TEMA 3. INTRODUCCIÓN N A LOS CÁLCULOS C. 1. Sistemas de magnitudes y unidades. 2. Conversión n de unidades entre sistemas

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1 TEMA 3. INTRODUCCIÓN N A LOS CÁLCULOS C DE INGENIERÍA (9 horas) 1. Sistemas de magnitudes y unidades 2. Conversión n de unidades entre sistemas 3. Dimensión. n. Ecuaciones dimensionales y adimensionales 4. Propiedades usuales en Ingeniería a Química 5. Representación n y análisis de datos Bibliografía INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA G. Calleja, F. García, A. de Lucas, D. Prats y J.M. Rodríguez Ed. Síntesis, Madrid, Tema 5 ELEMENTARY PRINCIPLES OF CHEMICAL PROCESSES R.M. Felder y R.W. Rousseau. Editorial Wiley, 2000 Tema 2 y 3

2 1. SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES Magnitud Toda propiedad o cualidad física que puede ser medida y expresada cuantitativamente Longitud, tiempo, temperatura, masa, fuerza, velocidad, calor específico, etc. Magnitudes fundamentales conjunto de magnitudes elegidas arbitrariamente que sirven de base para la definición del resto de magnitudes del sistema. Magnitudes derivadas Magnitudes de un sistema que se expresan multiplicando o dividiendo magnitudes fundamentales. Ecuaciones de definición Expresiones de las leyes físicas que, a partir de las magnitudes fundamentales, permiten definir el resto de las magnitudes del sistema. Expresión cuantitativa de una propiedad valor numérico + unidad de medida Unidades valor obtenido al fijar arbitrariamente una cantidad de cada una de las magnitudes de un sistema y que va a ser utilizada como referencia para medir una variable cualquiera

3 Algunos ejemplos de unidades de medidas utilizados actualmente: KILOGRAMO (masa). Es la masa del cilindro de platino iridiado que se conserva en Sévres, Francia (dicho patrón está vigente desde 1.887) METRO (longitud). Es la distancia recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/ segundos (esta definición se basa en la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, según afirma la teoría de la Relatividad de Einstein; esta velocidad es, pues, igual por definición a m/s) SEGUNDO (tiempo). Es la duración de períodos de la vibración correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental en el átomo de cesio-133

4 Medios para poder identificarlas Trabajo con magnitudes en Medirlas campos científico-técnicos Relacionarlas entre sí SISTEMAS DE UNIDADES Conjunto reducido de unidades elegidas arbitrariamente que permiten medir todas las magnitudes Sistemas absolutos o científicos Sistemas técnicos o terrestres Sistemas ingenieriles o mixtos Constante dimensional Sistema redundante

5 SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Para normalizar los sistemas de magnitudes y unidades Múltiplos y submúltiplos Sistema métrico decimal

6 sistema sexagesimal

7 SISTEMA MÉTRICO INGLÉS Los múltiplos y submúltiplos NO se basan en el sistema métrico decimal Longitud 1 pulgada (in) 1/12 ft 1 yarda 3 ft Masa 1 onza 1/16 lb Volumen 1 galón (US gal) ft 3 Presión 1 psia 1 lb f /in 2 Constante dimensional (g c ) 32,174 lb ft s -2 /lb f

8 SISTEMA CEGESIMAL Similar al Sistema Internacional pero está en desuso Algunas de sus unidades se mantienen para cuantificar valores pequeños de magnitudes Bar (gr/cm s 2 )

9 Sistemas absolutos o científicos Sistemas técnicos o terrestres kilopondio Sistemas ingenieriles o mixtos

10 2. CONVERSIÓN N DE UNIDADES ENTRE SISTEMAS

11 T K = T ºC T R = T F T Temperatura ºC = (T F -32) 5/9 T K = T R 5/9 Cambio escala Temperatura 1 ºF = 5/9 ºC 1 R = 5/9 K Conversión Sistema internacional Sistema inglés ºC grados Celsius escala Tª relativa K grados kelvin escala Tª absoluta F grados Farenheit escala Tª relativa R grados Rankin escala Tª absoluta

12 EJERCICIO DE CAMBIO DE UNIDADES 1) Decir en qué sistema de unidades están expresadas estas magnitudes derivadas y pasarlas al Sistema Internacional Sistema de unidades S.I. Longitud (L) = 1 in Velocidad (v) = 50 cm/s Aceleración (a) = 5275 ft/min 2 Fuerza (F) = 32 poundal Presión (P) = 15 m de agua = 10 bar Viscosidad dinámica (μ) = 10-2 p Densidad (ρ) = g/l Masa (M) = 10 slug = 1 UTM Temperatura (T) = 150 ºF = 765 R Calor específico (Cp) = 1 Btu/lb F anglosajón cegesimal anglosajón anglosajón S.I. cegesimal cegesimal cegesimal técnico anglosajón técnico - métrico anglosajón anglosajón anglosajón 0,0254 m 0,5 m/s 0,58 m/s 2 4,4 Newton 1,45 atm 10 6 Pa 10-3 kg/m s 0,987 kg/m 3 145,9 kg 9,8 kg 65,5 ºC 425 K 1 kcal/kg ºC 4,187 kj/kg ºC

13 EJERCICIOS PROPUESTOS DE CAMBIO DE UNIDADES 2) Expresar en el Sistema Internacional los siguientes coeficientes: - Difusividad térmica del CO 2 en agua 25 ºC y 1 atm 7, ft 2 /h 1, m 2 /s - Conductividad calorífica de un acero 27 btu/h ft ºF 46,73 J/s m K - Coeficiente de transferencia de materia 3, lb/h ft 2 mmhg 3, kg/s m 2 Pa

14 EJERCICIOS PROPUESTOS DE CAMBIO DE UNIDADES 1) Decir en qué sistema de unidades están expresadas estas magnitudes derivadas y pasarlas al Sistema Internacional Sistema de unidades S.I. Energía (E) = 750 lb f ft Trabajo (W) = Ergio Calor específico (Cp) = 1, Btu/lb ºF Presión (P) =15 psia Flujo de materia (-) = lb-mol/(h ft 2 ) técnico o ingenieril - anglosajón cegesimal anglosajón cegesimal anglosajón J 10-3 J 1.2 cal/kg ºC Pa 1 kg-mol/(s m 2 ) 2) Determinar el valor de la constante de los gases R (0,082 atm l/(mol K)) en unidades del S.I., sistema cegesimal, sistema anglosajón y sistema ingenieril métrico. S.I. Sistema cegesimal 3 Pa m 8,309 mol K bar cm 83,09 mol K 3 Sistema anglosajón Sistema ingenieril métrico 2 2 lb ft s 10,965 mol R kg f 0,848 mol m K

15 3. DIMENSIÓN. N. ECUACIONES DIMENSIONALES Y ADIMENSIONALES Dimensión Expresión de la magnitud sin referencia a un sistema concreto de medida. Parecido a una unidad generalizada. Magnitudes M o = función (M 1, M 2, ) Unidades Sist. A: U o = función (U 1, U 2, ) Sist. B: U o = función (U 1, U 2, ) Dimensiones D o = función (D 1, D 2, ) Dimensiones fundamentales y derivadas Ecuación dimensionalmente homogénea Todos los términos aditivos en ambos lados de la ecuación tienen que tener las mismas dimensiones. Leyes físicas Ecuación dimensionalmente no homogénea Ecuaciones empíricas

16 ECUACIONES DIMENSIONALES Sistema mecánico Longitud (L), Masa (M) y Tiempo (t) Sistema térmico Longitud (L), Masa (M), Tiempo (t), Temeratura (T) D 0 D 1a D 2b (L α 0 M β 0 t γ 0) (L α 1 M β 1 t γ 1) a (L α 2 M β 2 t γ 2) b D 0 =L α 0 M β 0 t γ 0 D 1 = L α 1 M β 1 t γ 1 D 2 = L α 2 M β 2 t γ 2 Constante de proporcionalidad (L α 0 M β 0 t γ 0) = ϕ (L α 1 M β 1 t γ 1) a (L α 2 M β 2 t γ 2) b Ec. dimensionalmete homogénea ϕes adimensional α 0 =aα 1 + bα 2 + β 0 = aβ 1 + bβ 2 + γ 0 = aγ 1 + btγ 2 + Sus valores son únicos y aplicables a cualquier sistema de medida

17 Ejemplo de ecuación dimensionalmente homogénea: Determinación del diámetro de una burbuja de vapor que se separa de una superficie caliente. v d = ϕ φ 2 σ g( ρ ρ En qué sistema de medida voy a trabajar? Es la constante de proporcionalidad adimensional? L V ) D = L σ = M t -2 g = L t -2 ρ = M L -3 ϕ = φ g ( ρ d 2 σ L ρ V ) = L 2 Mt 2 Lt ML 2 L 3 = L 2 adimensional Se puede aplicar a cualquier sistema de unidades No deben de existir unidades en exponentes, logaritmos ni en expresiones trigonométricas

18 ECUACIONES EMPÍRICAS Ejemplo de ecuaciones empíricas con logaritmo de variables dimensionales Considérese la velocidad de reacción química para una reacción de cualquier orden (-r A ) = K C a n K = (moles/l 3 ) 1-n t -1 r A = (moles/l 3 t) C A = (moles/l 3 ) n K función de la temperatura * Ecuación de Arrhenius dimensional Su valor dependerá del sistema de unidades k = Cumple los criterios de dimensionalidad A e Ea/ RT adimensional * Expresión empírica de K = f(t) Ln K = función (1/T) No cumple los criterios de dimensionalidad dimensional Otros casos parecidos Ecuación de Antoine (Pv =f(t)), de Guzmán-Andrade (μ=f(t)), etc.

19 Ejemplo de ecuaciones empíricas con coeficientes dimensionales Considérese el cálculo de transferencia de materia en el plato de una columna de destilación por etapas. φ materia gradiente concentración difusividad (D (m 2 /s)) (cte. proporcionalidad) Coeficientes dimensionales D (m 2 /s) = 6, u v + 9, h Propiedad virtual L 0,00562 u V = velocidad lineal del vapor (m/s) h L = altura de líquido en el plato (mm) Otros sistemas de medida tener en cuenta unidades de origen de cada coeficiente D = A u v + B h L C A = D / u v = L 2 t -1 /Lt = L B = D / h L = L 2 t -1 /L = Lt -1 C = D = L 2 t -1 A= 6, m B = 9, m/(s mm) = 9, m/s C = 0,00562 m 2 /s A partir de aquí se pueden transformar para cualquier sistema de unidades

20 Ejemplo de ecuaciones empíricas con coeficientes dimensionales Considérese el cálculo de transferencia de calor desde una superficie caliente Q T A Q superficie y gradiente temperatura coeficiente individual de transferencia de calor Q = h A ΔT (h (Julio/m 2 s K)) (cte. proporcionalidad) Q = U A ΔT Coeficientes dimensionales Superficie sólida orientada hacia arriba h = 2,33 ΔT ¼ Superficie sólida orientada hacia abajo h = 0,59 (ΔT/L)¼ (*) T s Si h = Julio/m 2.s.K, ΔT = K y L = m. Expresar la ecuación (*) en unidades del sistema americano h = H L-2 t-1 T-1 ΔT = T L = L 0,59 = H L -7/4 t -1 T -5/4 1, btu/(ft 1,75 s R 1,25 ) h = 1, (ΔT/L) ¼ siendo h = btu/ft 2 s R T = R L= ft

21 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 1: El coeficiente de transferencia de calor desde la superficie de un tubo caliente al aire que se encuentra en régimen laminar, viene dada por la siguiente ecuación (en el SI): ΔT h = 1,18 D siendo h el coeficiente de transferencia de calor (H/L -2 t -1 T -1 ), ΔT la diferencia de temperatura entre la pared exterior del tubo y el aire (T) y D el diámetro del tubo (L). Se podría utilizar esta expresión de h para cualquier sistema de medida? Suponiendo que la expresión anterior está dada para trabajar en un SI, Expresar esta ecuación para que pueda ser utilizada en el sistema americano? ft h = ,75 5 Btu s R Δ T D 1, siendo h = btu/ft 2 s R T = R L= ft

22 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 2: El tiro teórico de una chimenea puede calcularse mediante la ecuación dimensional: Δp = 0,256 h P (1/T - 1/T c ) donde Δp es el tiro o diferencia de presión en pulgadas de agua, h es la altura de la chimenea en pies, P la presión barométrica en pulgadas de mercurio, T la temperatura ambiental en grados Rankin y Tc la temperatura media en el interior de la chimenea en grados Rankine. Calcular el tiro teórico de una chimenea de 45 metros de altura que se encuentra a una temperatura media de 260 ºC, si la temperatura exterior es 20 ºC y la presión barométrica 750 mm de Hg. h = 45 m / 0,3048 (m/ft) = 147, 64 ft P = 750 mm Hg / 25,4 (mm/in) = 29,53 in Hg T = ( ,15) K x (9/5 (R/K)) = 527, 69 R T C = ( ,15) K x (9/5 (R/K)) = 959,69 R Δp = 0, (1/ /959.69) = in de agua

23 Ejercicio 3: Para calcular el coeficiente individual de transmisión de calor de un líquido orgánico que circula perpendicularmente a un conjunto de tubos puede emplearse la ecuación empírica: donde: EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES V h = 0,408 0,6 max 0,4 D0 h coeficiente individual de transferencia de calor (Btu/h ft 2 ºF) V max velocidad máxima de circulación del líquido (ft/h) D 0 diámetro externo de los tubos (ft) 0,408 constante dimensional para las unidades consideradas Calcular el valor de la constante dimensional para poder emplear dicha ecuación en el sistema internacional. 0 Btu J, ,79 2,2 0,4 2,2 0, ft h º F m s 4 º C

24 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 4: La ecuación de Maxwell-Gilliland para la difusividad de un gas puede escribirse como: donde: D = 4.3 T M 1 1 ( ) V P V A A 1 + M B B 1 2 D difusividad en cm 2 /s T temperatura en ºK P presión en atm V A, V B volúmenes moleculares cm 3 /mol M A, M B pesos molecules g/mol Expresar la constante en el sistema anglosajón. 4 atm cm g 4,3 7 / 6 mol s º K 0,5 1,5 lb 0,738 mol ft 2 f 7 / 6 lb 0,5 h º F 1,5

25 ECUACIÓN ADIMENSIONAL Ec. dimensionalmente homogéneas mismas dimensiones y unidades en los diferentes términos aditivos Módulos adimensionales agrupación de variables que carecen de dimensiones físicas pero tienen significado físico Ec. adimensional sus términos no tienen ni dimensiones ni unidades, sólo poseen valores numéricos

26 4. PROPIEDADES USUALES EN INGENIERÍA A QUÍMICA PROPIEDADES GEOMÉTRICAS Dimensión geométrica más empleada Longitud L D eq = 4 r H D a b d D sección al flujo D eq = 4 perímetro mojado D d i d eq d i Rugosidad relativa (ε/d) Rugosidad (ε) = D - d i Distribución de tamaños (tamaño característicos del sistema) Espesor (δ) Perímetro mojado (π D) d V = ( di ) x V i x i Superficie específica (L -1 ) al = ap = superficie sólido volumen del lecho superficie sólido volumen del sólido Volumen, superficie o longitud de la partícula

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28 PROPIEDADES DE CONSERVACIÓN. PROPIEDADES TERMODINÁMICAS Ecuaciones de conservación se expresan en flujos o velocidades (flujo/superficie) Flujo volumétrico L 3 t -1 Flujo másico Mt -1 Flujo molar molt -1 Flujo de calor Ht -1 Velocidad volumétrica Lt -1 Velocidad másica ML -2 t -1 Velocidad molar moll -2 t -1 Velocidad térmica HL -2 t -1 Propiedades termodinámicas esenciales equilibrio de fases y transformación química Transformación química Calor de reacción (ΔH R ) Hmol -1 Energía libre de Gibbs (ΔG R ) Hmol -1 Constante de equilibrio (k eq ) dimensionalidad? aa + bb cc + dd K eq = ([C] c [D] d )/([A] a [B] b ) a + b = c + d adimensional a + b c + d dimensional

29 Propiedades termodinámicas más usuales en el equilibrio de fases

30 PROPIEDADES CINÉTICAS Transporte de cantidad de movimiento φ cm M u = A t = Fuerza Superficie φ cm = presión = ML -1 t -2 Flujo de fluidos tensión o esfuerzo de cizalla (τ) τ = μ u y eje rx u Viscosidad dinámica ML -1 t -1 Propiedades típicas del flujo de fluido: Presión ML -1 t -2 Velocidad Lt -1 Diámetro L Potencia ML 2 t -3 Carga L Trabajo ML 2 t -2 Propiedades típicas del fluido: Densidad ML -3 Viscosidad ML -1 t -1 Viscosidad cinemática (ν) L 2 t -1 Tensión superficial Mt -2 Propiedades aparentes se usan para caracterizar a una suspensión. No es una propiedad intrínseca de cada componente de la mezcla.

31 Transmisión de calor φ calor = energía Superficie tiempo φ calor = HL -2 t -1 H = ML 2 t -2 T φ calor α y T Conducción: φ c = k k conductividad térmica [HL y -3 t -1 T -1 ] φ = h ΔT Convección: h coeficiente de transferencia de calor [HL -2 t -1 T -1 ] c Calor intercambiado ΔT calor sensible = m Ce ΔT ; Ce = HM -1 T -1 Cambio de fase calor latente = m λ ; λ = HM -1 Difusividad térmica (a = k/ce ρ) L 2 t -1 Coeficiente global de transmisión de calor (Q = U A ΔT) HL -2 t -1 T -1 Coeficiente de expansión cúbica (β = ( V/ T) P /V) T -1 Transferencia de materia φ mat = mol Superficie tiempo φ mat = moll -2 t -1 φ mat = D y C i D difusividad molecular [L 2 t -1 ]

32 Dimensiones de las principales magnitudes en un sistema mecánico (M, L y t)

33 5. REPRESENTACIÓN N Y ANÁLISIS DE DATOS A Productos Medida A) X(%) 70,1 69,6 70,2 69,7 72,0 69,9 70,2 70,1 68,0 70,5 B) X(%) 74,6 55,2 71,0 95,0 79,6 52,0 65,3 72,9 80,9 60,8 - Inicialmente A puro - Temperatura 45 ºC - Toma de muestra tras 2 min - Se mide conversión (X) Cuál es el valor real de X? El valor medio de infinitas medidas de X Cómo se estima el valor real de X? La media aritmética de finitas medidas (N) de X Cuál es la precisión de la medida? La varianza s 2 X = 1 N 1 X = N j= 1 1 N ( X j N j= 1 X j X ) 2 2 La desviación estándar (s X ) s X = s X S x2 = 0,96; s X = 0,98 S x2 = 167,89; s X = 12,96 X (%) = 70 ± 0.98

34 Experimentación medida de variables de proceso (T, P, Concentración, etc). Medida directa Medida indirecta (calibración) y = f(x) Interpolación entre dos puntos Ajuste por mínimos cuadrados Ajuste lineal Ajuste no lineal Interpolación Cálculo de la variable dependiente (y) para un valor de la variable independiente (x) comprendido en el intervalo datos experimentales. Extrapolación Cálculo de la variable dependiente (y) para un valor de la variable independiente (x) fuera del intervalo de datos experimentales.

35 Interpolación entre dos puntos y = y + y y ( x ) x x2 x1 Sólo para interpolaciones Puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) muy próximos entre sí Ajuste por mínimos cuadrado o línea de regresión Cuando existe dispersión de puntos (análisis experimental de la influencia de una variable de proceso sobre otra) Técnica estadística (minimizar errores) Hojas de cálculo/calculadoras Ajuste lineal y = a + b x Ajuste no lineal 2 y = a + b x 1 b = + a y x b y = ax y = a e bx

36 Representación lineal de ajustes no lineales y = a + b x 1 = y b x + a sin y = a( x 2 4) 2 representar representar representar y vs. x 2 1/y vs. 1/x sin y vs. (x 2-4) b y = ax y = a e bx lg y = lg a + b lg x ln y = ln a + b x representar representar log y vs. log x ln y vs. x ln x = 2, log x Representación doble logarítmica Representación semilogarítmica

37 EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 5: La velocidad a la cual una sustancia pasa a través de una membrana semipermeable se determina mediante la Difusividad D (cm 2 /s) del gas. D varía con la temperatura T (K) de acuerdo a la ecuación de Arrhenius: D = D0 exp( Ea / RT) donde: D 0 es el factor preexponencial E a es la energía de activación por difusión R la constante de los gases ideales (1,987 cal/molk) Los valores de la difusividad del SO 2 a través de una membrana de fluorosilicona, a diferentes temperaturas, son: Calcular: a) Las unidades de D 0 y E T(K) D (cm 2 /s) x b) Cómo representarías estos datos para obtener una línea recta? c) Representar los datos según el apartado b) y determinar los valores de D 0 y E. d) Cúal sería el valor de la difusividad a una temperatura de 403,5 K?

38 Solución a) D 0 = D = cm 2 /s E a = R T = cal/mol b) Se representa ln D vs 1/T en escala lineal Se representa D vs. 1/T en escala semilogarítmica 10,00 11,00 y = 3666x 3,015 R² = 0,996 1,00E 04 ln D (cm2/s) 12,00 13,00 14,00 D (cm2/s) 1,00E 05 y = 0,049e 3666x R² = 0,996 15,00 16,00 0 0,001 0,002 0,003 0,004 1/T (K 1 ) 1,00E 06 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 1/T (K 1 ) c) D 0 = 0,049 cm 2 /s E a = 7,2587 cal/mol d) D 0 = 0,0486 cm 2 /s