(x) f' x x x x x f''(x) x 6x x x 4 0 x x 4x 6 x x 6x 8 x f''( 4) 0 x 4 máximo x Por lo tanto la función tiene un máximo relativo en el punto 4 4 f''() 0 x mínimo 4, 5 y un mínimo relativo en, 0. SOLUCIÓN Organicemos los datos en una tabla de contingencia. Para un total de 00 coches vendidos, María habrá vendido 00 0,55 = y Pedro 00 0,45 = 90. De los coches vendidos por María, 0,60 = 66 son del modelo A, 0,0 = son del modelo B y 0, = del modelo C. De los 90 coches vendidos por Pedro, 90 0,50 = 45 son del modelo A, 90 0,0 = 8 del modelo B y 90 0,0 = 7 del modelo C. A B C TOTAL MARÍA (M) 66 PEDRO (P) TOTAL P M B 0,65 00 a) 5 P B 0,55 00 b) P M / B 0,647 5 c) d) El suceso al menos una de las dos ventas es de María es el suceso contrario al suceso ninguna de las dos ventas es de María. Como además hay reposición, los dos sucesos son independientes P M M P M P M 0,05 P 0,05 0,

4 a a 4 Las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, B, son: a a. a Utilizaremos el método de Gauss para obtener sus rangos: a a 4 a a a a a a a 0 a a a 0 a a 5 a a a 4 0 a a 0 a a F F F F F F F F F : a a F F a a 5 a a a a a a a a a 0 a a, a Si a y a : rg A rg B el sistema es compatible determinado. Si a : rg A y rg B rg A rg B el sistema es incompatible. Si a : 0 rg A rg B nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. Según la discusión, para a el sistema es compatible determinado y equivalente al sistema: x y z y z z, y, x y z z 4

5 9 8 9x 8 x x 9x 8 B (x) x x x x a) x 9x B (x) 0 x 9x 8 0 x x La función es continua en el intervalo de estudio, pues su único punto de discontinuidad está en x 0. Como la función se anula en x y en x 6 6,. Por ejemplo, en x : negativa en, el signo de la función se alternará en los intervalos,,, 6 y 9 8 B () 0 4. Luego la función es negativa en,, positiva en 6,. Por lo tanto, el beneficio es positivo para x, 6 b) Veamos dónde alcanza su máximo la función:. x 9 x x 9x 8 x x 9x x 8x 6x 9x 6 B' (x) 0 x 4 (punto crítico) 4 4 x x x 9x 9x 6 x B'' (x) B'' (4) 0 x 4 6, es un máximo relativo de la función. x En x 4, el valor de la función es: 6, 6 y B 4 0,5 y como en los extremos del B 9 8, B 0,8, la función tiene su máximo absoluto en x 4. 0 intervalo: Por lo tanto el valor del juguete debe ser de 4 para maximizar el beneficio que será de 0,5. c) 9 8 x 8 dx 9 dx 8 x dx dx 9 lnx 8 x 9 lnx x x x x x x x x dx 9 lnx x 9 ln 9 ln 8 9 ln,8 8 9 ln 5, 5

6 a) Los sucesos A y B no son independientes porque p (A) p (A / B) p A B p Bp A / B 0,8 0,7 0,56 p A B pa pb p A B 0,6 0,8 0,56 0,84 b) Puesto que la población de referencia es normal, el intervalo de confianza para la media de la población, μ, es: σ σ x z α, x z α n n En nuestro caso, la desviación típica de la población es σ 6 euros y el tamaño de la muestra es de jóvenes. La media muestral x la calculamos: 4,5 6,5 8,5,5 5 6,5,5 9,5 55,5 x 5,55 Obtengamos el valor crítico z / correspondiente al nivel de confianza del 94%: α / α 0,94 α / 0,06 0,94 0,94 0,06 0,0 0,0 0,97 z α/ Buscamos en la tabla el valor 0,97 y el más próximo (0,9699) se corresponde con un valor crítico de,88. El intervalo de confianza para la media de la población es entonces: 6 6 5,55,88, 5,55,88,98, 9, Es decir, con un nivel de confianza del 94%, la media del gasto semanal en ocio de los jóvenes de la ciudad está entre,98 y 9,. 6