Parte 4: Teoremas de convergencia.

Transcripción

1 Parte 4: Teoremas de convergencia. Como siempre, si no se dice lo contrario, se supone que (, M, µ) es un espacio de medida y trabajamos con funciones de dominio y recorrido contenido en C o R o R. Empezamos con otro corolario del TCM, que se llama Lema de Fatou: Teorema 1 Sea f n una sucesión de funciones medibles no negativas. Entonces lím inf f n dµ lím inf f n dµ La prueba es muy fácil usando TCM con la sucesion g n definida por g n = ínf k n f k que es creciente y no negativa, y cuyo límite puntual es el liminf de las f n. Ejercicio 1. Generalizar Fatou a funciones que puedan ser negativas, a limsup en vez de liminf, y poner ejemplo de que no vale el igual en la desigualdad. La siguiente propiedad ya se probó para funciones sumables que van a R: vale también cuando f : C es sumable: Proposición 1 Si f es sumable, entonces fdµ f dµ Otro de los teoremas fundamentales de este curso es el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, en adelante TCD: Teorema 2 Sea f n una sucesión de funciones medibles definidas en que converge puntualmente a una función f. Se supone además que existe una función g L 1 (µ) tal que f n g para todo n. Entonces f n f en la métrica de L 1 (µ). En particular, se cumple: lím f n dµ = f n Para la prueba hacer el siguiente ejercicio Ejercicio 2. Notar primero que parte de la conclusión (al decir f n tiende a f en L 1 ) es que tanto las f n como la f son sumables. Probar eso. Luego notar que f n f 2g con lo que Fatou se aplica a la sucesión 1

2 2g f n f. Concluir la prueba del teorema desde ahí. Ejercicio 3. Calcular lím fdm donde = [0, + ), m es la medida de Lebesgue y f(x) = ( x + 1)(x + n) 2. Ejercicio 4. Sea f n : [0, 1] [0, 1] una sucesión de funciones continuas tales que f n (x) 0 para todo x. Trate de probar sin usar el TCD que lím n 1 0 f n(x)dx = 0. Ejercicio 5. Calcular los límites cuando n + : n 0 (1 x/n) n e x/2 dx, y n 0 (1 + x/n) n e 2x dx Sobre las propiedades ctp. Una medida se llama completa cuando todo subconjunto de un conjunto de medida 0 es medible. Por ejemplo recordar que la medida de Lebesgue en R definida en los conjuntos medibles Lebesgue es completa (recordar que m () = 0 implica que es medible Lebesgue). Pero si se restringe m a los Borelianos, deja de ser completa (por ejemplo adentro del conjunto de Cantor hay conjuntos que no son Borelianos, por un tema de cardinalidad). En realidad, como dice este ejemplo, el problema de no ser completa una medida es que la σ álgebra que se considera tiene pocos conjuntos, ya que dada cualquier medida se pueden agregar conjuntos a la σ álgebra, extendiendo así el dominio de la medida para que sea completa. Este sencillo proceso se llama completación de una medida: Ejercicio 6. Sea µ una medida en una σ álgebra M. Sea M la clase de conjuntos E tales que existen A y B en M tales que A E B y µ(b \ A) = 0. Probar que M es una σ álgebra y que µ se extiende a una medida completa en M. Ejercicio 7. Sea f : C una función medible, donde µ es una medida completa, y sea E un conjunto de medida 0. Sea f una función cualquiera que coincide con f en el complemento de E, o sea, que es igual a f µ-ctp. Entonces f es medible. 2

3 Esto dice que perfectamente podríamos cambiar la definición de función medible, diciendo que f es medible si es µ-ctp igual a una función medible f. La integral de la f se define como la integral de f. En realidad los teoremas de convergencia valen con la hipótesis más débil de convergencia ctp. Por ejemplo: Ejercicio 8. Probar que vale TCM con menos hipótesis (sólo convergencia en casi todo punto): es decir, probar que si f n es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas tales que f n f ctp, entonces f es medible y vale que f n f. La completitud de L 1 Recordar los ejemplos hechos en clase por Mauro y Andrés: Ni las continuas ni las integrables Riemann son un espacio completo cuando se consideran con la norma. 1. Se plantean dos preguntas: 1. Si L 1 (m) es completo, 2. Cual será la clausura del conjunto de funciones continuas o de integrables Riemann en L 1 (m). En los próximos ejercicios se indica un camino para la prueba de la completitud de L 1 (µ) cualquiera sea la medida µ. Ejercicio 9. Probar que la convergencia en L 1 no implica la convergencia puntual. Para n > 0 y 0 j < 2 n, sea [ j A 2 n +j = 2 n, j + 1 ] 2 n Estudiar el problema anterior relativo a la sucesión χ Ak. Ejercicio 10. Probar que si {f n } es una sucesión de Cauchy en L 1 (µ), entonces tiene una subsucesión que converge puntualmente. La sugerencia es: 1. Probar que existe una subsucesión f ni tal que f ni f ni+1 1 < 2 i 2. Se define g = i=1 f n i f ni+1. Probar que g está bien definida (ctp), que es medible y que está en L 1 (µ). 3

4 3. Definir f = f n1 + f ni f ni+1 i=1 Probar que está bien definida ctp, que es medible y que está en L 1 (µ). Además probar que f = lím i f ni. Ejercicio 11. En las condiciones del ejercicio anterior, probar que f n converge a f en L 1 (µ) y concluir que L 1 (µ) es completo. Se sugiere aplicar Fatou a la sucesión f n f = lím i f n f ni. Ejercicio 12. Probar el siguiente corolario de los ejercicios anteriores: Si {f n } es una sucesión convergente a f en la norma L 1, entonces existe una subsucesión que converge puntualmente a una función h. Además h = f. Comparar con el ejercicio 9; hallar subsucesiones convergentes puntualmente de la sucesión dada en dicho ejercicio. Otros espacios de funciones. Los espacios L p. Para cada 1 p < + se define el espacio L p (µ) como el conjunto de las funciones medibles tales que f p dµ < + Se demuestra que son espacios vectoriales y que la raíz p-ésima de la integral de arriba es una seminorma (una norma en el espacio cociente de las funciones iguales ctp). Pero este resultado probablemente no lo veremos en este curso, se deduce de la desigualdad de Minkowski. Por ahora sólo se trabaja en este curso con p = 1 y p = 2. La particularidad de L 2 (µ) es que su norma proviene de un producto interno, definido por: f, g = fgdµ. Ejercicio 13. Probar que L 2 (µ) es un espacio vectorial (notar primero que 2fg f 2 + g 2 y por lo tanto fg L 1 (µ) si f y g están en L 2 (µ)). Probar que la fórmula de arriba define un producto interno en L 2 (µ) Escribir la desigualdad de Cauchy-Schwarz para este producto interno. Esa desigualdad se llama también desigualdad de Holder. 4

5 Ejercicio 14. Probar que si µ() < +, entonces L 2 L 1 y que la convergencia en L 2 implica convergencia en L 1. Pero en general no son iguales. Además no son comparables en general cuando µ() =. Probar que sin embargo, f acotada y en L 1 implica f L 2. Y si {f n } n es una sucesión convergente en L 1, se cumple que entonces f n converge a f en L 2? Definición 1 Sea (, M, µ) un espacio de medida. Una función medible f definida en es esencialmente acotada si existe K tal que {x : f(x) K} tiene medida cero. El conjunto de todas las funciones esencialmente acotadas se denota L (µ). El ínfimo de tales K se llama el supremo esencial de f y se denota f. Ejercicio 15. Demostrar que L es un espacio vectorial y que. es una seminorma. Probar que si f está en L y µ() < entonces f L 2. Probar que convergencia en L implica convergencia puntual pero no en L 1 en general. Ejercicio 16. Probar que L 2 (µ) y que L (µ) es completo. Queda un problema: ver si las continuas o integrables Riemann son densas en L 1 (m) donde m es la medida de Lebesgue. Porque si no son, habría un espacio en el medio que también es completo con la norma. 1. Ejercicio 17. Sea S el conjunto de las medibles simples s tales que µ{x : s(x) 0} <. Demostrar que S es denso en L 1 y en L 2. Se sugiere empezar probando que cada f 0 está en la clausura de S. Notar que las definiciones y propiedades anteriores se establecen en espacios de medida (, M, µ). Para el próximo ejercicio la medida es Lebesgue. Ejercicio 18. Probar que las funciones continuas son densas en L 1 (m) y también en L 2 (m) y en L (m), donde m es la medida de Lebesgue en el intervalo [0, 1]. Cuando m es la medida de Lebesgue en la recta entonces las funciones continuas no están contenidas en los espacios de Lebesgue L p (m).. Ejercicio 19. Sea C c (R) el conjunto de las funciones continuas de soporte compacto, es decir f C c (R) si y sólo si el conjunto de puntos x donde f(x) no se anula es acotado. Probar que C c (R) es subespacio de todos los espacios de Lebesgue y que es denso en L 1 (m) y L 2 (m) pero no en L (m). Caracterizar la clausura de C c (m) en L (m) 5