Fiabilidad. Fiabilidad. María Isabel Hartillo Hermoso Granada, 25 de Mayo FQM-5849
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- Sergio Chávez Cordero
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1 Fiabilidad María Isabel Hartillo Hermoso Granada, 25 de Mayo FQM-5849
2 Sistemas Partimos de un sistema en serie: r 1 r 2 r 3 r 4
3 Sistemas Partimos de un sistema en serie: r 1 r 2 r 3 r 4 La fiabilidad del sistema es: R = P(X S = 1) =
4 Sistemas Partimos de un sistema en serie: r 1 r 2 r 3 r 4 La fiabilidad del sistema es: R = P(X S = 1) = P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1) =
5 Sistemas Partimos de un sistema en serie: r 1 r 2 r 3 r 4 La fiabilidad del sistema es: R = P(X S = 1) = P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1) = P(X 1 = 1) P(X 2 = 1) P(X 3 = 1) P(X 4 = 1) = r 1 r 2 r 3 r 4
6 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 2 r 3 r 4 r 5
7 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0)
8 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0) = 1 P(X 1 = 0, X 2 = 0,..., X 5 = 0)
9 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0) = 1 P(X 1 = 0, X 2 = 0,..., X 5 = 0) 5 = 1 P(X 1 = 0) P(X 2 = 0) P(X 5 = 0) = 1 (1 r i ) i=1
10 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 1 r 1 r 1 r 1
11 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0)
12 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0) = 1 P(X 1 = 0, X 2 = 0,..., X 5 = 0)
13 Sistemas Partimos de un sistema en paralelo: r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 La fiabilidad del sistema es: R = P(X s = 1) = 1 P(X s = 0) = 1 P(X 1 = 0, X 2 = 0,..., X 5 = 0) = 1 P(X 1 = 0) P(X 2 = 0) P(X 5 = 0) = 1 (1 r 1 ) 5
14 Sistemas Combinando, tenemos un sistema en serie paralelo: r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3
15 Sistemas Combinando, tenemos un sistema en serie paralelo: r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 La fiabilidad del sistema es: R = P(X 1 = 1) P(X 2 = 1) P(X 3 = 1)
16 Sistemas Combinando, tenemos un sistema en serie paralelo: r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 La fiabilidad del sistema es: 3 R = P(X 1 = 1) P(X 2 = 1) P(X 3 = 1) = (1 (1 r i ) 5 ) i=1
17 Sistemas Consideramos un sistema en serie, con n subsistemas en paralelo: r 1 r 2 r n r 1 r 2 r n... r 1 r 2 r n x 1 x 2 x n
18 Sistemas Consideramos un sistema en serie, con n subsistemas en paralelo: r 1 r 2 r n r 1 r 2 r n... r 1 r 2 r n x 1 x 2 x n n R(x) = (1 (1 r i ) x i ) i=1
19 Sistemas Consideramos un sistema en serie, con n subsistemas en paralelo: r 1 r 2 r n r 1 r 2 r n... r 1 r 2 r n x 1 x 2 x n (P1) s.t. mín i c ix i R(x) = n i=1 (1 (1 r i) x i ) R 0, 1 x i u i
20 Sistemas Si consideramos diferentes componentes en cada subsistema: r 11 r 21 r n1 r 12 r 22 r n2... r 1k1 r 2k2 r nkn x 1j x 2j x nj
21 Sistemas Si consideramos diferentes componentes en cada subsistema: r 11 r 21 r n1 r 12 r 22 r n2... r 1k1 r 2k2 r nkn x 1j x 2j x nj k n j R(x) = (1 (1 r ij ) x ij ) i=1 j=1
22 Sistemas Si consideramos diferentes componentes en cada subsistema: r 11 r 21 r n1 r 12 r 22 r n2... r 1k1 r 2k2 r nkn (P2) s.t. x 1j x 2j x nj mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k j j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j
23 Sistemas Si consideramos diferentes componentes en cada subsistema: r 11 r 21 r n1 r 12 r 22 r n2... r 1k1 r 2k2 r nkn (P2) s.t. x 1j x 2j x nj mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k j j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1
24 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad
25 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema.
26 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto.
27 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Optimización C.S. Sung, Y.K. Cho. Reliability optimization of a series system with multiple-choice and budget constraint. European Journal of Operational Research, 75(1): , 2000.
28 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Aproximación F. Ahmadizar, H. Soltanpanah. Reliability optimization of a series system with multiple-choice and budget constraints using an efficient ant colony approach. Expert Systems with Applications, 38(4): , 2011.
29 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Podemos minimizar el coste, fijada una fiabilidad mínima.
30 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Podemos minimizar el coste, fijada una fiabilidad mínima. M. Djerdjour, K. Rekab. A branch and bound algorithm for designing reliable systems at a minimum cost. Applied Mathematics and Computation, 118(2): , Optimización
31 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Podemos minimizar el coste, fijada una fiabilidad mínima. Optimización N. Ruan, X. Sun. An exact algorithm for cost minimization in series reliability systems with multiple component choices. Applied Mathematics and Computation, 181(1): , 2006.
32 Trabajos previos Optimizando la fiabilidad Cantidad óptima de componentes redundantes, en cada subsistema. Maximizar la fiabilidad, sujeto a un presupuesto. Podemos minimizar el coste, fijada una fiabilidad mínima. Aproximación J.E. Ramirez-Marquez, D.W. Coit. A heuristic for solving the redundancy allocation problem for multi-state series-parallel systems. Reliability Engineering & System Safety, 83(3): , 2004.
33 Trabajos previos Djerdjour & Rekab (P1) s.t. mín i c ix i R(x) = n i=1 (1 (1 r i) x i ) R 0, 1 l i x i u i
34 Trabajos previos Djerdjour & Rekab (P1) s.t. mín i c ix i R(x) = n i=1 (1 (1 r i) x i ) R 0, 1 l i x i u i y i = u i x i
35 Trabajos previos Djerdjour & Rekab y i = u i x i (MP1) s.t. máx i c iy i n i=1 log(1 (1 r i) u i y i ) log(r 0 ), 0 y i u i l i
36 Trabajos previos Djerdjour & Rekab y i = u i x i (MP1) s.t. máx i c iy i n i=1 log(1 (1 r i) u i y i ) log(r 0 ), 0 y i u i l i
37 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Como R(y) es separable, podemos construir una función f i (y i ) lineal a trozos con uniones en los valores enteros
38 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Como R(y) es separable, podemos construir una función f i (y i ) lineal a trozos con uniones en los valores enteros f i (0) log(1 (1 r i ) u i ) f i (1) log(1 (1 r i ) u i 1 ).. f i (u i l i ) log(1 (1 r i ) l i )
39 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Como R(y) es separable, podemos construir una función f i (y i ) lineal a trozos con uniones en los valores enteros f i (0) log(1 (1 r i ) u i ) f i (1) log(1 (1 r i ) u i 1 ).. f i (u i l i ) log(1 (1 r i ) l i ) f i (y i ) log(1 (1 r i ) u i y i ) y i
40 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Como R(y) es separable, podemos construir una función f i (y i ) lineal a trozos con uniones en los valores enteros f i (0) log(1 (1 r i ) u i ) f i (1) log(1 (1 r i ) u i 1 ).. f i (u i l i ) log(1 (1 r i ) l i ) f i (y i ) log(1 (1 r i ) u i y i ) f i (y i ) es función convexa no decreciente. y i
41 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Si denominamos f ik = f i (k), (MP1) es equivalente a: (MP1 ) máx i k c iw ik s.t. n ui l i i=1 k=1 (f ik f ik 1 )w ik log(r 0 ), w ik = 0, 1 w ik > 0 w ij = 1 j < k
42 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Algoritmo greedy ( y 0 = (0,..., 0) c 0 = repeat i = máx{c1 0,... c0 n} y 0 i = y 0 i + mín { c 0 i = c i f i (y i +1) f i (y i ) c 1 f 1 (1) f 1 (0),..., 1, log(r 0)+log(R(y 0 )) f i (y i +1) f i (y i ) until y 0 i = u i l i or R(y 0 ) = R 0 ) c n f n(1) f n(0). }
43 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Algoritmo greedy ( y 0 = (0,..., 0) c 0 = repeat i = máx{c1 0,... c0 n} y 0 i = y 0 i + mín { c 0 i = c i f i (y i +1) f i (y i ) c 1 f 1 (1) f 1 (0),..., 1, log(r 0)+log(R(y 0 )) f i (y i +1) f i (y i ) until y 0 i = u i l i or R(y 0 ) = R 0 ) c n f n(1) f n(0). } y 0
44 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Algoritmo greedy ( y 0 = (0,..., 0) c 0 = repeat i = máx{c1 0,... c0 n} y 0 i = y 0 i + mín { c 0 i = c i f i (y i +1) f i (y i ) c 1 f 1 (1) f 1 (0),..., 1, log(r 0)+log(R(y 0 )) f i (y i +1) f i (y i ) until y 0 i = u i l i or R(y 0 ) = R 0 ) c n f n(1) f n(0). } y 0 y G = y 0
45 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Algoritmo greedy ( y 0 = (0,..., 0) c 0 = repeat i = máx{c1 0,... c0 n} y 0 i = y 0 i + mín { c 0 i = c i f i (y i +1) f i (y i ) c 1 f 1 (1) f 1 (0),..., 1, log(r 0)+log(R(y 0 )) f i (y i +1) f i (y i ) until y 0 i = u i l i or R(y 0 ) = R 0 ) c n f n(1) f n(0). } y 0 y G = y 0 Z LP = c i y 0 i
46 Trabajos previos Djerdjour & Rekab Algoritmo greedy ( y 0 = (0,..., 0) c 0 = repeat i = máx{c1 0,... c0 n} y 0 i = y 0 i + mín { c 0 i = c i f i (y i +1) f i (y i ) c 1 f 1 (1) f 1 (0),..., 1, log(r 0)+log(R(y 0 )) f i (y i +1) f i (y i ) until y 0 i = u i l i or R(y 0 ) = R 0 ) c n f n(1) f n(0). } y 0 y G = y 0 Z LP = c i y 0 i Z G = c i y G i
47 Trabajos previos Ruan & Sun (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1
48 Trabajos previos Ruan & Sun (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1 Relajamos el problema a uno lineal: (RP2) mín i,j c ijx ij s.t. n ki i=1 j=1 (log(1 r ij))x ij n log(1 R 1/n 0 ), ki j=1 (log(1 r ij))x ij log(1 R 0 ) 0 x i,j u i,j
49 Trabajos previos Ruan & Sun Relajación lagrangiana D 1 d 1 (λ) = mín ( i,j c ijx ij + ) λ ij a ijx ij b 0 s.t. ki j=1 a ijx ij b i 0 x i,j u i,j
50 Trabajos previos Ruan & Sun Relajación lagrangiana D 1 d 1 (λ) = mín ( i,j c ijx ij + ) λ ij a ijx ij b 0 s.t. ki j=1 a ijx ij b i Con problema dual 0 x i,j u i,j (D 1 ) máx λ 0 d 1 (λ)
51 Trabajos previos Ruan & Sun Relajación lagrangiana D 1 d 1 (λ) = mín ( i,j c ijx ij + ) λ ij a ijx ij b 0 s.t. ki j=1 a ijx ij b i Relajación lagrangiana D 2 d 2 (λ) = mín i,j c ijx ij + λ 0 ( ij a ijx ij b 0 )) + i λ i( j a ijx ij b i ) s.t. 0 x i,j u i,j Con problema dual 0 x i,j u i,j (D 1 ) máx λ 0 d 1 (λ)
52 Trabajos previos Ruan & Sun Relajación lagrangiana D 1 d 1 (λ) = mín ( i,j c ijx ij + ) λ ij a ijx ij b 0 s.t. Con problema dual ki j=1 a ijx ij b i 0 x i,j u i,j (D 1 ) máx λ 0 d 1 (λ) Relajación lagrangiana D 2 d 2 (λ) = mín i,j c ijx ij + λ 0 ( ij a ijx ij b 0 )) + i λ i( j a ijx ij b i ) s.t. Con problema dual (D 2 ) máx λ R n x i,j u i,j d 2 (λ)
53 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1
54 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1
55 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1
56 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
57 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
58 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
59 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
60 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
61 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
62 Trabajos previos Ruan & Sun Partición 1 Partición 2
63 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun Require: x opt factible Ensure: x óptimo (P2) Ω =, α 1 = (0,..., 0), β 1 = (u 11,..., u nkn ) X 1 = α 1, β 1 f opt = c(x opt ). Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X 1. Calcula x 1 solución óptima asociada a LB 1
64 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun Require: x opt factible Ensure: x óptimo (P2) Ω =, α 1 = (0,..., 0), β 1 = (u 11,..., u nkn ) X 1 = α 1, β 1 f opt = c(x opt ). Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X 1. Calcula x 1 solución óptima asociada a LB 1 (Paso 1) if x k es factible then X k Partición 1, N nuevas cajas if f opt > c(x k ) then x opt = x k end if else X k Partición 2, N nuevas cajas end if
65 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun for all X k Caja de alguna partición anterior do Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X k. Calcula x k solución óptima asociada a LB 1.
66 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun for all X k Caja de alguna partición anterior do Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X k. Calcula x k solución óptima asociada a LB 1. Calcula una cota alternativa LB 2 resolviendo (P1) en X k.
67 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun for all X k Caja de alguna partición anterior do Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X k. Calcula x k solución óptima asociada a LB 1. Calcula una cota alternativa LB 2 resolviendo (P1) en X k. Sea LB(X k ) = mín(lb 1, LB 2 ) if LB(X k ) < f opt then Ω = Ω X k end if end for
68 Trabajos previos Ruan & Sun Algoritmo Ruan & Sun for all X k Caja de alguna partición anterior do Calcula cota lagrangiana LB 1 de D 1 ó D 2 en X k. Calcula x k solución óptima asociada a LB 1. Calcula una cota alternativa LB 2 resolviendo (P1) en X k. Sea LB(X k ) = mín(lb 1, LB 2 ) if LB(X k ) < f opt then Ω = Ω X k end if end for if Ω = then x opt es óptimo else LB(X k+1 ) = mín{lb(x )X Ω} x k+1 solución óptima asociada a LB(X k+1 ) Ω = Ω\X k+1 Ir a (Paso 1)
69 (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1
70 (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1
71 (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1 Relajamos el problema a uno lineal: (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j
72 Relajado lineal Ruan & Sun: (RP2) mín i,j c ijx ij s.t. n ki i=1 j=1 (log(1 r ij))x ij n log(1 R 1/n 0 ), ki j=1 (log(1 r ij))x ij log(1 R 0 ) 0 x i,j u i,j
73 Relajado lineal Ruan & Sun: (RP2) mín i,j c ijx ij s.t. n ki i=1 j=1 (log(1 r ij))x ij n log(1 R 1/n 0 ), ki j=1 (log(1 r ij))x ij log(1 R 0 ) 0 x i,j u i,j Si r ij R 0 k i x ij 1 (log(1 r ij ))x ij log(1 R 0 ) j j=1
74 Relajado lineal Ruan & Sun: (RP2) mín i,j c ijx ij s.t. n ki i=1 j=1 (log(1 r ij))x ij n log(1 R 1/n 0 ), ki j=1 (log(1 r ij))x ij log(1 R 0 ) 0 x i,j u i,j Si r ij R 0 k i x ij 1 (log(1 r ij ))x ij log(1 R 0 ) j j=1
75 Algoritmo greedy à la Ruan & Sun ( y 0 = (u 11,..., u nkn ), c 0 c = 11 log(1 r,..., 11) I = {(1, 1),..., (1, k 1 )..., (n, k n )}, Ordena I por orden decreciente de ci,j 0 for all (i, j) I do fiable=true & subsisnovacio=true while fiable & subsisnovacio & yi,j 0 > 0 do yi,j 0 = y i,j 0 1 if k y 0 ik < 1 then subsisnovacio=false end if if R(y 0 ) < R 0 then fiable=false end if if fiable=false o subsisnovacio=false then y 0 i,j = y 0 ij + 1 end if end while ) c nkn log(1 r nkn )
76 Otra condición lineal Con el algoritmo greedy, calculamos y 0 factible para (P2).
77 Otra condición lineal Con el algoritmo greedy, calculamos y 0 factible para (P2). ij c ijy 0 ij = c G
78 Otra condición lineal Con el algoritmo greedy, calculamos y 0 factible para (P2). ij c ijy 0 ij = c G El óptimo de (P2), tendrá coste inferior o igual a c G, por lo que (P2) es equivalente a:
79 Otra condición lineal Con el algoritmo greedy, calculamos y 0 factible para (P2). ij c ijy 0 ij = c G El óptimo de (P2), tendrá coste inferior o igual a c G, por lo que (P2) es equivalente a: (P2) s.t. mín i,j c ijx ij R(x) = n i=1 (1 k i j=1 (1 r ij) x ij ) R 0, 0 x i,j u i,j j x ij 1 ij c ijx ij c G
80 Relajado lineal de (P2) (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij 0 x i,j u i,j j x ij 1 ij c ijx ij c G
81 Relajado lineal de (P2) (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij 0 x i,j u i,j j x ij 1 ij c ijx ij c G Queremos calcular un conjunto test para (LP2).
82 Relajado lineal de (P2) (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij 0 x i,j u i,j j x ij 1 ij c ijx ij c G Queremos calcular un conjunto test para (LP2). Usar el conjunto test para resolver (P2).
83 Conjunto test Un problema de programación lineal entera se resuelve en general: Consideramos problemas con coste c y matriz A. La fibra de un IP se obtiene fijando b en Ax = b.
84 Conjunto test Un problema de programación lineal entera se resuelve en general: Consideramos problemas con coste c y matriz A. La fibra de un IP se obtiene fijando b en Ax = b. Definición conjunto test Un conjunto G >c Z N es un conjunto test de una familia de IP con matriz A y coste c si para cada punto no óptimo α en cada fibra de IP existe g G >c tal que α g es un punto factible en la fibra y α > c α g,
85 Conjunto test Un problema de programación lineal entera se resuelve en general: Consideramos problemas con coste c y matriz A. La fibra de un IP se obtiene fijando b en Ax = b. Definición conjunto test Un conjunto G >c Z N es un conjunto test de una familia de IP con matriz A y coste c si para cada punto no óptimo α en cada fibra de IP existe g G >c tal que α g es un punto factible en la fibra y α > c α g, para el punto óptimo β en una fibra de IP, β g es no factible para todo g G >c.
86 Propiedades de un conjunto test Un conjunto test proporciona un método para resolver un IP dado un punto factible. En cada paso, o existe un elemento del conjunto test que mejora al actual, o no hay mejora (estamos en el óptimo). El proceso finaliza por la hipótesis de coste acotado.
87 Entrada al laberinto Dado b, se construye un grafo dirigido a partir de G >c (esqueleto de b), que verifica existe un grafo dirigido de cada punto no óptimo, factible α al único óptimo β,
88 Entrada al laberinto Dado b, se construye un grafo dirigido a partir de G >c (esqueleto de b), que verifica existe un grafo dirigido de cada punto no óptimo, factible α al único óptimo β, la función objetivo sobre puntos contiguos decrece de forma monótona desde α a β.
89
90 α
91 α
92 α
93 α
94 α
95 α
96 β α
97 Salida del laberinto El esqueleto reverso G > c se obtiene dando la vuelta a las flechas del grafo anterior.
98 Salida del laberinto El esqueleto reverso G > c se obtiene dando la vuelta a las flechas del grafo anterior. Existe un grafo dirigido desde el óptimo a un punto factible de la fibra, con la función objetivo en decrecimiento monótono.
99 Salida del laberinto El esqueleto reverso G > c se obtiene dando la vuelta a las flechas del grafo anterior. Existe un grafo dirigido desde el óptimo a un punto factible de la fibra, con la función objetivo en decrecimiento monótono. P(α): camino en el esqueleto reverso de la fibra desde el punto óptimo β a α.
100 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G
101 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2).
102 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2).
103 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2). Si β no es fiable, usamos el esqueleto reverso G > c.
104 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2). Si β no es fiable, usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c :
105 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2). Si β no es fiable, usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c G, podamos la rama.
106 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2). Si β no es fiable, usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c G, podamos la rama. Si γ i < 0 podamos la rama.
107 Resolviendo (P2) Partimos del punto y 0, factible para (P2), obtenido mediante el algoritmo greedy. Con coste c G Usando G >c, calculamos β óptimo de (LP2). Si β es fiable, es óptimo de (P2). Si β no es fiable, usamos el esqueleto reverso G > c. Para cada γ punto obtenido mediante G > c : Si c(γ) > c G, podamos la rama. Si γ i < 0 podamos la rama. Si γ es fiable, y c(γ) < c G, actualizamos c G e y 0.
108
109 β y 0
110 β y 0
111 β y 0
112 β y 0
113 β y 0
114 β y 0
115 β y 0
116 β y 0
117 β y 0
118 β y 0
119 β y 0
120 β y 0
121 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G
122 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G Para calcular G >c, necesitamos expresar la región factible como Ax = b, así cada desigualdad, nos añade una variable de holgura.
123 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G Para calcular G >c, necesitamos expresar la región factible como Ax = b, así cada desigualdad, nos añade una variable de holgura. j x ij d i = 1
124 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G Para calcular G >c, necesitamos expresar la región factible como Ax = b, así cada desigualdad, nos añade una variable de holgura. j x ij d i = 1 x ij + t ij = u i
125 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G Para calcular G >c, necesitamos expresar la región factible como Ax = b, así cada desigualdad, nos añade una variable de holgura. j x ij d i = 1 x ij + t ij = u i ij c ijx ij + b = c G
126 Calculo G >c (LP2) s.t. mín i,j c ijx ij j x ij 1 0 x i,j u i,j ij c ijx ij c G Para calcular G >c, necesitamos expresar la región factible como Ax = b, así cada desigualdad, nos añade una variable de holgura. j x ij d i = 1 x ij + t ij = u i ij c ijx ij + b = c G Supondremos que c iq c ip si q < p.
127 Usando las n primeras desigualdades: j x ij 1, llamamos: k 1 k 2 k n {}}{{}}{{}}{ D =
128 Usando las n primeras desigualdades: j x ij 1, llamamos: k 1 k 2 k n {}}{{}}{{}}{ D = El sistema anterior viene dado por la matriz, por bloques: x D I n 0 0 ij I k1 +...k n 0 I k1 +...k n 0 d i 1 t c c nkn ij = u i c b G
129 Test set Si consideramos el ideal I A asociado a la matriz anterior, la base de Gröbner reducida para un orden lexicográfico es:
130 Test set Si consideramos el ideal I A asociado a la matriz anterior, la base de Gröbner reducida para un orden lexicográfico es: G = {x ik d k t ik b c ik, x iq t ip x ip t iq b c iq c ip }
131 Test set Si consideramos el ideal I A asociado a la matriz anterior, la base de Gröbner reducida para un orden lexicográfico es: G = {x ik d k t ik b c ik, x iq t ip x ip t iq b c iq c ip } G también es base de Gröbner reducida para > c.
132 Un ejemplo Consideramos un sistema con 3 subsistemas en serie, y con 2 tipos de componentes para cada subsistema: r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r r 12 r 22 r 32 x 11 x 12 x 21 x 22 x 31 x 32
133 Un ejemplo r ij c ij (1, 1) 0, (1, 2) 0, (2, 1) 0, (2, 2) 0, (3, 1) 0, (3, 2) 0,
134 Un ejemplo r ij c ij (1, 1) 0, (1, 2) 0, (2, 1) 0, (2, 2) 0, (3, 1) 0, (3, 2) 0, y R 0 = 0,99 c y 0 = (0, 1, 0, 2, 0, 2) 0,99 67 β = (0, 1, 0, 1, 0, 1) 0, (1, 1, 0, 1, 0, 1) 0, (0, 2, 0, 1, 0, 1) 0, (0, 1, 1, 1, 0, 1) 0, (0, 1, 0, 2, 0, 1) 0, (0, 1, 0, 1, 1, 1) 0, (0, 1, 0, 1, 0, 2) 0, (1, 0, 0, 1, 0, 1) 0, (0, 1, 1, 0, 0, 1) 0, (0, 1, 0, 1, 1, 0) 0,
135 Un ejemplo y R 0 = 0,99 c (1, 1, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 2, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 1, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 0, 2, 1, 0) 0, (1, 0, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 1, 0, 1, 0) 0, (1, 0, 1, 0, 0, 1) 0, (1, 0, 0, 2, 0, 1) 0, (1, 0, 1, 0, 1, 0) 0,
136 Un ejemplo y R 0 = 0,99 c (1, 1, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 2, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 1, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 0, 2, 1, 0) 0, (1, 0, 0, 1, 1, 0) 0, (0, 1, 1, 0, 1, 0) 0, (1, 0, 1, 0, 0, 1) 0, (1, 0, 0, 2, 0, 1) 0, (1, 0, 1, 0, 1, 0) 0, Por tanto (0, 2, 0, 1, 1, 0) es el óptimo.
137 Tiempos Ruan & Sun n k N o medio de iteraciones N o medio de cajas Tiempo medio de ejecución , , , , , ,9
138 Nuestros tiempos n k Nodos Tiempo Ordenado ,0 Sí ,0 Sí ,5 Sí ,5 Sí ,0 Sí ,0 No ,0 No ,0 No
139 Nuestros tiempos n k Nodos Tiempo Ordenado ,5 0,0 Sí ,1 0,0 Sí ,5 0,5 Sí ,6 34,5 Sí ,0 Sí ,0 No ,0 No ,9 370,0 No
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