Vectores. Dr. Rogerio Enríquez

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1 Vectores Dr. Rogerio Enríquez

2 Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático

3 Lo que se sbe De dónde proviene el concepto de vector? Donde se hn usdo Significdo universl Cmpo Vectoril Espcio Vectoril

4 Axioms sobre l dición y multiplicción Axioms de CAMPO Culquier conjunto que cumpl será un cmpo Propieddes de CAMPO: Leyes conmuttivs Leyes socitivs Leyes distributivs Elemento idéntico pr cd operción Elementos inversos

5 Brevirio Culturl Grupo: conjunto que tiene definid un operción y que es cerrdo respecto ell. Es socitiv. Existe el idéntico y el inverso. Grupo belino: operción demás es conmuttiv. (Idénticos e inversos por l derech) Anillo: conjunto con dos operciones. Formn grupo belino en un y w.r.t. l otr es cerrdo, cumple con leyes socitiv y w.r.t. mbs existen leyes distributivs. Cmpo: nillo y si w.r.t. l segund operción se form un grupo belino.

6 Axioms sobre l dición y multiplicción I. Leyes conmuttivs, b b b b b II. Leyes socitivs, b, c ( b c) ( b) c ( b c) ( b) c III. Leyes distributivs, b, c ( b c) ( b) ( c) izquierd ( b c) ( b ) ( c ) derech IV. Elemento idéntico ditivo e denotdo multiplictivo denotdo V. Elementos Inversos ditivos denotdo ( ) 0 ( ) multiplictivos 0 denotdo 1

7 Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el plno se representn por pres ordendos de números reles ( 1, 2 ) Los números 1 y 2 se llmn coordends crtesins de P Pr Ordendo? 2 y 1 P = ( 1, 2 ) x 7

8 Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el espcio se representn por terns ordends de números reles z P = ( 1, 2, 3 ) ( 1, 2, 3 ) Los números 1, 2 y 3 se llmn coordends crtesins de P y Trid ordend? x 8

9 Lo que se sbe Cmpo Vectoril Concepto de cmpo Espcio Vectoril Asocición de puntos en el espcio y el cmpo vectoril : V V V V es el conjunto de puntos en el espcio es el cmpo vectoril

10 Notción Se emplerá l siguiente notción: L rect de los números reles es denotd por R El conjunto de los pres ordendos (x,y) es denotdo por R² El conjunto de ls terns ordends (x,y,z) es denotdo por R³ Qué otros espcios vectoriles? 10

11 Representción geométric del punto (2,2,4) 11

12 Sum Vectoril y Multiplicción por un Esclr Dds dos terns ( 1, 2, 3 ) y (b 1,b 2,b 3 ) definimos l sum vectoril como (,, ) ( b, b, b ) ( b, b, b ) Dds un esclr y un vector ( 1, 2, 3 ) definimos el producto esclr por medio de (,, ) (,, )

13 Interpretción Geométric Multiplicción Esclr por un Vector 13

14 Multiplicción de (-1,1,2) por -2 14

15 Propieddes de los Vectores Elemento cero 0,0,0 Inverso ditivo,, 1 2 3, 1 2, 3 15

16 16 Propieddes de l Sum y Multiplicción Esclr ),, ( ),, 6.1( (0,0,0) ),, 5.0( (0,0,0) (0,0,0) 4. ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( 3. ),, ( ),, ( ),, )( 2.( ),, ( ),, )( b b b b b b (

17 Sum de vectores () b +b b 17

18 Sum de Vectores (b) 18

19 Sum de Velociddes Un ve volndo con velocidd v 1, velocidd el viento v 2. Velocidd resultnte v 1 + v 2 19

20 Equivlenci Geométric con Algebric Equivlenci de l definición de sum vectoril en form geométric y lgebric. 20

21 Los vectores son segmentos de rect dirigidos en [el plno o] el espcio representdos por segmentos de rect dirigidos con un inicio (col) y un finl (punt). Los segmentos de rect que se obtienen uno de otro por trslción prlel (pero no rotción) representn el mismo vector. Ls componentes ( 1, 2, 3 ) de son ls longitudes (dirigids) de ls proyecciones de lo lrgo de los tres ejes coordendos. L sum de dos vectores se obtiene colocándolos finl con inicio y trzndo el vector que v del inicio l finl del segundo. 21

22 Interpretción Geométric de l Rest de Dos Vectores 22

23 Sum de los Vectores u + v y -2u 23

24 Vector Que Une Dos Puntos 24

25 El Vector Que Une Dos Puntos Si el punto P tiene coordends (x, y, z) y P tiene coordends (x, y, z ) entonces el vector PP de l punt de P ls punt de P tiene componentes x' x, y' y, z' z Trnslción! Mgnitud? 25

26 Vector spces Formlly, vector spce is set of vectors which is closed under ddition nd sclr multipliction by rel numbers. A subspce is subset of vector spce which is vector spce itself, e.g. the plne z=0 is subspce of R 3 (It is essentilly R 2.).

27

28 Addition

29 Multipliction

30 V E d l V V RI ID 0 0 E t d I E d l 0 C E V C E dl B d t B E t E E 0 Q E E d S Q dv 0 Q Q CV 1 E J t d dt J C I J B d s 0I B LJ 4 0 B J r ˆ d 2 v r d C B B LI E B ds 0 J 0 d t E B 0 J 0 t B B d J t B B d 0 S B 0

31 Bse Cnónic Existen tres vectores especiles lo lrgo de los ejes x, y, z: z i: (1,0,0) J: (0,1,0) k: (0,0,1) Se ( 1, 2, 3 ) entonces = 1 i+ 2 j+ 3 k k j i x y 31

32

33 comprr

34 Bse Cnónic Representción del vector (2,3,2) en términos de l bse cnónic 34

35 Exmple 1:

36 Bsis A bsis of n dimensionl vector spce is set of n vectors linerly independent inside the spce

37 Exmple 2: ˆ, e 1 ˆ2 1, 2 1, 2 1, bsis e 2 of R Another bsis of 2 R e e 4,1, 1,4 1, 2 : Bses chuecs sistem de ecuciones

38 Trbjo Producto Punto Relcion el mundo de vectores con esclres Clculdo con mgnitud y dirección Qué represent? con componentes? Consigo mismo Vector unitrio

39 Perpendiculres u ortogonles?

40 Vector unitrio Representción del vector (2,3,2) en términos de l bse cnónic 40

41

42

43

44 Tension 25 N

45

46

47 Torc

48 Torc

49 Prlelos? Producto cruz

50 Significdo Geométrico?

51

52

53 Exmple 3 Another Bsis : 2, 4 x, 8 x 2

54 Exmple 4

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