MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 23

Transcripción

1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 23

2 øcûmo la derivada afecta la forma de una gr Öca? En muchas de las aplicaciones del c lculo depende de nuestras destrezas para deducir situaciones acerca de una funciûn desde la informaciûn relacionada a su derivada. Recuerde f 0 (x) representa la pendiente de la gr Öca de la curva y = f (x) en el punto (x, f (x)). Es razonable que f 0 (x) provea informaciûn a cerca de f (x). øquè dice f 0 acerca de f? Entre los puntos A y B y entre C y D las rectas tangentes tienen pendientes positivas, i.e., f 0 (x) > 0 Entre los puntos B y C las rectas tangentes tienen pendientes negativas, i.e., f 0 (x) < 0 P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 23

3 De acuerdo a lo anterior, se observa que f crece cuando f 0 (x) es positiva y f decrece cuando f 0 (x) es negaitiva. Prueba de creciente y decrecciente a. Si f 0 (x) > 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b. Si f 0 (x) < 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo. Prueba P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 23

4 Recuerde, de la secciûn 4.1, si f tiene un m ximo o mìnimo local en c, entonces c debe ser un n mero crìtico de f (por el teorema de Fermat), adem s no todo n mero crìtico representa un m ximo o mìnimo, ejemplo f (x) = x 3, c = 0 es un n mero crìtico, pero la funciûn no alcanza ni mìnimo ni m ximo local en 0. Prueba de la primera derivada Suponga que c es un n mero crìtico de una funciûn f : a. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un m ximo local en c. b. Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mìnimo local en c. c. Si f 0 no cambia de signo en c, entonces f no tiene ni m ximo ni mìnimo local en c. P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 23

5 P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 23

6 Ejemplos 1. Si f (x) = 4x 3 + 3x 2 " 6x + 1, halle los m ximos y mìnimos locales de f P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 23

7 øquè dice f 00 acerca de f? P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 23

8 Al observar la gr Öca 5, ambas son funciones crecientes entre A y B, sin embargo parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones. En la Ögura 6a, las rectas tangentes est n debajo de la curva, y se le llama cûncava hacia arriba y en 6 b, las rectas tangentes est n sobre la curva y se le llama cûncava hacia abajo. DeÖniciÛn: Si la gr Öca de f est sobre todas las rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que es cûncava hacia arriba en I. Si la gr Öca de f est bajo todas las rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que es cûncava hacia abajo en I. En 6a, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes aumentan, lo que signiöca que la derivada de f 0 est aumentando y por lo tanto su dervada f 00 es positiva. En 6b, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes disminuyen, lo que signiöca que la derivada de f 0 est decreciendo y por lo tanto su dervada f 00 es negativa. P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 23

9 Prueba de concavidad: MATE 3031 a. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, entonces la gr Öca de f es cûncava hacia arriba en I. b. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, entonces la gr Öca de f es cûncava hacia abajo en I. P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 23

10 DeÖniciÛn: Un punto P sobre una curva y = f (x) es llamado un punto de ináexiûn si f es continua en c y la curva cambia de cûncava hacia arriba a cûncava hacia abajo o de cûncava hacia abajo a cûncava hacia arriba en P. Prueba de la segunda derivada: a. Si f 0 (c) = 0yf 00 (x) > 0, entonces f tiene un mìnimo local en c. b. Si f 0 (c) = 0yf 00 (x) < 0, entonces f tiene un m ximo local en c. P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 23

11 2. Ejercicio 2 p g. 297 P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 23

12 3. Ejercicio 6 p g. 297 P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 23

13 4. Ejercicio 8 p g. 298 P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 23

14 5. Ejercicio 12 p g. 298, f (x) = x x P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 23

15 6. Ejercicio 14 p g. 298, f (x) = cos 2 x " 2 sin x, 0 # x # 2π P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 23

16 7. Ejercicio 19 p g. 298, f (x) = 1 + 3x 2 " 2x 3 P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 23

17 8. Ejercicio 26 p g. 298, trace la gr Öca de la funciûn que satisface: f 0 (1) = f 0 ("1) = 0, f 0 (x) < 0 si jxj < 1; f 0 (x) > 0 si 1 < jxj < 2, f 0 (x) " 1 si jxj > 2 f 00 (x) < 0 si "2 < x < 0, punto de ináexiûn en (0, 1) 4 y P. V squez (UPRM) Conferencia 3 17 / 23

18 9. Ejercicio 32 p g. 299, P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 23

19 10. Ejercicio 40 p g. 299, G (x) = 5x 2/3 " 2x 5/3 P. V squez (UPRM) Conferencia 19 / 23

20 11. Ejercicio 46 p g. 299, f (x) = x 2 " 4 x P. V squez (UPRM) Conferencia 20 / 23

21 12. La familia de curvas en forma de campanas: y = 1 σ p "µ) 2 /(2σ e"(x 2 ) 2π se dan en probabilidad y estadìstica, donde se le llama la funciûn de densidad normal. La constante µ es la media y la constante positiva σ se le llama la desviaciûn constante. Para simplicidad se escala la funciûn y 1 se remueve el factor σ p y se analiza el caso especial µ = 0. Entonces 2π se estudia la funciûn: y = e "x 2 /(2σ 2 ) a. Halle la asìntota, el valor m ximo y el punto de ináexiûn de f. b. øquè papel juega σ en la forma de la curva? P. V squez (UPRM) Conferencia 21 / 23

22 P. V squez (UPRM) Conferencia 22 / 23

23 P. V squez (UPRM) Conferencia 23 / 23