( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( x) ( 2) ( ) ( ) ( )

Transcripción

1 Modelo. Problema B.- Caliicación máima: puntos) La igura representa la gráica de una unción : [ 6; 5] R. Contéstese razonadamente a las preguntas planteadas.? a) Para qué valores de es > b) En qué puntos del intervalo [ 6,5] alcanza sus etremos relativos? a. Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada de una unción en un punto, pendiente de la recta tangente a la unción en el punto), la pendiente de la recta tangente es positiva en los intervalos 6, ) y, 5), por tanto en dichos intervalos la derivada de la unción es positiva. b. La unción alcanza etremos relativos en los puntos donde teniendo tangente horizontal derivada nula) el valor de la unción es mayor máimo) o menor mínimo) que cualquier valor de la unción en un entorno cercano del punto. La unción que se describe gráicamente, solo presenta un etremo relativo, un máimo en, ), en, no se cumple la condición de tangente horizontal, ya que la unción en ese punto no es derivable. ) Septiembre. Ejercicio B: Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por. + a) Determínense los etremos relativos de. a. Los etremos relativos de una unción son los puntos donde la primera derivada se anula y la segunda es distinta de cero, con el criterio de que si la segunda derivada es positiva, es un mínimo, y si es negativa es un máimo. En o, o )) eiste un etremo relativo si o ) y ) > o, Mínimo o : o ) <, Máimo ) ) ) : : : ± ± + ) + ) ) + ) + ) [ + ) ) ] + ) + + ) ) ) + ) + ) ) ) ) ) + 5 > En, ) ) la unción tiene un mínimo

2 + ) > En 5 ), ), Mínimo +, Máimo + Junio. Problema B.- Caliicación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por la unción tiene un máimo 5. a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de. b) Determínense los intervalos de concavidad y conveidad de. a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una unción se asocian al signo de su derivada, en los intervalos en los que >, la unción es creciente, en los que <, la unción es decreciente. Si 5/ + 5 < > Si 5 / < 5 5 ) 5 + ) : 5) 5) 5, ) es CRECIENTE < <, ) es DECRECIENTE Si > 5 >, ) es CRECIENTE b. Los intervalos de curvatura de asocian al signo de la segunda derivada. Si > ) es cóncava Si < ) es convea Si Si < < > > 6 ) es convea ) es cóncava Modelo. Problema A.- Caliicación máima: puntos) 5 Dada la unción real de variable real + b) Hállense los puntos de corte de la gráica de con los ejes de coordenadas y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5 b. Cortes con OXy ): ; 5 ; + ± 5 ± 5 Los puntos de corte con el eje OX son: 5, y 5, 5 Cortes con OY ): y 5 El punto de corte es, 5). + La monotonía de la unción se asocia al signo de la primera derivada: < Decreciente > Creciente 6 + ) 5) ) + ) + ) Para estudiar el signo de la derivada, se calculan los ceros y los polos de la epresión.

3 ) : Ceros : Polos : 6 ± : R 6 R + ) : : + ) > D[ ] La unción ) es creciente en todo su dominio, ), + ) No tiene ceros) Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la undón real de variable real deinida por: + ). + a) Calcúlense los etremos relativos de. a. Máimos y mínimos. Puntos de la unción donde la primera derivada es cero y la segunda es distinta de cero, con el criterio de que si la segunda derivada es positiva, es un mínimo, si es negativa es un máimo. ) ) ) ) + ) + ) ) : + ) ) ) ) ) + ) ) < + ) : : ± : + ) + ) + ) ) + ) ) + ) Si Si y + ) ) + + ) y +, ), ) > En, ) la unción tiene un mínimo En, ) la unción tiene un máimo. Septiembre. F.M. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: ) + ) ) + b) Determínese los etremos relativos de. b. Una unción tiene etremos relativos en los puntos donde su primera derivada sea cero y su segunda derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio: a) < : Máimo Sí a) y a) en a, a)) la unción tiene un etremo relativo: a) > : Mínimo : 6 : ) : : < En, )) la unción tiene un máimo local ) + > En, )) la unción tiene un mínimo local, ) Máimo

4 +, ) Mínimo. Junio. F.M. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: b) Calcúlense sus máimos y mínimos locales. b. Una unción tiene etremos relativos en los puntos donde su primera derivada sea cero y su segunda derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio: a) < : Máimo Sí a) y a) en a, a)) la unción tiene un etremo relativo: a) > : Mínimo ) : : ) : ) ) :, ) ; :, ) ) ) ) ) ) + + ) ) ) : : ) ) ) ) ) <, ) la unción tiene un máimo. >, ) la unción tiene un mínimo. ) Modelo. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: a + b + c ; a, b, c R a) Qué valores deben tomar a, b y c para que la gráica de pase por el punto O, ) y además tenga un máimo relativo en el punto P, )? a. Los parámetros a, b y c se obtienen planteando un sistema con las ecuaciones que permiten plantear los datos. Para plantear los datos hace alta la unción ) a + b + c y su derivada ) a + b Pasa por el punto, ), ) y ): ). a + b + c,) y : ) : a + b + c Máimo en, ): Máimo ) : a + b c a + b + c a + b a Resolviendo : b 6 c ) + 6

5 Junio 9. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: ) a) Determínese los etremos relativos de. a. En los puntos de etremo relativo máimos o mínimos locales) la primera derivada es nula y la segunda derivada es distinta de cero, con el siguiente criterio: a) < a, a) ) eiste un máimo En a. a) : a) : a) > a, a) ) eiste un mínimo Se calculan la primera y segunda derivada. ) Se iguala a cero la primera derivada y se calculan los posibles etremos relativos. : : ) : : ± ± Se sustituyen las raíces de la primera derivada en la segunda y se sigue el criterio propuesto. ) ) ) 8 >, ) )mínimo ) ) >, ) )máimo ) ) 8 >, ) )mínimo Se calculan las imágenes de, y. ) ) ) ) ) En, ) y en, ) la unción presenta mínimos relativos a su vez son absolutos, en, ) la unción tiene un máimo relativo. Modelo 9. Ejercicio. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: ) + a + b ; a, b R. a) Qué valores deben tomar a y b para que tenga un máimo relativo en el punto P, )? b) Para a, b 8, determínense los puntos de corte de la gráica de con los ejes de coordenadas y determínense los puntos de inleión de dicha gráica. a. Si la unción tiene un máimo en, ), se deben cumplir dos condiciones: i. El punto P pertenece a la unción P, ) y )). ) + a + b : a + b ii. En el punto P eiste un máimo relativo. ) ) + a + b ) + a + b : a + b Las dos condiciones permiten plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a + b a 6 : a + b b 9 ) b. ) 8. Puntos de corte con los ejes: 5

6 :, OXy ): 8 : 8) : :, 8 : :, ) OY ): y :, ). Puntos de inleión. Para que una unción tenga un punto de inleión en un punto o debe cumplir: o ) y o ). 8 : 8 : 6 : 6 6 : : : 6 En el punto 6, 7 La unción tiene un punto de inleión. Septiembre 8. Ejercicio. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: + b. Calcúlense los máimos y mínimos relativos de y determínense sus intervalos de crecimiento. b. Estudio de la primera derivada. En los puntos donde se haga cero la derivada y además cambie de signo eistirá un etremo relativo, con el siguiente criterio: Si o ) > o : o, o )) Máimo o ) < Si o ) < o : o, o )) Mínimo o ) > Monotonía: En los intervalos donde > En los intervalos donde <, la unción será creciente., la unción será decreciente. ) + ) 8 ) ) ) Ceros y signos de la derivada. Ceros: : Polos: ) : ±, ), ) > es creciente, ), + ) < es decreciente En, se anula la derivada, pasando de positiva creciente) a negativa decreciente). En, )) la unción tiene un máimo relativo. 6

7 Máimo en, ) + Junio 8. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: + + b. Calcúlense sus máimos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento. a. Monotonía: Se estudia en el signo de la derivada. En los intervalos en los que la derivada sea positiva, la unción será creciente, en los que sea negativa decreciente. + + ) + + ) + ) + + ) Ceros : : ± Ceros y polos de la derivada: Polos : : Etremos relativos. La unción tendrá etremos relativos en los puntos donde la primera derivada sea cero y la segunda distinta de cero, con el criterio de que si la segunda derivada es positiva será un mínimo, y si es negativa un máimo. : ± ) ) ) ) ) ) ) ) < : Máimo > : Mínimo ) + ) + ) + ) + : + Máimo relativo:, ) Mínimo relativo:, + ) Modelo 8. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Dada la unción real de variable real deinida por ) 6 + 9, se pide determinar: b. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de. b. La monotonía de la unción se asocia al signo de la primera derivada con el siguiente criterio: En los intervalos en los que ) sea mayor que cero, la unción será creciente. En los intervalos en los que ) sea menor que cero, la unción será decreciente. El signo de la derivada se estudia por intervalos a partir de las raíces de la misma

8 : + 9 : : ) ) La unción es creciente, ), + ) La unción es decreciente, ) Septiembre 7. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) La gráica de la unción ) a + b + c satisace las siguientes propiedades: Pasa por el punto, ). Tiene un máimo local en el punto, ). Se pide: a) Obtener el valor de los coeicientes a, b y c. a. Los parámetros a, b y c se obtienen planteando un sistema con las ecuaciones que permiten plantear los datos. Para plantear los datos hace alta la unción ) a + b + c y su derivada ) a + b Pasa por el punto, ), ) y ): ). a + b + c,) y : ) : a + b + c Máimo en, ): Máimo : a + b c a + b + c a + b a Resolviendo : b 6 c ) + 6 Junio 7. Ejercicio A. Puntuación máima puntos) Dada la unción real de variable real deinida por ) + b. Calcular sus máimos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. b) El estudio de la monotonía y los etremos relativos se puede hacer simultáneamente estudiando el signo y los ceros de la primera derivada. Monotonía. En los intervalos en los que la ª derivada sea positiva, la unción será creciente. En los intervalos en los que la ª derivada sea negativa, la unción será decreciente. Etremos relativos Máimos y mínimos locales). Si > : o o :, )) Eiste un máimo + o o o ) < Si < : o o :, )) Eiste un mínimo + o o o ) > 8

9 Derivada: ) + ) ) + ) ) [ + ) ) ] + ) ) + 9) + ) Ceros y polos de la ª derivada: Ceros : Polos : ) + 9) + ) : 9 : + En 9, se cumplen las condiciones de máimo local: 9 ) > : 9) : 9 ) < 9) 9 ) 9 + 9, ) Máimo local + En, se cumplen las condiciones de mínimo local: ) < : : ) > ) Creciente sí, 9), + ) Decreciente sí 9, ), ) +,) Mínimo local Junio 6. Ejercicio A. Puntuación máima puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: ) 9 Se pide: a) Calcular sus máimos y mínimos relativos, si eisten. Para que una unción alcance un etremo relativo en un punto o ) debe cumplir las siguientes condiciones:. o ). o ) Criterio para discernir los etremos relativos. Sí o ) >, en o, o )) eiste un mínimo relativo. Sí o ) >, en o, o )) eiste un máimo relativo. ) : ) 6, ) : 9 : + : + 6, ) ) ) 9 ) 6 9 6, 6 ) Máimo, 6 )Mínimo Mínimo Máimo 9

10 Septiembre 5. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por: 9 b. Calcular sus máimos y sus mínimos relativos, si eisten. Para que ) tenga un etremo relativo en o se debe cumplir dos condiciones. i. que la primera derivada se anule en o. o ) ii. que la segunda derivada en o sea distinta de cero. o ) o Para dierenciar el tipo de etremo se usa el criterio: o 9) 8 9) 9) ) ) : 9) 9) 9 En el punto, ) la unción tiene un máimo Modelo 5. A. Puntuación máima: puntos) Sea la unción ) ) a) Calcular sus etremos relativos y su punto de inleión. < o, o )) >, )) ) o 9) o Máimo Mínimo < 79 La condición necesaria y suiciente para que una unción alcance un etremo relativo en un punto o es que: Si Con el siguiente criterio: Si Derivadas de ): o ) y o ) o ) y o ) < o, o )) ) y ) >, )) o ; : 6 igualando a cero la deriva se obtienen los posible puntos de etremo relativo. Si : y ) ; : ± : Si : y ) para comprobar si es un etremo relativo se usa el criterio de la derivada segunda que: ) 6 <,) un MÁXIMO ) 6 >, ) un MÍNIMO o o o un MÁXIMO un MÍNIMO La condición necesaria y suiciente para que una unción tenga un punto de inleión en o es ) y ) Aplicando a la unción propuesta, los posibles puntos de inleión se calculan igualando a cero la segunda derivada y resolviendo la ecuación ) ; 6 ; ; ) para comprobar si es un punto de inleión se utiliza el criterio de la tercera derivada. ) 6 La unción presenta un punto de inleión en, )

11 Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima puntos) Se considera la unción real deinida por ) a + 5 +, a a a) Obtener los valores de a para los cuales la unción ) tiene un máimo en. b) Calcular los etremos relativos de ) para a. ) Para que la unción tenga un máimo en se debe cumplir: ) < Derivadas de ): 6 ) a + 5 : ) a a a a ) a + 5 a + 5 ordenando a + 5a + : a a a a : + : ) + : En hay un máimo Si : a : 6 : ) 6 : En hay un máimo Para que la unción ) tenga un máimo en, el parámetro a puede tomar los valores ó b. ) Etremos relativos. Una unción presenta etremos relativos en los puntos donde su primera derivada es nula y su segunda derivada no nula, con el siguiente criterio: - Si la segunda derivada es negativa, MÁXIMO - Si la segunda derivada es positiva, MÍNIMO ) : ) 6 < ) 6 ) : : 5 5) 5 6 > 7 7 ) : En, ) tiene un máimo ) : En 5, ) tiene un mínimo Gráica. Por ser polinómica el dominio es todo R, no tiene asíntotas, las tendencias en el ininito son: Lím Lím es: Por ser continua y tener un máimo en y un mínimo en 5, la monotonía de la unción En,) 5, + ) > es En, 5) < es decreciente creciente deriva. Los puntos de inleión y la curvatura se obtiene del estudio de los ceros y signo de la segunda Sí < : 6 : 6 : : Si : Sí > : <, es concava ) : 7 :, 7) >, es convea ) Punto de inleión Todos los datos anteriores permiten trazar la gráica de la unción razonadamente.

12 Modelo..A. Puntuación máima: puntos) Se considera la unción real de variable real deinida por + a) Hallar las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad. a. La condición necesaria y suiciente para que una unción y ) alcance en un etremo relativo máimo o mínimo) es que la primera derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio. Si '' ) <, )) eiste un máimo relativo Si ' ) Si '' ) >, )) eiste un mínimo relativo + + ' + ) '' ) Igualando a cero la primera derivada, se localizan los posibles etremos relativos, la segunda derivada, conirma y dierencia los etremos relativos. ) +, ) ' : : : ; ± : ) +, ) ' ' ) >, ) Mínimo ' ' ) <, ) Máimo b. La curvatura de una unción se estudia con el signo de la ª derivada según el siguiente criterio. Si '' >, la curva estará por encima de la tangente. CONCAVA Si '', < la curva esta por debajo de su tangente. CONVEXA ' ' Si : Si < > '' ' ' < convea > concava Modelo. B. Puntuación máima: puntos) Para cada valor de a se considera la unción ) + a ln) a) Calcular el valor del parámetro real a sabiendo que la unción tiene un etremo relativo en el punto de abscisa. caliicar el etremo. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para a. Observación: La notación ln representa el logaritmo neperiano. a. Si una unción presenta un etremo relativo en, entonces la derivada de la unción en ese punto es nula.

13 despejando a ' + a ' ; + a ) + Ln) b. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una unción se estudia en el signo de la primera derivada, con el siguiente criterio. Si ' ) > ) es creciente Si ' < es decreciente Derivando: Ceros de ' ; Polos de ' ; ' + lu 6 ) : Teniendo en cuenta que el dominio de la unción es,+ ) debido a la epresión Ln), el único punto donde puede cambiar de signo es : Si, ) ' < decreciente Si, + ) ' > creciente Junio. A. Puntuación máima: puntos). Sean las unciones ) 9, g ) 6 Calcular: b. Los etremos relativos de g ), si eisten. b. La condición necesaria y suiciente para que una unción alcance un etremo relativo en un punto es que en ese punto la primera derivada sea cero y su segunda derivada sea distinta de cero. g ) 6 ; g ) ; g ) g ) : : 5 g 6 5. En, la unción presenta un mínimo. g > Junio. B. puntuación máima: puntos). Dada la unción a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a. Una unción es creciente en los intervalos en los que su primera derivada sea positiva ) ) + + ) ) )

14 ) > Dominio de ) ) es estrictamente creciente en su dominio de deinición Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima puntos) a Para cada valor de a, se considera la unción ). Se pide: + a) Calcular el valor de a para que ) tenga un mínimo relativo en. Solución: a) Si una unción presenta un mínimo relativo en un punto, en ese punto la derivada debe ser nula. a a) + ) a) + ) ' ) + + ) 6 a) + ) a) + a + ) + ) Particularizando la derivada en el punto de mínimo e igualando a cero, se obtiene el valor de a + a ') : 6 a : a 8 + ) Junio. A. a) Hallar la coordenadas del mínimo de la curva y 5. b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX a) La condición necesaria no suiciente para que una unción alcance un etremo relativo en un punto, es que en dicho punto su derivada se anule. Para conirmar la eistencia de un etremo relativo en el punto donde se anula la primera derivada, eisten dos criterios dierentes: i. Criterio de la segunda derivada ii. Criterio del signo de la segunda derivada y 5 y ; y 5 9 y >, 9) eiste un mínimo Junio. B. puntuación máima: puntos). Se considera la curva de ecuación: y a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máimos y mínimos relativos, si eisten b) Representar gráicamente la curva c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX a. Puntos de corte: OX : y : : OY : : y :,),,),,),) : ± Máimos y mínimos. La unción alcanza etremos relativosmáimos ó mínimos locales) en aquellos puntos donde se anule su primera derivada y sea distinta de cero su segunda derivada. ) ) ) 6

15 5 ) : < < Mínimo 6, 6 6 y : Máimo 6, 6 6 y : b. Gráica de la unción. Se pide esbozar la gráica de una unción cúbica conocidos los puntos de corte con los ejes y los etremos relativos. Teniendo en cuenta además que, las unciones polinómicas no tienen asíntotas y que sus tendencias en este caso son: + + Lím Lím la gráica tiene la orma: c. Se pide calcular el área de la región sombreada + d d Área por simetría se pueden simpliicar los cálculos 8 u d A Septiembre. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Sea la unción ) Calcúlense: a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos.

16 a. La monotonía de una unción se estudia en el signo de la primera derivada con el siguiente criterio - En los intervalos en los que ) sea mayor que ceropositiva), la unción será creciente - En los intervalos en los que ) sea menor que ceronegativa), la unción será decreciente. ) : ' ) Estudio del signo de ) ) Sobre una recta real se estudian los intervalos generados por los ceros ó raíces de la derivada teniendo en cuenta el criterio Sí, ), + ) ) es Sí, ) ) es creciente decreciente b. La condición necesaria y suiciente para que una unción tenga un etremo relativo en un punto, es que en dicho punto la primera derivada sea nula y la segunda derivada sea distinta de cero. Para dierenciar entre máimo y mínimo se tiene en cuenta el signo de la segunda derivada con el siguiente criterio: - Sí o ) < negativa) en o, o )) la unción alcanza un máimo - Sí o ) > positiva) en o, o )) la unción alcanza un mínimo ' ) : ) ) : ' ) : ' ') ) ) : En '' > : 8 ) : En '' ) > Junio. Ejercicio B. Puntuaci6n máima: puntos) Dada la unción ) + +, ) ),), ) ), 8 la unción alcanza un mínimo la unción alcanza un mínimo a) Determínense sus máimos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de inleión. a. La condición necesaria y suiciente para que una unción alcance un etremo relativo en un punto es que en dicho punto la primera derivada de la unción sea cero, y la segunda sea distinta de cero, con el siguiente criterio: ' Sí o ) y: ' ' ' o ) > o ) < o, o )), )) o o MÍNIMO MÁXIMO Los posibles puntos de etremo relativo se obtienen con los ceros de la ª derivada: ' resolviendo la ecuación de segundo grado cuya imágenes son: + ; ' ; + ; ó 6 ) ) Los posibles etremos relativos de la unción ) son los puntos, y, 6 6

17 Para comprobar si son etremos relativos se tendrá en cuenta el criterio de la ª derivada: ' ') + sustituyendo los valores que anulan la ª derivada: ' ' ) ) + < En, MÁXIMO ' ') + > En, MÍNIMO 6 b. Punto de inleión: La condición necesaria y suiciente para que una unción tenga un punto de inleión es que en dicho punto la segunda derivada de la unción sea cero, y la tercera sea distinta de cero, con el siguiente criterio: ) [ ] o y: '' ' o ) > o, o Inlesión Convea Concava ''' ) <, )) Inlesión[ Concava ) Convea ) ] Sí ' ' ) o o o Los posibles puntos de inleión se obtienen de los ceros de la ª derivada ' ') + ; ' ') ; +; cuya imagen en la unción es: 5 ), 5 ) Para comprobar si en, 5 ) ' '' >, 5 ) un P.I. se tiene en cuenta el criterio de la ª derivada.. P.I. Convea ) Concava ) 7