) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen

Transcripción

1 Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie (+) 2 (+) coverge (+) 2 Ejemplo.- si x 0 teemos la siguiete desigualdad L( + x) x etoces L( + ) = L( + ), pero la serie L( + ) diverge a + ya que su suma parcial S = k= + L( ) = k= L(k + ) L(k) diverge pues L(k + ) si k por lo tato la serie armoica diverge. Criterio de la forma límite de la prueba de comparació Si a y b a tiee térmios positivos y si 0 < lím b < etoces ambas series diverge o bie ambas series coverge a Dem.- Supogamos que lím b = L por tato existe u tal que L < ɛ para > por lo tato a b a L b < ɛ ɛ < a L < ɛ ɛ + L < a < ɛ + L b b ( ɛ + L)b < a < (ɛ + L)b ( ɛ + L)b < = a < = (ɛ + L)b Por lo tato por el criterio de comparació la covergecia de = b implica la covergecia = a y la divergecia de = a implica la divergecia de = b Observació: Las series ateriores empieza e =, pero esto o afecta la covergecia o divergecia de las series pues solo se omite u úmero fiito de ellos. Ejemplo: Examiaremos = (2+) =

2 2 Teemos que (2+) = (2 + ) = (2+) = 2 (2+) = 2+ = 2 + Por lo tato lím 2 + = 2 < y como la serie diverge, etoces la serie diverge (2+) Criterio de la itegral La siguiete prueba llamada prueba de la itegral, tambié es ua prueba del tipo comparació pero e este caso la comparació se realiza etre ua itegral y ua serie, e lugar de etre dos series. TeoeremaSea a ua serie de térmios positivos o crecietes. Sea f(x) ua fució o creciete defiida para, para la cual f() = a. Etoces la serie a y la itegral f(x)dx ambas coverge o ambas diverge. Dem Para, e el itervalo k x K +, se tiee a k = f(k) f(x) f(k + ) = a k+ itegrado desde k hasta k+ a k. Etoces se tiee tato k+ k f(x)dx a k+ como a k f(x)dx. f(x)dx a k+ = a k +

3 E térmios de sumas parciales, la primera desigualdad afirma que S S f(x)dx. Pero si la serie coverge a ua suma S, etoces S S, de modo que S S f(x)dx. Puesto que el segudo miembro es ua sucesió acotada creciete la itegral coverge. Si la itegral coverge etoces la seguda desigualdad implica que o bie f(x)dx f(x)dx S + S, S + A + S. De aqui que las sumas parciales so acotadas y la serie coverge. Ejemplo.- Aalizar la covergecia o divergecia de k. Vamos a cosiderar la fucio f(x) = que es ua fució decreciete y x k ua partició P = {a =, a 2 = 2, a 3 = 3,..., a = } por lo que podemos comparar la itegral co la serie x k. por lo que k dx = lím xk dx = lím xk la cual coverge si k > 0 k > y diverge si k < 0 k < Codició de Covergecia de series x k+ k + = lím ( k k + ) k + Teorema.- Supódase que a coverge. Etoces lím a = 0. Dem ótese que si lím S = S, etoces lím S = S. Ahora bie a = S S, de modo que lím a = lím S S = lím S lím S = S S = 0 3

4 4 Lo aterior dice que la covergecia de a implica que a 0. De aqui que si a o tiede hacia cero la serie o puede coverger, por lo tato, e ua serie dada a, podemos examiar lím a. Si lím a = 0 o se obtiee iformació acerca de la covergecia o divergecia; pero si lím a 0, ya sea porque o existe o porque existe y tiee otro valor, etoces a diverge. Ejemplo.- Por lo tato! a =! = 2 3 y la serie dada diverge Codició de Cauchy lím! 0 = ( )( 2 ) ( ) > La serie a coverge si y solo si, dado ɛ > 0 cualquiera existe u úmero atural tal que >, implica a + + a a +p < ɛ para todo p =, 2... Dem.-Sea S = a + a a, por la codició de cauchy la sucesió {S } coverge si y solo si, dado ɛ > 0 cualquiera existe u úmero atural tal que >, implica Pero S +p S < ɛ p =, 2,... S +p S = (a +a a +...+a +p ) (a +...+a ) = a + +a a +p Ejemplo.- Examiar la covergecia o divergecia de, teemos que! + +! = 2 3 < = 2 Por lo tato +p +p +p k! = k! < 2 = = +p 2 ( ) p +

5 5 de dode = 2 ( ( 2 )p ) < 2 ( 2 ) = 2 = < ɛ 2 ɛ < 2 Log( 2 ɛ ) < log(2) Log( 2) ɛ log(2) < Por tato si etoces > Log( 2 ɛ ) log(2) +p k! < ɛ si > y p > y por la codició de cauchy la serie coverge + Criterio de la Razó Supógase que para algú r < y > a > 0 y a + a serie a es covergete Dem.- Teemos que r etoces la a + a r a + ra a +2 ra + r ra = r 2 a por lo que a +k r k a por tato +k = a = a + a r a r k = a ( + r + r r k +...) = a r por lo que las sumas parciales de a esta acotadas por a + a r por lo tato a coverge. Si r > etoces r por lo tato +k = a o esta acotada por lo tato la serie diverge. Para el caso r = vamos a mostrar co u ejemplo que el criterio o proporcioa iformació. Se tiee que + = + = + }{{}

6 6 (+) 2 2 = 2 ( + ) = 2 ( + }{{} )2 por lo tato si r = el criterio o decide sobre la covergecia o divergecia de la serie. Ejemplo.-Determiar el caracter de la serie, se tiee que 3 lím ( + ) + = lím = 3 lím + = 3 por lo tato r = < por lo tato la serie coverge. 3 Ejemplo.-Determiar el caracter de la serie!, se tiee que 9 lím (+)! 9 9 ( + )! + = lím! 9 +! 9 = 9 lím ( + ) }{{} por lo tato la serie diverge. Problema.- E la figura hay ua catidad fiita de círculos que se aproxima a los vértices de u triágulo equilatero. Cada círculo toca a los otros circulos y a los lados del triágulo. si el triágulo tiee lados que mide ua uidad de logitud, calcule el área total que ocupa los circulos Sol.- Teemos que segu la figura

7 7 Por lo que AB = 2r y por otro lado Cos(60) = r AB AB = 2r Cos(60) = r 2 DB DB = 2r 2 AB = r + r 2 + DB 2r = r + r 2 + 2r 2 r = 3r 2 r 3 = r 2 Mietras que si DB = 2r 2 etoces DB = r 2 + r 3 + EB 2r = r 2 + r 3 + 2r 3 r 2 = 3r 3 r 2 3 = r 3 e geeral r + = 3 r por lo tato el área total es A = πr+3πr 2 2+3πr = πr+3πr 2 2( ) = 4 πr2 +3πr2( 2 ) = 9 πr 2 + 3πr 2 2( 9 8 ) = πr πr2 2

8 8 Como los dados del triágulo tiee logitud etoces BC = y ta(30) = 2 3 T a(30) = r 2 r = 2 r 3 2 = 6 por lo tato 3 Series Alterates πr πr2 2 = π( 2 3 ) π( 6 3 )2 = π 96 Ua serie alterate es ua serie es ua serie cuyos térmios so alteradamete positivos y egativos por ejemplo = ( ) Prueba de la Serie Alterate = ( ) + Si la serie ( ) b = b b 2 + b 3 b 4 + b 5 b (b ) > 0 cumple co lo siguiete: a) b + b

9 9 etoces la serie b) lím b = 0 ( ) b coverge Dem.- fijemoos e las sumas parciales pares de la serie E geeral Por lo tato lo cual tambie se puede escribir S 2 = b b 2 0 S 4 = S 2 + b 3 b 4 S 2 S 6 = S 4 + b 5 b 6 S 4 S 2 = S b 2 b 2 S S S 2 S 3... S 2 S 2 = b (b 2 b 3 ) (b 4 b 5... (b 2 2 b 2 ) b 2 todos los térmios etre parétesis so positivos, de modo que S 2 b por lo tato las sumas parciales se icremeta y esta acotadas superiormete por lo tato coverge, es decir, Por otro lado lím S 2 = S lím S 2+ = lím S 2 + b 2+ = lím S 2 + lím b 2+ = S + 0 = S por lo tato la serie es covergete Ejemplo.- teemos que + r + r 2 + r r +... = r y si cambiamos r por -x teemos x + x 2 x 3 + x ( ) x +... = para x < + x ademas para x < se tiee que x < x + y támbie S 2 = S 2 2 +(b 2+ b 2 ) fialmete lim x = 0. Por lo tato segú el criterio de series alterates la serie coverge.

10 0 Covergecia Absoluta Ua serie a se deomia absolutamete covergete si la serie de valores absolutos a es covergete. Ejemplo.- La serie ( ) es absolutamete covergete pues que es covergete. La serie 2 = ( ) 2 = 2 ( ) o es absolutamete covergete pues ( ) = la cual diverge. E el caso de la serie armoica defiiremos la covergecia codicioal. Ua serie a se llama codicioalmete covergete si es covergete pero o absolutamete covergete Supogase que a es absolutamete covergete ello implicaria a es covergete y observamos la desigualdad 0 a + a 2 a y como a es covergete etoces 2 a = 2 a por lo tato a + a es covergete, etoces a = a + a a = a + a a que es ua diferecia de series covergetes es covergete

11 Prueba de Leibiz Si {a } es ua sucesió de térmios positivos tales que a a 2 a 3... a... Esto es la sucesió es decreciete y lím a = 0 etoces la serie alterada ( )+ a es covergete Dem.- Fijemoos e los térmios impares S = a e geeral Ahora bie S 3 = S (a 2 a 3 ) como a 2 a 3 0 etoces S 3 S S 5 = S 3 (a 4 a 5 ) como a 4 a 5 0 etoces S 5 S 3 S 2+ S 2 S 2 = a (a 2 a 3 )... (a 2 3 a 2 2 ) a 2 cada térmio de los paretesis es positivo por lo tato S 2 > 0. asi pues S 2 es decreciete y acotada iferiormete por tato es covergete. Por otro lado S 2 = a (a 2 a 3 )... (a 2 2 a 2 ) a 2 por lo tato S 2 a e cosecuecia S 2 es ua sucesió creciete y acotada por arriba por tato es covergete fialmete si M = lím S 2 y L = lím S 2 como lím a = 0 lím S 2 S 2 = lím S 2 lím S 2 = 0 lím S 2 = lím S 2 L = M y la serie es covergete ejemplo.- Usado el criterio de Leibiz demostrar que la serie ( ) x para 0 < x < coverge. Dem Como x < etoces x + < x y lím x = 0 por tato se cuple las codicioes de la prueba de leibiz, por tato la serie dada coverge.