+ ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( )

Transcripción

1 latrals n. iguals. f. La función CONTINUIDAD f () Es continua n l punto?. Calcular los límits ³ ² 5 Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f Calculamos por sparado cada mimbro d la igualdad f R f () no ist 3 5 Para qu una función tnga límit n un punto, dbn istir los límits latrals y admás sr f f f ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) f No ist f La función f() tin una discontinuidad no vitabl d salto infinito n : ². Estudiar la continuidad d la función f () ² 3 La continuidad d una función s studia n los puntos cluidos dl dominio y n lo puntos frontra n l caso d funcions por intrvalos. D { R / 3 } 3 Rsolvmos la cuación d sgundo grado 3 3 : D R { 3,} 3 Continuidad n 3. Para qu la función sa continua n 3 s db cumplir: f f 3 3 ( 3) ( 3) ( 3) Calculamos por sparado cada mimbro d la igualdad 3 f ( 3) R f (3) no ist 3 Para qu una función tnga límit n un punto, dbn istir los límits latrals y admás sr iguals. ( 3) 3 3 f ( ) ( ) ( 3 ( 3 ) ( ) f : 3 ( 3) 3 3 f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 f No ist f f La función f() tin una discontinuidad no vitabl d salto infinito n 3 Continuidad n. Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f Calculamos por sparado cada mimbro d la igualdad f () R f () no ist 3 iguals. Para qu una función tnga límit n un punto, dbn istir los límits latrals y admás sr f f f 3 ( 3) ( ) ( 3) ( ) ( 3) ( ) ( 3) ( ) 5 5 : 3 3 f f No ist f La función f() tin una discontinuidad no vitabl d salto infinito n sn 3. Sa la función f() m sn n cos continua para todo. si π si π < < π. Dtrminar m y n d modo qu sa si π Por sr una función por intrvalos dfinida por prsions continuas, la continuidad s studia π π n los puntos frontra y Para qu la función sa continua n π/: π f f f π π Para calcular stos límits hay qu tnr n cunta las prsions d la función por la izquirda (valors mnors) y la drcha (valors mayors) d π/ Sí π/ < π/ y f() sn Sí π/ > π/ y f() m sn n Sí π/ f() sn Sustituyndo n la igualdad: π sn π π ( m sn n) sn Rsolvindo los límits s obtin una cuación con dos incógnitas π π sn m sn n m n Rpitindo l mismo procso n π/, s obtin una sgunda cuación con las mismas incógnitas, por lo qu s pud plantar un sistma y hallar los valors d m y n.

3 Para qu la función sa continua n π/: π f π π f f Para calcular stos límits hay qu tnr n cunta las prsions d la función por la izquirda (valors mnors) y la drcha (valors mayors) d π/ Sí π/ < π/ y f() m sn n Sí π/ > π/ y f() cos Sí π/ f() cos Sustituyndo n la igualdad: π ( m sn n) π π cos cos Rsolvindo los límits s obtin una cuación con dos incógnitas π π m sn n cos m n Los valors d m y n s obtinn mdiant l sistma: m n :Sol. m, n m n Para qu la función sa continua su prsión db sr: sn si π f() sn si π < < π. cos si π. Dtrminar los puntos d discontinuidad d las funcions f () y g() 3 ( 3)² indicando gráficamnt l comportaminto d cada una d llas n un ntorno d los puntos d discontinuidad. f () D[ f ()] R {} 3 f ( 3) Comportaminto latral: f 3 f f f f No f Discontinua no vitabl 3

4 g() [ ] { } ( 3) D g() R 3 g ( 3) Comportaminto latral: g f 3 f f f Discontinua no vitabl 3 ( 3 3) ( 3 3) ( ) ( 3 3) ( ) f Estudiar n l campo ral la continuidad d la función f () si. ² si > La función stá dfinida por prsions continuas, por lo cual l único punto dond s db studiar la continuidad s n l punto frontra ( ). Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f f ( ) f f La función prsnta una discontinuidad no vitabl n cro por carcr d límit n s punto (sus límits latrals son distintos) Si < 6. Dtrminar a y b para qu la función f () a b Si 3 sa continua. 5 Si > 3 La función stá dfinida por prsions continuas, por lo cual los únicos puntos dond s db studiar la continuidad s n los puntos frontra ( ; 3). Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f f ( ) ( a b) a b b : b

5 Para qu la función sa continua n 3 s db cumplir: f 3 f f () 3 a 3 b a b a b 5 3: 3a b Las condicions d continuidad n y 3 prmitn plantar un sistma d cuacions. b : a 3a b 3 Para qu la función sa continua n todo R dbrá tnr la prsión: Si < f () Si Si > 3 Ln Sí < < 7. S considra la función f (). Dtrminar los valors d a y b a b Sí < para qu f() sa continua y f () 3. (Ln logaritmo npriano). Para qu la función sa continua n l intrvalo (, ), db s continua n su punto frontra ( ), n los dmás puntos dl intrvalo s continua por dfinición. (Ln s continua por dfinición n (, ); a b s continua n todo R) Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f f Ln Ln Ln a ( a b) b : a b La sgunda rlación ntr los parámtros s obtin dl dato f () 3. f() a b 3: a b 3 Las dos rlacions prmitn plantar un sistma d cuacions. a b : a ; b a b 3 Para qu la función sa continua y cumpla qu f () 3, su prsión db sr: Ln Sí < < f () Sí < Sí a 8. Estudiar para qué valors d a la función: f () s continua. Sí > a Para qu la funcions continua n todo R, db sr continua n a (Punto frontra). Para qu la función sa continua n a, db cumplir: f ( a) f f a a a ( ) a a a a : a a a : rsolvindo por la cuación d sgundo grado: a 5

6 si 9. Dada la función f() Ln studiar la continuidad n l punto. si Para qu f () sa continua n s ncsario y suficint qu: lim f f por lo tanto habrá qu obtnr l lim y vr si s o no igual a. ln Para obtnr l límit antrior s aplica la rgla d L Hôpital,, y para llo s db ponr n forma d cocint: ln - ln ln ( ) ln lim f lim lim lim lim ( ) ln L`H ln ( ) ln ( ) L`H ln lim lim ln ln La función no s continua n por qu lim f f ().. Sa f () a) Dominio d f b) Valor qu hay qu asignars a f() para qu la función sté dfinida y sa continua n l intrvalo crrado [½,½]. a) El dominio d la función db cumplir dos condicions:. >, para qu ista la raíz y no la anula (sta n l dnominador)., para no anular l dnominador. > > D (, ) { } f b) Para qu la función sa continua n cro db cumplir: ( ) f L'H 3 ( ) ( ) 3 ( ) La prsión d la función s: f () Sí Si, {} 6

7 . Dtrminar los valors d a y b, y l valor d f() para qu la función f(), qu s dfin a continuación, puda sr continua: sn Sí < a f () b Sí < Sí > Las condicions d continuidad n y n prmitn calcular los parámtros a y b. S mpiza por, para calcular l valor d b. Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f f ( b ) b b : b Tnindo n cunta l valor d b, para qu sa continua n s bb cumplir: f f f sn f ( ) a Los límits s calculan por sparado: ( ) ( ) ( ) sn sn cos sn cos cos a L H a a L H a a? Indtrminación qu s rsulv igualando l límit a K y tomando logaritmos nprianos n los dos mimbros d la igualdad, lo cual prmitan bajar la dl ponnt y transformar la indtrminación a, indtrminación qu a su vz s transforma n. Si ( ) K Ln K Ln ( ) ( Ln ) ( Ln ) ( ) Ln K k a Calculados los límits latrals s igualan y s calcula l valor d a y d f (). sn : a f ( ) a a a f sn Sí < Sí Sustituyndo s obtin la prsión d la función. f () Sí < Sí > Ln ( ) L H 7

8 8. S considra la función ral d variabl ral dfinida por f (). Calcular l valor qu ha d asignars a f(o) para qu f sa continua. Nota. La notación a rprsnta l valor absoluto d a. Lo primro srá quitar los valors absolutos trasformando la prsión por intrvalos, tnindo n cunta qu no ist qu no ist la división por cro. > < sí sí K sí f () Para qu la función sa continua n cro s db cumplir: f f f Sustituyndo por la prsión d cada uno K Calculo d límits: * * La transformación s hac dividindo numrador y dnominador por. f () La prsión d la función s: > < sí sí sí f () 3. Para qué valors d tin sntido la prsión 8 () f. Es continua la función f? S pid l dominio d la función. [ ], : : f D La función s continua n [, ].

9 . (Calificación máima: puntos). En cada uno d los siguints apartados indicar un jmplo qu mustr qu l nunciado s falso. Justificar la rspusta a) ( punto) La suma d dos funcions discontinuas s una función discontinua b) (Punto) Toda función continua s drivabl a. Falso. f : g. f() y g() tinn una discontinuidad no vitabl n, dbido a qu n st punto los límits latrals d ambas funcions son distintos y por tanto no tinn límit. No ist. Discontinua no vitabl f No ist. Discontinua no vitabl g ( ) ( ) Continua n todo R por sr polinómica. b. Falso. f(). Continua n todo R pro no drivabl n. Si < f Si En : f f. Continua Si < f Si > : f ( ) f ( ). No drivabl 5. Un comdiant vnd un dtrminado producto. Por cada unidad d producto cobra la cantidad d 5 pstas. No obstant, si s l ncargan más d unidads, dcid disminuir l prcio por unidad y por cada unidads cobra la siguint cantidad: 5 Si < C () a² 5 Si > S pid: a) Hallar a para qu l prcio varí d forma continua al variar l númro d unidads qu s compran. b) A cuánto tind l prcio d una unidad cuando s compran muchísimas unidads? a. Para qu la función sa continua n : f f f 5 5 a 5 5 a 5 Elvando al cuadrado s dspja l valor d a. 5 a 5 : 5 a 5 : a 5 Si < C () ² 5 Si > 9

10 b. El prcio por unidad (U()) vin prsado por: C U El prcio por unidad cuando s compran muchísimas, vin prsado por: C U

11 TEOREMA DE BOLZANO. Probar qu la función f() 3 ² 5 tin al mnos una raíz ral n l intrvalo (,). f() s continua por tratars d una función polinómica, admás: f 3 3 () 5 : f 5 La función cumpl l torma d Bolzano n l intrvalo [, ], la función s continua por sr polinómica y cambia d signo n los trmos dl intrvalo, f() <, f() > ; por lo tanto ist al mnos un valor c (, ) tal qu f(c). Calcular n Z, tal qu f(c) para algún c (n, n ) sindo: a) f() 3 3 b) f() 5 5. Por tratars d funcions polinómicas, continuas n todo R, bastará con ncontrar dos valors ntros conscutivos n los qu la función cambi d signo. a. f() () 3 () 3 3; f() () 3 () 3 3 c (, ). b. f() (5) 5 5(5) (5) 9; f() () 5 5() () 9 c (5, ). 3. Eplicar por qué una función polinómica d grado impar tin simpr una raíz, al mnos. Todas las funcions polinómicas son continua n R, sí admás s d grado impar, los límits n ± tinn distinto signo, por lo tanto, simpr istirá un intrvalo [M, M] n l qu la función cambi d signo y cumpla l torma d Bolzano, istindo un valor c (M, M) n l qu f(c).. Probar qu la función f() sn s continua para todo R. Probar qu al mnos tin una raíz ral. La función f() s pud prsar como suma d las funcions g(), y h() sn. g() por sr polinómica y h() por sr trigonométrica dl tipo sno, son continuas por dfinición. El álgbra d las funcions continuas dic qu la suma d dos funcions continuas s otra función continua, por lo tanto f () s continua por sr suma d funcions continuas. Para dmostrar qu f() tin una raíz ral, sindo continua, basta con ncontrar un intrvalo n l qu la función cambi d signo. f () sn < f () sn sn > c (, ) tal qu f(c) π 3π 5. La función tg f() toma valors d distinto signo n los trmos dl intrvalo, sin mbargo no s anula n él. Contradic sto l torma d Bolzano? No contradic l torma d Bolzano pusto qu la función f() tg no s continua n l intrvalo propusto. π π π 3π El dominio d la función s R π k ; k Z., π π f tg R π tg tg π No tg π π tg tg π La función prsnta una discontinuidad no vitabl n π/ y

12 6. Supongamos qu f() y g() son funcions continuas n [a, b] y qu f(a) < g(a) pro qu n cambio f(b) > g(b). Probar qu f(c) g(c) para algún númro c (a, b). Es una custión tórico práctica con un componnt bastant lvado d ida fliz. Partindo d lo qu s pid dmostrar: f(c) g(c) También db cumplir: f(c) g(c) A la vista d lo qu s pid dmostrar, s dfin H() f() g(). La función H() s continua n l intrvalo [a, b] por sr rsta d dos funcions continuas n st intrvalo, admás: f a < g a H a f a g a < f ( b) < g( b) H( b) f ( b) g( b) < H() alcanza n los trmos dl intrvalo valors d signo opusto. Conclusión: Sindo H() continua n l intrvalo [a, b], y alcanzando valors d signo contrario n los trmos dl intrvalo, l torma d Bolzano asgura la istncia d al mnos un punto intrior dl intrvalo dond s anula la función. c a, b / H c Tnindo n cunta la prsión d la función: H(c) f(c) g(c) f(c) g(c) 7. Supongamos qu f() s una función continua n [, ] y qu < f() < para todo istnt n [, ]. Probar qu ist un c (, ) tal qu f(c) c. Partindo d lo qu s pid dmostrar: f(c) c También db cumplir: f(c) c A la vista d lo qu s pid dmostrar, s dfin H() f(). La función H() s continua n l intrvalo [, ] por sr rsta d dos funcions continuas n st intrvalo, f() lo s por los datos dl nunciado y lo s por sr una función polinómica. Admás:, f > H f > [ ] [,] f < H f < H() alcanza n los trmos dl intrvalo valors d signo opusto. Conclusión: Sindo H() continua n l intrvalo [, ], y alcanzando valors d signo contrario n los trmos dl intrvalo, l torma d Bolzano asgura la istncia d al mnos un punto intrior dl intrvalo dond s anula la función. c, / H c Tnindo n cunta la prsión d la función: H(c) f(c) f(c) c Dmostrar qu algún valor d qu vrifica: 79 9 ²sn² Para dmostrar qu una cuación tin solución ral s pud transformar la cuación n función y dmostrar qu cumpl las condicions dl torma d Bolzano. Sa f , función qu s pud dscomponr n suma d: ²sn² g 9 y h ²sn²

13 g() s continua por tratars d una función polinómica. h() s continua por tratars d un cocint d funcions continuas n l qu nunca s anula l dnominador ( sn > R). f() s continua por sr suma d dos funcions continuas. 79 π π f 9,7 < π π sn f 9 > sn Sgún l torma d Bolzano, si una función s continua n un intrvalo crrado y alcanza valors d signo contrario n los trmos dl intrvalo, n al mnos un pinto intrior dl intrvalo s anula la función. π c, / f () c : f () c c 9 c 9 c sn c c sn c 9. S considra la cuación 3 λ. Utilizando l Torma d Bolzano d los valors intrmdios: a) Probar qu si λ >, la cuación admit alguna solución mnor qu. b) Probar qu si λ <, la cuación admit alguna solución mayor qu. S dfin la función f() 3 λ, continua n todo R por sr polinómica. f() 3 λ λ Si λ > λ > y como f tanto, db istir un valor c (, ) tal qu f(c). Si λ < λ < y como f ( ) db istir un valor c (, ) tal qu f(c)., la función s continua y cambia d signo, por, la función s continua y cambia d signo, por tanto,. Sa f () sn( π/). Es cirto qu la función f s anula n algún punto comprndido ntr 3 y? Enunciar l rsultado tórico n l qu s basa la rspusta. f() s una función continua por sr suma d funcions continuas. g : Polinómica Continua π : f g h : Continua h sn : Trigonométrica Continua 7 6 3π f () sn < 7 6 π f ( ) 3 sn 96 > La función f() cumpl las condicions dl torma d Bolzano n l intrvalo [3, ], por lo tanto ist un valor c (3, ) tal qu f(c). 3