Introducción. Culminación de todos los anteriores capítulos. Tipos de compensación. Acción de control. Tipos de acción:

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1 DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 1.-Introducción. 2.-El problema del diseño. 3.-Tipos de compensación. 4.-Reguladores Acción Proporcional. Reguladores P Acción Derivativa. Reguladores PD Acción Integral. Reguladores PI Control PID. 5.-Redes. Diseño con técnicas frecuenciales Red de adelanto de fase Red de retardo de fase Red de retardo-adelanto. 6.-Efectos del elemento de medición sobre el sistema. 7.-Cancelaciones.

2 Introducción Culminación de todos los anteriores capítulos. Tipos de compensación. Acción de control. Tipos de acción: Proporcional Integral Derivativa Otras Compensadores: ejemplos de contrucción física (Anexo III)

3 El problema del diseño Especificaciones de diseño: Específicas de cada caso. Estabilidad relativa, ENEE y otras típicas del transitorio. Márgenes de estabilidad y requisitos en el dominio de la frecuencia. Diseño en el dominio del tiempo o de la frecuencia (según especificaciones). Simplificación a sistemas de 2º orden donde tenemos relaciones analíticas simples entre especificaciones. Históricamente prevaleció el dominio de la frecuencia.

4 El problema del diseño Mayor complejidad analítica para el diseño en el dominio del tiempo, hasta la aparición de computadores y software. Cuando se pueda, es más intuitivo trabajar en el doominio del tiempo. Las herramientas del dominio de la frecuencia son más simples de usar, pero más difíciles de conseguir, a partir de especificaciones temporales. Diseño: Técnicas de prueba y error. Arte y Ciencia. Muchas Alternativas distintas,...

5 Tipos de Compensación Dinámica de un proceso lineal controlado: La mayoría usan una configuración fija. Primero se fija la configuración básica del sistema y el lugar donde se pondrá el controlador. La mayoría de los casos exige compensar alguna característica de ahí el sobrenombre de compensadores.

6 Configuraciones compensadoras Serie (cascada): Mediante realimentación:

7 Configuraciones compensadoras Mediante realimentación de estado: Serie-realimentada:

8 Configuraciones compensadoras Prealimentada: Controladores más usados: PID (dominio del tiempo). Redes de avance-retardo (dominio de la frecuencia).

9 Reguladores Infinidad de modelos, aunque se usan unos pocos estandar. Se elegirá el más simple que cumpla los requisitos: experiencia del diseñador. Una vez elegido el controlador, hay que fijar sus parámetros mediante todas las técnicas apuntadas en los capítulos anteriores. Normalmente es un proceso iterativo. Siempre se debe mantener en mente una seria de características que usaremos a manera de guía:

10 Reguladores Los polos complejos conjugados de la función de transferencia en lazo cerrado producen una respuesta al escalón unitario que es subamortiguada. Si todos los polos son reales, la respuesta al escalón unitario es sobreamortiguada. Sin embargo, los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado pueden causar un sobreimpulso aún si el sistema es sobreamortiguado. La respuesta de un sistema está dominada por aquellos polos más cercanos al origen del plano s (y que no tengan ceros próximos). Los transitorios debidos a aquellos polos a la izquierda decaen más rápidamente. Mientras más alejados a la izquierda en el plano s estén los polos dominantes del sistema, el sistema responderá más rápido y mayor será el ancho de banda.

11 Reguladores Mientras más alejados a la izquierda del plano s estén los polos dominantes del sistema, más caro será y más grandes serán sus señales internas. Cuando un polo y cero de una función de transferencia de un sistema se cancelan uno con el otro, la porción de la respuesta del sistema asociada con el polo tendrá una magnitud más pequeña. Las especificaciones en los dominios del tiempo y de la frecuencia están asociadas vagamente. El tiempo de subida y el ancho de banda son inversamente proporcionales. El margen de fase, el margen de ganancia, M r son inversamente proporcionales al amortiguamiento.

12 Reguladores De acuerdo con su acción de control, los controles automáticos típicos industriales se pueden clasificar en: Controles de dos posiciones o de sí-no. Control proporcional (P). Control integral (I). Control proporcional e integral (PI). Control proporcional y derivativo (PD). Control proporcional, integral y derivativo (PID).

13 Control de Si-No El accionador tiene solamente dos posiciones (encendido o apagado). Es simple y económico. Suelen incluir una brecha diferencial para evitar el constante cambio de estado.

14 Regulador P Acción proporcional: M(t) = K p e(t) Kp es la sensibilidad proporcional o ganancia. En el dominio de Laplace: M ( s) = E( s) K p Todos los vistos hasta son típicamente un amplificador simple de ganancia K.

15 Regulador PD Acción proporcional derivativa m( t) = K e( t) + p K p T D M ( s) = K p (1 + T E( s) de( t) dt D s) T D es el tiempo derivativo. Esta acción es anticipativa, pero puede amplificar el ruido y saturar el actuador. No puede usarse sola (sin P) porque no corregiría errores constantes en el tiempo.

16 Regulador PD Aplicado a un sistema estandar de 2º orden: Función de transferencia: G C (s) = K p + K D s Acción de control: u( t) = K e( t) + p K D de( t) dt Su efecto es añadir un cero en s= -K P /K D a G(s).

17 Regulador PD Interpretación en el dominio del tiempo: de(t)/dt representa la pendiente de e(t), por lo que el control PD es esencialmente anticipativo. El control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el error en estado estable varía con el tiempo, la derivada con respecto al tiempo. no altera el Tipo del sistema que gobierna el ENEE de un sistema con realimentación unitaria.

18 Regulador PD Interpretación en el dominio de la frecuencia: G ( s) K = + = + D K s P K D s K P K P C 1

19 Regulador PD La propiedad de adelanto de fase se puede utilizar para mejorar el margen de fase de un sistema de control. La característica de magnitud del controlador PD empuja la frecuencia de cruce de ganancia a un valor más alto. El principio de diseño del controlador PD involucra el localizar la frecuencia de corte del controlador, w = K P /K D, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Para un sistema dado, existe un intervalo de valores de K P /K D que es óptimo para mejorar el amortiguamiento del sistema.

20 Regulador PD Otro efecto bueno de este controlador, es que al tener la característica de un filtro pasa-alta, se aumenta el ancho de banda del sistema, lo que reduce el tiempo de subida de la respuesta al escalón. La desventaja práctica del controlador PD es que un filtro pasa-alta usualmente acentúa el ruido de alta frecuencia que se introduce por la entrada.

21 Regulador PD Ventajas: Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso máximo. Reduce el tiempo de subida y el de estabilización. Incrementa el ancho de banda (BW). Mejora el margen de ganancia (GM), el margen de fase (PM) y el pico de resonancia M r (disminuye). Inconvenientes: Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. Puede requerir elementos grandes (como condensadores) en la implementación del circuito compensador.

22 Regulador PI Control de acción integral: = = t I I dt t e K m t t e K dt dm t 0 ) ( ) ( o bien ) ( ) ( s K s E s M I = ) ( ) ( Combinada con P: acción PI + = t I P P dt t e T K t e K m t 0 ) ( ) ( ) ( + = s T K s E s M I P 1 1 ) ( ) (

23 Regulador PI T I es el tiempo integral. Sistema prototipo de 2º orden:

24 Regulador PI Función compensada: 2 wn ( K Ps + K G( s) = GC ( s) GP ( s) = 2 s ( s + 2ξw Efectos inmediatos: Añadir un cero en s = -K I /K P a la función de transferencia de la trayectoria directa. Añadir un polo en s = 0 a la función de transferencia de la trayectoria directa. Esto implica que el Tipo de sistema se incrementa en uno, por lo que mejorará en un orden el ENEE. n I ) )

25 Regulador PI Interpretación en el dominio del tiempo: Se tiene un polo en s = 0 y un cero en s = -K I /K P. Mejora el ENEE a costa de la estabilidad. Si la ubicación del cero de G C (s) se selecciona adecuadamente, tanto el amortiguamiento como el ENEE pueden mejorar. Tiempo de subida más bajo y un tiempo de estabilización más largo. Un método consiste en seleccionar el cero en s = -K I /K P relativamente cerca del origen y lejos de los polos más significativos del proceso, y los valores de K P y K I deben ser relativamente pequeños

26 Regulador PI Interpretación en el dominio de la frecuencia: Trazas de Bode:

27 Regulador PI Podemos ver que para valores altos de w, el valor de la ganancia es 20 log 10 K P db, lo cual representa una atenuación si el valor de K P es menor que 1. Esta atenuación se puede utilizar para mejorar la estabilidad del sistema. La fase de G C (jw) es siempre negativa, lo cual perjudica la estabilidad. Se debe poner la frecuencia de corte del controlador (w = -K I /K P ) tan lejos a la izquierda como el requisito del ancho de banda lo permita, para que las propiedades de atraso de fase de G C (jw) no degraden el margen de fase alcanzado por el sistema.

28 Regulador PI Las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa G P (s) del sistema no compensado se hace con la ganancia del lazo puesta de acuerdo con el requisito de comportamiento en estado estable. Los márgenes de fase y ganancia del sistema no compensado se determinan de las trazas de Bode. Para un cierto requisito de margen de fase especificado, la nueva frecuencia de cruce de ganancia w g correspondiente a este margen de fase se localiza sobre las trazas de Bode. La traza de magnitud de transferencia del sistema compensado debe pasar a través del eje de 0db en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia para obtener el margen de fase deseado.

29 Regulador PI Para llevar la curva de magnitud de la función de transferencia del sistema no compensado a 0db en la nueva frecuencia de corte de ganancia w g, el controlador PI debe proveer la cantidad de atenuación igual a la ganancia de la curva de magnitud en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En otras palabras, al hacer que: G P (jw g ) db = -20log 10 K P db ; K P < 1 De donde se tiene: G ( jw ') db / 20 P g K P = 10 K P < 1

30 Regulador PI Como una guía general, K I /K P debe corresponder a una frecuencia que es al menos una década, algunas veces hasta dos décadas, por debajo de w g. Esto es: K w I g ' = rd / s K 10 P Las trazas de Bode del sistema compensado se investigan para ver si todas las especificaciones de funcionamiento se cumplen. Los valores de K I y K P se sustituyen en la ecuación del compensador, para dar la función de transferencia deseada del controlador PI.

31 Regulador PI Ventajas e inconvenientes: Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso máximo. Incrementa el tiempo de subida. Disminuye el ancho de banda. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y M r. Filtra el ruido de alta frecuencia. El problema de seleccionar una combinación adecuada de K I y K P para que el condensador del circuito implementado no sea excesivamente grande, es más agudo que en el caso del controlador PD.

32 Regulador PID La combinación (adecuada) de los efectos de la acción proporcional, integral y derivativa tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales: + + = t I P D P P dt t e T K dt t de T K t e K m t 0 ) ( ) ( ) ( ) ( + + = s T s T K s E s M I D P 1 1 ) ( ) (

33 Regulador PID Procedimiento para el diseño de controladores PID (uno de varios): G Considerar que el controlador PID consiste en una parte PI conectada en cascada con una parte PD. C = K P + K D s + K s I = (1 + K s ) D1 K P2 + K I 2 s

34 Regulador PID La constante proporcional de la parte PD se hace unitaria, ya que sólo se necesitan tres parámetros en el controlador PID. Al igualar ambos miembros de la ecuación anterior, se tiene: K P = K P2 + K D1 K I2 K D = K D1 K P2 ; K I = K I2 Considerar que sólo la parte PD está operando: seleccionar el valor de K DI para lograr una parte de la estabilidad relativa deseada. En el dominio del tiempo, esta estabilidad se puede medir mediante el sobreimpulso máximo, y en el dominio de la frecuencia con el margen de fase. Seleccionar los parámetros K I2 y K P2 para que el requisito de estabilidad relativa sea satisfecho.

35 Diseño con técnicas frecuenciales En general, el diseño de controladores en sistemas de control se puede ver como un problema de diseño de filtros. PD pasa-alta. PI es un filtro pasa-baja. PID es un filtro pasa banda o pasa-banda atenuado. Filtro pasa-alta o de adelanto (avance) de fase. Filtro pasa-baja o controlador de atraso (retardo) de fase.

36 Diseño con técnicas frecuenciales G C Pasa-alta (o de adelanto de fase) si p 1 > z 1, y de pasabaja (o de retraso de fase) si p 1 < z 1. ( s) = Para que el controlador no K degrade el error en estado estable, la forma del controlador debe ser: C s s + + z p 1+ ats G ( s) = C 1 + Ts En ocasiones se usan compensadores de retardo-avance. 1 1

37 Red de adelanto de fase Al mover el cero en 1/aT hacia el origen, se deben mejorar los tiempos de subida y estabilización. Si el cero se mueve muy cerca del origen, el sobreimpulso máximo se puede incrementar otra vez, ya que 1/aT también aparece como un cero de la función de transferencia en lazo cerrado. Al mover el polo en 1/T lejos del cero y el origen, se debe reducir el sobreimpulso máximo, pero si el valor de T es muy pequeño, los tiempos de subida y estabilización se incrementarán otra vez.

38 Red de adelanto de fase Incrementa el amortiguamiento del sistema. Mejora los tiempos de subida y estabilización. No afecta al error de estado estacionario. Ej.: (PM pequeño)

39 Red de adelanto de fase

40 Red de retardo de fase Ahora primero se sitúa el polo y luego el cero:

41 Red de retardo-adelanto Las redes de avance de fase suelen mejorar el tiempo de subida y el de estabilización, pero aumentan el ancho de banda (problemas de ruido); mientras que las redes de retardo de fase mejoran la respuesta en régimen permanente, pero aumentan el tiempo de subida. Es decir, cada una tiene ventajas e inconvenientes la una frente a la otra. Por ello, resulta más eficaz una combinación de ambos controles.

42 Red de retardo-adelanto Comparación: La compensación en adelanto brinda el resultado deseado por su contribución al adelanto de fase; en cambio, la compensación en retardo logra su resultado a través de la característica de la atenuación en altas frecuencias.

43 Red de retardo-adelanto Si se desea un gran ancho de banda o respuesta rápida, debe utilizarse compensación de adelanto. Si hay señales de ruido presentes, puede no ser conveniente un ancho de banda grande, ya que hace al sistema más susceptible a señales de ruido debido al incremento en la ganancia de altas frecuen-cias. En este caso debe utilizarse la compensación en retardo. La compensación en atraso mejora la exactitud en régimen estacionario pero reduce el ancho de banda. Si se desea tanto respuesta rápida como buena exactitud estacionaria, debe emplearse un compensador en retardo-adelanto.

44 Red de retardo-adelanto La compensación en adelanto exige un incremento adicional de ganancia. Esto significa que la compensación en adelanto exigirá mayor ganancia que la necesaria para compensación en atraso. En sistemas complicados la compensación simple lograda con estas redes puede no dar resultados satisfactorios. Entonces, hay que emplear diferentes compensadores con distintas configuraciones de polos y ceros.

45 Efectos del elemento de medición El elemento de medición juega un papel importante en el comportamiento global del sistema de control. Generalmente determina la función de transferencia en el camino de realimentación. Si las constantes de tiempo del elemento de medición son despreciablemente pequeñas en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del elemento de medición simplemente se convierte en una constante.

46 Cancelaciones Cancelar pares de polos complejos conjugados que están muy cerca del eje imaginario del plano s: 1 2 s + 2ξ 1w1s + w 2 1 Mediante una red del tipo: s + 2ξ w s G C ( s) = 2 s + 2ξ 2w2s + w w Estos filtros reciben el nombre de filtros de muesca.

47 Cancelaciones Nunca puede hacerse de forma exacta, por lo que no debe intentarse cancelar polos en el SPD, o muy próximos al eje imaginario, ya que puede conseguirse el efecto contrario:

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