11 Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites

Transcripción

1 Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites Pàgina 7 A través d'una lupa a) A = + d " A = " + d A = 0 d "+ Soroll i silenci I = + d " 0 I = 0 d "+ Pàgina 75 a) Cert Cert Cert d) Cert e) Fals f) Fals g) Cert h) Cert i) Cert j) Fals a) Branca infinita en = (asímptota vertical). Discontinuïtat evitable en = 0 (li falta aquest punt). Branca infinita en = 0 (asímptota vertical). d) Salt en =. a) Està definida i és contínua en tot Á. Està definida i és contínua en (, 5]. Està definida i és contínua en tot Á. d) La funció és contínua en l'interval en el qual està definida: [0, 5). Pàgina 76 Pàgina 78 a) 0 d) Pàgina 79 Fes-ho tu. La funció és contínua en =. f () = " 0 f () = 7 " Fes-ho tu. k = Pàgina 8 Fes-ho tu a) = + " 0 = " + 0 = " 0 = " + 0,5,9,99,999 f() f () = ",5,9,99,999 f() f () = + ",5,9,99,999 f() 5,66 7,6 7,9 7,99 f () = 8 " " ( ) = + " + ( ) = + 9

2 Fes-ho tu. a) 5 " = 5 " 0 = 5 Pàgina 8 a) d) + Fes-ho tu. a) El límit no eistei. 5 a) 0 + d) El límit d'aquesta funció quan 0 és +. Pàgina 85 a) f ( ) = + f ( ) = f ( ) = + f ( ) = + 0 = 0 0 = + d) El límit quan tendei a no té sentit perquè la funció està definida per a 8. 5 Pàgina 8 a) d) f () = f () = f () = + f () no eistei. Pàgina 8 a) + d) 0 e) 0 f) Per eemple, per a = 000, f () = # Per eemple, per a = 000, f () = 0, = + e) No té sentit calcular cap dels dos límits perquè el domini de definició de la funció és l'interval =, G. f) a) d) 5 = 0 f () = + 5 = El límit quan tendei a + no té sentit perquè la funció està definida només quan. f () = 0 f () = + f () = 5 f () = 0 f () = f () = 5 9

3 Pàgina 87 a) La recta = és una asímptota vertical. La recta y = és una asímptota horitzontal. Quan 8 +, la funció està per sobre de l'asímptota. Quan 8, la funció està per sota de l'asímptota. No té asímptotes obliqües. La recta = és una asímptota vertical. No té asímptotes horitzontals. La recta y = + 6 és una asímptota obliqua. Quan 8 +, la funció està per sobre de l'asímptota obliqua. Quan 8, la funció està per sota de l'asímptota. La recta = 0 és una asímptota vertical. La recta y = 0 és una asímptota horitzontal. Quan 8 +, la funció està per sobre de l'asímptota horitzontal. Quan 8, la funció està per sota de l'asímptota. No té asímptotes obliqües. d) La recta = 0 és una asímptota vertical. La recta y = 0 és una asímptota horitzontal. La funció està per sota de l'asímptota horitzontal. No té asímptotes obliqües. e) Les rectes = i = són asímptotes verticals. La recta y = 0 és una asímptota horitzontal. La funció queda per sobre de l'asímptota horitzontal. No té asímptotes obliqües. Té una branca parabòlica quan 8 i una altra quan 8 +. d) Asímptotes verticals: = 0, = Asímptota horitzontal: y = e) Asímptota horitzontal: y = f) Asímptota obliqua: y = Pàgina 89 a) Asímptota: y = 0 g) Asímptota vertical: =. Asímptota obliqua: y = + Asímptota: y = 0 9

4 h) No té asímptota vertical i les branques a l'infinit són parabòliques. Pàgina 9 6 Fes-ho tu. a) Asímptota vertical: = Asímptota horitzontal: y = Pàgina 90 a) Cert Cert Pàgina 9 No té asímptotes verticals. y = és asímptota obliqua. Fes-ho tu. En = 0, ( ) = " 0 En = no eistei el límit. Aquesta funció és discontínua en =, perquè el límit en aquest punt no eistei. Té un salt finit en aquest punt. Per als altres valors de, la funció és contínua perquè està formada per trossos de rectes. Fes-ho tu. a) 0 Pàgina 9 Fes-ho tu. k = 5 Fes-ho tu. a) f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = + f ( ) = d) f () = f () = Pàgina 9 f () = f () = 0 El límit en = 0 no eistei. a) a =, b = 5, c = a) No té asímptotes verticals. y = 0 és una asímptota horitzontal. Té una branca parabòlica quan

5 No té asímptotes verticals. y = 0 és una asímptota horitzontal. Té una branca parabòlica quan 8. = és una asímptota vertical. Té una branca parabòlica en l'infinit. 5 La funció no té asímptotes, té dues branques parabòliques cap amunt quan 8 i f () = = = g() Les gràfiques de f ( ) i g () són iguals. Pàgina 95 a) Discontinuïtat de tipus IV en =, perquè el valor de la funció no coincidei amb el límit en el punt. Discontinuïtat de salt finit (tipus II). La funció eistei en =, però els límits laterals, encara que eisteien, són diferents. Discontinuïtat de salt infinit (tipus I). Té una asímptota vertical per l'esquerra en =. d) Contínua. e) Discontinuïtat de salt infinit (tipus I). Té una asímptota vertical en =. f) Discontinuïtat de tipus III. La funció no està definida en =, però eistei el límit en aquest punt. a) Discontinuïtat de tipus III en =. Discontinuïtat de salt finit en = (tipus II). Discontinuïtat de salt infinit en = (tipus I). Discontinuïtat de tipus III en =. Discontinuïtats de salt finit en = 0 y = (tipus II). d) Discontinuïtats de salt infinit en = y = (tipus I). a) La funció té una discontinuïtat de tipus III. Té una discontinuïtat de tipus IV. Aquesta funció és contínua. d) La funció té una discontinuïtat de salt infinit (tipus I). a) Contínua en. La funció és contínua en el seu domini de definició; és a dir, en {, 0}. La funció és contínua en c, 5 F. d) La funció és contínua en (, + ). e) La funció és contínua en. f) La funció és contínua en. 5 a) + d) 0 e) f) 0 6 a) III I II No n'hi ha cap que sigui contínua en =. 7 a) 5 0 d) e) f) g) h) e 8 a) 5 9 a) La funció és contínua en =. La funció té una discontinuïtat de tipus III en =. La funció té una discontinuïtat de salt finit (tipus II) en = 0. d) La funció és contínua en =. e) La funció és contínua en =. Pàgina 96 0 a) La funció no és discontínua en cap punt. a) 0 Aquesta funció té una discontinuïtat de tipus IV en =. La funció no té discontinuïtats. d) En el punt = hi ha una discontinuïtat de salt finit (tipus II). f () no eistei. 5 8 " a) No eistei el límit. 5 a) d) e) g) f ) h) 95

6 a) " = = ± 0 Si 8 8 f () 8 Si f () a) 5 " 0 + = Si f () 8 Si f () " = + Si 8 8 f () 8 + Si f () 8 " = = ± + 0 Si 8 8 f () 8 + Si f () 8 = ± " 0 + Si f () 8 + Si f () 8 d) + = ± " + + Si 8 8 f () 8 Si f () 8 + d) " 0 0 = 0 96

7 " e) = = + = + f) 8 = ± " + Si 8 8 f () 8 Si f () 8 + (7 ) = (7 ) = + 6 a) 5 e d) 7 a) 8 a) f () = f () = + f () = + f () = 0 f () = f () = ( 0) = + ( 0) = d) e) ( ) = ( ) = [ ( ) ] = [ ( ) ] = 97

8 f) (7 ) = d) f () =0 (7 ) = + " f () = 0 e) f () = " f () = g) (5 ) = + (5 ) = + f ) f () = " f () = + g) f () = h) [( + ) ] = + [( + ) ] = " f () = h) f () = " f () = 9 Resolt en el següent eercici 0. 0 a) " f () = 0 f () = 0 a) f () = + f ()= f () = + " f () = f () = " f () = 0 f () = 0 f () = 98

9 f () = 0 h) f () = f () = 0 f () = d) f () = f () = a) f () = f () = f () = 0 f () = + a) d) Pàgina 97 e) f () = 0 f () = 0 Asímptota vertical: = Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 Asímptota horitzontal: y = Si 8, f () > 0 Si 8 +, f () < 0 5 f ) f () = 0 f () = 0 6 a) Asímptotes: = ; y = g) f () = f () = + Asímptotes: = ; y = 99

10 Asímptotes: = ; y = Asímptotes: = 0; y = d) Asímptotes: = ; y = 0 d) Asímptota: = e) Asímptotes: = ; y = 0 e) Asímptotes: = ; y = 0 f) Asímptotes: = ; y = f) Asímptotes: =, = ; y = 0 7 a) Asímptota: y = 8 a) y = y = + Asímptota: y = 0 y = d) y = + 00

11 e) y = f) y = a) El límit no eistei en el punt = i té una discontinuïtat de salt finit (tipus II). 9 a) Asímptotes: = ; y= 6 8 La funció és contínua Asímptotes: y = 6 6 Asímptotes: y = ; =, = 6 6 d) Asímptotes: = ; y = 6 0 a) k = k = / k = a) Si k =, la funció és contínua en = 5. En = 0 té una discontinuïtat de salt infinit (tipus I). En la resta dels punts és contínua. Si k =, la funció és contínua en =. En = té una discontinuïtat de salt infinit (tipus I). En la resta dels punts és contínua. a = i b = 0 a) 0 d) 0 e) + f ) 5 a) d) e) f) g) h) f () = + f () = + f () = + f () = f () = + f () = f () = + f () = + Pàgina 98 f () = 0 f () = f () = f () = + +log f () = " f () = + f () = " + f () = + 6 a) f () = ± * f () =+ 8 0 " 0 f () = ; f () = 5 " " " g () = 5 h () = Les asímptotes verticals són: De f (), la recta = 0. De g(), la recta =. De h (), la recta = 0. g() = g () = ± 8 * " g() =+ 8 + h () = + h () = " 0 " 0

12 7 a) La recta = 0 és una asímptota vertical. Si 8 0, f () 8 + Si 8 0 +, f () 8 La recta y = es l'asímptota obliqua. Si 8 +, f (), va per sota de l'asímptota. Si 8, f (), va per sobre de l'asímptota. La recta = és una asímptota vertical. Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + La recta y = + és l'asímptota obliqua. Si 8 +, f (), va per sobre de l'asímptota. Si 8, f (), va per sota de l'asímptota. La recta = es una asímptota vertical. Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 La recta = és una asímptota vertical. Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + La recta y = + és l'asímptota obliqua. Si 8 +, f () va per sobre de l'asímptota. Si 8, f () va per sobre de l'asímptota. d) La recta = és una asímptota vertical. 8 Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Té branques parabòliques de creiement cada cop més ràpid i totes dues són cap amunt. + = = ± 0 La recta = 0 és una asímptota vertical. " 0 Si 8 0, f () 8 Si 8 0 +, f () =. La recta y = és una asímptota horitzontal per la dreta. + horitzontal per l'esquerra. Si 8 +, f () = sobre l'asímptota. Si 8, f () ( ) = sota l'asímptota. =. La recta y = és una asímptota + > 0, la funció és + + < 0, la funció és 9 a) Realitza 6 muntatges el primer dia. 0 a) Realitza muntatges el desè dia S'aproima a 0, ja que t "+ 0t = 0. t + t f(t) El nombre crei però d'una manera cada cop més lenta. El creiement tendei a estabilitzar-se. a =, b = No pot tenir asímptota obliqua. a =, b = 0 a) Asímptotes verticals: = y =. Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Asímptota obliqua: y = Si 8 +, f () > Si 8, f () < Asímptotes verticals: = Si 8 +, f () 8 + Si 8, f () 8 Asímptota horitzontal: = Si 8 +, f () > Branca parabòlica cap amunt de creiement cada cop més ràpid en. 0

13 a) 6 a =, resultant ser el límit igual a 8. d) 5 Només té sentit l'estudi de les asímptotes verticals. f () = en l'interval [0, π]. sen = 0, = π, = π són asímptotes verticals. Si 8 0 +, f () 8 + Si 8 π, f () 8 + Si 8 π +, f () 8 Si 8 π, f () 8 g () = en l'interval [0, π]. cos = π, = π Si 8 π, g () 8 + són asímptotes verticals. Si 8 π +, g () 8 Si 8 π, g () 8 Si 8 π +, g () 8 + h () = en l'interval [0, π] cos = π, = 5π Si 8 π, h () 8 Si 8 π +, h () 8 + Si 8 5 π, h () 8 + Si 8 5 π +, h () 8 són asímptotes verticals. 7 a) d) 0 e) + f ) 8 Si m =, + " 9 9 = La discontinuïtat en = és evitable del tipus III. Per a m =, en = hi ha una discontinuïtat de salt infinit (tipus I) perquè + 9 = ±. " 9 Si m =, = 5 i tenim una discontinuïtat evitable de tipus III en = " 9. Per a m =, en = hi ha una discontinuïtat de salt infinit (tipus I) perquè = ± " 9 Si m i m, les discontinuïtats en = i en = són de salt infinit (tipus I) perquè el numerador de la funció no s'anul la. Pàgina 99 9 a) Fals. En una discontinuïtat evitable de tipus III no eistei la funció en un punt però sí que eistei el límit. Cert, ja que no es complei una de les condicions de la continuïtat. Cert. Si tingués tres o més asímptotes horitzontals, dues coincidirien per un dels etrems de l'ei O i aiò és impossible perquè la funció no pot tendir simultàniament a dos resultats diferents. d) Cert. Fins i tot pot tenir infinites asímptotes verticals, com passa amb la funció y = tg. e) Fals. Si f (a) = 0, pot passar que la funció tingui una discontinuïtat evitable en = a. f) Fals. Perquè = = 0 i la recta y = 0 és una asímptota horitzontal quan Són els punts de la forma = k amb k número enter. 5 Com que la funció y = sin és periòdica, els valors que pren y oscil len quan 8 + i, a més, ho fan sense apropar-se a cap número concret. Per tant, el límit no pot eistir. 5 El límit, perquè quan 8 +, >. Aleshores, < 0 i l'arrel quadrada no eistei. 0

14 5 a) Fals. 5 a) f () = n parell i a > 0. Fals. f () = n imparell i a > 0. Cert. f () = n parell i a < 0. d) Cert. d) f () = n imparell i a < 0. + = + ( + ) = + ( + + ) = + ( + ) = 55 a) Verticals: = Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 Horitzontals: a n = + perquè a n > 0 en ser a n = perquè a n < 0 en ser a n = perquè a n < 0 en ser a n = + perquè a n > 0 en ser + = + ( + ) = ( + + ) = + ( + ) = La recta y = és una asímptota horitzontal quan 8 +. La recta y = és una asímptota horitzontal quan 8. Verticals: = Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Horitzontals: La recta y = és una asímptota horitzontal quan 8 +. La recta y = és una asímptota horitzontal quan " 0 + / = + = + " 57 No eistei el límit. " = 0 / = = 0 58 a) d) 0 e) 5 9 f ) 59 Les asímptotes verticals són les rectes = i =. = = + " + 0 No té asímptotes horitzontals. Autoavaluació Pàgina 99 f () = 5 " 0 No té límit en =. f () = " 5 " = = + 0 És contínua en = 0 i en = 5. No és contínua en =, perquè no té límit en aquest punt. a) + a) No té límit en =. f () = " f () = 0 " No té límit en =. f () = f () = f () = 0 Asímptota vertical: = Z lm ] í = " Posició [ ] =+ " + \ Asímptota horitzontal: y = 5 a = 8 +, y> * 8, y< f () = + 0

15 6 f () = 9 " f () = f () = " " f () =+ " No té asímptotes verticals. No té asímptotes horitzontals. Asímptota obliqua: y = f () = + f () = Posició 8 + cra ob < asímptota 8 corba> asímptota 7 05