Hernán Verdugo Fabiani

Transcripción

1 Hidrodinámica Se estudian fenómenos con fluidos en movimiento 1

2 Ideas previas Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen con las siguientes características: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí. Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.

3 Tubo de flujo Está formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme. v Una molécula de fluido tiene una 1 v velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente. En la figura, cada línea representa una capa de fluido, también se le puede llamar línea de corriente. En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios: - Conservación de la masa - Conservación de la cantidad de movimiento - Conservación de la energía 3

4 Ecuación de continuidad Supongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve por un tubo con distintas secciones. La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de área A 1, es igual a la que sale por la sección, de área A, en todo momento. v 1 Por la sección 1 ingresa una cantidad m 1 de fluido, con volumen V 1, con velocidad v 1 y recorre una distancia x 1 en un tiempo t. En el mismo tiempo t, por la sección sale una cantidad m de fluido, con volumen V, a una velocidad v recorriendo una distancia x. A 1 ρ V 1 = ρ V m m 1 = m 1 ρa 1 x 1 = ρa x m 1 A v x ρa 1 v 1 t = ρa v t x 1 Movimiento del fluido A1v1 = Av 4

5 Un ejercicio Una manguera para incendios tiene un diámetro de 1 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón m/s. Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla? Datos: R 1 = 006m 0,06 v 1 = m/s R = 0,015 m Entonces: A 1 = πr 1 Se tiene: A 1 v 1 = A v Despejando: v = A 1 v 1 /A A = πr v = πr 1 v 1 / πr Primero una observación: Al la expresión Av se le llama tasa de flujo, y se mide en m 3 /s. Haciendo los cálculos, se tiene: v = 3 m/s Y.. la tasa de flujo? A v = πr v A v = 0,006 m 3 /s 5

6 Ecuación de Bernoulli Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía. Es decir, el trabajo realizado sobre el fluido en un tubo de flujo es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta el fluido. Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de ser de diferente área. A 1 A h 1 h A 1 A 6

7 m = ρ V V A F El trabajo realizado por F 1 es: W 1 = F 1 x 1 = P 1 A 1 x 1 = P 1 V v P El trabajo realizado por F es: W = - F x = - P A x = - P V F 1 A 1 V v 1 x Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es: P 1 v 1 W F = W 1 + W = (P 1 P ) V x 1 En el segmento inferior actúa una fuerza F 1 que produce una presión P 1, y se cumple: F 1 = P 1 A 1 La cantidad m sube desde h 1 hasta h, contra la gravedad, por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, es: W g = - mg(h h 1 ) = - ρ Vg(h h 1 ) A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F que produce una presión P, y se cumple: F = P A Por otro lado, el cambio de energía cinética de m es: K = ½ m(v v 1 ) = ½ρ V(v v 1 ) 7

8 m = ρ V V A F v P Según el teorema del trabajo y la energía, se tiene: A 1 V x W = K F 1 v 1 P 1 por lo tanto: W F + W g = K (P 1 P ) V - ρ Vg(h h 1 ) = ½ρ V(v v 1 ) x 1 Dividiendo por V y ordenando se tiene la expresión: P 1 + ½ ρ v 1 + ρgh 1 = P + ½ρv + ρgh A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli 8

9 Interpretación de la Ecuación de Bernoulli P =P +½ρv 1 + ½ρv 1 + ρgh 1 + ρgh En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que: P + ½ρv + ρgh = constante Se puede deducir que: Si la velocidad del fluido aumenta, su presión disminuye. Si la velocidad del fluido disminuye, su presión aumenta. Si un fluido asciende su presión puede disminuir. Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir. 9

10 Efecto Venturi Ahora se considera un tubo donde h 1 = h Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda: P 1 P v 1 v P 1 + ½ρv 1 = P + ½ρv Entonces: P 1 P = ½ρ(v v 1 ) Si v 1 > v, entonces P 1 P < 0 Y ello ocurre solo si P > P 1 Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde d la velocidad d es menor la presión es mayor. 10

11 Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, cuos,por lo otanto toen esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro. Se tiene P interior F Velocidad del aire P > P interior por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande. P 11

12 Tubo de Venturi De acuerdo a la ecuación de continuidad A 1 v 1 = A v, entonces v = A 1 v 1 /A Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene: P 1 P = ½ρ(v v 1 ) Reemplazando v Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde de en un sector hay una sección de área A 1 y en otro tiene una sección reducida a A. En el sector más grande la velocidad d del fluido es v 1 y en el más pequeño la velocidad aumenta a v. P 1 P = ½ρ(A 1 v 1 /A v 1 ) Si se despeja v 1, se tendrá: P1 P v1 A 1 11 A 1

13 Ejercicio Supongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior. Según la información de la figura que se muestra: con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio? El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v 1 = 0 m/s p 1 También se tiene que P 1 = P = P 0 Si aplicamos la ecuación de Bernoulli: P 1 P 1 + ½ρv 1 + ρgh 1 = P + ½ρv + ρgh Se tendrá: v 1 ρgh 1 = ½ρv + ρgh h 1 v h P Y, despejando v, se obtiene que: v h g( h1 ) 13