MODELO CIR. Nota Técnica RESUMEN EJECUTIVO

Transcripción

1 Noa Técca Eero 28, 2014 MODELO CIR RESUMEN EJECUTIVO Al modelar asas de erés se debe omar e cuea que esas so posvas, que hsórcamee ha mosrado u comporameo esable, eedo cambos sgfcavos úcamee como reflejo de eveos ecoómcos exeros, suacó que o será esudada aquí. Los cambos propos del mercado so modelados co varables aleaoras, ere más se asmla la dsrbucó de la varable al movmeo hsórco de las asas de erés mejor será el modelo. El modelo CIR para asas de erés es u modelo ufacoral que predce el valor que oma la asa al empo 1 usado como úca varable el valor observado al empo. Tee dos compoees, el prmero deerma la edeca que oma la rayecora y que deerma la reversó a la meda, y el segudo su varabldad, que depede de la varable aleaora y del vel e que se ecuera la úlma asa de erés, es decr, cuado la rayecora se ubca e veles alos su varabldad será mayor que cuado se ubca e veles bajos. El aecesor al modelo CIR, que es el modelo Vascek, o capura la varabldad que se debe al vel de la asa. Meras que e el modelo CIR, esa varabldad es proporcoal a la raíz cuadrada del úlmo vel de la asa. Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

2 Noa Técca INTRODUCCIÓN El modelo para asas de erés propueso por Cox, Igersoll y Ross supoe que la varacó e u momeo del empo se dsrbuye equprobable a cremeos o decremeos de la msma magud, que ee u comporameo de reversó a la meda, es decr, cuado muesra u comporameo a la alza será segudo por ua correccó a la baja, covergedo a medao plazo a u msmo vel. MODELO CIR Durae los úlmos años los redmeos de las accoes se ha modelado ulzado herrameas sofscadas para explcar su comporameo, ua de ellas y, quzá la más mporae, so los procesos esocáscos esacoaros couos, dero de los cuales el más coocdo y, por lo msmo, el más ulzado es el movmeo browao o proceso de Weer. Desde 1900, co Lous Bacheler, esa clase de procesos se ha usado e el campo de las fazas e dsos modelos, por ejemplo, el de Black-Scholes (1973), que se ulza para valuacó de dervados y precos de opcoes. Ora aplcacó relevae es e el área de esrucura de asas de erés, dode ecoramos dsos modelos, ere los que desaca el de Ho y Lee (1986), Cox, Igersoll y Ross (1985) y Vascek (1977). Esos modelos provee de solucoes para los precos de los boos y ua complea caracerzacó de la esrucura que corpora resgos y expecavas de las asas de erés fuuras. So modelos de u solo facor. Se cosdera que los modelos dámcos más smples so los que cosdera ua sola varable para defr la esrucura emporal de las asas de erés. La secllez de esos modelos de u solo facor y su comprobado éxo los hace muy aracvos para u gra úmero de aplcacoes. E esa ocasó se propoe emplear el modelo CIR para esmar y prooscar pos de erés a parr de formacó hsórca y de valores aleaoros. El modelo CIR explca la evolucó de las asas de erés descrbedo el movmeo de las msmas a causa del resgo propo del mercado. El modelo ambé puede ser usado para la valuacó de swaps u opcoes de asas de erés; además es cosderado ua exesó del modelo propueso por Vascek e el año de Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

3 Noa Técca Los modelos de u solo facor se defe de la sguee forma: dr * r * d * r * dw (1) dode r es la asa de erés al úlmo perodo de empo y dw es u movmeo browao esádar (ver Aexo). El érmo *r * d deerma ua pedee posva para la rayecora evado ua edeca al eje horzoal, meras que los movmeos propos del mercado se ve reflejados e el érmo *r * dw gracas a dw que hereda los cambos del movmeo browao. El modelo de Vascek propueso e 1977, reemplaza el érmo pedee *r a b r y el érmo varaza se maee depedee de r, es decr, o se ve afecada por los valores de asa saáea del po de erés. Así el modelo de Vascek es escro de la forma sguee: por b r * d dw dr a* * (2) S embargo, e el modelo CIR los dos parámeros aes descros, ao la pedee como la varaza, depede lealmee del vel de la asa saáea del po de erés r quedado el dferecal de po esocásco de la forma: b r * d * r dw dr a* * (3) dode dw es u proceso browao que modela de maera aleaora el resgo propo del mercado. Ua versó más ampla para modelos udmesoales de po de erés de coro plazo es la defda a couacó: b r * d * r dw dr a* * (4) Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

4 Noa Técca 1 Es fácl observar que e el caso para se obee el modelo CIR (1985), meras que para 0 obeemos 2 el modelo Vascek (1977). Al gual que e el modelo de Vascek, el facor a b * asegura ua reversó a la meda e las asas de erés a ua velocdad defda por el parámero a. El facor que represea la desvacó esádar, e ese caso * r corrge la prcpal desveaja e el modelo de Vascek asegurado que los veles e asa de erés uca será egavos. Así, cuado se cosdere valores pequeños e asas, la desvacó esádar será pequeña, cacelado el efeco aleaoro e la asa de erés. Por ao, cuado las asas se ecuere alrededor del eje horzoal y 0, la a* b que colleva u comporameo al alza e asas. evolucó e las asas de erés se deerma por S cualquera de los modelos especfcados presea ua pedee posva, el proceso esocásco crecerá co el empo hasa el fo. Por ello, ua opcó es la modelzacó del proceso bajo la hpóess de reversó a la meda, alrededor del cual odos los pos de erés revere, es decr, cuado el grado de dvergeca ere el po de erés y el valor medo es alo, la asa de erés coverge haca ese valor medo. La volaldad de los pos de erés esá posvamee relacoada co el vel de los msmos, es decr, durae momeos e los que los veles e asas de erés so alos (bajos) se espera ua volaldad ala (baja). El modelo CIR refleja esa suacó, ya que la volaldad es proporcoal a la raíz cuadrada del valor que ome la asa de erés. r r Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

5 Noa Técca APLICACIÓN Co el f de esmar y prooscar u cero po de erés a parr de la formacó hsórca y de valores aleaoros, y maeedo la esrucura defda e la ecuacó (3) el modelo CIR se escrbrá como: G r0 * d * r dw r r a * 0 * 0 dode: r r 0 a G d = el vel de asa de erés que se desea explcar. = el vel de asa de erés vgee al momeo del proósco. = la pedee del modelo calculado a parr de regresó leal o vía mímos cuadrados ordaros. = promedo geomérco hsórco del po de erés a prooscar. = amaño del ervalo de proósco. = desvacó esádar hsórca del po de erés aalzado. dw = movmeo browao modelado por d dode represea el rudo blaco. Esos plaeos so razoablemee váldos para explcar el pasado a parr de sí msmo e cuao al comporameo o varacó de las asas. Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

6 Noa Técca ANEXO Movmeo Browao Ese movmeo, e sedo esrco, es u proceso esocásco esacoaro couo, mejor coocdo como camaa aleaora. Sedo el modelo más recurrdo para la cosruccó de procesos couos. Para poder aalzar el movmeo browao, es ecesaro cosrur ua famla especal de procesos bomales dscreos. S X 1, X 2,..., X es ua secueca de varables aleaoras depedees que se dsrbuye Beroull omado valores de ó co probabldad cada uo, eoces la poscó 2 del proceso al ésmo paso W queda defdo como: W 1 W X para oda 1 (1) Se escrbe para represear pasos de u oal de que compoe ua udad de empo, que es la rayecora que se esudará e ese momeo. La secueca W es u proceso esocásco dscreo, dode W depede de la poscó al empo aeror, 1 eso es W. De esa forma, el proceso bomal W para u eero posvo cuea co las sguees caraceríscas: ) W 0 0 ) Los cremeos y decremeos de W so del msmo amaño y so guales a 1. Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

7 Noa Técca El proceso bomal W a 1, 2 al empo W puede omar, 1 posbles valores que abarca u rago de 1. Al ser la suma de varables Beroull de meda 0 y varaza, W 1 se dsrbuye bomal co meda 0 y varaza 1. Así, medae el eorema ceral del líme y cosderado ua grade, la dsrbucó de W 1 ederá a ua dsrbucó 0,1 Normal. Sea u eero, cosderemos ahora udades de empo, dvddas cada ua e pasos. El valor de W es: W X 1 * (2) La dsrbucó del cocee coedo e los corchees ede, medae el eorema ceral del líme, a ua 0,1 Normal 0, varable aleaora co dsrbucó Normal. Por ao, la dsrbucó de W ederá a ua. Además odas y cada ua de las dsrbucoes margales ederá a la msma esrucura ormal, cluso las dsrbucoes margales de po codcoal. Cada camaa aleaora W, ee la propedad de que los fuuros movmeos e el empo a parr de cera poscó e parcular será depedees del hsórco de movmeos aerores al empo a parr del cual se esá prooscado. Adcoalmee, el cremeo W s W s presea ua dsrbucó bomal co meda cero y varaza. Esas dferecas represea el amaño del cremeo e u lapso de empo, y so depedees uos de W s W s W. Aplcado oros. Gracas a la depedeca co la rayecora hsórca se ee que uevamee el eorema ceral del líme para grade W s W s ~ Normal0 esacoara de segudo orde.,. Es decr, ua sere Cosderado que las dsrbucoes margales coverge y que las dsrbucoes margales de po codcoal ambé lo hace, se cocluye que la dsrbucó del proceso coverge de gual forma. Así, la dsrbucó de W coverge a u proceso de po couo, mejor coocdo como Movmeo Browao. Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

8 Noa Técca A parr de ese momeo, y para poder aplcar el eorema ceral del líme haremos eder a a fo, que es el úmero de dvsoes e ua udad de empo, para eer u proceso couo W, y os efocaremos al proceso por udades de empo W W. W, por facldad de oacó Como fue comeado líeas arrba, u Movmeo Browao es u proceso esocásco esacoaro de po W W, 0 es u movmeo browao s y solo s: couo. U proceso 1. W es u proceso couo y W 0 0 dw 2. Tee cremeos depedees W W 3. Tee cremeos esacoaros (msmos perodos de empo mplca u msmo comporameo). 4. W ee ua dsrbucó W ~ Normal 0,. La varaza resula proporcoal al empo. 5. ~ Normal 0,1 d dw ee ua dsrbucó dw Normal 0, d ~. El dferecal dw * d, dode Oras Propedades. a. Es u proceso o dferecable e odo puo. (No es posble calcular la dervada de forma habual). b. Es u proceso de Markov. Dado el valor presee del proceso, su operacó fuura o depede del pasado. c. W es margala. La mejor predccó del valor fuuro de W es el valor de hoy. Esa úlma propedad permrá realzar smulacoes e u ervalo de empo. E ocasoes, hacedo uso del movmeo browao se desea realzar rayecoras del posble comporameo del preco de ua accó e u cero horzoe de empo. Por esa razó, es deseable que dcho proceso o presee varacoes egavas, por lo que es ecesaro que o esé flucuado alrededor del eje horzoal y 0 Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

9 Noa Técca Así, co el objeo de que dcho proceso presee cera edeca y o esé flucuado alrededor del eje E ése se verá afecado por la clusó de ua reca de la forma y * W horzoal, es decr, alrededor de, que descrbrá la edeca que segurá el movmeo W. Ese uevo movmeo browao se cooce como movmeo browao co edeca y queda defdo por la sguee ecuacó: X * * (3) W 2 dode, X ~ Normal *, * Aú co esa ueva modfcacó, los precos de la accó puede llegar a cozar por debajo de 0 e u cero horzoe de empo. De esa maera, para asegurar que las rayecoras de precos opere por ecma del eje horzoal, se afeca el movmeo browao medae ua fucó expoecal quedado: W Y exp * * (4) a ése proceso se cooce como Movmeo Browao Geomérco. Aalsa Carlos Ugalde Aa María Tellería Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research

10 Noa Técca Drecoro Hécor Romero Drecor Geeral Aalsas Carlos Ugalde Geree de Aálss / Grupos Faceros e Isucoes de Seguros carlos.ugalde@sgumresearch.com Crsa Morales Aalsa Bursál Sr. / Comerco Especalzado, Auoservcos, Almeos y Bebdas crsa.morales@sgumresearch.com Julo C. Maríez Aalsa Bursál Sr. / Mería, Acero, Coglomerados Idusrales y Eergía julo.marez@sgumresearch.com Jorge Gozález Aalsa Técco Sr. Armado Rodríguez Aalsa Bursál Jr. / FIBRAS y Secor Imoblaro armado.rodrguez@sgumresearch.com Javer Romo Aalsa Bursál Jr. / Aerolíeas, Aeropueros e Ifraesrucura javer.romo@sgumresearch.com Homero Ruíz Aalsa Bursál Jr. / Telecomucacoes y Medos homero.ruz@sgumresearch.com Aa María Tellería aa.ellera@sgumresearch.com Dseño Julea Maríez Dseño Edoral julea.moao@sgumresearch.com Tel / Ifo@sgumresearch.com Ese documeo y la formacó, opoes, proóscos y recomedacoes expresadas e él, fue preparado por Sgum Research como ua refereca para sus clees y e gú momeo deberá erprearse como ua ofera, vacó o pecó de compra, vea o suscrpcó de gú íulo o srumeo a omar o abadoar versó algua. La formacó coeda e ese documeo esá sujea a cambos s ofcacó preva. Sgum Research o asume la resposabldad de ofcar sobre dchos cambos o cualquer oro po de acualzacó del coedo. Los coedos de ese repore esá basados e formacó públca, dspoble a los parcpaes de los mercados faceros, que se ha obedo de fuees que se cosdera fdedgas pero s garaía algua, expresa de maera explíca o mplíca su exacud o egrdad. Sgum Research o acepa resposabldad por gú po de pérddas, drecas o drecas, que pudera geerarse por el uso de la formacó coeda e el presee documeo. Los documeos referdos, así como odo el coedo de o podrá ser reproducdos parcal o oalmee s la auorzacó explíca de Sgum Research S.A. de C.V. Twer:@Sgum_Research Facebook: Sgum Research