ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.

Transcripción

1 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. U itervalo de cofiaza, para u parámetro poblacioal θ, a u ivel de cofiaza (1 ) 100 %, o es más que u itervalo (L i, L s ) que cotiee al valor θ co probabilidad 1. Es decir: P (L i < θ < L s ) = 1 dode los límites iferior y superior (L i y L s ) se calcula utilizado valores muestrales juto co las distribucioes de probabilidad asociadas a los estadísticos que permite estimar el parámetro θ. E esta relació de ejercicio vamos a practicar el cálculo de itervalos de cofiaza para la proporció poblacioal (π ó p). Recuerda que el ivel de sigificació de u itervalo (la probabilidad de que el parámetro objetivo o esté e el itervalo) es igual al parámetro (e tato por uo) ó 100 % (e tato por cieto). Ates de comezar a resolver estos problemas es importate que tegamos claros los coceptos, por lo tato, si o lo has hecho ya, repasa la teoría vista e clase. Ejercicio 1: E este primer ejercicio vamos a costruir itervalos de cofiaza para la proporció poblacioes (π ó p). Recuerda que dicho itervalo tiee la expresió: IC π ((1 ) 100 %) = ( ˆp z 1, ˆp + z 1 ) dode ˆp represeta la proporció muestral, el tamaño de la muestra y z 1 el percetil (1 ) 100 % de la distribució ormal de parámetros 0 y 1 (N (0, 1)). Fíjate e el siguiete ejemplo y trata de hacer lo mismo e el resto de apartados. 1. A 11 persoas, extraídas de ua població, se les ha pregutado si dispoe e sus casa de u sistema de alarma. De los datos se ha obteido que u 70 % de los etrevistados o dispoe de tal sistema. Costruir u itervalo de cofiaza para la proporció de la població, que o dispoe de u sistema de alarma, co ivel de cofiaza del 95 %. SOLUCIÓN: 1

2 E el euciado se os proporcioa la siguiete iformació: π : Parámetro descoocido : 11 ˆp 100 % : 70 % ˆp = 0,7 1 : 0,95 El itervalo de cofiaza al ivel (1 ) 100 % para la proporció poblacioal es: ( ) IC π ((1 ) 100 %) = ˆp z 1, ˆp + z 1 que para uestro caso particular será: ( ) IC π (95 %) = ˆp z 0,975, ˆp + z 0,975 Buscado e la tabla de la distribució ormal estádar obteemos que z 0,975 = 1,96 y sustituyedo los datos e el itervalo aterior teemos que: IC π (95 %) = ( ˆp z 0,975 ), ˆp + z 0,975 ( ) 0,7 (1 0,7) = 0,7 z 0,975, 0,7 + z 0, ( ) = 0,7 1,96, 0,7 + 1, = (0,7 1,96 0,04, 0,7 + 1,96 0,04) = (0,7 0,08, 0,7 + 0,08) = (0,618, 0,78) De dode se obtiee que: P (0,618 < π < 0,78) = 0,95 Tambié es posible dar este resultado e tato por cieto (si el ejercicio pidiera el itervalo de cofiaza para el porcetaje deberíamos hacer esta coversió): P (61,8 % < π 100 % < 78,) = 0,95. De ua muestra de 63 recié acidos se ha observado que el 14 % preseta u peso aormal. Costruir u itervalo de cofiaza para la

3 proporció de recié acidos, co peso aormal, a u ivel de cofiaza del 9 %. SOLUCIÓN: P (0,063 < π < 0,17) = 0,9 3. De los 15 empleados de ua empresa, que ha sido cosultados, 95 afirmaro o estar de acuerdo co la política de empleo de la empresa. Costruir u itervalo de cofiaza para el porcetaje de empleados que o está de acuerdo co tales políticas, co ivel de cofiaza del 95 %. (AYUDA: Debes calcular primero la proporció de la muestra y el resultado fial trasformarlo a porcetaje multiplicado por 100) SOLUCIÓN: P (68,51 % < π 100 % < 83,49 %) = 0,95 4. E ua ecuesta de iteció de voto se etrevistó a 84 persoas, obteiédose u 69 % de respaldo para el cadidato A. Costruir u itervalo de cofiaza para el porcetaje de respaldo, al cadidato A, e toda la població co ivel de cofiaza del 99 %. SOLUCIÓN: P (55,98 % < π 100 % < 8,0 %) = 0,99 5. De la producció semaal de ua empresa de torillos se ha extraído ua muestra de 104, observádose ua proporció del 0,05 de torillos defectuosos. Costruir u itervalo de cofiaza para la proporció de torillos defectuosos e la producció co ivel de sigificació del 10 %. SOLUCIÓN: P (0,015 < π < 0,085) = 0,90 6. El 86 % de los 60 idividuos etrevistados cree que saldremos de la crisis e meos de cico años. Costruir u itervalo de cofiaza para la proporció de la població que cree que saldremos de la crisis e meos de cico años, co ivel de cofiaza del 98 %. SOLUCIÓN: P (0,756 < π < 0,964) = 0, de los 54 alumos de Bachillerato cosultados, afirma teer claro su futuro. Costruir u itervalo de cofiaza para la proporció de alumos de Bachillerato que tiee claro su futuro, co u ivel de sigificació del 0,05. SOLUCIÓN: P (0,367 < π < 0,633) = 0,95 Ejercicio : Como hemos visto u itervalo de cofiaza, para u parámetro poblacioal, al ivel de cofiaza (1 ) 100 % es u itervalo (L i, L s ) que cotiee a dicho parámetro co probabilidad 1. Cuado costruimos u itervalo de cofiaza estamos estimado el valor del parámetro y por o tato se comete u error. Dicho error está acotado superiormete por la mitad de la logitud del itervalo. E el caso de la proporció poblacioal (para muestras grades) la fórmula que determia el error máximo es: error máx. = L s L i = z 1 E esta fórmula iterviee cuatro elemetos (error máx., z 1, ˆp y ), por lo tato coocidos tres de ellos se puede determiar el que falta. E la 3

4 siguiete secuecia de ejercicios se trata de aplicar la fórmula aterior para determiar el elemeto descoocido. Fíjate e el ejemplo e iteta hacer algo parecido e el resto. Observació: ˆp es el puto medio del itervalo de cofiaza, es decir: ˆp = L i + L s 1. De ua muestra de 10 alumos presetados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 ha resultado o aptos. Si fijamos u ivel de sigificació del 1 %, cuál debe ser el tamaño de la muestra para estimar la proporció de alumos aptos, cometiedo u error iferior al 5 % (0,05)? SOLUCIÓN: E este ejercicio coocemos: ua estimació de la proporció de o aptos; el ivel de cofiaza (1-ivel de sigificació); el error máximo permitido e la estimació y se os pide el tamaño muestal que deberíamos tomar para cometer tal error. La iformació que teemos es: ˆp = = 1 4 = 0,5 1 =0,99 error máx. =5 % = 0,05 Aplicado la fórmula del error máximo teemos: error máx. =z 1 0,5 (1 0,5) 0, 05 =z 1 0,01 0,1875 0, 05 =,58 despejado de esta última expresió obteemos: 0,1875 0, 05 =,58 0, 05 =,58 0,433 0, 05 = 1,117 0,05 =1,117 1,117 = 0,05 =,34 =(,34) = 499,3 4

5 por lo tato podemos cocluir que el tamaño muestral debe ser, aproximadamete, de 500 idividuos.. El último estudio de població activa de u país se observó que el 57. % de los jóvees se ecuetra e situació de desempleo. Se quiere estimar la proporció de desempleo juveil co ivel de sigificació de 0,01, de forma que el error máximo cometido o supere el 10 %, cuál debería ser el tamaño de la muestra seleccioada? SOLUCIÓN: Para estimar la proporció poblacioal de electrodomésticos defectuosos, se ha extraído ua muestra aleatoria simple, co la que se ha costruido el itervalo de cofiaza al 95 %, resultado el itervalo (0,03, 0,18). Determiar el tamaño míimo () de la muestra seleccioada. SOLUCIÓN: Por estudios ateriores se sabe que de cada 5 idividuos o compraría u determiado producto. Se quiere costruir u itervalo de cofiaza, co ivel de sigificació del 0.01, para la proporció de idividuos que o estaría iteresada e adquirir dicho producto, de tal forma que el error máximo e la estimació sea del %, cuál debería ser el tamaño de la muestra seleccioada? SOLUCIÓN: