Algoritmos Auto-sintonizables Para Robots Manipuladores

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1 Algoritmos Auto-sintonizables Para Robots Manipuladores Tesista: Miguel Angel Limón Díaz Asesor: Dr. Emilio Jorge González Galván (UASLP) Asesor: Dr. Fernando Reyes Cortés (BUAP) Doctorado en Ingeniería Eléctrica, Universidad Autónoma de San Luis Potosí Agosto de 216 Resumen El problema de sintonización de las ganancias de control es un tema de interés para la comunidad y que aun no está agotado, ni resuelto como tal. En este escenario las ganancias se convierten en funciones de las variables de estado de error de posición y velocidad articular. Uno de los principales objetivos en el control de robot manipuladores es el control de movimiento o control de trayectoria. El control de movimiento es usado cuando el brazo del robot se mueve en espacio libre siguiendo una trayectoria deseada sin interaccionar con el medio ambiente. En este trabajo se aborda como parte preliminar la investigación bibliográfica correspondiente al control de movimiento tomando como caso particular el control de posición para un regulador de ganancias variables, desarrollando el análisis de estabilidad mediante el método directo de Lyapunov mostrando una función candidata estricta así como el diseño de las matrices de ganancias, además se presentan resultados experimentales con un robot de transmisión directa. 1 Introducción Un problema básico en el control de robots es conocido como control de movimiento. El objetivo principal del control de movimiento en espacio articular es que el manipulador siga una posición deseada que varía en el tiempo tal que las variables de estado del error de posición y la velocidad tiendan asintóticamente al punto de equilibrio conforme el tiempo tiende a infinito. Para resolver esta problemática han surgido controladores de movimiento con rigurosas pruebas de estabilidad reportados en la literatura y en libros de texto de robótica [1 7]. En general estos controladores se caracterizan por la presencia explicita de un controlador lineal tipo PD. Cabe destacar que este tipo de controladores requieren el conocimiento explícito de la dinámica nominal del sistema a controlar, por lo que técnicas de identificación paramétrica son requeridas para llevar a cabo este tipo de estrategias de control de movimiento. Existen controladores que no presentan explicitamente el termino lineal como en el caso del controlador llamado par calculado, además este controlador permite obtener una ecuación de malla cerrada lineal en términos de las variables de estado, la ecuación correspondiente al controlador par calculado está descrita por: τ = M(q)( q d + K p q + K v q) + C(q, q) q + g(q). (1) Este controlador no lineal en las variables de estado permite describir el sistema de control en malla cerrada 1

2 mediante una ecuación diferencial lineal, por lo que es capaz de satisfacer el objetivo de control de movimiento de forma global eligiendo de manera trivial los parámetros de diseño. La ecuación de malla cerrada se obtiene sustituyendo termino de la ecuación del par calculado dentro de la ecuación del modelo del robot y suponiendo que se puede cancelar de manera exacta del modelo dinámico que se encuentran en el lazo de retroalimentación, el control de par calculado linealiza el sistema teniendo como resultado la siguiente ecuación: q + K p q + K v q =, (2) en términos del vector de estado puede describirse como: [ q q] [ ] ] d I =, (3) dt K p K v [ q q donde I R n n. Se observa claramente que la ecuación de malla cerrada representa una ecuación diferencial lineal y autónoma, cuyo único estado de equilibrio es el origen, al cual es posible obtener estabilidad exponencial si las matrices K p y K v, son simétricas y definidas positivas. 2 Desarrollo del tema Un problema abierto que aun prevalece está relacionado con la sintonización automática de dichas ganancias. El moldeo de energía considera ganancias constantes en la estructura de control, una generalización de esta técnica para abordar el problema de auto-sintonía de las ganancias es proponer una función estricta de Lyapunov, donde la energía potencial artificial incluía la ganancia proporcional como función de las variables de estado. En lo que respecta al estado del arte en materia de control de movimiento, aun prevalecen problemas abiertos en estructura y autosintonía. De manera formal, el problema de control de trayectoria con sintonía automática de las ganancias consiste en encontrar una ley de control tal que el extremo final del robot pueda seguir una trayectoria programada dentro de su espacio de trabajo sin importar las condiciones iniciales. Entonces el error de posición y de velocidad asintóticamente convergen a cero cuando el tiempo evoluciona a infinito: lim t [ q(t) q(t) ] y además K p ( q), K v ( q) tienden a una constante. Considere la ecuación general de un robot manipulador con eslabones rígidos de n grados de libertad M(q) q + C(q, q) q + g(q) = τ (4) donde q, q y q R n son los vectores de posición, velocidad y aceleración articular, respectivamente, τ R n es el vector de pares aplicados, la matriz de inercia del robot manipulador M(q) simétrica y definida positiva de orden n n, C(q, q) es la matriz de fuerzas Centripetas y de Coriolis de orden n n, g(q) es el vector de pares gravitacionales de orden n 1 obtenido como el gradiente del la energía potencial del robot manipulador U(q). La siguiente estructura de control que puede verse como una generalización del controlador lineal PD+ permitiendo que la matriz de ganancia proporcional y derivativa K p ( q) y K v ( q) sean matrices de funciones no lineales dependientes de la configuración del robot. τ = K p ( q) q + K v ( q) q + M(q) q d + C(q, q) q d + g(q) (5) 2

3 donde K p ( q) y K v ( q) son las matrices de ganancias proporcional y derivativa, diagonales de orden n n, cuyos elementos están descritos por k pi ( q i ) y k vi ( q i ), respectivamente, estas son funciones no lineales, pares y durante toda su evolución siempre tienen valores positivos. La ecuación de lazo cerrado del sistema se obtiene sustituyendo la ley de control (5) dentro de la ecuación de la dinámica del robot (4) y está descrita por [ q q] [ ] d q = dt M(q d q) [ 1 K p ( q) q K v ( q) q ] C(q d q, q d q) q la cual es una ecuación diferencial no lineal en general no autónoma debido a que q d (t) y q d (t) son funciones que explicitamente dependen del tiempo, el origen del espacio de estados es el punto de equilibrio. Por lo que si q() = q d () y q() = q d () entonces q(t) = q d (t) y q(t) = q d (t) para todo t el cual viene del concepto de equilibrio por lo que no requiere otro argumento. Para el caso de la generalización para el control por calculado con la matriz de ganancias proporcional y derivativa variables dadas por K p ( q) y K v ( q) se puede escribir por: (6) τ = M(q)( q d + K p ( q) q + K v ( q) q) + C(q, q) q + g(q) (7) Por lo que la ecuación en lazo cerrado del sistema obtenida sustituyendo la ley de control 7 dentro de la ecuación de la dinámica del robot 4 queda descrita por: d dt ] [ [ q = q q K p ( q) q K v ( q) q ]. (8) 3 Resultados experimentales Los resultados experimentales fueron obtenidos utilizando un robot manipulador de transmisión directa de 3 grados de libertad llamado Rotradi mostrado en la Fig. 1. Éste consiste en 3 eslabones de aluminio 661 actuados por motores de transmisión directa sin escobillas. Las características de los servomotores son: 5 Nm para la base, 15 Nm para el hombro y 15 Nm para el codo. Cabe resaltar que en esta ocasión los experimentos se realizaron solo sobre 2 grados de libertad. Figura 1: Robot manipulador experimental. 3

4 Para el caso de la matriz proporcional se elige, para cada elemento de la matriz, funciones continuas de forma exponencial en la que, para evitar la saturación del par máximo del motor, se elige que para un error de posición alto, el valor de la función sea pequeño, y para valores pequeños del error de posición tenga una alta ganancia. Se propone para cada entrada de la matriz la siguiente función donde a i y b i son constantes positivas. k pi ( q i ) = e ai qi +bi ; (9) El valor de b i puede ser usado como cota superior y se calcula de la siguiente manera donde k pu es el valor máximo deseado de k pi ( q i ). b i = log(k pu ) (1) El valor de a i es elegido en función de la posición deseada y el valor del par máximo de los actuadores. ( ) τ max i b i log f(q di ) a i = f(q di ) (11) donde f(q di ) es ek valor de la posición deseada evaluada en la función de entrada del controlador y τi max es el valor del par máximo para la parte proporcional. Para un mejor desempeño es preferible que los motores trabajen en el rango lineal. Para la matriz derivativa se elige una similar a la de K p ( q), pero esta vez dependiente del error de velocidad q. Además para evitar la saturación de los motores, la suma de las matrices de ganancias proporcional y derivativa deberá trabajar sobre el 8% del par máximo de los motores. Los errores de posición utilizando ganancias variables para el control de trayectoria PD+ se muestran en la Fig. 2. El error de posición de la base, a pesar de tener un efecto de control de regulación para mantener la posición inicial, tiene un sobre impulso provocado por el movimiento del codo y del hombro generando sobreimpulsos. Para el caso del hombro el mayor error de posición se tiene al principio de la tarea con sobre impulsos debido a que la base aun no esta completamente estable, después de 2 segundos el valor máximo de error que se obtiene es de.5 grados para todo el seguimiento de trayectoria, especialmente el mayor error se encuentra cerca de los cambios de signo, dado que entra en fricción estática no modelada del sistema. Por último el error de seguimiento para el codo se observan de igual manera los sobreimpulsos durante los primeros instantes de la trayectoria, una vez estabilizada la base tiene un buen desempeño de seguimiento con un error máximo de.25 grados, de igual manera se observa que el máximo error se encuentra cercano a los cambios de signo debidos a la fricción estática no modelada. 4

5 ~q(degree) 2 ~q 1 ~q 2 ~q Figura 2: Errores de posición. La Fig. 3 muestra los errores de velocidad utilizando ganancia derivativa variable, en el caso del hombro el comportamiento del sistema se estabiliza y oscila con un error máximo de 2 o /s, pero en el caso del codo este muestra un transitorio similar al del error de posición, cercana a la velocidad deseada oscila con valores máximos de 7 o /s, cabe destacar que la velocidad promedio es muy cercana a cero y los cambios de velocidad son de alta frecuencia la cual puede ser provocada por el ruido del sistema. 3 2 _~q 1 _~q 2 _~q 3 1 _ ~q(degree/s) Tiempo (s) Figura 3: Errores de velocidad. La Fig. 4 muestra las gráficas de los pares aplicados, no exceden los valores de torques máximos de los motores del robot manipulador la cual es una de las características principales deseadas. Se puede ver claramente que los pares aplicados se encuentran oscilando dentro de una región de 55 Nm para el caso del hombro y de 4.5 Nm en el caso del codo, esta última se aprecia un poco ruidosa dado que el par aplicado tiene el aporte de la velocidad, incluido el ruido. 5

6 = (Nm) 6 = 1 = 2 = Figura 4: Pares aplicados. En la Fig. 5 se muestra el cambio en las ganancias proporcionales al error de posición, tienden al valor máximo de las ganancias, durante los primeros instantes de la trayectoria se muestra como se ajustan las ganancias para reducir los sobreimpulsos mostrados en la gráfica del error de posición una vez ajustados los valores se observan las transiciones en los momentos en el que se tiene mayor error para ajustar la respuesta. 15 K p1 K p2 K p3 1 Kp Figura 5: Ganancias proporcionales. La gráfica del cambio de la ganancias derivativas se muestra en la Fig. 6, para ambos casos, del hombro y codo, el cambio de las ganancias se efectúa muy rápido, a esto se debe el efecto mostrado en el par aplicado y consecuentemente en los errores de velocidad, a pesar de esos el comportamiento del seguimiento de trayectoria se vio mejorado a pesar del ruido mostrado. 6

7 7 6 K v1 K v2 K v3 5 4 Kv Figura 6: Ganancias derivativas. La gráfica de la Fig. 7a muestra la trayectoria deseada y la realizada por el robot manipulador durante el experimento, se observa claramente como tiene un buen desempeño, además se observa en el zoom realizado durante los cambios de signo donde el error es mayor y la magnitud del error es menor a 4.5 mm. -.1 Desired PD+ -.1 Desired Par Calculado y(m) -.6 y(m) x(m) (a) PD x(m) (b) Par calculado Figura 7: Trayectoria realizada. La trayectoria realizada en el experimento con el control par calculado se muestra en la Fig. 7b, se observa que tiene un buen desempeño ya que sigue de manera correcta, el error máximo es de 4 mm que se encuentra en dentro del cambio de signo. Los errores de posición para el control de trayectoria del par calculado con ganancias variables se muestran en la Fig. 8, se ve un pequeño sobreimpulso al inicio, rápidamente se estabiliza teniendo errores menores de.45 grados para el caso del codo y de.2 grados para el hombro, en el caso de la base se le incluyó un control de posición en el origen, los errores máximos ocurren cerca de los cambios de dirección debido a la fricción estática no modelada. 7

8 ~q(degree) 1.5 ~q 1 ~q 2 ~q Figura 8: Errores de posición. La Fig. 9 muestra la gráfica de los errores de velocidad, al principio de la trayectoria se observan transitorios que duran menos de 1 segundo, después los errores para el hombro el error máximo no supera los 2 o /s y para el caso del codo es de 4 o /s, además se observan cambios de alta frecuencia debidos al ruido y el error de velocidad promedio es de.1 o /s. 6 _~q 1 _~q 2 _~q _ ~q(degree/s) Tiempo (s) Figura 9: Errores de velocidad. Los pares aplicados con el control de par calculado se muestran en la Fig. 1, de igual manera el par no supera el torque máximo de los motores, en el caso del hombro llega a 55 Nm y para el codo a 4 Nm, a diferencia del PD+ los pares se muestran sin menos ruido debido a que como se muestra en la gráfica del error de velocidad no se encuentra con tanto ruido. 8

9 = (Nm) 8 6 = 1 = 2 = Figura 1: Pares aplicados. La Fig. 11 muestra la gráfica de la ganancia proporcional variable para el control par calculado de manera similar al PD+ pero con diferentes ganancias en este caso alcanza casi los 15 para el codo y 7 para el hombro. 15 K p1 K p2 K p3 1 Kp Figura 11: Ganancias proporcionales. La gráfica de las ganancias derivativas se muestra en la Fig. 11 toman un valor máximo de 7. 9

10 8 7 K v1 K v2 K v3 6 5 Kv Figura 12: Ganancias derivativas. 4 Programación de actividades 4.1 Actividades realizadas Actividad/Mes Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Investigación Bibliográfica Estancia de Investigación en la BUAP Algoritmos de control de movimiento Envío de artículo 4.2 Actividades a realizar en los próximos meses Actividad/Mes Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. Aceptación y correcciones de artículo Escritura de Tesis Tramites administrativos Bibliografía [1] J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, ser. Addison-Wesley Series in Electrical and Computer Engineering. Control Engineering. Addison-Wesley Publishing Company, [2] M. W. Spong and M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control. John Wiley & Sons Inc., [3] R. Kelly, Adaptive computed torque plus compensation control for robot manipulators, Mechanism and Machine Theory, vol. 25, no. 2, pp , 199. [Online]. Available: 1

11 [4] R. Kelly and R. Salgado, Pd control with computed feedforward of robot manipulators: A design procedure, Robotics and Automation, IEEE Transactions on, vol. 1, no. 4, pp , [5] L. Sciavicco and B. Siciliano, Modeling and control of robot manipulators, ser. McGraw-Hill series in electrical and computer engineering. McGraw-Hill Companies, Inc., [6] R. Kelly and V. Santibáñez, Control de Movimiento de Robots Manipuladores. Pearson Educación, S.A., 23. [7] R. Kelly, V. Santibáñez, and A. Loría, Control of Robot Manipulators in Joint Space. Springer,