GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

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1 CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R Curvas y superficies en R Nociones de topología métrica. 1

2 1. VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES. En este curso se estudian las funciones f : R n R m, es decir, funciones definidas sobre el espacio euclídeo de dimensión n R n = {(x 1,..., x n ) : x i R, 1 i n}, y con imagen en el espacio análogo de dimensión m, R m. Como la representación gráfica de estas funciones debe hacerse en el espacio R n+m, debemos recordar en primer lugar los resultados fundamentales de la geometría del espacio euclídeo real R n. Como es usual, estableceremos la equivalencia entre los puntos P = (x 1,..., x n ) de R n y los vectores libres v = OP que unen el origen con el punto P. Las operaciones básicas que se definen en el espacio R n son las siguientes: Suma de vectores. Dados v = (x 1,..., x n ), w = (y 1,..., y n ) R n, v + w = (x1 + y 1,..., x n + y n ). Multiplicación por un escalar. Dados a R, v = (x 1,..., x n ) R n, a v = (ax 1,..., ax n ). Producto escalar de vectores. Dados dos vectores v = (x 1,..., x n ), w = (y1,..., y n ) R n, v w = (x1 y 1,..., x n y n ). Con estas operaciones, R n tiene estructura de espacio vectorial (de ahí que los elementos de R n reciban el nombre de vectores, a diferencia de los elementos de R que llamaremos escalares). Todo vector de R n puede descomponerse de forma única como combinación lineal de los vectores u 1 = (1, 0,..., 0), u 2 = (0, 1,..., 0), u n = (0, 0,..., 1), los cuales corresponden a las direcciones de los ejes de coordenadas rectangulares. Estos vectores forman lo que llamamos la base canónica de R n. El producto escalar verifica las siguientes propiedades básicas: 2

3 i) v v > 0 si v 0; ii) v v = 0 si v = 0; iii) v w = w v ; iv) a( v w ) = (a v ) w = v (a w ); v) u ( v + w ) = ( u v ) + ( u w ). Llamamos norma de un vector v = (x 1,..., x n ) R n al número real positivo v = v v = x x2 n. Si v = OP, la norma de v representa la distancia del punto P al origen de coordenadas. De forma análoga, se define la distancia entre dos puntos P y Q como d(p, Q) = OQ OP. Las siguientes propiedades son resultados importantes. Desigualdad triangular: v + w v + w, v, w R n. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: v w v w, v, w R n. Teorema de Pitágoras: v w = 0 v + w 2 = v 2 + w 2. Definimos el ángulo entre dos vectores v, w R n como el número ϑ [0, π] tal que v w cos ϑ = v w. Esta definición proporciona otra fórmula para el producto escalar de dos vectores: v w = v w cos ϑ. En el caso de que ϑ = π/2, los vectores v y w son perpendiculares u ortogonales. De la definición deducimos que, en este caso, v w = 0. En el caso particular de R 3 se define también el producto vectorial de dos vectores v = (x 1, x 2, x 3 ) y w = (y 1, y 2, y 3 ) como el siguiente vector: v i j k w = (x2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y, 3 donde denotamos, como es usual, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) a los vectores unitarios de la base canónica. 3

4 Destacaremos las siguientes propiedades básicas del producto vectorial: 1) v v = 0, v R 3. 2) v w = w v, v, w R 3. 3) (α u + β v ) w = α( u w ) + β( v w ), u, v, w R 3, α, β R. 4) v ( v w ) = w ( v w ) = 0, v, w R 3. Esto quiere decir que v w es ortogonal a ambos vectores v y w. 5) v w = v w sen α, donde α es el ángulo entre v y w. Esto indica que la norma de v w mide el área del paralelogramo que determinan los vectores v y w (ver problema 1.6). También en el espacio tridimensional definimos el producto mixto de tres vectores u = (x 1, x 2, x 3 ), v = (y 1, y 2, y 3 ), w = (z 1, z 2, z 3 ) como el número real dado por [ u, v, w ] = u ( v x 1 x 2 x 3 w ) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3. El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores u, v y w (ver problema 1.7). PROBLEMA 1.1 (a) Calcular la distancia entre los puntos P = (4, 2, 5) y Q = (1, 4, 1). (b) Escribir la ecuación de la esfera de radio r y centro C = (a, b, c). (a) Por definición, d(p, Q) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2. En este caso, d(p, Q) = (4 1) 2 + (2 4) 2 + (5 + 1) 2 = 7. 4

5 (b) Como la esfera es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es igual al radio, su ecuación es (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2. PROBLEMA 1.2 Dados dos vectores u, v en R 3, describir: (a) El conjunto de puntos en el interior del paralelogramo definido por u y v. (b) Los puntos del interior del triángulo de vértices el origen y los extremos de u y v. (c) Los puntos en el interior del ángulo definido por u y v. (a) Un punto arbitrario de dicho paralelogramo se obtiene como la suma de dos múltiplos de u y v, con constantes comprendidas entre cero y uno, es decir λ u + µ v : 0 < λ < 1, 0 < µ < 1. (b) Los puntos del tercer lado del triángulo se obtienen mediante la suma u + λ( v u ), donde 0 λ 1. Los puntos del interior del triángulo serán pues de la forma µ[ u + λ( v u )] : 0 < λ < 1, 0 < µ < 1. 5

6 (c) En este caso, el conjunto no es acotado. Basta una combinación lineal de u y v con coeficientes positivos, es decir λ u + λ v : λ > 0, µ > 0. PROBLEMA 1.3 Sean A = (1, 1, 1), B = (0, 1, 1) y C = (2, 1, 1) tres vectores y D = xa + yb + zc, donde x, y, z R. (a) Determinar las componentes de D. (b) Encontrar todos los valores de x, y, z que hagan D = 0. (c) Demostrar que ninguna elección de x, y, z tiene como solución D = (1, 2, 3). (a) Realizando las operaciones indicadas se obtiene que D = (x + 2z, x + y + z, x + y + z). (b) Los valores que hacen D = 0 se obtienen resolviendo el sistema La solución es el conjunto x + 2z = 0, x + y + z = 0. {λ( 2, 1, 1) : λ R}. 6

7 (c) Es evidente que el sistema x + 2z = 1 x + y + z = 2 x + y + z = 3 no tiene solución (las dos últimas ecuaciones son incompatibles). PROBLEMA 1.4 Hallar los valores de x para los que el ángulo entre los vectores u = (x, 1, 1) y v = (1, x, 1) sea π/3. A partir de la fórmula obtenemos la ecuación cos( u, v ) = u v u v, 1 2 = 2x + 1 x x = x2 + 2 = 4x + 2 = x 2 4x = 0, lo que da los posibles valores x = 0 y x = 4. PROBLEMA 1.5 Dados los vectores u = 3 i j 2 k, v = i + 2 j 3 k. (a) hallar el ángulo entre ellos. (b) Calcular la proyección de u sobre v. (c) Si se definen los cosenos directores de un vector como los cosenos de los ángulos que el vector forma con los vectores coordenados i, j, k, calcular los cosenos directores de u y v. 7

8 (a) El ángulo entre dos vectores se obtiene por la fórmula cos α = en nuestro caso, u v = = 7, u = = 14, v = = 14. Por tanto, cos α = 1/2 = α = π/3. u v u v ; (b) Sea z dicha proyección; entonces z tiene la dirección de v y módulo z = u cos α = El vector unitario en la dirección de v es w = v v = 1 14 (1, 2, 3). Entonces 1 z = (1, 2, 3) 14 = (1/2, 1, 3/2). (c) De la figura adjunta se deduce fácilmente que cos α = cos β = cos γ = u i u = 3 ; 14 u j u = 1 ; 14 u k u =

9 Análogamente, los cosenos directores del vector v son cos α = 1 14, cos β = 2 14, cos γ = PROBLEMA 1.6 Hallar el área del triángulo de vértices A(0, 1, 0), B( 1, 1, 2) y C(2, 1, 1). Tomando como base del triángulo el segmento AB, el área viene expresada por la fórmula S = 1 2 AB h = 1 2 AB AC sen( AB, AC), lo que también se puede expresar como S = 1 2 AB AC. 9

10 Como AB AC = i j k = (0, 3, 0), el área buscada es S = 3/2. PROBLEMA 1.7 Hallar el volumen del tetraedro generado por los vectores u = i 3 j + k, v = 2 j k, w = i + j 2 k. Si la base del tetraedro es el triángulo generado por los vectores u y v, como la altura es h = w cos α, el volumen del tetraedro tiene la fórmula V = 1 3 S h = u v w cos α = 1 [ u, v, w ]. 6 Aplicando esta fórmula general, obtenemos en nuestro caso, V = = 1 3. PROBLEMA 1.8 Hallar todos los vectores de longitud 4 que sean perpendiculares a u = (2, 1, 3) y a v = (3, 2, 1). 10

11 Todos los vectores perpendiculares a u y v tienen la dirección del vector u v ; concretamente: i j k u v = = ( 5, 11, 7) Como u v = = 195, los vectores de longitud 4 con la dirección indicada son OA = ( 5, 11, 7) y OB = (5, 11, 7). PROBLEMA 1.9 Si A = (2, 1, 1) y B = (3, 4, 4), hallar un punto C tal que A, B, C sean los vértices de un triángulo rectángulo. Sean (x, y, z) las coordenadas del punto C. Distinguiremos los siguientes casos: i) El triángulo es rectángulo en A. Entonces AC AB, es decir AC AB = 0. Esto proporciona la ecuación (x 2, y + 1, z 1) (1, 3, 5) = 0 = x 2 3(y + 1) 5(z 1) = 0 = x 3y 5z = 0, la cual es, evidentemente, la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular al vector AB. 11

12 ii) El triángulo es rectángulo en B. Análogamente al caso anterior, se debe verificar la ecuación AB BC = 0, es decir: (1, 3, 5) (x 3, y + 4, z + 4) = 0 = x 3 3(y + 4) 5(z + 4) = 0 = x 3y 5z = 35, plano paralelo al anterior y que pasa por B. iii) El triángulo es rectángulo en C. En este caso, de la ecuación AC BC = 0 tenemos: (x 2, y + 1, z 1) (x 3, y + 4, z + 4) = 0 = x 2 + y 2 + z 2 5x + 5y + 3z + 6 = 0 = ( x 5 ) 2 ( 5) 2 ( 3) y + + z + = , que corresponde a la ecuación de una esfera de diámetro la longitud del segmento AB y centro el punto medio de dicho segmento. 12

13 PROBLEMA 1.10 Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A = (1, 0, 1), B = ( 1, 1, 1), C = (2, 1, 2). (a) Hallar todos los puntos D que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo. (b) Calcular el área del triángulo ABC. (a) Debemos tener en cuenta las tres posibilidades siguientes: i) D es el vértice opuesto a A. Observando la gráfica, es evidente que D = B + BD = B + AC = ( 1, 1, 1) + (1, 1, 1) = (0, 0, 2). 13

14 ii) D es el vértice opuesto a B. Análogamente al caso anterior, tenemos: D = A + AD = A + BC = (1, 0, 1) + (3, 2, 1) = (4, 2, 2). iii) D es el vértice opuesto a C. Nuevamente, tenemos la fórmula D = A + AD = A + CB = (1, 0, 1) + ( 3, 2, 1) = ( 2, 2, 0). (b) Aplicando la fórmula obtenida en el problema 1.6, el área del triángulo es S = AB AC = (1, 2, 1) =

15 2. RECTAS Y PLANOS EN R 3. A partir del concepto de vector se pueden definir los planos y las rectas y representarlos mediante ecuaciones. Rectas en R 3. Dados un punto P y un vector v 0, definimos la recta que pasa por P y tiene la dirección de v como el conjunto {P + α v : α R}. El vector v recibe el nombre de vector director (o vector direccional) de la recta. Decimos que dos rectas son paralelas si sus vectores direccionales son paralelos. A diferencia de lo que sucede en R 2, dos rectas que no son paralelas no necesariamente se cortan en algún punto. Una misma recta puede definirse utilizando puntos distintos a P o vectores paralelos a v, lo que produce distintas parametrizaciones de la recta. También puede definirse una recta mediante dos puntos distintos P y Q, ya que el vector v = OQ OP es un vector direccional de la recta. Planos en R 3. Dados un punto P y dos vectores no paralelos v y w, definimos el plano que pasa por P y está generado por v y w como el conjunto {P + α v + β w : α, β R}. Distintas parametrizaciones de un mismo plano se obtienen utilizando un punto distinto a P o dos vectores v y w tales que {α v + β w : α, β R} = {α v + β w : α, β R} (es decir, el subespacio generado por v y w coincide con el generado por v y w ). Otra forma de definir un plano es mediante un punto P del mismo y un vector u perpendicular al mismo, pues todo punto Q del plano verifica la condición P Q u = 0. Un tercer método es dar tres puntos del plano P 1, P 2, P 3 no alineados, pues los vectores P 1 P 2 y P 1 P 3 generan dicho plano. Un punto genérico P del plano verifica la ecuación [ P 1 P, P 1 P 2, P 1 P 3 ] = 0. 15

16 PROBLEMA 1.11 Dados dos vectores u, v en R 3, describir: (a) La recta perpendicular a ambos vectores que pase por el origen. (b) El plano generado por ambos vectores que pase por el origen. (a) Un vector director de la recta se obtiene con el producto vectorial de u y v. Así pues, la recta tiene por ecuación P (t) = t ( u v ) : t R. (b) El mismo vector u v es normal al plano buscado. Por tanto, la ecuación de dicho plano es (x, y, z) ( u v ) = 0. PROBLEMA 1.12 Una recta pasa por el punto P = ( 3, 1, 1) y es paralela al vector v = (1, 2, 3). Determinar si los siguientes puntos pertenecen a la recta: (a) (0, 0, 0) (b) (2, 1, 4) (c) ( 4, 3, 2). La ecuación de la recta es r(t) = ( 3, 1, 1) + t(1, 2, 3) = ( 3 + t, 1 2t, 1 + 3t). 16

17 (a) Para saber si el punto (0, 0, 0) pertenece a la recta, debemos resolver el sistema 0 = 3 + t 0 = 1 2t 0 = 1 + 3t. De la primera ecuación se deduce que t = 3, pero este valor ya no satisface la segunda ecuación. Esto quiere decir que el punto no pertenece a la recta. (b) El sistema que debemos resolver ahora es 2 = 3 + t 1 = 1 2t 4 = 1 + 3t. Para verificar la primera ecuación debe ser t = 5, valor que tampoco satisface las siguientes. Por tanto, la recta tampoco pasa por este punto. (c) Tenemos ahora el sistema de ecuaciones 4 = 3 + t 3 = 1 2t 2 = 1 + 3t. En este caso, el valor t = 1 satisface las tres ecuaciones, lo que significa que el punto pertenece a la recta. PROBLEMA 1.13 Encontrar la ecuación de la recta que verifica las siguientes condiciones: (a) Pasa por (3, 1, 0) y tiene la dirección de la recta r 0 (t) = ( i j ) + t k. (b) Pasa por los puntos P (0, 1, 1) y Q(0, 1, 0). (c) Pasa por P (3, 1, 2) y corta perpendicularmente a la recta r 0 (t) = ( 1 + t, 2 + t, 1 + t). 17

18 (a) Como la recta r 0 (t) tiene la dirección del vector k = (0, 0, 1), la ecuación de la recta pedida es r(t) = (3, 1, 0) + t k = (3, 1, t), t R, o bien x = 3, y = 1, z = t (t R). (b) Como la recta tiene la dirección del vector P Q = (0, 0, 1), su ecuación es r(t) = (0, 1, 1) + t(0, 0, 1) = (0, 1, t), t R, o bien x = 0, y = 1, z = t (t R). (c) Llamamos (a, b, c) al vector director de la recta buscada. Como el vector director de la recta r 0 (t) es (1, 1, 1), las rectas serán perpendiculares cuando el producto escalar de ambos vectores sea nulo, es decir a + b + c = 0. Como la recta pasa por (3, 1, 2), su ecuación será r(s) = (3, 1, 2) + s(a, b, c) = (3 + as, 1 + bs, 2 + cs). 18

19 El enunciado exige además que ambas rectas se corten; esto quiere decir que el sistema de ecuaciones 1 + t = 3 + as 2 + t = 1 + bs 1 + t = 2 + cs tiene solución (y única). Sumando las tres ecuaciones y teniendo en cuenta que a + b + c = 0, resulta: 4 + 3t = 2 + (a + b + c)s = t = 2. Con este valor del parámetro t obte- nemos el punto de intersección Q = (1, 0, 1); de este modo, el vector director de la recta es P Q = ( 2, 1, 3) y la ecuación se puede escribir como r(s) = (3, 1, 2) + s( 2, 1, 3) = (3 2s, 1 s, 2 + 3s), s R o bien x = 3 2s, y = 1 s, z = 2 + 3s (s R). PROBLEMA 1.14 Entre los ocho puntos siguientes, determinar todos los subconjuntos de tres o más puntos que están en línea recta: A = (2, 1, 1), B = (6, 1, 1), C = ( 6, 5, 1), D = ( 2, 3, 1), E = (1, 1, 1), F = ( 4, 4, 1), G = ( 13, 9, 1), H = (14, 6, 1). 19

20 Debemos calcular todos los vectores que determinan dichos puntos y averiguar qué pares de tales vectores son paralelos. Así pues, AB = (4, 2, 0) AE = ( 1, 0, 0) AH = (12, 7, 0). AC = ( 8, 4, 0) AF = ( 6, 3, 0) AD = ( 4, 2, 0) AG = ( 15, 8, 0) Como AC = 2 AB, AD = AB y AF = ( 3/2) AB, deducimos que los puntos A, B, C, D y F están alineados. Por otra parte, tenemos: BE = ( 5, 2, 0) BG = ( 19, 10, 0) BH = (8, 5, 0). Al no ser paralelos estos vectores, los puntos B, E, G no están alineados, así como tampoco lo están los puntos B, E, H. Análogamente, como DE = (3, 2, 0) DG = ( 11, 6, 0) DH = (16, 9, 0), no hay ninguna relación de paralelismo entre estos vectores. Si partimos ahora del punto C, CE = (7, 4, 0) CG = ( 7, 4, 0) CH = (20, 11, 0). Como CE = CG, deducimos que los puntos C, E y G están alineados. Por otra parte, como EF = ( 5, 3, 0) los puntos E, F y H no están alineados. EH = (13, 7, 0), Por último, al ser F H = (18, 10, 0) GH = (27, 15, 0), los puntos F, G y H sí están contenidos en la misma recta (basta observar que F H = (2/3) GH). En definitiva, la situación relativa de los puntos es la que se refleja en el esquema adjunto y los conjuntos siguientes {A, B, C, D, F }, {C, E, G}, {F, G, H} 20

21 están alineados (observar que todos los puntos están contenidos en el plano z = 1). PROBLEMA 1.15 Determinar si los siguientes puntos están alineados: (a) P (2, 1, 1), Q(4, 1, 1), R(3, 1, 1). (b) P (2, 1, 1), Q( 2, 3, 1), R(5, 1, 1). Los puntos estarán alineados si y sólo si los vectores P Q y P R son paralelos. (a) En este caso P Q = (2, 0, 2) y P R = (1, 2, 0); como no son paralelos (sus componentes no son proporcionales), los puntos no están alineados. (b) Tampoco estos puntos están alineados, pues los vectores P Q = ( 4, 2, 0) y P R = (3, 2, 0) no son paralelos. 21

22 PROBLEMA 1.16 Hallar los puntos de intersección y el ángulo que forman las rectas r 1 y r 2 siguientes: (a) r 1 (t) = i + t j, r 2 (t) = j + t( i + j ). (b) r 1 (t) = (3 + t, 1 t, 5 + 2t), r 2 (t) = (1, 4 + t, 2 + t). (a) Para que las rectas se corten, deben existir dos valores s y t para los cuales el sistema de ecuaciones r 1 (t) = r 2 (s), es decir (1, t, 0) = (s, s + 1, 0) sea compatible. Es evidente que la única solución del sistema es s = 1 y t = 2, lo que proporciona el punto de intersección P = (1, 2, 0). El ángulo entre las rectas es el formado por sus vectores directores v1 = (0, 1, 0) y v 2 = (1, 1, 0): cos α = v1 v 2 v 1 v 2 = 1 2 = α = π/4. (b) Escribimos las ecuaciones de las rectas como r 1 (t) = (3+t, 1 t, 5+2t), r 2 (s) = (1, 4 + s, 2 + s). El sistema de ecuaciones r 1 (t) = r 2 (s) tiene solución única t = 2, s = 1, lo que, al sustituir en r 1, da el punto de intersección de las rectas, P (1, 3, 1). Por otra parte, como los vectores directores son v 1 v2 = (0, 1, 1), el ángulo entre las rectas es = (1, 1, 2) y cos ϑ = v1 v 2 v 1 v 2 = = PROBLEMA 1.17 Hallar la distancia entre las rectas r 1 : x 1 = y/2 = z, r 2 : x = y = z. 22

23 Debemos determinar la menor distancia entre dos puntos de las rectas. Escribimos las ecuaciones de las rectas en forma paramétrica; para ello hacemos t = x 1 = y/2 = z en r 1 y t = x = y = z en r 2. Resulta así: r 1 (t) = (1 + t, 2t, t) = (1, 0, 0) + t(1, 2, 1), r 2 (t) = (t, t, t) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1). De esta forma, los vectores directores de las rectas son v1 = (1, 2, 1) y v 2 = (1, 1, 1) y un vector perpendicular a ambos es n = v1 i j k v 2 = = (1, 0, 1) La distancia entre las rectas es igual a la distancia entre la recta r 1 y el plano paralelo a r 1 que contiene a r 2. Como los puntos P = (1, 0, 0) y Q = (0, 0, 0) pertenecen a r 1 y r 2, respectivamente, la distancia entre las rectas será la proyección del vector P Q sobre n (ver figura). Así pues, d(r 1, r 2 ) = P P Q n = P Q n P Q cos α = n = 1 2 =

24 PROBLEMA 1.18 Sea X(t) = P + ta un punto arbitrario de la recta que pasa por P = (1, 2, 3) y tiene vector director A = (1, 2, 2) y sea Q = (3, 3, 1). Para calcular la distancia de Q a la recta, se puede proceder como sigue: (a) Calcular la distancia entre Q y X(t). (b) Encontrar el mínimo de dicha distancia (y comprobar que es único). (c) Determinar el punto de la recta que hace mínima dicha distancia. (a) Teniendo en cuenta los valores de P y A, escribimos X(t) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 2) = (1 + t, 2 2t, 3 + 2t). Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos, tenemos d(q, X) = (2 t) 2 + (1 + 2t) 2 + ( 2 2t) 2 = 9t 2 + 8t + 9. (b) El mínimo de la distancia se encuentra calculando el valor de t que hace mínima la función (de una variable) y = 9t 2 + 8t + 9. Aplicando resultados conocidos para funciones de una variable, resulta y = 18t + 8; y = 0 t = 4/9; y = 18 > 0. El único valor que hace mínima la distancia es t = 4/9. La distancia mínima es, por tanto, d = 9 (16/81) (32/9) + 9 = 65/3. (c) Sustituyendo t = 4/9 en X(t) obtenemos el punto de la recta que se encuentra a la distancia mínima de Q. Así pues, X( 4/9) = (5/9, 26/9, 19/9). 24

25 PROBLEMA 1.19 Determinar las ecuaciones de los planos que verifican: (a) Pasa por P 0 = (1, 1, 1) y es perpendicular al vector v = ( 1, 1, 1). (b) Pasa por A(1, 2, 1), B(0, 1, 0) y C(1, 1, 4). (c) Pasa por P (2, 1, 3) y contiene a la recta intersección de los planos 3x + y z = 2, 2x + y + 4z = 1. (d) Contiene a la recta ( 1, 1, 2) + t(3, 2, 4) y es perpendicular a 2x + y 3z + 4 = 0. (a) Si P = (x, y, z) es un punto genérico del plano, el vector P 0 P = (x 1, y 1, z 1) está contenido en el plano. Como el vector v mismo, entonces P 0 P v = 0. Así pues, es perpendicular al (x 1) + (y 1) (z 1) = 0 o bien x + y z + 1 = 0. (b) En este caso, los vectores AB = ( 1, 1, 1) y BC = (1, 0, 4) están contenidos en el plano. Por tanto, el vector AB i j k BC = = ( 4, 3, 1), es normal al plano. Repitiendo el argumento del apartado (a) sabiendo que el plano contiene al punto B, obtenemos la ecuación del plano como 4x + 3(y 1) + z = 0 o bien 4x + 3y + z = 3. (c) El punto Q = (1, 1, 0) pertenece a la recta intersección de los planos dados (basta para ello hacer z = 0 y resolver el sistema de dos ecuaciones que resulta). Por lo tanto, el vector P Q = ( 1, 2, 3) está contenido en el plano que buscamos. 25

26 Por otra parte, los vectores v 1 = (3, 1, 1) y v 2 = (2, 1, 4) son normales a los planos que determinan la recta dada. Entonces, un vector que lleva la dirección de dicha recta es v = v1 i j k v 2 = = (5, 14, 1) Como los vectores P Q y v son paralelos al plano que buscamos, un vector normal a dicho plano es P Q v = La ecuación del plano es, en definitiva, i j k = ( 44, 14, 24) (x 1) 14(y + 1) + 24z = 0 o bien 22x + 7y 12z = 15. (d) El vector director de la recta, v = (3, 2, 4), y el vector normal al plano, w = (2, 1, 3), son paralelos al plano buscado. Por tanto, el vector i j k v w = = ( 10, 17, 1) es perpendicular al plano buscado. Como sabemos además que dicho plano pasa por el punto ( 1, 1, 2), su ecuación será 10(x + 1) + 17(y 1) (z 2) = 0 o bien 10x + 17y z = 25. PROBLEMA 1.20 Hallar dos puntos distintos en la intersección de los siguientes planos: Π 1 : Pasa por (1, 1, 1) y está generado por (2, 1, 3) y ( 1, 0, 2); Π 2 : Pasa por (2, 3, 1) y está generado por (1, 2, 3) y (3, 2, 1). 26

27 Calculamos en primer lugar los vectores directores de ambos planos. Estos son: i j k u 1 = = ( 2, 7, 1); i j k u 2 = = ( 4, 8, 4) De aquí deducimos las ecuaciones de los planos: Π 1 : 2(x 1) 7(y 1) (z 1) = 0, Π 2 : 4(x 2) + 8(y 3) 4(z 1) = 0. Para determinar la recta intersección de ambos planos, resolvemos el sistema que éstos determinan, llamando previamente t = z 1. Obtenemos así: x = 9t ; y = t La recta intersección de los planos tiene por ecuación 11x 10 9 = 11y 17 = z 1 = t, y basta dar valores a t R para obtener distintos puntos en la intersección de los planos. Por ejemplo, para t = 0 tenemos el punto P = ( 10/11, 17/11, 1) y, para t = 1, el punto Q = ( 19/11, 18/11, 2). PROBLEMA 1.21 Encontrar la intersección de (a) la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y es paralela al vector (2, 1, 3) y el plano que pasa por (1, 1, 2) y está generado por (2, 1, 3) y (0, 1, 1). (b) la recta (2, 2, 1)+t(1, 1, 1) y el plano 2x 3y +z 2 = 0. 27

28 (a) La ecuación de la recta es (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(2, 1, 3) = (1 + 2t, 1 t, 1 + 3t). Para determinar la ecuación del plano, calculamos un vector normal al mismo mediante el producto vectorial de los vectores que lo generan. Así pues, i j k = ( 2, 2, 2) La ecuación del plano es entonces 2(x 1) 2(y 1) + 2(z + 2) = 0 x y + z = 4. Sustituimos los valores de un punto (x, y, z) de la recta en la ecuación del plano: (1 + 2t) (1 t) t = 4 = 2t = 3 = t = 3/2, lo que proporciona el punto de intersección P = ( 2, 5/2, 7/2). (b) Un punto arbitrario de la recta tiene por coordenadas (x, y, z) = (2 + t, 2 + t, 1 + t); sustituyendo en la ecuación del plano, obtenemos: 2(2 + t) 3( 2 + t) + ( 1 + t) 2 = 0 = 7 = 0, lo que no proporciona ningún valor del parámetro t. Esto implica que la recta y el plano son paralelos (no se cortan). PROBLEMA 1.22 Determinar si la recta que pasa por (1, 1, 1) y es paralela al vector u = (2, 1, 3) es paralela a los siguientes planos: (a) x + 2y + 3z = 3. (b) Pasa por P (1, 1, 2), Q(3, 5, 2) y R(2, 4, 1). 28

29 (a) Como el vector director del plano es v = (1, 2, 3) y el producto escalar es u v = , deducimos que la recta y el plano no son paralelos. (b) Calcularemos un vector director del plano mediante el producto vectorial de los vectores P Q = (2, 4, 4) y P R = (1, 3, 1). Tenemos así: i j k v = P Q P R = = ( 8, 2, 2) A continuación procedemos como en el apartado (a). Como u v = , la recta tampoco es paralela a este plano. PROBLEMA 1.23 Hallar el ángulo que forman los planos siguientes: 5(x 1) 3(y + 2) + 2z = 0 x + 3(y 1) + 2(z + 4) = 0. El ángulo entre los planos coincide con el que forman sus vectores directores. En nuestro caso, estos son u = (5, 3, 2) y v = (1, 3, 2). Entonces: cos( u, u v v ) = u v = 0. Esto implica que los planos son perpendiculares. PROBLEMA 1.24 Hallar la distancia del punto P (2, 1, 1) al plano de ecuación x 2y + 2z + 5 = 0. 29

30 La recta r(t) = (2, 1, 1)+t(1, 2, 2) pasa por el punto P y es perpendicular al plano (pues su vector director u = (1, 2, 2) coincide con el vector normal al plano). Calculamos a continuación el punto de intersección de esta recta con el plano dado: x = 2 + t y = 1 2t = 2 + t 2(1 2t) + 2( 1 + 2t) + 5 = 0 = t = 1/3. z = 1 + 2t Este valor de t da el punto de intersección Q = (5/3, 5/3, 5/3). La distancia entre P y Q es precisamente la distancia entre el punto P y el plano: d(p, Q) = (2 5/3) 2 + (1 5/3) 2 + ( 1 + 5/3) 2 = 1. PROBLEMA 1.25 Determinar si los vectores siguientes están contenidos en un mismo plano: u = (0, 1, 1), v = (3, 1, 2), w = (3, 2, 3). Los vectores estarán contenidos en un mismo plano si su producto mixto es nulo. En efecto, [ u, v, w ] = = 0. 30

31 PROBLEMA 1.26 Un punto se desplaza en el espacio de modo que en el instante t su posición viene dada por el vector X(t) = (1 t) i + (2 3t) j + (2t 1) k. (a) Demostrar que el punto se mueve a lo largo de una recta, que llamaremos L. (b) En qué instante el punto toca el plano 2x+3y+2z+1 = 0? (c) Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al del apartado (b) y que contenga el punto X(3). (d) Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a L que contenga el punto X(2). (a) Si reescribimos el vector posición como X(t) = (1 t, 2 3t, 2t 1) = (1, 2, 1) + t( 1, 3, 2), comprobamos que, en efecto, se trata de una recta que, en el instante t = 0, pasa por el punto (1, 2, 1) y tiene como vector posición u = ( 1, 3, 2). (b) Sustituimos las coordenadas del punto (1 t, 2 3t, 2t 1) en el plano y obtenemos: 2(1 t) + 3(2 3t) + 2(2t 1) + 1 = 0 = t = 1. (c) Haciendo t = 3 en la ecuación de la recta, obtenemos el punto X(3) = ( 2, 7, 5). Como un vector normal al plano es (2, 3, 2), la ecuación es 2(x + 2) + 3(y + 7) + 2(z 5) = 0 2x + 3y + 2z = 15. (d) Si el plano es perpendicular a L, un vector normal a dicho plano es el vector director de la recta, u = ( 1, 3, 2). Como además contiene al punto X(2) = ( 1, 4, 3), su ecuación es (x + 1) 3(y + 4) + 2(z 3) = 0 x 3y + 2z =

32 32

33 3. CURVAS Y SUPERFICIES EN R 3. Una ecuación en tres variables F (x, y, z) = 0 representa geométricamente una superficie en el espacio euclídeo tridimensional { R 3, mientras que una F (x, y, z) = 0 curva se obtiene como intersección de dos superficies, G(x, y, z) = 0. La ecuación general de primer grado (o ecuación lineal) Ax + By + Cz + D = 0, es la más sencilla de las ecuaciones en tres variables y representa un plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos ( D/A, 0, 0), (0, D/B, 0), (0, 0, D/C) (siempre que los coeficientes A, B y C sean no nulos). Del mismo modo, el sistema formado por dos ecuaciones de primer grado representa la recta intersección de los dos planos definidos por dichas ecuaciones. Otras superficies que utilizaremos frecuentemente en lo sucesivo son las cuádricas cuya expresión general, en su forma canónica, corresponde a un ecuación de segundo grado en las variables x, y y z: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0. Como regla general, las cuádricas se obtienen de las cónicas haciendo girar éstas alrededor de un eje y dilatando convenientemente uno de los ejes. La excepción es el paraboloide hiperbólico (también llamado silla de montar). La tabla de las páginas siguientes muestra una relación detallada de los distintos tipos de superficies cuádricas: 33

34 NOMBRE ECUACION GRAFICA Elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Hiperboloide de una hoja x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Hiperboloide de dos hojas x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 34

35 NOMBRE ECUACION GRAFICA x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 Cono x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 0 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 0 x 2 a 2 + y2 b 2 = z c Paraboloide elíptico x 2 a 2 + z2 c 2 = y b y 2 b 2 + z2 c 2 = x a x 2 a 2 y2 b 2 = z c Paraboloide hiperbólico x 2 a 2 z2 c 2 = y b y 2 b 2 z2 c 2 = x a 35

36 NOMBRE ECUACION GRAFICA x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Cilindro elíptico x 2 a 2 + z2 c 2 = 1 y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 = k Cilindro hiperbólico x 2 a 2 z2 c 2 = k y 2 b 2 z2 c 2 = k Cilindro parabólico x 2 = py x 2 = pz y 2 = px y 2 = pz z 2 = px z 2 = py 36

37 PROBLEMA 1.27 Clasificar y dibujar la gráfica de las siguientes superficies: (a) 4x 2 + y 2 = 16 (b) x + 2z = 4 (c) z 2 = y (d) x 2 + y 2 2x = 0 A pesar de que todas las ecuaciones sólo involucran dos coordenadas, al tratarse de superficies (y no de curvas), debe entenderse que la tercera coordenada existe (aunque no esté presente). Esto quiere decir que todas las superficies son cilindros, pues basta dibujar la curva correspondiente a la ecuación en dos variables de que se trate y prolongarla paralelamente a lo largo de la tercera coordenada. (a) En el plano XY la curva corresponde a una elipse de ecuación canónica x y2 16 = 1, de modo que está centrada en el origen y los semiejes miden 2 y 4 unidades, respectivamente. Así pues, la superficie es un cilindro elíptico y su gráfica es la siguiente: 37

38 (b) En el plano y = 0 la ecuación corresponde a una recta, lo que indica que la figura es la de un plano paralelo al eje Y. (c) Escribiendo la ecuación en forma canónica como z 2 4 y2 4 = 1, observamos que, para cualquier valor de x, tenemos una hipérbola de eje real el eje Z y eje imaginario el eje Y. La ecuación entonces representa un cilindro hiperbólico como el de la figura. (d) Completando cuadrados, escribimos la ecuación de forma equivalente como: (x 1) 2 + y 2 = 1, la cual representa, para cada valor de z, una circunferencia de centro el punto (1, 0, z). Así pues, la superficie que representa es la de un cilindro circular cuyo eje es la recta x = 1, y = 0. 38

39 PROBLEMA 1.28 Realizar el mismo ejercicio anterior con las siguientes superficies: (a) x 4 = y2 4 + z2 9 (b) y2 9 + z2 4 = 1 + x2 16 (c) z = y2 4 x2 9 (d) y 2 = x 2 + z 2 (a) Esta ecuación corresponde a un paraboloide elíptico (observemos que las secciones perpendiculares a los ejes Y y Z son parábolas y las secciones perpendiculares al eje X son elipses). Su gráfica es la siguiente: 39

40 (b) En este caso tenemos un hiperboloide de una hoja, en donde los cortes con planos paralelos a x = 0 son elipses, mientras que los cortes con planos paralelos a y = 0 y z = 0 son hipérbolas. Su gráfica tiene la forma siguiente: (c) Como las secciones perpendiculares al eje Z son hipérbolas y las secciones perpendiculares a los ejes X e Y son parábolas, tenemos un paraboloide hiperbólico y su gráfica es la siguiente: (d) Esta ecuación corresponde a un cono circular (a diferencia del paraboloide elíptico del apartado (a), las secciones perpendiculares a los ejes X y 40

41 Z son rectas, no parábolas). Su gráfica tiene la siguiente forma: 41

42 4. NOCIONES DE TOPOLOGÍA MÉTRICA. En la sección 1 se ha definido la noción de producto escalar de vectores en R n, la cual permitía a su vez definir la norma de un vector y la distancia entre dos puntos. Ahora bien, esta forma de definir distancia entre dos puntos no es la única posible. En general, se dice que una aplicación d : R n R n es distancia (o métrica) cuando verifica los cuatro axiomas siguientes: (1) d( x, y ) > 0 x y. (2) d( x, y ) = 0 x = y. (3) d( x, y ) = d( y, x ). (4) d( x, z ) d( x, y ) + d( y, z ). El par (R n, d) recibe el nombre de espacio métrico. Un ejemplo trivial de distancia en R n es la aplicación definida por d( x, y ) = 0 si d( x, y ) = 1 si x = y, x y. Análogamente, toda aplicación : R n R que verifique los siguientes axiomas: (i) x 0; (ii) x = 0 x = 0; (iii) α x = α x ; (iv) x + y x + y (desigualdad triangular); recibe el nombre de norma, y el par (R n, ) se llama espacio normado. Dada una norma arbitraria en R n, la aplicación d( x, y ) = x y es una distancia. Recíprocamente, dada una distancia d (con ciertas propiedades que no vamos a especificar aquí), la aplicación x = d( x, O) es una norma. Ejemplos de normas en R n son las siguientes aplicaciones: (x 1,..., x n ) p = ( x 1 p + + x n p ) 1/p, p [1, ); (x 1,..., x n ) = máx{ x 1,..., x n } (en el problema 1.29 se demuestra esta propiedad para algunos casos). 42

43 Se puede probar (ver problema 2.28) que dos normas cualesquiera 1 y 2 definidas en R n son equivalentes, es decir a, b > 0 : a v 1 v 2 b v 1. Nociones topológicas en un espacio métrico (R n, d). Sean a R n, r > 0; se llama bola abierta de centro a y radio r al conjunto B( a, r) ( = B r ( a ) ) = { v R n : d( v, a ) < r}. Análogamente se definen las correspondientes bolas cerradas y las esferas B( a, r) = { v R n : d( v, a ) r} S( a, r) = { v R n : d( v, a ) = r}. Un sencillo argumento geométrico muestra que B( a, r) = a + r B(O, 1). La bola de centro el origen y radio 1 es la llamada bola unitaria del espacio métrico. Dado un subconjunto A R n, se dice que a A es punto interior de A si existe r > 0 tal que B( a, r) A. Se llama interior de A al conjunto int A = { a A : a es punto interior de A}. Si int A = A, A se dice abierto. Por ejemplo, las bolas abiertas son siempre conjuntos abiertos. Dado a R n, se llama entorno de a a cualquier subconjunto S R n tal que existe r > 0 con B( a, r) S. Dado un subconjunto A R n, un vector x R n es punto exterior de A si r > 0, B( x, r) A c (lo que equivale a decir que B( x, r) A = ). Denotaremos por ext A al conjunto de los puntos exteriores de A. Análogamente, un vector x R n es punto frontera de A si r > 0, B( x, r) A y B( x, r) A c. El conjunto de los puntos frontera de A lo denotaremos por fr A. 43

44 Un vector x A es punto aislado de A si r > 0, ( B( x, r) { x } ) A =. Dado un subconjunto A R n, un vector x R n es punto de adherencia de A si r > 0, B( x, r) A. El conjunto A = { x R n : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las bolas cerradas son los primeros ejemplos de conjuntos cerrados. También los rectángulos [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] son cerrados en R 2. De la definición se deduce fácilmente que un conjunto es cerrado si y sólo si su complementario es abierto. Dado un subconjunto A R n, un vector x R n es punto de acumulación de A si r > 0, ( B( x, r) { x } ) A. Es fácil probar a partir de la definición que los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulación. El conjunto A = { x R n : x es punto de acumulación de A} recibe el nombre de conjunto derivado de A. Se puede probar también que un conjunto A es cerrado si y sólo si A A. Un conjunto A R n es acotado si r > 0 : A B(O, r). El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que, si A es un conjunto infinito y acotado, entonces A. Un conjunto es compacto si de todo recubrimiento por abiertos se puede extraer un sub-recubrimiento finito. Una importante caracterización de los conjuntos compactos es la siguiente: Teorema (Heine-Borel). Dado A R n, A es compacto si y sólo si A es cerrado y acotado. 44

45 Un conjunto A R n es no conexo si existen dos conjuntos X, Y abiertos tales que X A, Y A, (X A) (Y A) =, (X A) (Y A) = A. En caso contrario, decimos que A es conexo. Un resultado que da una caracterización geométrica de los conjuntos conexos es el siguiente. Teorema. Un conjunto A es conexo si y sólo si todo par de puntos de A pueden unirse por una poligonal contenida en A. Por ejemplo, todos los intervalos de R son conjuntos conexos. En general, las bolas B( a, r) son conjuntos conexos en R n. PROBLEMA 1.29 Probar que las siguientes aplicaciones son normas en R n : (a) (x 1,..., x n ) 1 = x x n. (b) (x 1,..., x n ) = máx{ x i : 1 i n}. Representar gráficamente sus respectivas bolas unitarias. (a) Debemos comprobar los axiomas de norma enunciados en el resumen teórico: i) Es evidente que (x 1,..., x n ) 1 0. ii) (x 1,..., x n ) 1 = 0 = x x n = 0 = x 1 = = x n = 0 (pues se trata de una suma de números no negativos). Esto implica que (x 1,..., x n ) = (0,..., 0). iii) Es inmediato también que α(x 1,..., x n ) 1 = (αx 1,..., αx n ) 1 = αx αx n = α ( x x n ) = α (x 1,..., x n ) 1. 45

46 iv) Teniendo en cuenta la desigualdad triangular en R, (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) 1 = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 1 = x 1 + y x n + y n x 1 + y x n + y n = (x 1,..., x n ) 1 + (y 1,..., y n ) 1. (b) Al igual que en el apartado anterior, los tres primeros axiomas son triviales. Para comprobar la desigualdad triangular, basta observar que máx{ x i + y i : 1 i n} máx{ x i + y i : 1 i n} máx{ x i : 1 i n} + máx{ y i : 1 i n}. En la gráfica adjunta se representa por una línea continua la frontera de la bola unitaria para la norma 1 y por una línea discontinua la de la bola unitaria para la norma, ambas en el caso de R 2. En efecto, la bola unitaria en la norma 1 es el conjunto x + y < 1, es decir, el limitado por las rectas x + y = 1, x + y = 1, x y = 1 e y x = 1. Por otra parte, la bola unitaria en la norma es el conjunto máx{ x, y } < 1, el cual coincide con el conjunto x < 1, y < 1. PROBLEMA 1.30 Dibujar las regiones siguientes e indicar si son conjuntos abiertos o cerrados: (a) A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. (b) B = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 < 2}. (c) C = {(x, y) R 2 : x 2 y 2 < 0}. 46

47 (a) El conjunto es cerrado pues su complementario es la bola unidad abierta. Su interior es el conjunto int(a) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 1}. (b) Este conjunto no es abierto (pues los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 pertenecen al conjunto y no son interiores a él) ni cerrado (pues los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 2 son puntos de la frontera pero no pertenecen al conjunto). (c) Para dibujar la región, debemos resolver la inecuación x 2 y 2 < 0: y > x, y > x x 2 y 2 < 0 (x y)(x + y) < 0 ó y < x, y < x. La primera parte representa la región que está por encima de las rectas y = x, y = x y la segunda parte corresponde a la región que está por debajo de ambas rectas. Observemos que el origen no pertenece a la región dada así como tampoco las rectas que la delimitan. El conjunto es abierto pues todos sus puntos son interiores (ningún punto de la frontera pertenece al conjunto). 47

48 PROBLEMA 1.31 Se consideran los siguientes conjuntos: (a) A = {(x, y) R 2 : 1 < x < 1, 1 < y < 1}. (b) B = {(x, y) R 2 : 0 x 1}. (c) C = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4} {(3, 0)}. (d) D = {(x, y) R 2 : 0 x 1} {(x, y) R 2 : x > 1, y = 0}. Determinar si son o no abiertos, conexos, acotados y compactos. Calcular el interior, frontera y exterior de cada conjunto, así como su clausura y su conjunto derivado. (a) Es evidente que el conjunto es abierto y conexo (observar la gráfica adjunta). También es acotado (todo el conjunto está contenido en la bola centrada en el origen y radio 2) pero no es compacto al no ser cerrado. 48

49 Los conjuntos asociados son: int A = A; fr A = {(x, y) R 2 : 1 x 1, y { 1, 1}} {(x, y) R 2 : x { 1, 1}, 1 y 1}; A = {(x, y) R 2 : 1 x 1, 1 y 1}; ext A = R 2 \ A; A = A. (b) Este conjunto es cerrado y conexo, pero no está acotado ni, en consecuencia, es compacto. Es fácil verificar que: int B = {(x, y) R 2 : 0 < x < 1}; fr B = {(0, y) : y R} {(1, y) : y R}; ext B = {(x, y) R 2 : x > 1} {(x, y) R 2 : x < 0}; B = B = B. (c) El conjunto no es conexo pues el punto (3, 0) y la corona circular son dos subconjuntos disjuntos cuya unión es todo el conjunto C. Tampoco es abierto pues, por ejemplo, el punto (3, 0) no es interior. Ahora bien, el conjunto es cerrado (unión de dos cerrados) y acotado (la bola de centro el origen y radio cuatro contiene al conjunto), por tanto es compacto. 49

50 Los conjuntos asociados son: int C = {(x, y) R 2 : 1 < x 2 + y 2 < 4}; fr C = {(x, y) R 2 : 1 = x 2 + y 2 } {(x, y) R 2 : 4 = x 2 + y 2 } {(3, 0)}; ext C = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 4} \ {(3, 0)}; C = C; C = C \ {(3, 0)}. (d) El conjunto es cerrado pues es unión de dos conjuntos cerrados. En efecto, como el punto (1, 0) pertenece al conjunto, podemos escribir D como unión de los conjuntos cerrados {(x, y) : 0 x 1} y {(x, y) : x 1, y = 0}. Es conexo pues no se puede escribir como unión de conjuntos abiertos disjuntos; no es compacto pues no está acotado (contiene los puntos (a, 0) con a arbitrariamente grande). Los conjuntos asociados son: int D = {(x, y) R 2 : 0 < x < 1}; fr D = {(0, y) : y R} {(1, y) : y R} {(x, 0) : x > 1}; ext D = R 2 \ D; D = D = D. 50

51 5. PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.- Sea P = (x, y, z) un punto de R 3. Determinar las coordenadas del punto simétrico a P, (a) respecto al plano XY. (b) respecto al plano Y Z. (c) respecto al eje Z. (d) respecto al origen. 2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 0, 3) y (2, 1, 4). 3.- Hallar los puntos de intersección de las rectas r 1 y r 2 y el ángulo que forman: r 1 : pasa por (1, 1, 1) y es paralela al vector (1, 2, 3); r 2 : pasa por (2, 1, 0) y es paralela al vector (3, 8, 13). 4.- Determinar las ecuaciones de los planos que verifican: (a) Pasa por (1, 2, 1) y está generado por los vectores (0, 1, 0) y (1, 1, 4). (b) Pasa por (2, 3, 1) y es paralelo al plano que pasa por el origen y está generado por los vectores (2, 0, 2) y (1, 1, 1). (c) Pasa por (3, 2, 1) y (1, 1, 2) y es paralelo a la recta (1, 1, 0) + t(3, 2, 2). (d) Pasa por los puntos (2, 0, 3), (1, 0, 1,5), (4, 0, 2). 5.- Encontrar los puntos de intersección de la recta (1, 1, 2) + t(2, 3, 1) y el plano 5x 3y z 6 = Averiguar si la recta que pasa por (1, 0, 1) y es paralela al vector u = ( 1, 3, 2) es paralela al plano que pasa por (1, 1, 2) y está generado por (2, 1, 3) y (3/4, 1, 1). 7.- Completar la siguiente tabla relativa a los planos que se indican. 51

52 corte con X corte con Y corte con Z ecuación 3x 2y + z = 2 x + z = 1 z = x y y = x (1, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3) no existe (0, 1, 0) (0, 0, 1) no existe (0, 1, 0) no existe no existe no existe (0, 0, 2) 8.- Completar la tabla relativa a las siguientes esferas y cilindros: centro o eje radio ecuación (1, 1, 1) 2 (1, 2, 0) 1/2 eje paralelo a OX pasa por (0, 1, 3) eje paralelo a OY pasa por (1, 0, 1) eje paralelo a OZ pasa por (2, 0, 0) (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z 3) 2 = 6 (x + 1) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 + 3x 2y + z 2 = 4 x 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 + 3x 2y = Clasificar y dibujar la gráfica de las siguientes superficies: (a) z = x 2. (b) y 2 + z 2 = 4. (c) 4x 2 3y 2 + 2z 2 = 0. (d) x2 9 + y z2 9 = 1. 52

53 10.- Dibujar las regiones siguientes e indicar si son conjuntos abiertos o cerrados: (a) A = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. (b) B = {(x, y) R 2 : y > x 2, x < 2}. (c) C = {(x, y) R 2 : xy < 1}. (d) D = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}. (e) E = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x + y < 1} Se consideran los siguientes conjuntos: (a) A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}. (b) B = {(x, y) R 2 : y = 2x + 5}. (c) C = {(x, y) R 2 : 0 x 1, y = x}. (d) D = {(x, y) R 2 : x > 1, y 2}. i) Determinar si son abiertos y conexos. ii) Calcular el interior, frontera y exterior de cada conjunto, así como su clausura y su conjunto derivado. iii) Determinar si son acotados y compactos Contestar verdadero o falso a las siguientes proposiciones: (a) a b = a c = b = c. (b) a b a + b = a b. (c) Si [ a, b, c ] = 0, entonces a = b ó a = c ó b = c. (d) ( a b ) c = a ( b c ). (e) Si a, b 0, la ecuación a x = b tiene solución única. (f) Tres vectores a, b, c están en el mismo plano que pasa por el origen si y sólo si existen α, β, γ no todos nulos tales que α a + β b + γ c = 0. (g) El vector v = a b + b a biseca el ángulo entre a y b. 53

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