Colección Mercados M-2

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1 El VaR Pablo García Estévez Diciembre M-2 1. Introducción VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk) y fue desarrollado por la división RiskMetric de JP Morgan en El VaR es una manera de medir el riesgo de mercado de un activo o una cartera de activos financieros. De manera resumida el VaR cuantifica la máxima pérdida potencial que una cartera puede tener en función de un nivel de confianza, y para un determinado horizonte temporal. Dicho de otra manera, al calcular el VaR obtendremos un número que representa la pérdida máxima que se puede tener en la cartera. Por ejemplo, si el VaR de una cartera muestra una pérdida de euros en un día, con un índice de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan los euros, sino que, en el caso de entrar en pérdidas, lo máximo que se puede perder de hoy a mañana, y con una probabilidad del 95%, son euros. De esta forma se puede ajustar el capital necesario. Fig. 1 Histograma de Frecuencias de las pérdidas y ganancias diarioas del IBEX-35 desde 1990 hasta 2002 Otra medida complementaria del VaR es la denominada Pérdida Esperada en la Cola o ETL (Expected Tale Looses). Cuando se calcula el VaR para un índice de confianza determinado, por ejemplo, el 95%

2 M-2 2 se divide la distribución de pérdidas y ganancias en dos conjuntos: uno que contiene el 5% y tiene las pérdidas superiores al VaR, y otro del 95% con las pérdidas inferiores al VaR y los beneficios. Esto se puede observar en la Figura 19, donde se ha construido el histograma de frecuencias de las pérdidas y ganancias diarias del IBEX-35 desde enero de 1990 hasta finales de La línea vertical que parte en un nivel de pérdidas entre los -150 y los -200 euros, es el quinto percentil de la distribución que deja a la izquierda el 5% y a la derecha el 95% de la distribución. Esa línea representa el VaR al 95%, ya que es la máxima pérdida que se puede obtener al 95% de probabilidad. Dicho de otra manera, si las pérdidas y ganancias fuesen un juego de azar y las extracciones se obtuviesen de este histograma, hay un 95% de obtener una pérdida o una ganancia del conjunto de la derecha, y la máxima pérdida son -150 euros. Pero existe un 5% de probabilidad de obtener una pérdida diaria superior a -150 y ese riesgo no es desdeñable; un gestor de carteras puede adecuar su capital perfectamente a lo que le indique el VaR, ya que puede arruinar la empresa si un día obtiene una pérdida dentro del conjunto situado a la izquierda del percentil que marca el VaR y esa pérdida es lo suficientemente grande. Es decir, es preciso tener también alguna medida de esas pérdidas que se quedan en la cola. Esa medida es el promedio de las pérdidas que exceden al VaR por la izquierda durante un periodo de tiempo. A esta media es lo que denominamos ETL. 2. Cálculo del VaR Básicamente el VaR se puede calcular mediante dos metodologías: 1. Metodología paramétrica. Basada en las varianzas y covarianzas de los rendimientos de los precios de los activos. 2. Metodología de simulación, que se subdivide en: a. Simulación histórica. En función de los rendimientos históricos de los precios de los activos. b. Simulación de MonteCarlo. En función de la simulación de rendimientos mediante números aleatorios. 3. La metodología paramétrica. Esta metodología es la recomendada para carteras de acciones y de divisas en las que se conoce la distribución estadística de los rendimientos. La ecuación que calcula el VaR paramétrico es la siguiente: VaR = VM σ i Nσ Donde VM es el valor de mercado del activo, σ i es la desviación estándar de los rendimientos de los precios del activo y Nσ es el número de desviaciones estándar que hay dentro del nivel de confianza escogido y la distribución estadística elegida (generalmente se utiliza la distribución normal). En el caso de una cartera de activos, el VaR vendrá dado por la siguiente ecuación: t

3 M-2 3 VaRP = VMC σ P Nσ t Donde VMC es el valor de mercado de la cartera σ P = N N i= 1 j= 1 X X i j σ ij Veamos un ejemplo: Supongamos una cartera de acciones con un valor de euros y que está compuesta por un 25% invertido en Acerinox, un 30% en Amadeus y el 45% restante en BBVA. Con los precios históricos de los de los últimos cuatro años y medio calculamos los rendimientos diarios, y obtenemos la información de la Tabla 5. Tabla 1 Pesos Rendimiento STD Acerinox 25% 0,017% 2,179% Amadeus 30% -0,110% 3,234% BBVA 45% -0,011% 2,341% covarianzas Acerinox Amadeus BBVA Acerinox 0, , , Amadeus 0, , , BBVA 0, , , El riesgo de la cartera medido por su desviación típica es de 2,009% diario: 0, , , , , , ,25 0,45 ( 0,25 0,30 0,45) 0, , , ,30 = 0, Si asumimos una media de 240 días de cotización al año representa una volatilidad anual del 31,13% 0, = 0,3113 Para calcular el VaR paramétrico hay que aceptar la hipótesis de que los rendimientos de la cartera se distribuyen mediante una normal, y calcular cuántas desviaciones típicas tiene dicha distribución para el índice de confianza indicado. La tabla 6 es una tabla de doble entrada. En las columnas se han situado los diferentes grados de confianza, y en las filas los diferentes horizontes temporales. En la segunda fila se ha insertado el cálculo NSTD que indica el número de desviaciones típicas que existen en una distribución normal para el grado de confianza asignado. Por ejemplo, en el 99% de toda la distribución están comprendidas 2,33 desviaciones típicas. Tabla 2

4 M % 98% 95% 90% NSTD 2,33 2,05 1,64 1, ,10 411,85 329,48 257, ,99 582,44 465,95 363, ,70 920,91 736,73 575, , , , , , , , ,89 Aplicando la ecuación del VaR paramétrico para carteras se pueden calcular las diferentes pérdidas máximas para cada uno de los grados de confianza, y los diferentes horizontes temporales de la tabla anterior. Por ejemplo, la máxima pérdida que puede tener la cartera de euros, en cinco días y para un grado de confianza del 95%, es de 736,73 euros , ,64 Raíz (5) = 736,73 4. Simulación histórica. Cuando no se está seguro de que la distribución de los rendimientos es una normal, no es aconsejable utilizar el método paramétrico. Fig. 2 Distribuciones de los rendimientos del EURIBOR para diferentes vencimientos. En la figura 21 mostramos los histogramas de los rendimientos del Euribor para diferentes vencimientos. Como se puede observar, sólo el Euribor a 12 meses tiene un histograma semejante a una normal. El resto de los vencimientos se aleja mucho de la campana típica de la distribución normal.

5 M-2 5 El procedimiento para el cálculo del VaR mediante la simulación histórica es el siguiente: 1. Identificación de las series temporales de las variables que afectan al valor del activo. 2. Calculo de los rendimientos en cada periodo. Se utiliza para realizar este cálculo las tasas de variación continuas: P Rto = Ln P ix ( 1) i X Donde P ix es el valor i esimo de la serie de la variable X. 3. Generación de los rendimientos simulados. A los valores actuales se les aplica las n-1 tasas de variación calculadas anteriormente, obteniendo n-1 escenarios. 4. Cálculo de los precios para cada escenario mediante la siguiente ecuación. P 1 = P 0 e Rto 5. Cálculo de las pérdidas o ganancias para cada precio calculado. 6. Calculo del percentil del vector de pérdidas y ganancias. Veamos un ejemplo: Analicemos una cartera de 9.998,73 euros invertida íntegramente, a finales de agosto de XX04, en un fondo de inversión indiciado al índice AIAF de bonos y obligaciones empresariales con vencimiento superior a 2 años. Esto supone e haber comprado títulos. Los datos que recibe el inversor son mensuales y se puede albergar la sospecha de que la distribución de los rendimientos mensuales no se comporta como una normal. Para comprobarlo se construye el diagrama de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF, y se compara con una distribución normal. La Figura 22 muestra este diagrama de frecuencias. Fig. 3 Histograma de frecuencias de los rendimientos mensuales del índice AIAF desde octubre de XX91 hasta noviembre de XX01.

6 M-2 6 Nuestras sospechas se confirman, ya que el gráfico de barras se asemeja muy poco a la figura de la distribución normal. Esto condiciona elegir la metodología de cálculo del VaR y obliga a rechazar la metodología paramétrica. Por lo tanto, en este ejemplo emplearemos la simulación histórica. Observemos la tabla 3, donde se ha realizado una simulación histórica. En la columna B están los valores mensuales del índice AIAF. En la columna C se ha calculado su rendimiento mensual mediante la siguiente ecuación: Rto = Ln(Precio mes actual / Precio mes pasado) Estos rendimientos son los que vamos a utilizar para realizar la simulación de los precios del mes siguiente. Para ello situamos el último precio de la columna B en la fila 2 de la columna D. Este es el último precio del AIAF en nuestra base de datos. Tabla 3 A B C D E F 1 AIAF Rto Sim Cartera P Y G 2 91 OCT 11,56 4, , NOV 11,756 1,68% 4, ,20 169, DIC 11,626-1,11% 4, ,68-121, ENE 11,603-0,20% 4, ,52-24, MAY 4,28 1,18% 4, ,78 121, JUN 4,11-4,05% 3, ,37-387, JUL 4,07-0,98% 4, ,89-96, AGO 4,13 1,46% 4, ,99 145,26 El precio para el próximo mes se calcula utilizando el rendimiento que aparece en la columna B. Así el precio simulado se calculara con la siguiente ecuación: En nuestro caso: P proximo mes = P recio ahora x e Rendimiento P proximo mes = 4,13 x e Rendimiento Así, en nuestro ejemplo, el precio del índice AIAF para el próximo mes se calcularía como 4,13 x e 1,68% = 4,20 La siguiente celda no representa el siguiente mes, sino la segunda simulación. Lo que pretendemos es realizar diferentes simulaciones del posible precio para el próximo mes. Así, la segunda simulación sería 4,13 x e -1,11% = 4,08 Es decir, que el precio simulado siempre tendrá como referencia el último valor de la base de datos, y ese nuevo precio simulado es calculado con los rendimientos históricos. De este modo este método intenta captar el comportamiento del activo a analizar. Dentro de ese comportamiento subyace la

7 M-2 7 distribución real de los rendimientos. En este tipo de simulación, cuantos más días se tenga en la base de datos, mejor pues ofrecerá mayor información del comportamiento del activo. Una vez que se ha simulado la nueva serie de precios del índice AIAF se puede calcular el valor simulado de la cartera en cada momento. Estos cálculos aparecen en la columna E y no es más que multiplicar títulos por el valor del índice AIAF. Por ejemplo, la primera simulación es: x 4,20 = ,20 Con estos datos podemos calcular la serie simulada de pérdidas y ganancias para cada simulación, calculando las diferencias de cada valor de la cartera con el valor de compra de la cartera, que se sitúan en la columna F. Para la primera simulación sería: Para la segunda simulación , ,73 = 169, , ,73 = -121,05 Una vez completada esta serie se puede calcular el VaR con un índice de confianza del 95% con el quinto percentil de la serie de pérdidas y ganancias. El valor del VaR (95%) es de 871,56 euros de pérdida. Es decir que la máxima pérdida que el inversor puede tener en un mes comprando esta cartera es de 871,56 euros. 5. Simulación por MonteCarlo El VaR mediante la simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios para simular las variaciones de las variables con las que se calcula el precio de la cartera. Se puede resumir esta técnica en los siguientes pasos: 1. Identificar las variables creadoras de valor de la cartera y tomar una serie histórica de precios 2. Calcular los rendimientos periódicos mediante el logaritmo neperiano del cociente de los precios correlativos 3. Generar tantos números aleatorios como simulaciones se quiera realizar 4. Cada número aleatorio representa una frecuencia acumulada que está asignada a un rendimiento en concreto 5. Utilizar ese rendimiento para calcular la variación de los precios 6. Calcular la serie de pérdidas y ganancias con los precios simulados 7. Calcular el percentil adecuado que represente el Valor en Riesgo. Veamos un ejemplo. El 29 de abril de XX04 un inversor quiere calcular el VaR, a través de la simulación de MonteCarlo, de una cartera que compra 9 futuros mini del S&P 500. Para esto toma la serie de precios de cierre de este índice desde el 28 de noviembre de XX97, y calcula los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano de los precios diarios correlativos. El paso siguiente es generar número aleatorios. Se generan números aleatorios para realizar simulaciones. Cada número aleatorio se puede asociar a la distribución de rendimientos.

8 M-2 8 Tabla 4 A B C D E F 1 Sim RND Rto S&P500 Cartera P Y G , , ,5839 0,26% 1.116, ,02 26, ,8065 1,00% 1.125, ,63 100, ,4466-0,14% 1.112, ,61-14, ,5356 0,12% 1.115, ,98 11, ,6818 0,56% 1.120, ,81 55, ,6300 0,39% 1.118, ,70 39, ,0181-2,77% 1.083, ,50-273,51 En la tabla 4 hemos realizado todos estos cálculos. En la columna B hemos simulado los números aleatorios. Cada uno de ellos representa un percentil de la distribución de rendimientos del índice. Por ejemplo, en la primera simulación el número aleatorio es 0,5389, o lo que es lo mismo, el percentil 54 de la distribución. Este percentil está representado por un rendimiento del 0,26% diario. En la segunda simulación el número aleatorio es 0,8065 lo que representa el percentil 81 de la distribución y está asociado a un rendimiento del 1%. Estos datos los hemos situado en la columna C. Con estos datos podemos calcular el nuevo precio simulado del S&P500 usando la siguiente ecuación: Así, para la primera simulación Nuevo precio = 1.113,89 x e Rendimiento 1.113,89 x e 0,26% = 1.116,78 Datos que hemos situado en la columna D. Con estos datos se puede calcular el valor de la cartera para cada simulación, multiplicando por 9 al valor simulado del S&P500; con esto obtenemos los posibles precios del S&P500 para mañana. Los datos obtenidos están en la columna E. Ahora se puede calcular las pérdidas y ganancias diarias restando al valor de la cartera el valor actual de la misma. Así para la primera simulación: Para la segunda , ,01 = 26, , ,01 = 100,62 Las pérdidas y ganancias están situadas en la columna F. Ahora podemos calcular el VaR con un índice de confianza del 95% buscando el quinto percentil de la distribución de pérdidas y ganancias. Este cálculo resulta ser -192,06. La máxima pérdida para la cartera, a un día y con un índice de confianza del 95% es 192,06 euros.

9 M Cálculo de la ETL Como ya se ha señalado, la ETL son las siglas inglesas que se refieren a la Pérdida Esperada en Cola (Expected Tale Loss) y representa el promedio de los valores negativos que exceden al VaR por la izquierda. Su cálculo no está exento de complejidad, pero se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Calcular el VaR para una cartera en un periodo determinado 2. Calcular las pérdidas y ganancias de los últimos n periodos 3. Extraer las pérdidas que excedan por la izquierda al VaR 4. Calcular el promedio de esas pérdidas Tomamos el primer cuatrimestre del IBEX 35 y calculamos el VaR paramétrico con un índice de confianza del 95% y una desviación típica de 60 días. Se construye la serie de pérdidas y ganancias diarias como diferencia entre los valores correlativos del índice. Por último, observamos, para cada día, los 60 valores de pérdidas y ganancias inmediatamente posteriores, y de esta serie de valores extraemos los que tienen un valor inferior al VaR de ese día. El promedio es la ETL. Lógicamente, y tomando el concepto de VaR, la ETL debe comprender el porcentaje complementario al índice de confianza. Es decir, si hemos calculado un VaR al 95%, la ETL debe contener el 5% de los valores de pérdidas y ganancias. La Figura 23 muestra la representación de la ETL (línea fina), del VaR (línea gruesa), y de las pérdidas y ganancias (+). Observamos que existen algunas pérdidas que se sitúan por debajo de la línea del VaR. La ETL es el promedio de esas pérdidas y como tal, se situará siempre por debajo del VaR. Fig. 4 Representación del VaR y de la ETL para periodos de 60 días del IBEX-35 desde abril de 2003 hasta abril de 2004 Cuando se calcula la ETL para una serie larga se cumplen las características que se han comentado en este epígrafe. Tomando la serie del IBEX 35 desde enero de 1990 hasta abril de 2004 se obtienen valores. Al realizar el VaR paramétrico, al 95% de confianza y tomando 60 días para el cálculo de la desviación típica, se observa que el 5,17% de las pérdidas y ganancias diarias se sitúan por debajo del nivel del VaR.

10 M-2 10 La ETL es una mejor medida para la adecuación del riesgo de los gestores ya que, aunque con el VaR al 95% se consigue que la adecuación responda al 95% de los casos, uno de los casos del 5% restante puede tener tal magnitud de pérdida que arruine la cartera o la empresa. La ETL mitiga en alguna medida este problema al aumentar el capital asignado a la adecuación del riesgo. Bibliografía Aragonés J R, Blanco C, García Estévez P Improving expected tail loss estimates with neural networks. Intelligent Systems in Accounting, Finance and Management 13: Aragonés, J. R. y Blanco, C. (2000) Valor en Riesgo. Ed. Pirámide. Artzner, P., F. Delbaen, J. M. Eber y D. Heath Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, 9, November. Blanco, C. and Ihle G How good is your VaR? Using backtesting to asses system performance, Financial Engineering News, August Blanco, C. Aragonés J.R. y García Estévez, P. (2005) Improving expected tail loss estimated with Neural Netsworks. Intelligent Systems in Accounting, Finance & Management. Vol 13 Bodie, Z. Kane, A. y Marcus, A. Principios de inversiones Ed. Mc Graw Hill Levy, H y Post T. (2005). Investment Ed. Prentice Hall López Lubian, F y García Estévez, P. (2005) Bolsa, Mercados y Técnicas de Inversión. Ed. Mc Graw-Hill.

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