e 2/x +1 3) (1p) Halla las asíntotas de la siguiente función, estudia su posición relativa y expresa ésta gráficamente: ln f(x)= x+1

Transcripción

1 CURSO 7-8. Primra part. d mayo d 8. ) (p) Estudia las discontinuidads d la función: f() / - / + ) (p) Dada la siguint función, s pid: a) La drivada simplificada. b) La cuación d la tangnt d inflión: + yarc tg - 3) (p) Halla las asíntotas d la siguint función, studia su posición rlativa y prsa ésta gráficamnt: ln f() (+) + 4) (p) Encuntra l punto d la parábola y qu stá más próimo al punto P(-8,). 5) (p) Halla l ára d la rgión dl plano limitada por la curva d cuación yln, la rcta normal a su gráfica n l punto d abscisa y la rcta 3. --

2 CURSO 7-8. Sgunda part. 3 d mayo d 8. 6) (p) Discut y rsulv, n su caso, l sistma: k+y+zk k+(-k)y+(k-)zk k+y+kzk 7) (p) Halla l vctor unitario u (a,b,c) si s sab qu los rangos d las matrics A y B son simultánamnt : A a b c B 3 - a b c 8) (p) Rsulv la siguint cuación, indicando l grado d multiplicidad d sus raícs: ) (p) Halla la distancia ntr las rctas r 3+α, y, z-α y s y, -y+z. ) (p) Calcula la cuación continua d la rcta qu stá n l plano π y corta prpndicularmnt a la rcta r: π -y+3z -5 r y- z

3 CURSO 7-8. Ejrcicio : Estudia las discontinuidads d la función: f() / - / + º) Dom(f)(-,) (,+ ). º) La función s continua n su dominio, ya qu, si a Dom(f): lím a f() lím / - a / + /a - /a + f(a) 3º) La función tin una discontinuidad d salto finito n : lím f() lím / - / + /- - / < < ( PUNTO) lím f() lím / - / + > > lím / (/)' / (/)' lím > > Como s indica n la nota, l límit latral drcho d la función f n rsulta sr, al dar l paso al límit, la indtrminación / : lím f() lím / - / + /+ - / > > Otra forma d studiar la continuidad s drivando la función. Como sal la indtrminación /, aplicamos L'Hôpital. También pud hacrs sacando / factor común n numrador y dnominador, simplificando a continuación. -3-

4 CURSO 7-8. Ejrcicio : Dada la siguint función, s pid: a) la drivada simplificada; b) la cuación d la tangnt d inflión: + yarc tg ( PUNTO) - º) Primro drivamos la función: y' ' (+) (-) (-) +(+) (-) (+ ) + º) La condición ncsaria d punto d inflión s qu la drivada sgunda s anul: - y" (+ ) Para confirmar qu s trata d un punto d inflión aplicamos l critrio d la drivada trcra: s: -(+ y ' ) + (+ ) -(+ (+ ) 4 )+8 -- (+ ) 3 +8 (+ ) 3 y '()- Por tanto, la función tin un punto d inflión n. 3º) Calculamos la ordnada dl punto d inflión: y()arc tg π/4 4º) Calculamos la pndint n l punto d inflión: Rsumindo: y'() y y' π/4 6 - (+ ) 3 5º) Por tanto, la cuación plícita d la tangnt d inflión π y- 4 (-) y- π 4 y + π 4 También pud aplicars l critrio d la variación dl signo d la drivada sgunda, qu s lo más cómodo n st caso. -4-

5 CURSO 7-8. Ejrcicio 3: Halla las asíntotas d la siguint función, studia su posición rlativa y prsa ésta gráficamnt: ln f() (+) ( PUNTO) + º) Dom(f)(-,+ ): +> + >- - >- º) La rcta - s asíntota vrtical d la función: lím - >- ln f() lím (+) - + >- ln ( + ) (- ) º) La rcta y s asíntota horizontal d la función n + : ln lím f() lím (+) lím + ln(+) + ln(+) lím + + Posición rlativa: lím + + lím f()-y ln (+) ln + - (+) + Por tanto, como la difrncia s positiva n +, ya qu numrador y dnominador son positivos, la función s ncuntra situada por ncima d la asíntota. 4º) Eprsamos gráficamnt la posición rlativa d la gráfica d la función rspcto a sus asíntotas: O Para calcular l límit dl numrador aplicamos la rgla dl límit d la composición. Como sal la indtrminación /, aplicamos L'Hôpital. Para obtnr sta indtrminación hmos tnido qu aplicar al numrador la rgla dl límit d la composición. -5-

6 CURSO 7-8. Ejrcicio 4: Encuntra l punto d la parábola y qu stá más próimo al punto P(-8,). ( PUNTO) Sa Q(,y) un punto cualquira d la parábola: y Q(,y) P(-8,) O La distancia d P a Q tin qu sr mínima: dd(p,q) (+8) +y Tnmos qu prsar la distancia n función d una sola variabl. Ahora bin, como Q stá n la parábola, satisfac su cuación: y d (+8) + 4 Como d>, podmos sustituirla por su cuadrado: C(+8) + 4 Como la condición ncsaria d trmo rlativo s qu la drivada valga cro, drivamos, igualamos a cro y rsolvmos la cuación: C' (+8) ( 3 ++8) (+)( -4+9) ± Para aplicar l critrio d la drivada sgunda, drivamos d nuvo y calculamos l valor d la drivada sgunda n -: C" + C"(-)48+5> d s mínima n - Por último: - y4 Q(-,4) Dscomponmos l polinomio por Ruffini. También pud aplicars l critrio d la variación dl signo d la drivada primra. -6-

7 CURSO 7-8. Ejrcicio 5: Halla l ára d la rgión dl plano limitada por la curva d cuación yln, la rcta normal a su gráfica n l punto d abscisa y la rcta 3. ( PUNTO) Calculamos primro la rcta normal a la curva n : yln y()ln y'/ y'() y--(-) y-+ º) Rsolvmos l sistma qu forman las funcions qu limitan por arriba y por abajo l rcinto cuya ára qurmos hallar: y-+ yln -+ln º) Avriguamos ntr y 3 qué función stá por ncima y qué función stá por dbajo: 3º) Calculamos l ára: y y - ln A 3 [ln -(-+)] d 3 (ln +-) d 3 ln ln ln ln ln 3ln 7 (ln +-) d ln d ln C ln C Comprobación: S D I + ln - / ln + - ' ln ln ++ - ln +- Rprsntación gráfica yln O 3 y-+ Si la pndint d la tangnt s m', la d la normal s m- (ya qu m m'-). Ya qu la rcta s la normal a la curva n l punto d abscisa. 3 La corrspondint intgral indfinida la hacmos apart. 4 La intgral qu falta (las otras son inmdiatas d tipo potncial) s hac por parts. -7-

8 CURSO 7-8. Ejrcicio 6: Discut y rsulv, n su caso, l sistma: k+y+zk k+(-k)y+(k-)zk k+y+kzk Aplicamos l método d Gauss: k k k -k k- k k k k ~ k -k Estudiamos los distintos casos: k- k- k k k -k k- k k ( PUNTO) º) Si k, l sistma s compatibl indtrminado y la solución dpnd d un parámtro: ~4 - ~5 - y+z z y z α y z º) Si k, l sistma s incompatibl: º) En los dmás casos l sistma s compatibl dtrminado: k+y+zk k -ky+(k-)z z (k-)zk k- k ky(k-)z(k-) k- y k(k-) k- k(k-) kk -y-zk - k- - k k- k 3 -k -k +k-k k- k 3-3k +k k- 7 k(k-)(k-) k- k(k-) k- ªf-ªf; 3ªf-ªf. Como no s pud dividir por cro, tnmos qu calcular los valors dl parámtro qu anulan los coficints d las incógnitas qu tnmos qu dspjar lugo (caso 3º). 3 Ya qu l númro d incógnitas mnos l númro d cuacions fundamntals s. 4 ªf (-/). 5 3ªf+ªf. 6 Ya qu la última cuación s incompatibl. 7 Factorizamos l numrador. -8-

9 CURSO 7-8. Ejrcicio 7: Halla l vctor unitario u (a,b,c) si s sab qu los rangos d las matrics A y B son simultánamnt : a a A b B - b ( PUNTO) c 3 c El rango d la matriz A s : rg(a)rg a b c rg - a b-a c-a ac c-a El rango d la matriz B s : rg(b)rg 3 - a b c rg 6 - a b c 3 rg - a b -3a+c 4 rg - a b -3a+b+c 5-3c+b+c -3a+b+c cb Por último, l vctor u s unitario: u a +b +c 5 b +c 6 b +8b 9b b /9 b±/3 Por tanto, hay dos solucions: a b c u /3 /3 /3 (/3,/3,/3) -/3 -/3 -/3 (-/3,-/3,-/3) ªf-ªf; 3ªf-ªf. 3ªf. 3 3ªf-3 ªf. 4 3ªf+ ªf. 5 Ya qu ac. 6 Ya qu cb. -9-

10 CURSO 7-8. Ejrcicio 8: Rsulv la siguint cuación, indicando l grado d multiplicidad d sus raícs: ( PUNTO) (3-)(--) raíz simpl /3 - raíz tripl ªc+ªc+3ªc+4ªc. ªf-ªf; 3ªf-ªf; 4ªf-ªf. 3 Ya qu l dtrminant d una matriz triangular s igual al producto d los lmntos d la diagonal principal. --

11 CURSO 7-8. Ejrcicio 9: Halla la distancia ntr las rctas r 3+α, y, z-α y s y, -y+z. ( PUNTO) Calculamos una dtrminación linal d cada una d las rctas: 3+α r y z-α P(3,,) u (,,-) y -β s -y+z y -z y zβ Q(,,) v (-,,) Como [QP ](3,,) y las rctas son, vidntmnt, parallas: [QP ] v d(r,s) d(p,s) v i j k i -4j +k Ya qu sus vctors dirccionals son opustos. --

12 CURSO 7-8. Ejrcicio : Calcula la cuación continua d la rcta qu stá n l plano π y corta prpndicularmnt a la rcta r: π -y+3z -5 r y- z+3 - ( PUNTO) Sa s la rcta buscada y P l punto d cort con r: r s P π Calculamos las cuacions paramétricas d la rcta r: -5 y- z+3 - α 5 y+α z-3-α Como P prtnc a r, P(5,+α,-3-α). Y como prtnc a π: 5-(+α)+3(-3-α) 5--4α-9-3α 7α-7 α- P(5,-,-) Como l vctor dirccional d la rcta r, u (,,-), y l vctor caractrístico dl plano, v (,-,3), son prpndiculars a la rcta s, un vctor dirccional d ésta s: i u v j k i -j -k Por tanto, la cuación continua d la rcta s s: -5 s 4 y+ - z+ - También pud hacrs d la siguint manra. Una vz calculado P como intrscción d la rcta r y l plano π, como la rcta s s prpndicular a r, stará n l plano prpndicular a r qu pasa por P, y como también stá n l plano π, su cuación vin dada como la intrscción d ambos planos; o tnindo n cunta qu los puntos d la rcta s son los puntos X dl plano tals qu l producto scalar d los vctors [PX ] y u s cro. Por tanto, X(+α-3β,α,β). --