Aplicaciones lineales

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1 49 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal Capítulo 0 Aplicaciones lineales 0. Definición. Núcleo e imagen Definición 29.- Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: () f(u + v) = f(u) + f(v); u, v V, (2) f(ku) = kf(u); u V y k R. Estas dos propiedades se pueden reunir en: f(ku + lv) = kf(u) + lf(v); u, v V, k, l R. y, en general, se tiene: f(k u + k 2 u k r u r ) = k f(u ) + k 2 f(u 2 ) + + k r f(u r ) u i V, k i R Si V = W la aplicación lineal también se dice que es un operador lineal. Ejemplos 292 Las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales.- f: V V definida por f(v) = 2v : f(λv + µw) = 2(λv + µw) = λ2v + µ2w = λf(v) + µf(w) 2.- Dada A = ( ) ( ) x 0 0, la aplicación f: R 0 3 R 2 con f(x) = Ax = x 0 2 x 3 f(λx + µy) = A(λx + µy) = A(λx) + A(µy) = λax + µay = λf(x) + µf(y) : Proposición Si f: V W es una aplicación lineal, entonces: a) f(0) = 0; b) f( v) = f(v); v V Definición Dada una aplicación lineal f: V W, se define el núcleo o ker(nel) de f, que se denota por ker(f) ó ker f, como el conjunto: ker f = v V : f(v) = 0 y se define la imagen de f, que se denota por Img(f) ó Img f (a veces f(v )), como el conjunto Img f = w W : v V tal que w = f(v) El ker f es un subespacio vectorial de V y la Img f es subespacio vectorial de W (ver ejercicio 0.260). Definición Si f: V W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f. Proposición Sea f: V W es una aplicación lineal y B = v, v 2,..., v n una base de V, entonces Img f = linf(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) En efecto, todo v V puede escribirse como v = k v + k 2 v k n v n, luego f(v) = f(k v + k 2 v k n v n ) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ) En consecuencia, si w Img f, w = f(v) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ), para algún v. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

2 50 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.2 Matrices de una aplicación lineal Ejemplo Tomemos el ejemplo 2) de los Ejemplos 292 anteriores: ker f = x R 3 : f(x) = 0 = x R 3 : Ax = 0 luego son las soluciones del sitema de ecuaciones lineales AX = 0. Como son los vectores de la forma (z, z, z), para cualquier valor de z R, se tiene que ker f = (z, z, z) R 3 : z R = lin(,, ). Para la imagen: tomemos en R 3 la base canónica, entonces Img f =linf(e ), f(e 2 ), f(e 3 )=linae, Ae 2, Ae 3 =lin(0, ), (, 0), (, )=lin(0, ), (, 0)=R 2 pues (, ) = ( )(0, ) + ( )(, 0). Se tiene además, que dim(ker f) = y dim(img f) = 2. No por casualidad, sucede que dim(ker f) + dim(img f) = + 2 = 3 = dim R 3 : Teorema de la dimensión Si f: V W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, dim V = dim(ker f) + dim(img f) Si la dim(ker f) = n = dim V, entonces ker f = V, y f(v) = 0 v V, luego Img f = 0 que tiene dimensión cero, por lo que se cumple dim(ker f) + dim(img f) = dim V ( n + 0 = n ) Si la dim(ker f) = r < n, tomemos B ker = u,..., u r una base del ker f V que podemos completar con n r vectores hasta una base de V, B V = u,..., u r, v r+,..., v n, y el conjunto imagen será por tanto Img f = lin f(u ),..., f(u r ), f(v r+ ),..., f(v n ) = lin 0,..., 0, f(v r+ ),..., f(v n ) =lin f(v r+ ),..., f(v n ) Si probamos que el conjunto formado por esos n r vectores es linealmente independiente, será una base de la Img f y habremos probado que dim(ker f) + dim(img f) = dim V ( r + n r = n ) como queríamos. Veamoslo: por ser f una aplicación lineal, λ r+ f(v r+ ) + + λ n f(v n ) = 0 f(λ r+ v r+ + + λ n v n ) = 0 λ r+ v r+ + + λ n v n ker f luego en la base B ker se expresa con λ r+ v r+ + + λ n v n = µ u + + µ r u r, para ciertos µ i. Luego µ u µ r u r + λ r+ v r+ + + λ n v n = 0 y µ = = µ r = λ r+ = = λ n = 0 por formar esos vectores una base de V. En particular, con λ r+ = = λ n = 0 se prueba que el conjunto f(v r+ ),..., f(v n ) es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la Img f es una base de ella. 0.2 Matrices de una aplicación lineal Teorema Sean V y W espacios vectoriales con dim V = n y dim W = m, y sea f: V W, una aplicación lineal. Si B = v, v 2,..., v n es una base de V y B 2 = w, w 2,..., w m una base de W, entonces la matriz ( ) A m n = [f(v )] B2 [f(v 2 )] B2 [f(v n )] B2 es la única matriz que verifica que [f(v)] B2 = A[v] B, para cada v V. Todo v V se escribe de forma única como una combinación lineal de los vectores de la base, v = k v + k 2 v k n v n, luego su imagen f(v) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ). Como los vectores f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) son de W, sean sus coordenadas en la base B 2 : ( ) f(v ) = (a, a 2,..., a m ) ( ) B 2 f(v ) = a w + a 2 w a m w m f(v 2 ) = (a 2, a 22,..., a m2 ) f(v B 2 2 ) = a 2 w + a 22 w a m2 w m ( ) f(v n ) = a n w + a 2n w a mn w m f(v n ) = (a n, a 2n,..., a mn ) B 2 Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

3 5 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.2 Matrices de una aplicación lineal Entonces, sustituyendo en f(v), se tiene f(v) = k (a w + a 2 w a m w m ) + k 2 (a 2 w + a 22 w a m2 w m ) + + k n (a n w + a 2n w a mn w m ) = (k a + k 2 a k n a n )w + (k a 2 + k 2 a k n a 2n )w 2 por tanto, las coordenadas de f(v) en la base B 2 son [f(v)] B2 = k a + k 2 a k n a n k a 2 + k 2 a k n a 2n k a m + k 2 a m2 + + k n a mn + + (k a m + k 2 a m2 + + k n a mn )w m = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn k k 2. k n = A[v] B y A, tiene por columnas las coordenadas en la base B 2 de las imágenes de los vectores de la base B. Definición Sean B una base de V, B 2 base de W y f: V W una aplicación lineal. A la única matriz A, tal que [f(v)] B2 = A[v] B, para cada v V, se le llama matriz de f respecto de las bases B y B 2. Si f: V V es un operador lineal y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B. Ejemplo Sea f: R 2 [X] R [X] dada por f(p (X)) = P (X). Sean B =, X, X 2 y B 2 =, X bases respectivas de R 2 [X] y R [X]. Entonces, como f() = 0, f(x) = y f(x 2 ) = 2X se tiene que A = ( ( ) ) 0 0 [f()] B2 [f(x)] B2 [f(x 2 )] B2 = es la matriz de f asociada a B y B 2. En efecto ( ) a ( ) 0 0 f(a + bx + cx 2 ) = b + 2cX y A[a + bx + cx 2 ] B = b b = = [b + 2cX] c B2 c Observación Si f: V W es una aplicación lineal y A la matriz de f respecto de B y B 2, entonces ker f = v V : f(v) = 0 = v V : [f(v)] B2 = [0] B2 = v V : A[v] B = 0 luego las coordenadas en la base B de los vectores del ker f son las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0. w Img f = lin f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) [w] B2 lin [f(v )] B2, [f(v 2 )] B2,..., [f(v n )] B2 luego el espacio de las columnas de la matriz A, E c (A), está compuesto por las coordenadas en la base B 2 de los vectores de la Img f. En consecuencia, dim(img f) = dim E c (A) = rg(a). Ejemplo y A = Sean B = v, v 2, v 3 base de V, B 2 = w, w 2, w 3 base de W, f: V W aplicación lineal 0 3 la matriz de f asociada a B y B 2. Encontrar una base de ker f y otra de Img f. Como A[v] B = [f(v)] B2, v 0 ker f A[v 0 ] B = 0, luego resolviendo el sistema AX = 0: x = z x A = = y = 2z = [v 0 ] B = y = z z = z z 2 el vector (, 2, ) genera las coordenadas en B de los vectores del ker f. Luego ker f =lin v 2v 2 +v 3. Además, dim(ker f) = luego dim(img f) = 3 = 2 = rg(a). Y una base de la imagen se obtendrá de una base del espacio de las columnas de A (para operar sobre las columnas de A, operamos es las filas de A t ): A t = 0 3 t = luego los vectores (,, ) y (0,, ) generan las coordenadas en la base B 2 de los vectores de la Img f. En consecuencia, Img f = linw w 2 +w 3, w 2 +w 3. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

4 52 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.2 Matrices de una aplicación lineal Observación 30.- Pueden obtenerse de una sola vez una base para ker(f) y otra para la Img(f). Basta para ello, tener en cuenta que las operaciones elementales realizadas sobre las columnas de la matriz, son operaciones sobre los vectores imagen. Ejemplo Sea A = la matriz de la aplicación f: V W, referida a las bases B = v, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 y B 2 = w, w 2, w 3, w 4. Para obtener una base de la imagen, hacemos operaciones elementales en las filas de A t (en las columnas de A): 2 : C 2 : C 2 : C F 2 6 : C 2 2 2F F 3 +F F A t = 2 9 : C 3 4 F : C 2 2C : C 6 C F 6 F 2 7 : C : C 3 + C F 2 F : C 4 C : C 3 +C : C 4 C 0 4 : C : C : C 5 0 : C : C 6 C : C 2 2C F 3 +3F 2 F 4 3F 2 F 5 F 2 F 6 3F 2 F F 3 F 5 +2F 3 F 6 F 3 2 : C : C 6 C : C 3 + C + 3(C 6 C ) : C 4 C 3(C 6 C ) : C 5 (C 6 C ) : C 2 2C 3(C 6 C ) 2 : C : C 6 C : C 5 C 6 + C : C C 3 2 C C : C 3 + C 6 + 2C : C 2 2C 6 C 5 F 3 F 5 2 : C : C 6 C : C 5 C 6 + C : C 4 + 2C 3C : C 3 2C + 3C : C 2 + C 3C 6 La matriz final es escalonada, luego las tres primeras filas son linealmente independientes, pero éstas en realidad son: C = [f(v )] B2, C 6 C = [f(v 6 )] B2 [f(v )] B2 = [f(v 6 v )] B2 y C 5 C 6 + C = [f(v 5 v 6 + v )] B2. Por lo que f(v ), f(v 6 v ), f(v 5 v 6 + v ) es base de Img(f) (rg(a) = dim(img f) = 3). Las tres filas restantes de la matriz son cero, en realidad: 0 = C C 3 2 C C 5 = [f(v v 3 2 v v 5)] B2 0 = C 3 + C 6 + 2C 5 = [f(v 3 + v 6 + 2v 5 )] B2 0 = C 2 2C 6 C 5 = [f(v 2 2v 6 v 5 )] B2 luego los vectores v v 3 2 v v 5, v 3 +v 6 +2v 5 y v 2 2v 6 v 5 son vectores de ker(f). Como son linealmente independientes (ver justificación en Anexo 2.3, pág 78) y dim(ker f) = 6 dim(img f) = 3, forman una base del ker(f). Definición Si f: R n R m es una aplicación lineal, a la matriz de f asociada a las bases canónicas de R n y R m, se le llama la matriz estándar. Definición Para cada matriz A m n, la aplicación f: R n R m definida por f(x) = Ax es lineal y A es la matriz estándar de f. Se dice que f es una aplicación matricial Composición de aplicaciones lineales Aplicación y función tienen el mismo significado (aunque esta última denominación es la que suele usarse en los temas de Cálculo) por lo que la definición siguiente no debe plantear sorpresas: Definición Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta de f y g, a la aplicación g f: V U definida por (g f)(v) = g(f(v)), v V. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

5 53 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.3 Teorema de Semejanza Proposición Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales, con dim V = n, dim W = m y dim U = p, y sean B, B 2 y B 3 bases de V, W y U, respectivamente. Entonces: a) g f es una aplicación lineal. b) Si A m n es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 2, y C p m es la matriz asociada a g respecto de B 2 y B 3, entonces CA p n es la matriz asociada a g f respecto de las bases B y B 3. a) (g f)(λu + µv) = g(f(λu + µv)) = g(λf(u) + µf(v)) = λg(f(u)) + µg(f(v)) = λ(g f)(u) + µ(g f)(v). b) Teniendo en cuenta que [g(w)] B3 = C[w] B2 y [f(v)] B2 = A[v] B, 0.3 Teorema de Semejanza [(g f)(v)] B3 = [g(f(v))] B3 = C[f(v)] B2 = CA[v] B ; v V. Proposición Sea f: V W una aplicación lineal entre espacios vectoriales, B y B dos bases de V y B 2 y B2 dos bases de W. Si A es la matriz de f asociada a las bases B y B 2, P la matriz de cambio de base la base B a la base B y Q la matriz de cambio de base de B 2 a B2 ; entonces la matriz, A, de f asociada a las bases B y B2 viene dada por A = QAP QAP [v] B = QA[v] B = Q[f(v)] B2 = [f(v)] B 2 = A [v] B 2, v V. Luego A = QAP. Teorema de semejanza Sean f: V V, un operador lineal, A la matriz de f respecto de una base B de V, A 2 la matriz de f respecto de otra base B 2 y P la matriz de paso de B 2 a B. Entonces A 2 = P A P Observación: Una manera de recordar bien este proceso es tener en cuenta los diagramas siguientes, donde la obtención de las nuevas matrices se reduce a la búsqueda de caminos alternativos: A = QAP P V B f W A B2 Q B A B 2 P V f V A B B P A B 2 2 B2 A 2 = P A P No hay que olvidar, que las matrices se operan en orden inverso (las matrices multiplican a los vectores por la izquierda, sucesivamente). Obviamente, el Teorema de Semejanza es un caso particular de la Proposición 306. Definición Dadas dos matrices A y B de orden n, se dice que A y B son semejantes si existe una matriz P inversible tal que B = P AP. Corolario Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases. Corolario 30.- Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

6 54 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.4 Ejercicios 0.4 Ejercicios Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: a) f: R 2 R 2 definida por f(x, y) = ( 3 x, 3 y) b) f: R 3 R 2 definida por f(x, y, z) = (2x + y, 3y 4z). ( ) a b c) f: M 2 2 R definida por f = a c d 2 + b 2. ( ) a b d) f: M 2 2 R 4 definida por f = (a b, b c, c d, d a). c d e) f: R 2 [X] R 3 [X] definida por f(p(x)) = (X ) p(x). f) Si w 0 V 0, sea f: V V definida por f(v) = v + w 0. g) f: R 4 [X] R 5 [X] definida por f(p(x)) = Sea f: V W una aplicación lineal. a) Probar que ker f es un subespacio de V b) Probar que Img f es un subespacio de W X 0 p(t) dt Sean V un espacio vectorial y T : V V la aplicación lineal tal que T (v) = 3v. Cuál es el núcleo de T? Cuál es la imagen de T? Sea B = v = (, 2, 3), v 2 = (2, 5, 3), v 3 = (, 0, 0) una base de R 3 y f: R 3 R 2 una aplicación lineal para la que f(v ) = (, 0), f(v 2 ) = (0, ) y f(v 3 ) = (0, ). a) Encontrar una matriz de la aplicación f indicando las bases a las que está asociada. b) Calcular f(v 3 v 2 2v ) y f(,, ). 3 4 x Sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal dada por la fórmula T (x, y, z) = y z a) Comprobar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas b) Comprobar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación (cartesiana) Obtener núcleo, imagen y una matriz de cada aplicación lineal del ejercicio Encontrar la matriz en las bases canónicas de cada una de las aplicaciones lineales siguientes: x x x + 2x 2 + x x 4 x 3 a) f x 2 = x + 5x 2 b) f x 2 x x 3 x 3 = x x 3 c) f x 2 x 3 = x 4 x x + x 2 3 x x 4 x x 3 x 2 x 3 4 Encontrar una base del nucleo y otra de la imagen, para cada una de ellas Sea T : R 3 W la proyección ortogonal de R 3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0. a) Hallar una fórmula para T (x, y, z) y calcular T (3, 8, 4) b) Encontar el núcleo y la imagen de T, y una base de cada uno de ellos c) Hay vectores que cumplan la igualdad T (v) = v?, cuáles? Sea A una matriz de tamaño 5 7 con rango 4. a) Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0? b) Ax = b tiene solución para todo b de R 5? Por qué? Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f(u) = f(v) = u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker f = 0. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

7 55 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.4 Ejercicios Sea T : R 2 R 3 la transformación lineal definida por T (x, x 2 ) = (x + 2x 2, x, 0). a) Encontrar la matriz de la aplicación T en las bases: B = u =(, 3), u 2 =( 2, 4) y B 2 = v =(,, ), v 2 =(2, 2, 0), v 3 =(3, 0, 0). b) Usar la matriz obtenida en el apartado anterior para calcular T (8, 3). ( ) ( a a Sea f: M 2 2 M 2 2 definida por: f 2 2 = a 2 a 22 0 (hace ( el papel) de( la canónica) ) ( y B) de ( M 2 2 ) : B c =,,, B = a) Demostrar que f es lineal. ) ( ) a a 2 a 2 a 22 b) Cuál será el tamaño de la matriz de f asociada a la base B c? Hallarla. c) Hallar el núcleo y la imagen de f así como sus dimensiones y bases. y sean las bases B c ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, d) Hallar la matriz de f respecto de la base B Sea A = 6 2 la matriz de la aplicación lineal T : R 4 R 3 respecto de las bases: B = v = (0,,, ), v 2 = (2,,, ), v 3 = (, 4,, 2), v 4 = (6, 9, 4, 2) y B 2 = w = (0, 8, 8), w 2 = ( 7, 8, ), w 3 = ( 6, 9, ). a) Hallar [T (v )] B2, [T (v 2 )] B2, [T (v 3 )] B2 y [T (v 4 )] B2 b) Encontrar T (v ), T (v 2 ), T (v 3 ) y T (v 4 ) c) Hallar T (2, 2, 0, 0) Sea T : R 2 R 2 la aplicación lineal definida por ( ) ( ) x x + 7x T = 2. x 2 3x + 4x 2 Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B 2, siendo B = u = (2, 2), u 2 = (4, ) y B 2 = v = (, 3), v 2 = (, ) Dado el operador lineal T : R 2 [X] R 2 [X] tal que [T (p)] B = A[p] B siendo: 2 a A = 2a y B = p = X, p 2 = X X 2, p 3 = a 2 a) Calcular los subespacios ker(t ) y Img(T ) según los valores de a b) Hallar la matriz de T en la base B 0 =, X, X 2 c) Hallar la matriz de T respecto de las bases B 0 y B y de las bases B y B Sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal T = x x 2 = λx + µx 2 + x 3 x + λµx 2 + x 3. Se pide: x 3 x + µx 2 + λx 3 a) Encontrar los valores de λ y µ para los que Img(T ) = R 3, quién es entonces el núcleo? b) Para λ =, encontrar una base del núcleo c) Sea λ = y µ = 0. Se pide: (c.) Hallar la matriz de T respecto de la base B = u =(, 0, ), u 2 =(0,, 0), u 3 =(4,, 2) (c.2) Encontrar la matriz de paso de B a B = v =(,, 2), v 2 =(,, 0), v 3 =(,, ) (c.3) Encontrar la matriz de T en la base B aplicando el teorema de semejanza (c.4) Encontrar la matriz de T respecto de las bases B y B (c.5) Obtener las matrices de T T : respecto de la base B, respecto de la base B, respecto de las bases B y B y respecto de las bases B y B Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso

8 56 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 0.4 Ejercicios Sean f: V W una aplicación lineal. Probar que si f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) son linealmente independientes, entonces v, v 2,..., v n son linealmente independientes. Es cierto el recíproco? Justificar la respuesta Sea T : R 3 R 2 una aplicación lineal tal que: x + 2y + z = 0 (i) ker(t ) = (ii) T 2x + y + z = = ( 0 ) (iii) T 0 = ( 2 ) a) Obtener una matriz asociada a T, indicando respecto a que bases. b) Encontar la imagen del subespacio de R 3 dado por x + y + z = 0, y una base de ella Sean B p = p, p 2, p 3, p 4 una base de R 3 [X], B = v = (0,, 0), v 2 = (,, ), v 3 = (0, 0, ) base de R 3 y f: R 3 [X] R 3 una aplicación lineal verificando: una (i) f(p )=f(2p 2 +p 4 )=f(p 2 p 3 ) (ii) f(p 2 )=v +v 3 v 2 (iii) f(p 4 )=(3, 3, 2) a) Encontrar A p la matriz de la aplicación f en las bases B p y B. 0 b) Es 0 0 la matriz de paso, P c, de la base canónica de R 3 a B? Justificar la respuesta 0 y, en caso negativo, hallar P c. c) Sea B q = q =X X 3, q 2 =X 2, q 3 = X, q 4 =X 2 +X otra base de R 3 [X] para la cuál, las matrices M qp = y A q = son respectivamente, la matriz de paso de B q a B p y la matriz de f en las bases B q y B. Con estos nuevos datos, cómo se puede comprobar que la matriz A p calculada antes es la correcta? d) Hallar bases de ker(f) e Img(f), obteniendo los vectores concretos que las forman. e) Probar que B 2 = w = (, 2, ), w 2 = (0,, ), w 3 = (2,, 0) es base de R 3 y obtener la matriz de paso, P 2, de la base B 2 en la base B. f) A partir de las matrices anteriores, dar la expresión del cálculo de las matrices: A p2 de la aplicación f en las bases B p y B 2 M pq de paso de la base B p en la base B q A q2 de la aplicación f en las bases B q y B 2 g) Pueden conocerse los vectores que forman B p? Cómo? de ser posible o por qué no? Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(a) = det(b) Probar que si A y B son matrices semejantes entonces A 2 y B 2 también lo son. Prof: José Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso