C ORRIENTE A LTERNA SILVIA E. ELÍAS

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1 OENTE A TENA SVA E. EÍAS

2 DEEHOS DE OPA: Estos Apuntes se presentan en fora digital para su consulta por los alunos de las Asignaturas Electroagnetiso y Física de las carreras: ngeniería Electrónica, ngeniería Electroecánica, ngeniería Mecánica, ngeniería ivil, ngeniería Quíica, ngeniería en Alientos, ngeniería ndustrial, ngeniería en Minas e ngeniería en Metalurgia Extractiva, de la Facultad de ngeniería de la UNSJ. De fora general, se autoriza su ipresión, pero nunca su odificación y/o utilización con fines diferentes al encionado.

3 Í NDE ntroducción 4 orriente ontinua y orriente Alterna 5 orriente Sinusoidal 8 Ventajas de la Señal Alterna 10 ircuitos de orriente Alterna 1 elación de fase en circuitos de corriente alterna 1 Análisis de ircuitos de orriente Alterna 13 onsideraciones generales 13 Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna 15 Un condensador conectado a un generador de corriente alterna 17 Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna 19 ircuito Serie 3 Generalidades 3 Solución analítica 5 Solución ediante el epleo de fasores 7 Epleo de núeros coplejos 30 ircuito Paralelo 34 Generalidades 34 Solución analítica 36 Solucion ediante el epleo de fasores 38 Epleo de núeros coplejos 40 ircuitos Mixtos 43 esonancia 46 ircuito resonante serie 46 ircuito resonante paralelo 46 aracterísticas de los circuitos resonantes serie 47 aracterísticas de los circuitos resonantes paralelo 48 Aplicaciones de los circuitos resonantes 48 Valores Medios y Eficaces 49 Potencia en los ircuitos de orriente Alterna 53 Potencia en un circuito resistivo puro 54 Potencia en un circuito capacitivo puro 56 Potencia en un circuito inductivo puro 57 Potencia en un circuito cualquiera 58 Potencia activa y reactiva 60 Factor de potencia 61 Potencia copleja 6 Ejercicios resueltos 66 Ejercicio Nº 1: Modelo del otor eléctrico 66 Ejercicio Nº 69 3

4 OENTE A TENA NTODUÓN asi todos los días de nuestra vida usaos aparatos eléctricos que funcionan con corriente alterna, entre los que se encuentran las radios, los televisores, ordenadores, los teléfonos, los frigoríficos, etc. o que hace a la electricidad alterna generalente ás útil que la continua, es que la priera puede ser controlada ás fácilente. a frecuencia de las instalaciones de producción de energía eléctrica está noralizada. Esto se debe a que las áquinas y aparatos eléctricos de corriente alterna funcionan noralente a una frecuencia deterinada para la cual están calculados. En la ayoría de los países del undo la frecuencia noralizada es de 50Hz ó 60Hz. a disinución de la frecuencia por debajo de los 40Hz es inadisible, ya que con ello es perceptible para la vista el centelleo de las láparas de incandescencia; el auento de la frecuencia tapoco es deseable ya que da lugar al creciiento proporcional de la f.e.. de autoinducción, lo que dificulta sustancialente la transisión de energía por los hilos de las líneas aéreas. En la industria para fines especiales se aplican apliaente corrientes alternas de las ás variadas frecuencias: en los otores rápidos de 400 a 000Hz, en hornos eléctricos de 500Hz a 50MHz, etc. as corrientes alternas de altas frecuencias son necesarias para la transisión sin cables de cantidades relativaente pequeñas de energía ediante ondas electroagnéticas, en la radiotécnica, televisión (de hasta Hz) y en la ayoría de los dispositivos de electrónica industrial. Para los dispositivos de alta frecuencia, en lugar de la frecuencia se eplea apliaente el concepto de longitud de onda. Para la frecuencia industrial de 50Hz, la longitud de onda es de 6000k, pero para la frecuencia de Hz es igual a 1c. Un alto porcentaje de la energía generada en el undo está en fora de corriente alterna. El uso preferente de la corriente alterna en las instalaciones electroenergéticas e industriales se explica principalente por el hecho de que con corriente alterna trabajan los transforadores, y los otores de corriente alterna son ás sencillos, resistentes y baratos que los otores de corriente continua. Tiene especial iportancia la posibilidad de transforar la energía eléctrica, o sea, una transforación sencilla y con pequeñas pérdidas, de la corriente de gran intensidad y baja tensión, en corriente de pequeña intensidad y alta tensión o la transforación inversa. Una bobina giratoria dentro de un capo agnético induce una f.e.. alterna de una anera uy eficiente. En este capítulo se presentan algunos aspectos sobre la corriente alterna en circuitos eléctricos. 4

5 OENTE ONTNUA Y OENTE ATENA a corriente eléctrica puede ser continua o alterna. a corriente continua se abrevia con las letras.. (orriente ontinua) o D.. (Direct urrent); y la alterna, por.a. (orriente Alterna) o A..(Alternated urrent). a.. iplica un flujo de carga que fluye siepre en un solo sentido. Una batería produce.. en un circuito porque sus bornes tienen siepre el iso signo de carga. os electrones se ueven siepre en el circuito en el iso sentido: del borne negativo que los repele al borne positivo que los atrae. Aún si la corriente se ueve en pulsaciones irregulares, en tanto lo haga en un solo sentido, es.. a.a. se coporta coo su nobre lo indica, los electrones del circuito se desplazan priero en un sentido y luego en sentido contrario, con un oviiento de vaivén en torno a posiciones relativaente fijas. Esto se consigue alternando la polaridad del voltaje del generador o de otra fuente. a ventaja de la corriente alterna proviene del hecho de que la energía eléctrica en fora de corriente alterna se puede transitir a grandes distancias por edio de fáciles elevaciones de voltaje que reducen las pérdidas de calor en los cables. a aplicación principal de la corriente eléctrica, ya sea.. o.a., es la transisión de energía en fora silenciosa, flexible y conveniente de un lugar a otro. as Figs.1 y uestran graficas de V de corriente continua. = V(t) correspondientes a distintos tipos V V Fig. 1 orriente continua constante. t Fig. orriente continua variable. t a representación de la.., es la de la Fig.1, si el valor de la tensión es constante durante todo el tiepo y la de la Fig. si dicho valor varía a lo largo del tiepo (pero nunca se hace negativa). Ahora bien, existen generadores en los que la polaridad está constanteente cabiando de signo, por lo que el sentido de la corriente es uno durante un intervalo de tiepo, y de sentido contrario en el intervalo siguiente. 5

6 Obsérvese que siepre existe paso de corriente; lo que varía constanteente es el signo (el sentido) de ésta. V t Fig.3 orriente alterna. as corrientes alternas ás iportantes son las llaadas corrientes alternas periódicas: son aquellas que se repiten cada cierto intervalo de tiepo llaado PEÍODO, se expresa en unidades de tiepo y se representa por la letra T. En las Figs.4 a 7 se uestran varios tipos de corrientes alternas periódicas. V V t t Fig. 4 orriente rectangular. Fig. 5 orriente triangular. V V t t Fig. 6 orriente diente de sierra. Fig. 7 orriente sinusoidal. Históricaente, las prieras corrientes eléctricas utilizadas fueron las.. que, debido a las grandes pérdidas que iplica su transporte, eran utilizadas en lugares próxios al sitio donde se generaban. El uso de.a. peritió el transporte de energía a grandes distancias. 6

7 os voltajes bajos son ás prácticos para uso local, porque se aíslan con ás facilidad y no hay peligro de descargas disruptivas coo cuando los voltajes son altos. En reciprocidad, coo ostrareos, es ucho ás eficiente transitir la energía eléctrica a altos voltajes, desde una planta generadora hasta los lugares donde se vaya a utilizar. os transforadores nos periten reconciliar las distintas necesidades de voltaje de la transisión a grandes distancias y del uso local. El hecho de que los transforadores requieren.a. para funcionar, ha deterinado el papel del la.a. en nuestro uso de la electricidad. Se puede deostrar que es ás eficiente transitir energía eléctrica a altos voltajes, sea de.a. o de.. El hecho de que la isa potencia puede ser transitida a una baja tensión y gran intensidad de corriente o bien a una alta tensión y pequeña intensidad de corriente tiene un gran valor práctico. Un circuito eleental de transisión de energía eléctrica consta de un generador que suinistra energía eléctrica sobre una línea de transporte forada por dos conductores de resistencia r, a una carga de resistencia. De acuerdo con la ey de Oh la tensión de este circuito es: ε = r+ = r+ V (1) Multipliqueos la Ec. (1) por la intensidad de corriente, transforándola de esta anera en la ecuación de distribución de potencia en el circuito: ε = r + V () Donde ε es la potencia entregada por el generador; res la pérdida de potencia en los conductores de la línea y P = V es la potencia consuida por la carga. Si auentaos dos veces la tensión en los bornes de la carga, para obtener igual potencia es necesario disinuir dos veces la intensidad de corriente de carga, o sea, hasta el valor =. En este caso las pérdidas en los conductores de la línea (para r invariable) disinuyen cuatro veces ya que: r r = 4 Por lo tanto, al auentar dos veces la tensión, si se antiene invariable el porcentaje de pérdidas en la transisión, se puede disinuir cuatro veces la sección de los conductores o auentar cuatro veces la longitud de la línea de transisión. 7

8 OENTE SNUSODA as funciones seno y coseno son funciones periódicas. a función coseno es la π función seno desfasada hacia la izquierda un cuarto de ciclo: cos( ωt ) = sen ωt + y = senx y = cosx y T 1 π 1 π x π cosωt = sen ωt + π 1 T = ( Período) = ω f f ω = π ( Frecuencia) a ás iportante de las corrientes alternas periódicas es la llaada corriente sinusoidal o senoidal, porque es la única capaz de pasar a través de resistencias, bobinas y condensadores sin deforarse. Puede deostrarse que cualquier otra fora de onda se puede construir a partir de una sua de ondas sinusoidales de deterinadas frecuencias. Se llaa sinusoidal porque sigue la fora de la función ateática SENO. Esta función es: donde: v : es el valor instantáneo de la tensión, es decir, el valor en un deterinado instante t. i : es el valor instantáneo de la corriente, es decir, el valor en un deterinado instante t. V : es el valor de pico de la tensión, tabién llaado aplitud de la tensión. : es el valor de pico de la corriente, tabién llaado aplitud de la corriente. ω : es una constante propia de la corriente de que se trate, relacionada con la frecuencia. t : es el tiepo expresado en segundos. 8

9 os paráetros que caracterizan la señal en.a. son: la aplitud, la frecuencia angular y la fase inicial. Frecuencia angular ( ω t φ ) v( t ) = V sen + Aplitud Fase inicial as Figs. 8 a 10 uestran la influencia de la variación de estos paráetros. Variación de aplitud v V 1 V V V t 1 Variación de frecuencia Fig. 8 Variación de aplitud en la Función SENO. v ω ω 1 t ω ω ω Fig. 9 Variación de frecuencia angular en la Función SENO. 9

10 Variación de fase inicial v φ 1 t φ = 0 φ φ 1 Fig. 10 Variación de fase en la Función SENO. 10

11 VENTAJAS DE A SEÑA ATENA Frente a la corriente continua, la alterna presenta las siguientes ventajas: Se genera en los alternadores sin grandes dificultades. os generadores de.a. (alternadores) son ás eficaces y sencillos que los de.. (dínaos). a tecnología necesaria para el transporte de energía a grandes distancias es ucho ás econóica y accesible. Su elevación y reducción, necesarias para reducir las pérdidas de energía, se realiza con altos rendiientos y bajo costo ediante los transforadores. os receptores de.a. son ás nuerosos y utilizables en casi todas las aplicaciones. a conversión de.a. en.. no presenta coplicaciones. Adeás, frente a otros tipos de onda, la señal senoidal tiene las siguientes propiedades: a función seno se define perfectaente ediante su expresión ateática. Es fácil de operar. 11

12 UTOS DE OENTE ATEN A En este capítulo, la discusión queda liitada a circuitos que sólo contengan eleentos lineales; de odo que las relaciones entre las corrientes, voltajes, sus derivadas y sus integrales sean lineales, siendo las constantes de proporcionalidad los paráetros, y o sus recíprocos. El único eleento de iportancia en el circuito de.. (adeás de la fuente de f.e..) es el resistor. Puesto que la.a. se coporta en fora distinta de la.., los eleentos adicionales del circuito adquieren iportancia. Adeás de la resistencia, tanto la inducción electroagnética coo la capacitancia desepeñan papeles iportantes. En electricidad aplicada los circuitos de.a. son de gran iportancia, pero aquí nos liitareos a discutir los circuitos eleentales y al estudio de algunos étodos sencillos para su análisis, cuando tales circuitos están conectados a una fuente de tensión senoidal. El análisis de los circuitos de.a. exige el planteaiento y la solución de ciertas ecuaciones diferenciales. Para profundizar ás en el conociiento de estos circuitos, exainareos el problea desde varios puntos de vista. Adeás de desarrollar las ideas necesarias para discutir las relaciones tensión- circuitos de.a., discutireos la disipación de potencia en tales intensidad en los circuitos. elación de fase en circuitos de corriente alterna En todos los circuitos de.., el voltaje y la corriente alcanzan sus valores áxios y el valor cero al iso tiepo, por lo que se dice que están en fase. os efectos de la inductancia y la capacitancia en circuitos de.a. evitan que el voltaje y la corriente alcancen sus valores áxios y ínios al iso tiepo. Es decir, la corriente y el voltaje en la ayoría de los circuitos de.a. están fuera de fase. 1

13 ANÁSS DE UTOS DE OEN TE ATENA onsideraciones generales Un cir cuito de.a. consta de una cobinación de eleentos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suinistra la corriente alterna. Una f.e.. alterna senoidal se produce ediante la rotación de una bobina con velocidad angular constante dentro de un capo agnético unifore. ε = ε senωt (3) Para analizar los circuitos de corriente alterna se eplean dos procediientos, uno geoétrico denoinado de vectores rotatorios o fasores, y otro que eplea los núeros coplejos. Un ejeplo del prier procediiento, es la interpretación geoétrica del Moviiento Arónico Siple coo proyección sobre el eje y de un vector rotatorio de longitud igual a la aplitud y que rota con una velocidad angular igual a la frecuencia angular. Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la aplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. os vectores se hacen rotar en sentido contrario al de las agujas del reloj. on letras ayúsculas representareos los valores de la aplitud y con letras inúsculas los valores instantáneos. En la Fig.11, se observa la interpretación de un M.A.S. coo proyección sobre el eje y, del extreo de un vector rotatorio de ódulo igual a la aplitud A. y A ω t φ a = A sen (ω t + φ) x Fig. 11 nterpretación geoétrica del Moviiento Arónico Siple. 13

14 Este vector rota con velocidad angular ω igual a la frecuencia angular del M.A.S, a= Asen ω t+ φ. en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale ( ) + que fora el vector rotatorio con el eje de las x se denoina fase del oviiento. El ángulo φ que fora en el instante t= 0, se denoina fase inicial. El ángulo ( ω t φ ) En la Fig.1 se uestra el vector rotatorio (fasor) en su oviiento durante un intervalo [ ] 0,T, para φ = 0. T es el tiepo que tarda el punto en recorrer la circunferencia, es decir, el PEÍODO del oviiento circular, que es el iso que el del oviiento arónico correspondiente. ε, i 0 π θ π Fig. 1 Función arónica generada por un vector rotatorio (fasor). 14

15 Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna onsidereos un circuito que contiene un resistor puro en serie con un generador de.a. coo se observa en la Fig. 13. ( t ) ε = ε sen ω Fig. 13 Fuente de corriente alterna conectada a una resistencia. Este es un circuito ideal en el que los efectos inductivos y capacitivos son despreciables. Nuerosos dispositivos de uso doéstico coo láparas, calentadores y tostadores, se aproxian a una condición de resistencia pura. Aplicando la ley de las allas de Kirchhoff a este circuito: ε v = 0 (4) encontraos que la diferencia de potencial entre las terinales de la fuente, es igual a la diferencia de potencial entre los extreos de la resistencia, por tanto: ( ω ) v = ε sen t = i (5) donde v es la caída de tensión instantánea en la resistencia, por lo tanto la corriente instantánea será: i ε ε = = s en ω t (6) Si la resistencia es óhica ( independiente de v e i ), la dependencia teporal de i es: ε i = sen( ω t), = (7) donde la aplitud de la corriente, es constante. 15

16 a Fig. 14 uestra los fasores generatrices de i yε para el circuito resistivo puro de la Fig. 13. ε, i i v 0 ω t oo i y sen ω t, Ecs. (5) y (7), alcanzan sus valores áxios al iso tiepo, por lo tanto se dice que están en fase. v varían según ( ) Fig. 14 Fasores generatrices de i y v para un circuito resistivo puro. 7 π Haciendo una instantánea de la aniación ostrada en la Fig.14, para t =, 4 ω coo la de la Fig.15, veos que los extreos de las flechas corresponden a los valores de tensión y corriente áxios, que desplazados sobre el eje vertical nos dan los valores instantáneos de la tensión y corriente en la resistencia. En la Fig.15( b ) puede verse que para un circuito de corriente alterna puraente resistivo, el voltaje y la corriente están en fase o dicho de otro odo, el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente es cero. El diagraa de fasores, Fig.15( a ) nos uestra esta relación con paralelos, ientras rotan en sentido antihorario. y V ε, i i v ' 7 π t = 4 ω 7π/4 V = ε ω t ω t (a) (b) Fig. 15 (a) Diagraa de fasores para el circuito de la Fig.13. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el iso circuito. EN OS UTOS ESSTVOS PUOS A OENTE Y A TENSÓN ESTÁN EN FASE. 16

17 Un condensador conectado a un generador de corriente alterna En la Fig.16 se uestra una fuente de corriente alterna conectada a un condensador, forando un circuito de corriente alterna puraente capacitivo. ( t ) ε = ε sen ω Fig. 16 Fuente de corriente alterna conectada a un condensador. a regla de las allas de Kirchhoff aplicada al circuito da: ε v = 0 Por lo tanto: ( ω ) v = ε sen t (8) (9) q donde v = es la caída de tensión en el capacitor. Para obtener la corriente debeos despejar q y derivarla respecto del tiepo. = ε ( ω ) i ω ε cos( ωt) q sen t dq = = (10) dt π Usando la relación cos( ωt ) = sen ωt +, podeos escribir: π i = sen ω t + = ω ε = ε ( 1 ω) (11) donde c es la aplitud de la corriente oscilante. En la sección anterior vios que para un circuito resistivo = ε, por analogía definios la reactancia capacitiva X coo: X 1 = ω (1) 17

18 Por lo tanto, la aplitud de la corriente es: c = ε X (13) a aplitud de la corriente resulta inversaente proporcional a la reactancia capacitiva. Obsérvese que las unidades de la reactancia capacitiva son las isas que las de la resistencia, así que la unidad S de la reactancia capacitiva es tabién el ohio ( Ω ). En los circuitos puraente capacitivos, la reactancia capacitiva liita la aplitud de la corriente de fora siilar a coo la liita la resistencia en los circuitos resistivos. Sin ebargo, al contrario de lo que ocurre con la resistencia, la reactancia capacitiva depende de la frecuencia; es proporcional a la inversa de la frecuencia. a reactancia capacitiva es tabién proporcional a la inversa de la capacidad del condensador, de anera que para una isa frecuencia, un condensador de enor capacidad ipide el paso de la corriente en ayor edida que otro de capacidad ás alta. oparando las expresiones de v e i, Ecs. (9) y (11), observaos que se encuentran desfasadas en (π/) rad. a Fig.17 uestra cóo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir del correspondiente diagraa de fasores, y en ellos se observa claraente la diferencia de fase entre ellas. ε, i i v 0 ω t Fig. 17 Fasores generatrices de i y v para un circuito capacitivo puro. 7 π a Fig.18 uestra la instantánea de la Fig.17, para t =. 4 ω El áxio de v está siepre desplazado (π/) radianes (o 90 ) hacia la derecha del áxio de i. 18

19 Esto significa que el voltaje alcanza su áxio valor un cuarto de período ás t π / tarde que la corriente = 4 ω y podeos decir que el voltaje se encuentra retrasado 90 respecto de la corriente o que la corriente Fig. 18( a ) V adelanta al voltaje en 90. En el diagraa de fasores,, el fasor va siepre (π/) por detrás del fasor, confore abos rotan en sentido contrario a las agujas del reloj. 7π/4 V = ε ε, i ' 7 π i t = 4 ω v ω t ω t (a) (b) Fig. 18 (a) Diagraa de fasores para el circuito de la Fig.16. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el iso circuito. EN OS UTOS APATVOS PUOS A OENTE ESTÁ ADEANTADA 90 ESPETO DE A TENSÓN. 19

20 Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna En la Fig. 19 se uestra una fuente de corriente alterna conectada a una inductancia, forando un circuito puraente inductivo. ( t ) ε = ε sen ω Fig. 19 Fuente de corriente alterna conectada a una inductancia. Aunque realente la ayoría de las inductancias poseen una resistencia apreciable en sus bobinados, supondreos por siplicidad que esta inductancia posee una resistencia suficienteente baja coo para poderla despreciar. Aplicando la regla de las allas de Kirchhoff a este circuito se obtiene: ε v = 0 Por lo tanto: ( ω ) v = ε sen t (14) (15) oo v di dt =, podeos escribir: di ε sen( ω t) = (16) dt Para obtener la corriente integraos abos iebros de la ecuación anterior, es decir: ε di = sen( ω t ) dt os líites de integración se ignoran ya que dependen de las condiciones iniciales, las cuales no son iportantes en esta situación. Por lo tanto: ε = + (17) ω i cos( ω t) 0

21 a constante de integración representa una coponente continua de la corriente. oo la fuente produce una f.e.. que oscila siétricaente respecto al cero, no puede existir esta coponente continua y la constante de integración debe ser cero. Usando la relación π cos( ωt ) = sen ωt, podeos escribir: π i = sen ω t, ε = (18) ω donde es la aplitud de la corriente. Por analogía con la resistencia y con la reactancia capacitiva, definios la reactancia inductiva X, coo: X = ω (19) de fora que la aplitud de la corriente es: = ε X (0) a aplitud de la corriente es proporcional a la inversa de la reactancia inductiva. a unidad S de la reactancia inductiva es el ohio ( Ω ). En los circuitos inductivos, la reactancia inductiva liita la corriente, de la isa fora que la resistencia liita la corriente en los circuitos resistivos y la reactancia capacitiva lo hace en los circuitos capacitivos. a reactancia inductiva es directaente proporcional a la inductancia del inductor y a la frecuencia ω. Una inducción, ipedirá poco el paso de una corriente que varía lentaente, pero ipedirá fuerteente el paso de una corriente de variación rápida. ε, i i v 0 ω t Fig. 0 Fasores generatrices de i y v para un circuito inductivo puro. 1

22 Al igual que para el circuito capacitivo, la coparación de las expresiones de v, e i, Ecs. (15) y (18), nos indica que sus oscilaciones se encuentran desfasadas π/ rad., pero este desfasaje tiene signo contrario al del circuito capacitivo. a Fig. 0 uestra cóo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir del correspondiente diagraa de fasores, y en ellos se observa claraente la diferencia de fase entre ellas. Si, coo en los casos anteriores, deteneos la aniación de la Fig. 0 7 π instante cualquiera, por ej. para t =, obteneos la Fig.1. 4 ω para un En la Fig.1( b ) se uestran las gráficas de i y v frente a ω t para el circuito inductivo y el correspondiente diagraa de fasores en la Fig.1( a ). En las gráficas dei y v, el áxio de v aparece desplazado π/ radianes o 90 a la izquierda del áxio dei, esto significa que el voltaje alcanza su áxio valor un cuarto de período antes que la corriente T π / = 4 ω. En el diagraa de fasores el fasor V va π/ rad. por delante del fasor ientras abos rotan en sentido antihorario. Podeos describir este resultado diciendo que el voltaje adelanta a la corriente en 90 o que la corriente está retrasada 90 respecto del voltaje. 7π/4 V = ε ε, i v i 7 π t = 4 ω ω t ωt (a) (b) Fig. 1 (a) Diagraa de fasores p ara el circuito de la Fig.19. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el iso circuito. EN OS UTOS NDUTVOS PUOS A OENTE ESTÁ ATASADA 90 ESPETO DE A TENSÓN.

23 UTO SEE Generalidades a Fig. uestra un circuito forado por la cobinación en serie de una resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de.a. En el estudio de este circuito aparecerán juntos los aspectos estudiados en las secciones anteriores. ( t ) ε = ε sen ω Fig. ircuito de.a. que contiene esistencia, nductancia y apacitancia en Serie. a f.e.. está dada por la Ec. (3) ( t ) ε = ε sen ω (3) Dado que los cuatro coponentes de nuestro circuito están conectados en serie, por todos ellos circula la isa corriente. onsiderando los resultados de las secciones anteriores, podeos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca una corriente oscilante i con la isa frecuencia ω, pero desfasada respecto a v, por lo tanto: ( ω φ ) i = sen t+ en la cual todavía falta deterinar los valores de y φ. Aplicando la regla de las allas de Kirchhoff, la sua de los voltajes entre los extreos de la resistencia, el condensador y el inductor, es igual al voltaje de la fuente, es decir: (1) ε = v + v + v () En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en fora sinusoidal con el tiepo, y sus valores áxios son, respectivaente: 3

24 ε V = V X = X = V (3) a Ec. () es válida en cualquier instante de tiepo, por lo tanto se puede usar para calcular i y φ a partir de la Ec. (1). Sin ebargo, debido a las diferencias de fase que existen entre los distintos térinos, este étodo no es sencillo, coo vereos a continuación. 4

25 Solución analítica Vaos a obtener la solución del circuito de la Fig. rigurosaente. Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será tabién sinusoidal. Podeos, pues escribir las expresiones siguientes para la intensidad y la tensión: i sen( ω t) =, ε ε ( ωt φ ) = sen + (4) Deseaos obtener la aplitud y el ángulo de fase. El hecho de que las tensiones instantáneas en cada eleento se suan para dar la tensión aplicada, Ec. (), puede expresarse en la fora: sen( ω t) + ω cos( ωt) cos( ωt) = ε sen( ωt+ φ) (5) ω Heos hecho esta sua teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las tensiones epleando la función trigonoétrica apropiada. a solución de esta ecuación nos perite hallar la relación entre ε eiasí coo el ángulo de fase entre ellas. oo la Ec. (5) es válida en cualquier instante, podeos escribir π particularizando para ω t = 0 y para ω t =, las ecuaciones: ω ε senφ ω = ( t 0) ω = (6) π = ε sen + φ = εcosφ ω t π = (7) Elevando al cuadrado abas expresiones y suando, resulta: 1 + ω = ε ω Despejando obteneos: = ε ( ) + X X (8) Por lo tanto podeos escribir: 5

26 ε = Z (9) la cual recuerda la relación una f.e.. estacionaria. a agnitud: = ε para redes resistivas de una sola alla actuadas por ( ) Z = + X X (30) se denoina ipedancia de un circuito en serie. Tabién podeos escribir: ε = = (31) Z o Z ε Para obtener el ángulo de fase dividios iebro a iebro las Ecs. (6) y (7): tanφ = ( V V ) V (3) a aplicación de este procediiento a circuitos ás coplejos, puede resultar coplicado, en consecuencia, se recurre al diagraa de fasores. 6

27 Solución ediante el epleo de fasores En la Fig. 3( a ) se han dibujado los tres diagraas de las Figs. 15( a ), 18( a ) y 1( a ), odificados en dos aspectos. Se ha cabiado la escala de odo que la aplitud de la intensidad sea la isa en todos o sea: = = = Asiiso, los diagraas se han rotado unos respecto a otros hasta conseguir que los fasores generatrices de la intensidad sean paralelos. Estas dos odificaciones son las apropiadas para el circuito serie, en el que la intensidad en todos los puntos del circuito es la isa. V V V V V ε φ V (a) (b) Fig. 3 (a) Diagraa de fasores para el circuito Serie de la Fig.. (b)elación entre los fasores V, V, V y V, para el iso circuito. Por últio, conviene aclarar que, para siplificar el diagraa, se ha trazado el fasor de odo que coincida con el eje horizontal, lo cual tiene la siguiente justificación: a orientación del fasor, se deterina por su fase inicial α. Ésta depende del instante en que coienza la lectura del tiepo, por lo tanto es arbitraria en la ayoría de los casos. Aprovechando la posibilidad de elegir arbitrariaente la fase inicial, al analizar los circuitos de.a., conviene dirigir por el eje horizontal un vector conocido cualquiera. De este odo se considera igual a cero su fase inicial. Después de esto, todos los deás fasores se orientan con relación al fasor conocido. Por lo tanto, un único fasor representa la corriente en todos los eleentos del circuito, y su coponente vertical corresponde a la Ec. (1). V es paralelo a, pues en un coponente resistivo, el voltaje está en fase con la corriente. V está retrasado π/ rad. respecto a, coo ocurre para un coponente capacitivo. V está adelantado π/ rad. respecto a, coo sucede para un coponente inductivo. 7

28 Habiendo conseguido que la aplitud y fase de la intensidad sean las isas en todos los eleentos, los vectores generatrices de la tensión correspondientes a v,v y v, es decir, V, V y V, respectivaente, nos dan ahora las aplitudes y fases relativas de las tensiones sinusoidales (instantáneas) entre extreos de los eleentos. El valor instantáneo de la tensión del generador es igual a la sua de las tensiones instantáneas entre extreos de cada eleento de acuerdo con la Ec. (). Adeás, coo la sua de tensiones sinusoidales de la isa frecuencia es siepre otra tensión sinusoidal, podeos expresar este iso hecho diciendo que el fasor generatriz de la tensión resultante, entre extreos de todos los eleentos, es precisaente igual a la sua vectorial de los fasores generatrices individuales, es decir: V + V + V = ε (33) En la Fig.3( b ) se ha representado esta relación entre fasores. oo V yv están siepre en la isa recta y con sentidos opuestos, han sido cobinados en un único fasor ( V V ) cuyo ódulo es ( V V ) y dado que entonces V = ε viene dado por la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos V y V V, aplicando el teorea de Pitágoras se obtiene: ( ) ( ) ε = V + V V (34) Sustituyendo los valores de V, V yv dados por las Ecs. (3), tendreos: ( ) ( X X ) ( X X ) ε = + = + Despejando llegaos de nuevo a la Ec. (8) deducida anteriorente por el étodo analítico. = ε ( ) + X X ε Z = (35) Por lo tanto se puede escribir: ( ) Z X X = + (36) De este odo, se ha resuelto el prier problea propuesto, es decir deterinar en térinos de los cinco paráetros que caracterizan el circuito:,, ε y ω. 8

29 Nótese que siepre que los térinos de reactancia contribuyan a Z, el fasor tensión V entre los extreos del circuito está fuera de fase con el fasor intensidad. Observando la Fig. 3( b ), la agnitud del ángulo de fase se puede deterinar a partir de: tanφ = ( V V ) V as Ecs. (3) uestran que el voltaje a través de cada eleento depende directaente de la resistencia o la reactancia. oo consecuencia de esto, es posible construir un diagraa de fase alternativo considerando, X y X coo cantidades vectoriales, coo el de la Fig. 4 a ). Un diagraa de este tipo se puede utilizar para el cálculo de la ipedancia, coo se aprecia en la Fig. 4 b ). X ( X X ) Z (37) X φ (a) (b) El ángulo de fase a través del diagraa de ipedancias se deterina coo: tanφ ( X X ) = (38) Fig. 4 Diagraa de ipedancias para el circuito de la Fig.. Por supuesto, este ángulo es el iso que el que se obtiene ediante la Ec. (37) Obsérvese a partir del diagraa de ipedancias, que un valor de X X da por resultado un ángulo de fase positivo. En otras palabras, si el circuito es predoinanteente inductivo, el voltaje se adelanta a la corriente. En un circuito predoinanteente capacitivo, X X y resulta un ángulo de fase negativo, lo cual indica que el voltaje está atrasado respecto a la corriente. Por lo tanto el segundo φ = φ,,, ω. problea propuesto ha quedado resuelto, se ha expresado ( ) 9

30 Epleo de núeros coplejos El cálculo de los circuitos de.a. ediante los diagraas vectoriales, resulta deasiado laborioso para los circuitos coplejos. Estos cálculos se siplifican sustancialente si representaos las agnitudes sinusoidales por núeros coplejos. El epleo del étodo coplejo da la posibilidad de expresar en fora algebraica las operaciones geoétricas con los fasores de las corrientes y tensiones alternas. Esto perite, en particular, aplicar para el cálculo de los circuitos de corriente alterna las leyes de Kirchhoff y todos los étodos de cálculo de los circuitos coplejos de.. Al eplear el étodo coplejo, los fasores se exainan en el plano coplejo, o sea en el sistea de coordenadas cartesianas, cuyo rasgo distintivo es que un eje se considera real y el otro iaginario. En los cálculos de los circuitos de.a. aparecen cantidades coplejas que representan agnitudes sinusoidales de tiepo (corriente alterna, tensión alterna, f.e..) y otras que no lo hacen (por ej., la ipedancia Z, la aditancia Y, etc.). En la ayoría de la bibliografía disponible, no se hace diferencia en su notación, y todas las cantidades coplejas se representan con letras ayúsculas con un asterisco de superíndice. El ódulo de una cantidad copleja se representa por una letra ayúscula. En beneficio de los estudiantes que ya conocen los étodos de trabajo con agnitudes coplejas, vaos a discutir su aplicación para resolver probleas de circuitos de.a. uando se trabaja en probleas eléctricos, la letra j, coúnente llaada operador j, se usa en reeplazo de la i, para evitar confusiones con la corriente. as relaciones: V = V = X V = X ε = Z (39) tienen la fora que establece la ey de Oh en corriente continua, para los valores áxios de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos. Por lo tanto si se obtiene ε coo la sua de V, V y V se coete un GAVE EO. En cabio en un circuito de.. constituido por resistencias puras, este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes. os valores son constantes, independientes del tiepo. 30

31 Para proceder en.a. del iso odo coo lo haceos en.., dibujaos el iso diagraa fasorial de la Fig. 3 pero considerando que los puntos extreos de los fasores allí dibujados son puntos de un plano coplejo, es decir representan núeros coplejos, coo se hace en la Fig. 5. Plano oplejo V V = ε V φ ωt V eal V Fig. 5 epresentación de los fasores en el plano coplejo para el circuito Serie. Por lo tanto, de acuerdo con este diagraa, podeos escribir las Ecs. (39) con núeros coplejos, es decir: V = V = X V = X ε = Z (40) Según la Fig.5, las expresiones coplejas de la corriente y las tensiones usando la representación exponencial serán: V = e ω j t = V e ω j t V π j t ω = V e 31

32 V π j t ω + = V e ( t+ ) j ε = ε e ω φ π j t ω + = V V e donde V = V V y V = V V De acuerdo a las Ecs. (40), podeos deducir la fora explícita que deben tener los núeros coplejos,x,x yz : jωt V V e V j( ωt ωt) j0 = = = e = e = + jωt e j0 π j ωt π V j t t π e V j V ω ω jωt X = = = e = X e = 0 jx = e jx π j t ω + π V j t t V e V ω ω π j + jωt jx X = = = e = X e = 0+ = e jx ( ωt + φ) j ε ε e ε j ( ωt+ φ ωt) jφ jω t ( φ φ ) Z = = = e = Z e = Z cos + jsen e Por lo tanto: j0 = e = + j0= (41) X = X e π j = 0 jx = jx (4) π j X = X e = 0+ j X = j X (43) jφ Z Ze Z cos jsen ( ) = = φ + φ (44) Observando el diagraa fasorial del circuito obtener las siguientes relaciones: serie, Fig. 3, podeos V cosφ = ε (45) 3

33 senφ = V V ε ecordando que siguiente odo Z ε =, podeos escribir la parte real e iaginaria de (46) Z del V = = = Z cosφ ε ε V ε V V V V V V Z senφ = = = = X X ε on estos resultados, el núero coplejo ( ) Z j X X Z se puede expresar: = + (47) Según las Ecs. (41), (4) y (43), esta ecuación representa la sua de las tres ipedancias coplejas, es decir: Z = + X + X (48) Podeos generalizar este resultado de la siguiente anera: En un circuito de.a. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias en serie, la ipedancia total coo núero coplejo es la sua de las ipedancias coplejas de cada uno de los eleentos del circuito. Esta regla es la isa que se aplica en un circuito de.. con dos o ás resistencias en serie. 33

34 UTO PAAEO Generalidades a Fig. 6 uestra un circuito forado por la cobinación en paralelo de una resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de.a. ( ) ε = ε sen ωt Fig. 6 ircuito de.a. que contiene esistencia, nductancia y apacitancia en Paralelo. os circuitos paralelo son usados en los sisteas eléctricos ás frecuenteente que los circuitos serie. En equipos electrónicos se usan circuitos serie, paralelo y cobinación de éstos. A causa de que todas las bobinas y condensadores tienen alguna resistencia, no es posible hacer un circuito conteniendo reactancias puras conectadas en paralelo. Sin ebargo, en algunas bobinas y condensadores, especialente en éstos, la resistencia es tan baja en coparación con la reactancia que se supone la resistencia nula. En estas condiciones un circuito puede ser considerado coo si sólo contuviera una cobinación de resistencias y reactancias puras conectadas en paralelo. a f.e.. está dada por la Ec. (3) ( t ) ε = ε sen ω Dado que los cuatro coponentes de nuestro circuito están conectados en paralelo, la diferencia de potencial entre sus extreos es la isa. onsiderando los resultados de las secciones anteriores, podeos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca una corriente oscilante i con la isa frecuencia ω, pero desfasada respecto a v, por lo tanto: ( ω φ ) i = sen t+ Aplicando la regla de los nodos, la intensidad de línea es la sua de las intensidades de cada raa, es decir: (3) (49) it = i+ i + i (50) 34

35 En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en fora sinusoidal con el tiepo, y sus valores áxios son, respectivaente: T ε = ε = X ε = X (51) a Ec. (50) es válida en cualquier instante de tiepo, por lo tanto puede usarse para calcular i y φ a partir de la Ec. (49). os eleentos conectados en paralelo a través de un generador de.a. se estudian por los isos procediientos seguidos para los eleentos conectados en serie. 35

36 Solución analítica Vaos a obtener la solución del circuito del la Fig. 6 rigurosaente. Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será tabién sinusoidal. Podeos, pues escribir las expresiones siguientes para la tensión y la intensidad: = ( t ) i sen( ω t φ ) ε ε sen ω Deseaos obtener la aplitud y el ángulo de fase. = + (5) El hecho de que las corrientes instantáneas en cada eleento se suan para dar la corriente total, Ec. (50), puede expresarse en la fora: ε ε ε sen( ω t) + cos( ωt) cos( ωt) = sen( ωt + φ) (53) X X Heos hecho esta sua teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las corrientes epleando la función trigonoétrica apropiada. a solución de esta ecuación nos perite hallar la relación entre i yε así coo el ángulo de fase entre ellas. oo la Ec.(53) es válida en cualquier instante, podeos escribir π particularizando para ω t = 0 y para ω t =, las ecuaciones: 1 1 ε = senφ X X ( ω t = 0) (54) 1 ε = cosφ ω t π = (55) Elevando al cuadrado abas expresiones y suando, resulta: ε + = X X Despejando ε obteneos: = ε X X (56) 36

37 Por lo tanto podeos escribir: ε = Z ( 57) la cual recuerda la relación una f.e.. estacionaria. a agnitud: ε = para redes resistivas de una sola alla actuadas por Z = X X (58) se denoina ipedancia del circuito paralelo. Tabién podeos escribir: = + Z X X (59) Para obtener el ángulo de fase dividios iebro a iebro las Ecs. (54) y (55): 1 1 X X ω 1/ ω tgφ = = (60) 1/ 1/ 37

38 Solucion ediante el epleo de fasores El diagraa de fasores para el circuito de la Fig.6 es el de la Fig.7. ε T φ ε En este caso la diferencia de potencial instantánea a través de cada eleento es la isa en aplitud y fase y solo un fasor ε representa el voltaje entre los bornes, ya que: V = V = V = ε (61) (a) (b) Fig. 7 (a) Diagraa de fasores para el circuito Paralelo de la Fig.6. (b)elación entre los fasores,, e T, para el iso circuito. a solución de los circuitos con dos o ás receptores en paralelo, requiere la deterinación de las intensidades de las corrientes en cada raa del circuito, para cobinarlas luego vectorialente y hallar la corriente resultante. El fasor de aplitud ε = (6) y en fase con ε representa la intensidad en la resistencia. El fasor de aplitud ε ε = = (63) X 1/ ω y avanzado 90º respecto a ε representa la intensidad en el condensador y el fasor de aplitud: ε X = = ε ω (64) y retrasado 90º respecto a ε representa la intensidad en la autoinducción. 38

39 De acuerdo con la regla de los nodos de Kirchhoff, la intensidad instantánea en la línea es igual a la sua (algebraica) de las intensidades instantáneas i T, es decir: it = i + i + i y está representada por un fasor = + + T (65) T, sua vectorial de los fasores, e, es decir: (66) de donde: ( ) T = + (67) Sustituyendo los valores de, e dados por las Ecs. (6), (63) y (64), obteneos: = ε + X X T (68) Por lo tanto se puede escribir: ε = Z (69) a agnitud Z dada por la ecuación: = + Z X X (70) se denoina ipedancia de un circuito paralelo. En el diagraa φ es el ángulo de fase entre la intensidad resultante y la tensión aplicada y está deterinado por: tgφ 1 1 X X ω 1/ ω 1/ 1/ = = Que resulta ser idéntica a la Ec. (60). 39

40 Epleo de núeros coplejos as relaciones: ε = ε = X ε = X ε = Z (71) tienen la fora que establece la ey de Oh en corriente continua, para los valores áxios de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos. Por lo tanto si se obtiene coo la sua de, e se coete un GAVE EO. En cabio en un circuito de.. constituido por resistencias puras, este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes. os valores son constantes, independientes del tiepo. Para proceder en.a. del iso odo coo lo haceos en.., dibujaos el iso diagraa fasorial de la Fig. 7 pero considerando que los puntos extreos de los fasores allí dibujados son puntos de un plano coplejo, es decir representan núeros coplejos, coo se hace en la Fig. 8. Plano oplejo T φ ωt ε eal Fig. 8 epresentación de los fasores en el plano coplejo para el circuito Paralelo. 40

41 Por lo tanto, de acuerdo con este diagraa, podeos escribir las Ecs. (71) con núeros coplejos, es decir: ε = ε = X ε = X ε = Z T (7) Según la Fig. 8, las expresiones coplejas de las corrientes y la tensión, usando la representación exponencial serán: jω t ε = ε e jω t = e π j ω t+ = e π j ω t = e j( ωt+ φ) T = e donde = (73) De acuerdo a las Ecs. (7), podeos deducir la fora explícita que deben tener los núeros coplejos,x,x y1z : ε ε e = = = e = + j0 jωt jωt e j0 jωt π j ε π j ωt + e ε e X = = = X e = 0 jx = jx ε e X = = = X e = 0+ jx = jx jωt π j ε π j ωt e ( ) j ωt+ φ 1 e 1 1 = = = = = + Z ε ε e ε Z Z jωt ( φ φ ) j φ jφ e e cos jsen 41

42 Por lo tanto: j0 = e = + j0= (74) j π X = X e = 0 jx = jx (75) X π j = Xe = 0+ j X = j X (76) 1 = 1 ( cos φ + j sen φ ) (77) Z Z as Ecs.(7 4), (75) y (76) coinciden con las Ecs.(41), (4) y (43), obtenidas anteriorente. Observando el diagraa fasorial del circuito paralelo, Fig. 7, podeos obtener las siguientes relaciones: cosφ = senφ = (78) eeplazando las Ecs (78) en la Ec. (77), y recordando que 1 cosφ senφ = + j = + j Z Z Z ε ε ε = + j = + Z X X jx jx Z ε = obteneos: Teniendo en cuenta las Ecs. (74), (75) y (76), esta ecuación representa la sua de las inversas de las tres ipedancias coplejas, es decir: = + + (79) Z X X Podeos generalizar este resultado de la siguiente anera: En un circuito de.a. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias en paralelo, la inversa de la ipedancia total coo núero coplejo es la sua de las inversas de las ipedancias coplejas de cada uno de los eleentos del circuito. Esta regla es la isa que se aplica en un circuito de.. con dos o ás resistencias en paralelo. 4

43 UTOS MXTOS uando se trabaja con circuitos de corriente alterna, interesa conocer las corrientes y tensiones sobre distintos eleentos pasivos (resistencias, capacitores y bobinas). Asiiso, dado que la f.e.. que alienta al circuito varía en el tiepo, es iportante conocer la respuesta de estos eleentos coo función del tiepo. E1 análisis de circuitos de corriente alterna se ve siplificado sobreanera si se utiliza la ey de Oh Generalizada, Ec.(80). V = Z Z V = (80) donde Z es la ipedancia del circuito. Si la tensión aplicada varía senoidalente, la ipedancia puede expresarse coo una función de la frecuencia y de las tres constantes fundaentales del circuito:, y. De este odo: Para un circuito ESSTVO puro: a MPEDANA es igual a la ESSTENA. Z = Z = Para un circuito APATVO puro: a MPEDANA es igual a la EATANA APATVA. X 1 = ω j Para un circuito NDUTVO puro a MPEDANA es igual a la EATANA NDUTVA. X = ω Para un circuito serie j a MPEDANA EQUVAENTE es la SUMAde las ipedancias coplejas de cada uno de los eleentos que constituyen el circuito ( ) Z = + X X j 43

44 Para un circuito paralelo a NVESA DE A MPEDANA EQUVAENTE es la SUMA de las inversas de las ipedancias coplejas de cada una de las n raas del circuito = Z Z Z Z Z 1 3 n Para un circuito paralelo a NVESA de la MPEDANA TOTA es la sua de las inversas de las ipedancias coplejas de cada uno de las raas del circuito = + + Z X X El uso del álgebra de núeros coplejos hace posible la resolución de probleas que serían uy difíciles de solucionar por otros étodos y perite un gran ahorro de tiepo cuando hay que resolver un gran núero de probleas siples. El análisis de circuitos de.a. ediante el uso de diagraas fasoriales y núeros coplejos se siplifica teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: En el caso de un circuito serie, ha de toarse el fasor intensidad de corriente coo base para deterinar la relación de fase, puesto que es el iso para todos los coponentes del circuito. En el caso de un circuito paralelo, debe toarse el fasor tensión coo base para deterinar la relación de fase, ya que es el iso para todas las raas del circuito. De este odo, los fasores representativos del circuito, se pueden expresar del siguiente odo: UTO SEE UTO PAAEO = + 0j ε = ε + 0j V = V + 0j = + 0j V = 0 + V j = 0 + j V = 0 V j = 0 j ε = V + V + V = + + T 44

45 Así, la resolución de un circuito de.a. se liita a asignar las ipedancias correspondientes a cada raa y luego resolverlo coo si fuera un circuito de.. a ey de Oh Generalizada puede aplicarse para cada eleento del circuito y esto perite hallar las dependencias teporales y los desfasajes de cada uno de los eleentos. Dibujar un diagraa fasorial debe ser parte de cada análisis de circuitos. Si el trazado de los diagraas se efectúa cuidadosaente, constituirá un análisis gráfico del circuito. Sin ebargo, por lo general es ás fácil realizar el análisis nuéricaente, dibujando sólo esqueas a ano de los diagraas fasoriales. Estos esqueas nunca deben ser oitidos, (a enos que el problea sea tan siple que el diagraa pueda representarse entalente sin ayuda de papel y lápiz) ya que no sólo ayudan a entender lo que está pasando sino que ahorran una cantidad enore de tiepo al hacer evidentes los errores uy grandes en la aritética, coo la inversión de un signo o la colocación equivocada de un punto decial. Al trazar el prier fasor de corriente, cualquier longitud es conveniente para representarlo y la escala del resto de los fasores corriente queda decidida al hacer esta elección de longitud. o iso sucede con los fasores tensión en relación con el prier fasor tensión que aparezca en el diagraa. 45

46 ESONANA a resonancia ocurre a la frecuencia para la cual la corriente terinal y el voltaje terinal de una red reactiva están en fase uno respecto al otro. Una red coplicada con varias raas reactivas puede tener varias frecuencias de resonancia. Nos liitareos al estudio de circuitos resonantes serie puro y paralelo puro. Para la conexión en serie de y, aparece la resonancia de tensión, ientras que para la conexión en paralelo, la resonancia de corriente. ircuito resonante serie En el diagraa de la Fig. 3 veos que la condición de resonancia, exige que las tensiones entre extreos de y sean iguales y opuestas, de odo que el ángulo de fase sea cero. Por lo tanto: 1 V = V X = X por lo tanto ω= (81) ω Si llaaos ω 0 a esta frecuencia de resonancia, teneos que: 1 ω0 = Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensión intensidad coincide con la ey de Oh. ircuito resonante paralelo El circuito paralelo de la Fig. 6 tabién presenta un coportaiento resonante. En este caso, analizando el diagraa de la Fig. 7 observaos que la condición de resonancia, exige que las corrientes a través de ysean iguales y opuestas, de odo que el ángulo de fase sea cero. Por lo tanto: 1/ (8) = = es decir ω = (83) X X ω Si llaaos ω 0 a esta frecuencia de resonancia, teneos que: 1 ω 0 = 1/ (84) Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensiónintensidad coincide con la ey de Oh. 46

47 aracterísticas de los circuitos resonantes serie En resonancia, la ipedancia de un circuito serie es ínia y de valor igual a la resistencia del circuito. El circuito se coporta coo resistivo puro. a intensidad que pasa por todas las partes del circuito es la isa y es igual a la intensidad de línea. a corriente llega a su valor áxio y está en fase con la tensión aplicada. El factor de potencia del circuito es, por consiguiente, la unidad. os voltajes resultantes en las reactancias son aproxiadaente iguales y con un desfasaje entre ellos próxio a 180º, y el voltaje en la resistencia es igual al voltaje aplicado. Auentando el valor de la resistencia disinuirán la intensidad de línea y los voltajes en las reactancias. a intensidad de corriente para la resonancia auenta bruscaente, si la resistencia es pequeña. Pero es de especial iportancia el auento brusco de las tensiones en las reactancias, (sobre todo si éstas son grandes) que pueden alcanzar un valor igual a varias veces la tensión aplicada. Pero en la práctica el líite del auento de las tensiones de reactancia será la perforación del aislaiento entre las espiras del arrollaiento de la bobina o entre las araduras del condensador. a resonancia de tensión es un fenóeno peligroso para las instalaciones de energía eléctrica Puede surgir inesperadaente, adeás los fusibles no protegen los circuitos contra la aparición de altas tensiones parciales peligrosas, que pueden hacer funcionar los dispositivos de protección para desconectar el equipo. Afortunadaente, tales condiciones de resonancia son relativaente raras. Para frecuencias enores que la de resonancia, la reactancia capacitiva es ayor y la corriente va en adelanto. Para frecuencias ayores que la de resonancia, la reactancia inductiva es ayor y la corriente va en retraso. 47

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