Análisis Matemático I

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1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática Análisis Matemático I Evaluación Final - Agosto de 26. Nombre: Dirección correo electrónico: Ejercicio. Sea f una funcion continua y con derivada continua en R. Supongamos que para todo x y h se verifica: f(x + h) f(x) = hf (x) Probar que f(x) = ax + b, en donde a y b son constantes. Ejercicio 2. Estudiar la convergencia de ( n 4 + a n 2 + 2n), a R +. n Ejercicio 3. Sean f y g funciones con tres derivadas. El polinomio de Taylor de f de grado 2 alrededor de x = es P 2,,f (x) = +x+x 2. El polinomio de Taylor de g de grado 2 alrededor de x = es P 2,,g (x) = x 2. Calcular el polinomio de Taylor de h(x) = f(x)g(x) de grado 2 alrededor de x =. Ejercicio 4. Encontrar el dominio de convergencia de la serie 3 n+2 (n + 2)x n. Calcular la función suma. n Ejercicio 5.. Calcular (usando integrales de una variable) el área de un sector circular de radio r y ángulo θ π. 2. Se va a realizar un cantero de flores en forma de sector circular de radio r y ángulo central θ π. El área está estipulada, debe ser A. Encuentre r y θ de manera que el perímetro del cantero de flores sea mínimo. Departamento de Matemática UNLP Pág. de

2 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. Supongamos que existen una función continua f definida en todo los reales y una constante K cumpliendo la ecuación: x f(t) dt = x t 2 f(t) dt + x 2 + K. Encontrar una expresión explícita para f y el valor de la constante K. 2. Analizar la convergencia de la serie n ln(cosh(/n)). Observación: Recordar que cosh(x) = 2 (ex + e x ) es el coseno hiperbólico. 3. Sea f una función definida en un intervalo (a, b). Mostrar que si f tiene un máximo local en x (a, b) y f es derivable en x, entonces f (x ) =. 4. Sea f : [, ) IR una función continua cumpliendo f(x), x [, ). a. Si tenemos f(x) dx <, mostrar que el volumen del sólido generado por la región acotada por f(x) con x [, ) al rotar alrededor del eje x resulta finito. b. Dar un ejemplo de una función f tal que el volumen de revolución mencionado en el inciso a. sea finito y además cumpla f(x) 4 x dx =. 5. Hallar la suma de la serie n n

3 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 26 EXAMEN FINAL- 2/5/6. Sea f derivable en (a, b) y x (a, b). Es cierto que f (x ) = lím x x f (x)? En caso afirmativo, justificar. En caso negativo, mostrar un ejemplo para el que esto no se cumple. 2. Sin resolver la integral, estudiar en un entorno del a la función x F (x) = sin(2x) dt. t cos t 3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral ln α x x dx, α >. 4. (a) Estudiar la convergencia de la serie numérica ( ) n+. En caso de 3 n n(n + ) ser convergente, calcular el valor exacto de la suma. (b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma cuarta. 5. Enuncie y demuestre el Teorema de Rolle.

4 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 25 EXAMEN FINAL- 4/2/5. Sea f una función continua en el intervalo [ 2, 2]. Supongamos que la gráfica de f es la siguiente Si f() =, esbozar la gráfica de f. 2. Hallar la derivada de la función F (x) = x sin(/x)f(t)dt. Bajo qué condiciones dicha derivada existe? 3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral π/2 tan x x α dx, α >. 4. (a) Estudiar la convergencia de la serie numérica (n + ) ( 2)n. En caso de ser n= πn convergente, calcular el valor exacto de la suma. (b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma quinta. 5. Enuncie y demuestre el Criterio del cociente.

5 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática Análisis Matemático I (ciencias) Evaluación Final - Mayo 26 Nombre: Dirección correo electrónico: Ejercicio.. a. Sean f y g funciones continuas en [a, b], derivables en (a, b), tales que f (x) y g (x) no se anulan en un mismo punto y, además, con g(a) g(b). Probar que existe c (a, b) tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) b. Calcular arctan 2 (x) arctan 2 () lím x ln(x) Ejercicio 2. Sean a n y b n series convergentes. Supongamos que los términos de la sucesión {c n } n n n cumplen a n c n b n. Probar que c n converge. n Ejercicio 3.. Calcular + x 2 + x 4 dx. Sugerencia: considerar la relación x x = t. Ejercicio 4. Encontrar la función y(x) que es solución de la ecuación diferencial ordinaria con valores iniciales: { y (x) = +y2 +x 2 y() = Explicitar el dominio de la solución. Ejercicio 5. Sea P un punto en el primer cuadrante (x > y y > ) sobre el astroide x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 Probar que el segmento de la recta tangente al astroide en P delimitado por el primer cuadrante tiene longitud constante. Departamento de Matemática UNLP Pág. de

6 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. Demostrar la siguiente desigualdad: ln(x + ) x x 2, x. 2(x + ) 2. Sea f : [a, b] IR una función continua. Probar que hay un punto c (a, b) tal que b a f(x) dx = f(c)(b a). 3. Sea h : (, ) IR una función con derivada segunda continua tal que h() = y h () =. Demostrar: [ ( x 2 lím h = e x x)] h ()/2. 4. Construir una sucesión { z n } n cumpliendo las siguientes condiciones: z n >, n. Para cada n, llamemos A(z n ) al área limitada por el eje y, la parábola y = x 2 + y la recta tangente a esta parábola en el punto x = z n. Entonces se pide que se cumpla: A(z n ) =. 5. Probar que la integral impropia converge para todo t >. x t e x dx

7 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 26 EXAMEN FINAL- /8/6. Sea f una función continua y positiva en (a, b) con f(x) = para todo x (a, b). b a f(x)dx =. Probar que x n+ 2. Sea {x n } una sucesión de números no nulos tales que lím n + x n Calcular lím n + x n. Qué puede decir acerca de Σ x n? 3. Estudiar para qué valores de α, β IR la siguiente integral es convergente x α e βx dx = λ, λ <. 4. Sean a, a,..., a n números reales. Probar que para algún x [, ] se cumple n n a k x k a k = k= k= k Enuncie y demuestre el Criterio de la derivada primera.

8 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 25 EXAMEN FINAL- 2/2/5 sin t. Sea g una función definida por g(x) = + x + 2t dt. Encontrar, si existe, la recta tangente a la gráfica de la función g (x) en x =. Justificar los cálculos realizados. 2. Estudiar la convergencia de la siguiente integral x 3 arctan x dx x α 3. (a) Estudiar la convergencia de la serie numérica convergente, calcular el valor exacto de la suma. ( ) n. En caso de ser 4 n+ n (b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma cuarta. 4. Enuncie y demuestre el Teorema de Rolle.

9 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 23 EXAMEN FINAL- 5/7/3. Sea F dada por F (x 2 + 2x) = sin(3πx). Calcular F (), F (). 2. Demostrar que lím x + x n e x =. 3. Encontrar el polinomio de Taylor alrededor de x = de grado 2 de la función f(x) = { e /x 2 si x si x = Qué puede decir en general del polinomio de grado n y del error que se comete? 4. Estudiar la convergencia absoluta y condicional de + sin x 3 x dx. 5. Calcular, si existe, la función suma de la siguiente serie de potencias Justificar todos los pasos )2 (x 2)n (x 2) + 3(x (n + ) n

10 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. a. Probar que la siguiente serie diverge k=2 ln(ln(k)) b. Hallar un m tal que S m, siendo S m la suma parcial m-ésima. 2. Hallar la función cuya gráfica pasa por el punto (, 2) y la pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) es igual a la ordenada del punto aumentada en 3 unidades. 3. Sea φ : (, ) IR una función dos veces derivable, estrictamente creciente y cóncava. Además, supongamos que la función f : IR IR, f(t) = φ(e t ) es convexa. a. Dar un ejemplo de una función φ cumpliendo estas hipótesis. b. Demostrar φ (x) lím φ (x) =. x 4. Calcular el siguiente límite x ( ) lím sen dt x + x t Pista: Una forma de empezar es usar partes con t ( 2 sen ( )) t 2 t.

11 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 25 EXAMEN FINAL- 3/8/5. Sea g una función definida en IR tal que g() =, g () =, g () = 2 y g( (n) (), para todo n 2. Sea f la función definida por f(x) = cos x x 2 g(x) si x si x = Encontrar, si existe, la recta tangente a la gráfica de la función f en x =. 2. Hallar la derivada de la función F (x) = x ex f(t 2 )dt. Bajo qué condiciones dicha derivada existe? 3. Estudiar la convergencia de la serie numérica ( ) n 2 n= (n + ). 2 (a) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma sexta. (b) Puede estimar el valor n= 2 (n+) 2? 4. Estudiar la convergencia de la siguiente integral arctan x dx x α 5. Enuncie y demuestre el Teorema de Rolle.

12 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 23 EXAMEN FINAL- 9/2/3. Dada la función f : IR {} IR definida por f(x) = 3 sin 2 ( ) se puede redefinir x continua en x =? Justificar los cálculos. 2. Dadas las funciones f(x) = cos 2 x, g(x) = e 2x ; ordenarlas en el intervalo [, π/2]. 3. Analizar la convergencia de la siguiente integral + e x ln 2 xdx. 4. Estudiar la convergencia de la sucesión Justificar. 5. Calcular exactamente, + 2, + 2 +, + 2 +, n. Justificar todos los pasos. en

13 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. En la figura se observa una circunferencia de radio uno. Para valores del ángulo a [, π], definimos f(a)= longitud del segmento que une (x(a), y(a)) con (, ). Analizar para qué valores de p > converge π da (f(a)) p. 2. Hallar números a,b y c para que exista el siguiente límite ( + x) /3 a bx cx 2 lím x x 3 Para los valores encontrados, calcular el límite. 3. Probar la desigualdad: 6x 6 ( + 4 x + x) ln(x), x. 4. Decidir si la integral 3π π sen(x) dx es positiva o negativa. Justificar. x

14 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática Análisis Matemático I (ciencias) Evaluación Final - Febrero 26 Nombre: Dirección correo electrónico: Ejercicio. - Sea f : ( π, π) R definida como: log(sin(x)) log(x) si < x < π, f(x) = si x =, log( sin(x)) log( x) si π < x <.. Probar que f es una función par. 2. Probar que f es continua en su dominio. 3. La función f es derivable en x =? Ejercicio 2. - Encontrar, si existen, el punto o los puntos sobre la elipse x2 4 + y2 = que están más cerca del punto (, ). Justificar los pasos seguidos. Ejercicio Verificar que la función f(x) = 2. Resolver la EDO Ejercicio e x definida en R satisface la EDO y = y( y). { y = y( y) y() = 3. Usando derivación implícita, encontrar la derivada de la función inversa del seno: u : (, ) ( π 2, 3π 2 ); u(sin(x)) = x, x (π 2, 3π 2 ). 2. Calcular Ejercicio Probar que la serie n u(x) dx, donde u es la función del ítem anterior. ( ) n 2n + converge. 2. Aproximar el límite de la serie con un error menor a,. 3. Calcular el valor exacto de la serie. Pista: escribir como serie a la función +x 2. Departamento de Matemática UNLP Pág. de

15 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 23 EXAMEN FINAL- 22/3/3. Dada la función f(x) = e 3/x2 encontrar todas las rectas tangentes que pasan por (, ). Justificar los cálculos. 2. Decidir, sin calcular la integral, si es verdadera la siguiente desigualdad ln 2 x dx π. x3 3. Dada la serie de potencias x x3 3 + x5 x2n ( )n 5 2n +... encontrar su suma en el dominio de convergencia adecuado. Justificar. 4. Demostrar que si u n y u n <, entonces u 2 n < y u n +u n <.

16 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. Sea f : [a, b] IR una función continua y derivable en (a, b). Supongamos que f(a) = f(b) =. Probar que existe un punto c (a, b) tal que f (c) =. 2. Cuántas soluciones tiene la ecuación en el intervalo [, )? x dt ln 4 (t + ) + = e x 3. Sea f : [a, b] IR una función con derivada continua tal que f (x) >, x [a, b]. Probar que vale la siguiente fórmula: bf(b) af(a) = b a f(x)dx + f(b) f(a) f (y)dy. 4. Calcular n 2 (n + )!. Pista: Usar n2 = n(n ) + n. 5. Analizar la convergencia de t + cos 2 (t) ln(t + e t + 5) dt.

17 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 25 EXAMEN FINAL- 2/3/5. Decidir, sin calcular la integral, si es verdadera la siguiente desigualdad 2 xe x dx 2 e. 2. Estudiar la convergencia de la siguiente integral + sin α ( x ) dx, α >. 3. Sea {a n } una sucesión creciente y acotada en IR. Probar que es convergente. Cuál es su límite? 4. Sea {a n } una sucesión de números positvos, supongamos que a n diverge. Estudiar la convergencia de las siguientes series numéricas a) b) c) a n + a n. a n + na n. a n + n 2 a n. 5. Enuncie y demuestre el criterio de derivadas segundas.

18 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 26 EXAMEN FINAL- 4/3/6. Sea f la función definida por f(x) = e /(tan2 x) si x si x = Encontrar, si existe, la recta tangente a la gráfica de la función f en x =. x n+ 2. Sea {x n } una sucesión de números no nulos tales que lím n + x n Calcular lím n + x n. Qué puede decir acerca de Σ x n? 3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral ( ) sin x 2 dx. x 4. Dado q IN, probar la siguiente igualdad justificando cada paso + x dx = ( ) n q qn + n= = λ, λ <. 5. Enuncie y demuestre el Criterio de la derivada primera.

19 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática Análisis Matemático I (ciencias) Evaluación Final - Marzo 26 - segundo llamado. Nombre: Dirección correo electrónico: Ejercicio. Calcular π 2 + cos(x) dx Ejercicio 2... Enunciar el Teorema de Weierstrass. Dar un contraejemplo del resultado si falla la hipótesis sobre regularidad de la función. Dar un contrajemplo del resultado si falla la hipótesis sobre el dominio de la función. 2. Sea f : R + = {x R : x } R+ una función continua tal que lím un máximo absoluto en su dominio. x f(x) =. Probar que f tiene Ejercicio 3. Probar que si f es una función continua en R y satisface: entonces f es idénticamente nula. f(x) = x a f(t) dt, para cierto a R, Ejercicio Probar que arctan( x ) = π 2 arctan(x). ( ) x 2 2. Calcular lím x π arctan(x). Ejercicio Usando sólidos de revolución, calcular el volumen de un cono de base de radio R y altura H. 2. La arena está cayendo sobre una pila cónica de arena a razón de 2 m 3 /min, de tal manera que el diámetro de la base de la pila es siempre 3/2 la altura. Encontrar la velocidad a la cual la altura se incrementa cuando la pila tiene 2 metros de alto. Departamento de Matemática UNLP Pág. de

20 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 23 EXAMEN FINAL- /5/3. Cuántas rectas tangentes a la gráfica de la función f(x) = x 3 + x pasan por el punto (, )? Justificar los cálculos. 2. Calcular el siguiente límite. Justificar. lím x e 2x e 2x 4x. sin x x 3. Calcular, si existe, el área entre las gráficas de las funciones f(x) = x2 x 2 + y g(x) =. 4. Sin resolver la integral, dar el valor de lím h h x 2 ln xdx. 2h (n + )3 n 5. Calcular exactamente. Justificar todos los pasos. n! n=

21 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 25 EXAMEN FINAL- 8/5/5. Calcular, si existe, el área entre las gráficas de las funciones f(x) = x2 x 2 + y g(x) =. 2. Sin resolver la integral, estudiar en un entorno del a la función x F (x) = 2 sin x t cos t dt. 3. Estudiar la convergencia de la siguiente integral 4. Enuncie y demuestre el criterio del cociente. ln α x x ( ) n 5. Calcular exactamente. Justificar todos los pasos. n dx, α >.

22 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 24 EXAMEN FINAL- 28//4. Sea g una función definida en IR tal que g() =, g () =, g () = y g( (n) (), para todo n 2. Sea f la función definida por f(x) = exp(x ) g(x) si x x si x = Encontrar, si existe, la recta tangente a la gráfica de la función f en x =. 2. Decidir, sin calcular la integral, si es verdadera la siguiente desigualdad ln x x 4 dx e. 3. Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = x2 x 2 y sus asíntotas. 4. (a) Estudiar la convergencia de la serie numérica ( ) n. En caso de 2 n+ n(n + ) ser convergente, calcular el valor exacto de la suma. (b) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma sexta. 5. Enuncie y demuestre el Teorema del valor medio.

23 ANALISIS MATEMATICO I (26) Examen final - Octubre de 26. Esbozar la gráfica de la función arctan ( ) + x. x 2. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial ordinaria y (x) = x + y(x). 3. Averiguar para que valores de p y q la integral x p dx converge. + xq 4. Sea {a n } n una sucesión de números positivos. Supongamos que n (a n a n+ ) > λ a n+ para todo n N, donde λ es una constante mayor a. Probar que entonces la serie n a n converge.

24 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 26 EXAMEN FINAL- 23//6. Sea < β <. Demostrar que si f satisface que f(x) x β para todo x y f() = entonces f no es derivable en. 2. Estudiar para qué valores de α IR la siguiente integral es convergente t α e t dt. 3. Es cierto que si f es acotada en [a, b] entonces f es integrable en [a, b]? Justifique. 4. Demostrar el teorema del valor medio. 5. Calcular exactamente ( ) n (n + )2 2n+3.

25 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 26 EXAMEN FINAL- 28/9/6. Sea f una función continua en [a, b] con todo x [a, b]. b a f 2 (x)dx =. Probar que f(x) = para 2. Estudiar para qué valores de α IR la siguiente integral es convergente e x x α dx. 3. Demostrar que si f = entonces f es constante. 4. Dada la serie de potencias (x 5) 5 (x 5)2 (x 5)3 n+ (x 5)n ( ) n n encontrar su suma en el dominio de convergencia adecuado. Justificar. 5. Calcular exactamente ( ) n+ n(n + )5 n.

26 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS-UNLP. EXAMEN FINAL. Apellido y nombres:. Si f : [, ) IR es una función continua y positiva y la integral f(x) dx diverge, demostrar que existe un número real λ tal que λ f(x)dx =. Hay más de un número λ cumpliendo esto? Justifique enunciando los teoremas necesarios. 2. Supongamos que (a n ) n es una sucesión tal que a n [, ]. Demostrar que a n converge si y sólo si arcsin(a n ) converge. 3. Usando el teorema valor medio, calcular: lím (n + n )/3 n /3 4. Hallar los valores de t tales que la siguiente integral sea convergente dx ln(x) ( x) t. 5. Sea f una función definida en un intervalo (a, b). Mostrar que si f tiene un mínimo local en x (a, b) y f es derivable en x, entonces f (x ) =.

27 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 22 EXAMEN FINAL- 3//2. Supongamos que f y g son dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y que f(a) < g(a) pero f(b) > g(b). Demostrar que f(x) = g(x) para algún x [a, b]. 2. Hallar la derivada de la función F (x) = x xf(t)dt. Bajo qué condiciones dicha derivada existe? 3. Existe c IR tal que el área comprendida entre las funciones f(x) = x c, g(x) = y el eje x sea máxima? Justificar. x c 4. Estudiar la convergencia de la serie Dada la serie de potencias cos( nπ 2 )nxn 3 n a) Encontrar el dominio de convergencia. b) Hallar la función suma.

28 Facultad de Ciencias Exactas UNLP 24 EXAMEN FINAL- 6/6/4. Sea g una función definida en IR tal que g() =, g () =, g () = 2 y g( (n) (), para todo n 2. Sea f la función definida por f(x) = sin x g(x) si x x2 si x = Encontrar, si existe, la recta tangente a la gráfica de la función f en x =. 2. Demostrar la siguiente desigualdad Justificar todos los pasos. e 2 e t2 /2 dt Estudiar la convergencia de la serie numérica ( ) n 3 n= (n + 2). 2 (a) Dar una cota superior para el error que se comete al aproximar la serie anterior por su suma décima. (b) Puede estimar el valor n= 3 (n+2) 2? 4. Dada la serie de potencias n= sin( nπ 2 )nxn 4 n a) Encontrar el dominio de convergencia. b) Hallar la función suma. 5. Enuncie y demuestre el Teorema Fundamental del Cálculo.