PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 3 a) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( ) = a b pase por el punto (, 3) y tenga el punto de infleión en =. b) Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la función definida por 3 g( ) = SOCIALES II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos f ''( ). f = a + + b f = a + f = a+ 3 ( ) 3 5 '( ) ''( ) 6 6 Pasa por (, 3) f () = 3 a b = 3 a + b = a = ; b = P. I. en = f ''( ) = 6a+ 6= b) Calculamos la derivada de la función: g = g = = = y '( ) 3 6 ; '( ) 3 6 (,) (, ) (, ) Signo g '( ) + + Función g ( ) C D C Máimo (,7) mínimo (,3)

3 si Sea la función f definida por: f ( ) = + si > a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f. b) Calcule la ecuación la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa =. SOCIALES II. 6. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La función derivable para es continua y derivable para ; la función + es, también, continua y >. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en =. lim = f () = lim f ( ) = lim ( ) + Continua en = + = si < Calculamos la función derivada: f '( ) = ( ) + si > y como: f f '( ) = + f '( ) f '( ) + No derivable en = '( ) = Luego la función f() es continua enr y derivable en R { } b) La recta tangente en = es y f () = f '() ( ) f () = + = f '( ) = + f '() = 3 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y = 3 ( ) y= 3

4 Sean las funciones f ( ) = y g( ) =. a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) Determine el valor de para el que se hace mínima la función h( ) = f ( ) g( ) SOCIALES II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Para la función f ( ) = Puntos de corte con el eje X y= 4+ 6= No tiene solución, luego no corta al eje X. Puntos de corte con el eje Y = y= 6 (,6). Vértice b 4 v = = = y= vértice (, ) a Curvatura y ''( ) = > Convea Para la función g( ) = Puntos de corte con el eje X y= = = ; = (, ) y (, ). Puntos de corte con el eje Y = y= (,). Vértice b v = = = y= vértice (,) a Curvatura y ''( ) = < Cóncava

5 b) Calculamos la función h( ) = f ( ) g( ) = = h '( ) = 4 6= = 3 (, ) 3 (, ) Signo y' + Función D C 3 3 mínimo,

6 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3 3 a) f ( ) = + (5 ) b) g( ) = ( + ) L( + ) 5 c) h( ) = 3 + e SOCIALES II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) b) c) 3 ( 3 ) f '( ) = + 3 (5 ) 5= + 5 (5 ) g '( ) = L( + ) + ( + ) = L( + ) '( ) 5 3 h = L3+ e

7 si Consideremos la función: f ( ) = si > a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine la monotonía de f. c) Represente gráficamente esta función. SOCIALES II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La función es continua y derivable para < ; la función es, también, continua y derivable para >. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en =. lim( ) = f () = lim f ( ) = Continua en = lim( ) = + si < Calculamos la función derivada: f '( ) = y como: si > f f '( ) = + f '( ) f '( ) + No derivable en = '( ) = Luego la función f() es continua enr y derivable en R { } b) f '( ) = = = (,) (,) (, ) c) Signo y' + + Función D C C

8 3 a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g( ) = en el punto de abscisa + =. b) Se considera la función f ( ) = a b + 4. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tenga un etremo relativo en el punto (, ). SOCIALES II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en = es y g() = g '() ( ) g () = 3 ( + ) (3 ) 5 g '( ) = g '() = ( + ) 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, 5 y = ( ) 5 4 y 3 = 4 b) Calculamos la derivada de f ( ) = a b+ 4. f '( ) = a b Pasa por (,) f () = a b+ 4= Etremo relativo en (,) f '() = a b= Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones sale: a= 6 ; b=

9 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la función B definida por: t + 7t si t 5 B( t) = si 5 t 8 donde t indica el tiempo transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y eplique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años. b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 5 millones de euros. SOCIALES II. 6. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Hacemos la representación gráfica de la función B Vemos que el beneficio aumenta en los 3 5 primeros años. Desde 3 5 a 5 años disminuye y entre 5 y 8 años se mantiene constante. b) Resolvemos la ecuación t t t t t t + 7 = '5 7 + '5= = '5 ; = 4'5 Luego, vemos que el beneficio es de 5 millones de euros a los 5 años y a los 4 5 años.

10 3 Sea la función f ( ) = 3 a) Determine la monotonía y los etremos relativos de f. b) Calcule su punto de infleión. c) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, represéntela. SOCIALES II. 6. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) = 3 6 = = ; = (,) (, ) (, ) Signo y' + + Función C D C b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. f ''( ) 6 6 Máimo (, ) mínimo (, 5) = = = El punto de infleión está en (, 3) c) Hacemos la representación gráfica.

11 a) Dada la función f ( ) = a ( ) + b, calcule a y b para que la gráfica de esta función pase por el punto de coordenadas (, ) y tenga un etremo relativo en el punto de abscisa =. b) Calcule g ''() siendo g( ) =. SOCIALES II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la derivada de f ( ) a ( ) b = +. Pasa por (, ) f () = b= f '( ) = a( ) + b Etremo relativo en = f '() = a+ b= a+ = a= b) Calculamos la segunda derivada de g '( ) = g ''( ) = g ''() = = g( ) =

12 a) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y = + 4. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. 4 4 b) Dada la función g( ) =, calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el + 4 punto de abscisa =. SOCIALES II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Hacemos la representación gráfica de la función derivada. Vemos que f '( ) es positiva en el intervalo (, ), luego en ese intervalo f ( ) será creciente. Vemos que f '( ) es negativa en el intervalo (, ), luego en ese intervalo f ( ) será decreciente. b) La recta tangente en = es y g() = g '() ( ) g () = 4 ( + 4) (4 4) 5 g '( ) = g '() = = ( + 4) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y+ = ( ) 5 4y 4= 4

13 a) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (,) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3,) y (3,). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. 3 b) Calcule los etremos relativos de la función g( ) = 3. SOCIALES II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Hacemos la representación gráfica de la función derivada. Vemos que f '( ) es positiva en el intervalo ( 3,3), luego en ese intervalo f ( ) será creciente. Vemos que f '( ) es negativa en el intervalo (, 3) (3, ), luego en ese intervalo f ( ) será decreciente. b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. g '( ) = 3 3= = ; = (, ) (,) (, ) Signo g' + + Función C D C, Máimo ( ) mínimo (, )

14 3 Se considera la función f ( ) = a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa =. b) Estudie su monotonía. c) Calcule sus asíntotas. SOCIALES II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en = es y f () = f '() ( ) f () = = ( ) ( ) (3 ) f '( ) = f '() = ( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y = ( ) y+ = b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. f ( ) ( ) (3 ) '( ) = = = ( ) ( ) No tiene solución (, ) (, ) Signo f ' + + Función C C Luego la función es creciente en su dominio. c) Verticales: La recta = a es una asíntota vertical si lim f ( ) =± lim f ( ) = = a Horizontales: La recta y = b es una asíntota horizontal si 3 lim f ( ) = b lim = y= + + Oblicuas: No tiene.