RESUMEN ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y TOPOLOGÍA CURSO

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1 RESUMEN ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y TOPOLOGÍA CURSO En este resumen no se puede escribir o añadir nada, ni por delante, ni por detrás. En todo caso, sólo se permite subrayar lo que se crea más importante. Este resumen se podrá utilizar en las convocatorias de junio, septiembre y diciembre de

2 LECCIÓN 1. Espacios Métricos. Espacios Topológicos. 1. Espacios (Seudo)métricos. Definición 1 Un espacio métrico es un par (X, d), con d : X X IR una aplicación que cumple las siguientes propiedades: (1) d(x, y) 0, x, y X; (2) d(x, y) = 0 x = y; (3) d(x, y) = d(y, x), x, y X (simétrica); (4) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X (desigualdad triangular). A la aplicación d se le llama distancia métrica o, simplemente, métrica. Si en vez de (2) se verifica (2 ) d(x, x) = 0, x X, es decir, si existen x, y X, x y, con d(x, y) = 0, entonces d se llama seudométrica y (X, d) se dice que es un espacio seudométrico. Ejemplos (1) Sea X un conjunto cualquiera. Se define la distancia indiscreta o distancia nula sobre X como la aplicación d i : X X IR, dada por d i (x, y) = 0, x, y X. Se tiene que d es una seudométrica sobre X y al par (X, d i ) se le llama espacio seudométrico indiscreto. (2) Sea X un conjunto cualquiera. Se define la distancia métrica discreta sobre X como la aplicación d dis : X X IR, dada por: d dis (x, y) = { 0, si x = y, x, y X. 1, si x y Al par (X, d dis ) lo llamaremos espacio métrico discreto. (3) Sobre IR n, sean dos puntos cualesquiera x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ). Se definen tres distancias métricas: (3a) La distancia euclídea n-dimensional, dada por: d e (x, y) = n (x i y i ) 2. i=1 A (IR n, d e ) se le llama espacio euclídeo n-dimensional. (3b) La distancia taxi n-dimensional, dada por: d t (x, y) = n x i y i. (3c) La distancia del máximo n-dimensional, dada por: i=1 (4) Sobre IR 2, se define la siguiente seudométrica: d m (x, y) = máx{ x i y i : 1 i n}. 2

3 d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1. (5) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y sea A X. La aplicación d A : A A IR, definida por d A (x, y) = d(x, y), x, y A, es una distancia (seudo)métrica sobre A que se llama distancia inducida por d en A. Definición 2 Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, sea x X y ε un número real positivo. Se definen: (1) La bola abierta de centro x y radio ε como el conjunto B d (x, ε) = {y X/d(x, y) < ε}. (2) La bola cerrada de centro x y radio ε como el conjunto B d (x, ε) = {y X/d(x, y) ε}. (3) La esfera de centro x y radio ε como el conjunto S d (x, ε) = {y X/d(x, y) = ε}. Proposición 3 Sea (X, d) un espacio seudométrico. Sea x X un punto cualquiera y ε > 0. Se verifican: (1) x B d (x, ε); x B d (x, ε); x / S d (x, ε). (2) S d (x, ε) B d (x, ε). (3) B d (x, ε) B d (x, ε). (4) S d (x, ε) B d (x, ε) =. (5) B d (x, ε) S d (x, ε) = B d (x, ε). Ejemplos. (1) Se tiene que B di (x, ε) = X, x X y ε > 0. (2) Se tiene que: B ddis (x, ε) = { {x}, si ε 1, x X). X, si ε > 1 (3) En (IR, d e ), se tiene que B de (x, ε) = (x ε, x + ε), B de (x, ε) = [x ε, x + ε] y S de (x, ε) = {x ε, x + ε}. (4) En (IR 2, d e ), la bola abierta de centro (x, y) IR 2 y radio ε es el disco abierto con ese centro y ese radio, la bola cerrada es el disco cerrado (círculo) y la esfera es la circunferencia. (5) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A X cualquiera. Sean x A y ε > 0. Entonces: B da (x, ε) = B d (x, ε) A. Proposición 4 (Propiedades fundamentales de las bolas). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Sea x X cualquiera. Se verifican las siguientes propiedades: 1. Si ε, ε > 0 son tales que ε ε, entonces B d (x, ε) B d (x, ε ). 2. Para todo y B d (x, ε), existe δ > 0 tal que B d (y, δ) B d (x, ε). 3. Si z B d (x, ε) B d (y, µ), entonces ρ > 0 tal que B d (z, ρ) B d (x, ε) B d (y, µ). Proposición 5 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio métrico, no seudométrico y sean x e y dos puntos distintos de X. Entonces, existen ε > 0 y µ > 0 tales que B d (x, ε) y B d (y, µ) son disjuntas. 3

4 2. Conjuntos abiertos. Noción de Espacio Topológico. Definición 6 Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, sea A X y sea x X. Se dice que el punto x es un punto interior a A si ε > 0 tal que B d (x, ε) A. Obsérvese que, entonces, x A. Al conjunto formado por todos los puntos interiores a A se le llamará conjunto interior de A y se denotará por inta. Es claro que inta A. Si x es un punto interior a A, al conjunto A se le llama entorno del punto x en (X, d). Un conjunto A X se dice abierto en (X, d) si inta = A. Proposición 7 En todo espacio (seudo)métrico (X, d) se verifican las siguientes propiedades: (1) Un A X es abierto si y sólo si es entorno de todos sus puntos y, por tanto, si y sólo si todos sus puntos son interiores. (2) Un A X es entorno de un punto x X en (X, d) si y sólo si existe un abierto G en (X, d) tal que x G A. (3) Para todo x X y para todo ε > 0, se tiene que B d (x, ε) es un abierto en (X, d). Ejemplo. Si en IR 2 se consideran las métricas d e, d t y d m, cada bola abierta en una de ellas no es bola en las otras dos, pero sí es abierto en el espacio métrico correspondiente. Proposición 8 (Propiedades básicas del interior). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se verifican las siguientes propiedades: (a) Dados A, B X, A B = inta intb. (b) int(a 1 A n ) = inta 1 inta n, para cualesquiera A 1,..., A n X. (c) int(inta) = inta, para tod A X, es decir, el conjunto inta es siempre un conjunto abierto. (d) Dado cualquier A X, inta es el mayor aconjunto abierto en (X, d) contenido en A. Teorema 9 Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y sea A X. Las condiciones siguientes son equivalentes: (a) A es abierto en (X, d), (b) x A, ε > 0 tal que B d (x, ε) A. (c) A es unión de bolas abiertas. Proposición 10 (Propiedades básicas de los abiertos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se verifican las siguientes propiedades: (1) y X son abiertos. (2) La unión arbitraria de abiertos es un conjunto abierto. (3) La intersección finita de abiertos es un abierto. Proposición 11 Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y sea A X. Entonces, un subconjunto G A es abierto en (A, d A ) H, abierto en (X, d) tal que G = H A. Definición 12 (Espacio Topológico). Sea X un conjunto cualquiera y sea T una familia de subconjuntos de X, verificando: (1), X T. (2) Si A, B T, entonces A B T, es decir, T es estable para intersecciones finitas. (3) Si {A i } i I es una colección cualquiera de elementos de T, entonces A i T, i I 4

5 es decir, T es estable para uniones arbitrarias. En estas condiciones, a T se le llama una topología sobre X y al par (X, T ) se le llama espacio topológico. A los subconjuntos de T se les llama abiertos de (X, T ). Dado un punto x X, un subconjunto N X se dice entorno de x, respecto a T, si G T con x G N. Se dice que un punto x X es interior a un subconjunto A X, con respecto a T, si A es entorno de x. Se llama interior de A al subconjunto inta X formado por todos los puntos interiores de A. Nota. El interior en un espacio topológico verifica las mismas propiedades que en el caso de espacios métricos (ver la Proposición 8). Además se verifica que un conjunto es abierto en un espacio topológico si y sólo si coincide con su interior. Ejemplos. (1) La familia T d formada por todos los abiertos de un espacio (seudo)métrico (X, d) es una topología sobre X que se llama topología (seudo)métrica inducida por la distancia d. (2) En IR n, con n 2, se tiene que T de = T dt = T dm. Cuando, como en este caso, dos (seudo)métricas inducen la misma topología (seudo)métrica sobre un conjunto, se dicen equivalentes. (3) Sea (X, d dis ). Entonces, T ddis = P(X) y se llama topología discreta sobre X. (4) Sea X un conjunto cualquiera. Entonces, la familia de subconjuntos de X dada por T cof = { } {A X/X A es finito}, es una topología sobre X, llamada topología cofinita que, si X es infinito no es métrica ni seudométrica y, si X es finito, coincide con la topología discreta. a: (5) En (X, d i ) se tiene que T di = {, X} y se llama topología indiscreta sobre X. (6) Sea (X, T ) un espacio topológico y A X. Se llama topología relativa o inducida sobre A por T T A = {G A/G T }. Puede comprobarse que T A es, efectivamente, una topología sobre A. A los elementos de T A se les llama abiertos relativos a A. Definición 13 Sean X un conjunto y T, T dos topologías sobre X. Se dice que T es más fina que T si T T. Caso contrario, se dice que es más gruesa. Así, obsérvese que la topología discreta es la más fina que puede definirse sobre un conjunto y la topología indiscreta es la más gruesa de todas. Definición 14 Sea (X, T ) un espacio topológico. Una subfamilia B T se dice que es una base de T si G T, se tiene que G es unión de elementos de B. Ejemplo. Si (X, d) es un espacio (seudo)métrico, la familia de las bolas abiertas es una base de T d. Proposición 15 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea B T una base de T. Entonces, un subconjunto A X es abierto en T si y sólo si x A, B x B con x B x A. Nota. Obsérvese que, dado un espacio topológico (X, T ), se verifica que si B es una base de T y B 1, B 2 B con B 1 B 2, entonces x B 1 B 2, B x B con x B x B 1 B 2. Teorema 16 (Teorema de la base). Sean X un conjunto y B P(X) una familia de subconjuntos de X tal que B 1, B 2 B con B 1 B 2 y x B 1 B 2, B x B con x B x B 1 B 2. Entonces, existe una topología T sobre X que es la menor topología que contiene a B y la única que la tiene por base. Esta topología viene dada por: T = {, X} {uniones de elementos de B}. 5

6 3. Conjuntos cerrados. Otros conjuntos notables. Definición 17 Sea (X, T ) un espacio topológico. Un subconjunto A X se dice cerrado(respecto a T ) si X A T. La familia de los conjuntos cerrados se denota por F. Ejemplos. (a) En cualquier espacio (seudo)métrico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados. (b) En un espacio topológico discreto, todos los subconjuntos son cerrados, es decir, F dis = P(X). (c) En un espacio cofinito: F cof = {X} {F X/F es finito}. por: (d) Sea (X, T ) un espacio topológico y A X. Entonces, la familia de los cerrados en (A, T A ) viene dada F A = {F A/f F}. Proposición 18 (Propiedades básicas de los cerrados). Si F es la familia de cerrados de un espacio topológico (X, T ), se verifican las siguientes propiedades: (1), X F. (2) F es estable para uniones finitas (la unión finita de cerrados es cerrado). (3) F es estable para intersecciones arbitrarias (la intersección arbitraria de cerrados es cerrado). Teorema 19 Sea X un conjunto cualquiera y sea F P(X) una familia de subconjuntos de X que verifique las propiedades (1), (2) y (3) de la proposición anterior. Entonces, existe una única topología T sobre X para la que F es la familia de sus cerrados. Dicha topología viene dada por: T = {G X/X G F}. Ejemplo. Sea X un conjunto y sea la familia de subconjuntos de X dada por: F CN = {X} {F X/F es numerable}. Entonces, se verifica, aplicando el teorema anterior, que F CN es la familia de una topología T CN sobre X, llamada Topología Conumerable, que es más fina que la topología cofinita. Definición 20 Sea (X, T ) un espacio topológico y A X. Se llama clausura de A al menor subconjunto cerrado de (X, T ) que contiene a A y se denota por A. Proposición 21 Sea (X, T ) un espacio topológico. Se verifican las siguientes propiedades: (a) X = X y =. (b) A = A, A X. (c) Dados A, B X, si A B A B. (d) A B = A B, A, B X. (e) Un A X es cerrado si y sólo si A = A. Proposición 22 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A X. Entonces, se verifican: (a) inta = X X A. (b)a = X int(x A). Definición 23 Sean (X, T ) un espacio topológico, A X y x X. Se dice que x es un punto adherente a A si x A. 6

7 Proposición 24 Sean (X, T ) un espacio topológico, A X y x X. Entonces, las condiciones siguientes son equivalentes: (1) x es adherente a A; (2) G T /x G G A ; (3) N X/N es entorno de x N A. Definición 25 Sean (X, T ) un espacio topológico, A X y x X. Se dice que x es un punto de acumulación de A si G T /x G, se verifica que G (A {x}), es decir, todo abierto que contenga a x corta a A en puntos distintos de x. Al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A y se denota por A. Proposición 26 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A X un subconjunto cualquiera. Entonces, se tiene que A = A A. Definición 27 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A X. Se define el exterior de A como el conjunto exta = int(x A) y se define la frontera de A como el conjunto dado por: F ra = A X A. Proposición 28 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A X. Se verifican las siguientes propiedades: (a) F ra es un conjunto cerrado y F ra = F r(x A). (b) A = inta F ra. (c) F ra inta = F ra exta = inta exta =. (d) X = F ra inta exta. 7

8 LECCIÓN 2. Continuidad. Homeomorfismos. 4. Continuidad en espacios (seudo)métricos. Definición 29 Sean (X, d) y (Y, d ) dos espacios (seudo)métricos y f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre ellos. Sea x X. Se dice que f es continua en el punto x si: O, equivalentemente: ε > 0, δ > 0/si d(x, x ) < δ d (f(x), f(x )) < ε. B d (f(x), ε), B d (x, δ)/f(b d (x, δ)) B d (f(x), ε). Se dice que f es continua si f es continua en todos los puntos de X. Proposición 30 Sean (X, d) y (Y, d ) dos espacios (seudo)métricos y f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre ellos. Sea x X. Entonces, f es continua en x si y sólo si G Y abierto tal que f(x) G, U X abierto, con x U y f(u) G. Proposición 31 Sean (X, d) y (Y, d ) dos espacios (seudo)métricos y f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre ellos. Entonces, f es continua si y sólo si G Y abierto, f 1 (G) es abierto en X. 5. Continuidad en espacios topológicos. Definición 32 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación entre espacios topológicos y sea x X. Se dice que f es continua en x si G Y abierto tal que f(x) G, U X abierto, con x U y f(u) G. Se dice que f es continua si es continua en todos los puntos de X. Proposición 33 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación entre espacios topológicos. Las condiciones siguientes son equivalentes: (1) f es continua. (2) G T f 1 (G) T. (3) Si B es una base de T, B B f 1 (B) T. (4) F F f 1 (F ) F. Proposición 34 (a) La composición de aplicaciones continuas es una aplicación continua. (b) Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación continua y sea A X. Entonces, f A : (A, T A ) (Y, T ) es continua. (c) Cualquier aplicación constante, f : (X, T ) (Y, T ), definida por f(x) = y 0, siendo y 0 Y fijo, es continua. (d) La aplicación identidad Id : (X, T ) (X, T ), dada por Id(x) = x, x X es continua. En general, si T y T son dos topologías distintas sobre X, se tiene que Id : (X, T ) (X, T ) es continua si y sólo si T T. (e) Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A X. La aplicación inclusión canónica de A en X es la aplicación i : (A, T A ) (X, T ) definida por i(x) = x, x A y es continua, pues i = Id A. (f) Toda aplicación f : (X, T dis ) (Y, T ) es continua. (g) Toda aplicación f : (X, T ) (Y, T i ) es continua. 8

9 6. Convergencia y Continuidad. Definición 35 Sean (X, d) un espacio (seudo)métrico y {x n } n N X una sucesión. Se dice que {x n } n N converge a x X (o, lo que es lo mismo, que x es un punto límite de {x n } n N ) y se escribe {x n } x ó, equivalentemente, lím n x n = x, si ε > 0, n 0 N, tal que n n 0 se tiene que d(x n, x) < ε o, lo que es lo mismo, si B d (x, ε), n 0 N, tal que n n 0, se tiene que x n B d (x, ε). Definición 36 Sean (X, T ) un espacio topológico y {x n } n N X una sucesión. Se dice que {x n } n N converge a x X (o, lo que es lo mismo, que x es un punto límite de {x n } n N ) y se escribe {x n } x ó, equivalentemente, lím n x n = x, si G T, con x G, n 0 N, tal que n n 0 se tiene que x n G. Notas. (1) En general, el punto límite de una sucesión no es único, caso de existir. Sin embargos, en espacios métricos y, en virtud de la Propiedad de Haussdorff, dicho punto límite, si existe, sí es único. (2) Sea {x n } n N X una sucesión en un conjunto X tal que x n = x n0, n n 0. Una sucesión así se llama casi-constante. Se verifica que {x n } n N converge a x n0 en cualquier topología sobre X. (3) En (IR, T dis ) y en (IR, T CN ), las únicas sucesiones convergentes son las casi-constantes. Proposición 37 Sean (X, T ) un e.t, {x n } una sucesión en X y x X un punto límite de ella. Entonces x {x n }. En consecuencia, si {x n } A X, entonces x A. El recíproco no es cierto, en general. Es decir, dado un punto adherente a un conjunto, no tiene por qué existir una sucesión contenida en el conjunto que converja al punto. Teorema 38 Sean (X, d) un espacio (seudo)métrico, A X y x X. Entonces, x A si y sólo si existe una sucesión contenida en A que converge a x Proposición 39 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación continua en x 0 X. Entonces, para toda sucesión {x n } en X que converja a x 0, se verifica que la sucesión imagen f({x n }) converge a f(x 0 ). Sin embargo, el recíproco de este resultado no es cierto en general. Teorema 40 Sea f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos. Entonces, las condiciones siguientes son equivalentes: (1) f continua en x 0 X. (2) Para toda sucesión {x n } en X que converja a x 0, se verifica que la sucesión imagen f({x n }) converge a f(x 0 ). 7. Homeomorfismos. Propiedades Topológicas. Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación biyectiva entre espacios topológicos. Entonces, existe la aplicación inversa f 1 : (Y, T ) (X, T ). Se tiene que f 1 es continua si y sólo si G T, (f 1 ) 1 (G) = f(g) T. Esto justifica la siguiente definición. Definición 41 Una aplicación f : (X, T ) (Y, T ) se dice abierta si G T, f(g) T. Del mismo modo, se dice cerrada si F F, f(f ) F. Proposición 42 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación biyectiva entre espacios topológicos. Entonces, f es abierta (y cerrada) si y sólo si f 1 es continua. 9

10 Definición 43 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación entre espacios topológicos. Se dice que f es un homeomorfismo si es biyectiva, continua y su inversa es también continua. Dos espacios topológicos (X, T ) e (Y, T ) se dice que son homeomorfos si entre ellos puede definirse un homeomorfismo. Dados dos espacios topológicos (X, T ) e (Y, T ) y dados A X y B Y, se dice que A es homeomorfo a B si existe un homeomorfismo entre (A, T A ) y (B, T B ). Proposición 44 Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo y sea A X. Entonces, A es homeomorfo a f(a). Teorema 45 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación biyectiva. Entonces, las condiciones siguientes son equivalentes: (1) f es un homeomorfismo; (2) f es continua y abierta; (3) f es continua y cerrada. Proposición 46 Se verifican las siguientes propiedades: (a) La composición de homeomorfismos es un homeomorfismo. (b) La aplicación inversa de cualquier homeomorfismo es un homeomorfismo. (c) Dado un espacio topológico (X, T ), la aplicación Id : (X, T ) (X, T ) es un homeomorfismo. (d) Como consecuencia de (a), (b) y (c), en la familia de los espacios topológicos, la relación ser homeomorfos. es una relación de equivalencia. Definición 47 Una propiedad se llama propiedad topológica o invariante topológico si se conserva por homeomorfismos, es decir, si de verificarla un espacio topológico, entonces la verifica cualquier espacio topológico homeomorfo a él. Definición 48 Un espacio topológico (X, T ) se dice que es T 2 (o de Haussdorff) si x, y X, G, H T, con x G e y H, tales que G H =. Un espacio topológico (X, T ) se dice que es T 1 si x X, el conjunto unitario {x} es cerrado. Proposición 49 (a) Las propiedades T 2 y T 1 son propiedades topológicas. (b) T 2 T 1, pero T 1 T 2 en general. Ejemplos. (a) (IR, T e ) y (IR, T dis ) son T 2. (c) (IR, T i ) no es T 1. (d) (IR, T cof ) y (IR, T CN ) son T 1 y no son T 2. 10

11 LECCIÓN 3. Conexión. 8. Espacios Conexos. Definición 50 Un espacio topológico (X, T ) se dice que es disconexo si existen dos abiertos no vacíos G, H T con G, H X, y tales que G H = y G H = X. En caso contrario, se dice que (X, T ) es conexo. Un subconjunto A X se dice que es conexo (disconexo) si el espacio (A, T A ) es conexo (disconexo). Proposición 51 Un espacio topológico (X, T ) es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos abiertos y cerrados de X, respecto a T, son y X. Proposición 52 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación continua entre espacios topológicos y sea A X un subconjunto conexo. Entonces, f(a) es también conexo. En consecuencia, la conexión es una propiedad topológica. Ejemplos. (1) (IR, T e ) es conexo. (2) Cualquier espacio discreto no es conexo. (3) (X, T cof ), con X infinito, es conexo. Proposición 53 Sea (X, T ) un espacio topológico y sean A, B X tales que A es conexo y A B A. Entonces B es conexo. En particular, A es conexo. Ejemplo. Los únicos subconjuntos conexos de (IR, T e ) son los intervalos. Teorema 54 (Teorema de Bolzano.) Sea (X, T ) un espacio topológico. Las condiciones siguientes son equivalentes: (a) X es conexo. (b) Si f : (X, T ) (IR, T e ) es una aplicación continua y a, b f(x) con a b. Entonces, para todo c IR tal que a c b, se tiene que c f(x). (c) Si f : (X, T ) (IR, T e ) es una aplicación continua y existen x, y X con f(x) < 0 y f(y) > 0, entonces existe x 0 X con f(x 0 ) = 0. Proposición 55 Un espacio topológico (X, T ) es conexo si y sólo si para cada par de puntos x, y X existe un subconjunto conexo A X tal que x, y A. Proposición 56 Sea (X, T ) un espacio topológico y {C i } i I una familia de subconjuntos de X conexos y tales que existe i 0 I con C i C i0, para todo i I. Entonces i I C i es conexo. En particular, si i I C i, entonces i I C i es conexo. 9. Componentes Conexas. Definición 57 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea x X. Se llama componente conexa del punto x en X al mayor subconjunto conexo C x en X que contiene al punto x. Se observa que C x siempre existe; en realidad, es la unión de todos los subconjuntos conexos de X que contienen a x, en virtud de la Proposición

12 Proposición 58 Las componentes conexas de un espacio topológico (X, T ) forman una partición por cerrados de X. Proposición 59 Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo y sean x X un punto cualquiera y C x la componente conexa de x en X. Entonces, f(c x ) es la componente conexa del punto f(x) en Y. En consecuencia, el número de componentes conexas es una propiedad topológica. 10. Espacios Localmente Conexos. Definición 60 Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexo si para todo x X y N X entorno de x, existe C X conexo, también entorno de x y tal que C N. Proposición 61 Las componentes conexas de un espacio topológico localmente conexo son también conjuntos abiertos. Proposición 62 La conexión local es una propiedad topológica. Ejemplos. (1) (IR, T e ) es conexo y localmente conexo. (2) Cualquier espacio discreto es localmente conexo y no conexo. (3) (Q, T e Q ) no es conexo ni localmente conexo. 11. Orden de Conexión. Definición 63 Sean (X, T ) un espacio topológico, x X y A X conexo. Se dice que x es un punto de corte de conexión de A de orden n o que tiene orden de conexión n en A si A {x} tiene n componentes conexas. Proposición 64 Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo. Si un punto x X es un punto de corte de conexión de X de orden n, entonces f(x) es un punto de corte de conexión de Y de orden n. En consecuencia, el orden de conexión es una propiedad topológica. 12. Espacios Conexos por Caminos. Definición 65 Sea (X, T ) un espacio topológico. Un camino en X es una aplicación continua α : ([0, 1], T e ) (X, T ). Dados x, y X dos puntos cualesquiera, un camino de x a y es un camino en X tal que α(0) = x y α(1) = y. Definición 66 Se dice que un espacio topológico (X, T ) es conexo por caminos si dados dos puntos cualesquiera x, y X existe un camino en X de x a y. Un subconjunto conjunto A X se dice conexo por caminos si el subespacio topológico (A, T A ) es conexo por caminos. Ejemplos. (a) (IR, T e ) es conexo por caminos. (b) Cualquier intervalo de IR es conexo por caminos para la topología euclídea. Proposición 67 Todo espacio topológico (X, T ) conexo por caminos es conexo. Proposición 68 Sea una aplicación continua f : (X, T ) (Y, T ) entre espacios topológicos. Si A X es conexo por caminos, entonces f(a) es conexo por caminos. En consecuencia, la conexión por caminos es una propiedad topológica. 12

13 Proposición 69 Sea (X, T ) un espacio topológico. La relación entre los puntos de X dada por xry si y sólo si existe un camino en X de x a y es una relación de equivalencia. Proposición 70 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea {C i } i I una familia de subconjuntos de X conexos por caminos y tales que i 0 I con C i C i0, entonces el conjunto i I C i es también conexo por caminos. En particular, si i I C i, entonces i I C i es conexo por caminos. Definición 71 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea x X un punto cualquiera. Se define la componente conexa por caminos de x en X como el mayor subconunto conjunto C x X que es conexo por caminos en X y contiene a x. Se comprueba que C x = i I{A i /A i es conexo por caminos y x A i }. Proposición 72 (Propiedades de las componentes conexas por caminos). Sea (X, T ) un espacio topológico. Se verifican: (1) Las componentes conexas por caminos en X forman una partición de X. (2) Dado x X, C x = {y X/y se puede conectar con un camino a x}, es decir, es la clase de equivalencia del punto x según la relación de la Proposición 69 En general, las componentes conexas por caminos no tienen por qué ser conjuntos cerrados. Proposición 73 Sea (X, T ) un espacio topológico conexo tal que cada punto tiene un entorno conexo por caminos en X. Entonces, X es conexo por caminos. 13

14 13. Espacios Compactos. LECCIÓN 4. Compacidad. Definición 74 Sea X un conjunto y sea A X. Una familia {A i } i I de subconjuntos de X se dice que es un recubrimiento de A si A i I A i. Definición 75 Sea (X, T ) un espacio topológico. Un subconjunto A X se dice que es compacto en (X, T ) si todo recubrimiento de A por abiertos de X admite un subrecubrimiento finito, es decir, si: {G i } i I tal que A i I G i y G i T, i I = G i1,..., G in {G i } i I con A G i1 G in. Proposición 76 Sea (X, T ) un espacio topológico y sean A B X dos subconjuntos cualesquiera. Las condiciones siguientes son equivalentes: (a) A es compacto en (X, T ). (b) A es compacto en (B, T B ). (c) A es compacto en (A, T A ). Por tanto, sólo se dirá que A es compacto. Ejemplos. (1) (IR n, T e ) no es compacto, n N. (2) Todo conjunto finito en cualquier topología es compacto. (3) (IR, T cof ) es compacto. (4) En (IR, T dis ) un A IR es compacto si y sólo si es finito. (5) (IR, T i ) es compacto. (6) (IR, T CN ) no es compacto. Proposición 77 Sea (X, T ) un espacio topológico compacto y sea A X un conjunto cerrado. Entonces, A es compacto. Proposición 78 Si f : (X, T ) (X, T ) es una aplicación continua entre espacios topológicos y A X es compacto, entonces f(a) es compacto. En consecuencia, la compacidad es una propiedad topológica. Proposición 79 Sea (X, T ) un espacio topológico T 2. Entonces, si A X es compacto, es cerrado. Proposición 80 Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación continua, con (X, T ) compacto e (Y, T ) T 2. Entonces f es cerrada. Corolario 81 f : (X, T ) (Y, T ) una aplicación biyectiva, con (X, T ) compacto e (Y, T ) T 2. Entonces f es un homeomorfismo si y sólo si es continua. 14. Compacidad en espacios métricos. Proposición 82 Sea (X, d) un espacio métrico y sea A X compacto. Entonces A es cerrado y acotado. 14

15 Teorema 83 (Teorema de Heine-Borel). En (IR n, d e ), un A IR n es compacto si y sólo si es cerrado y acotado, n N. Proposición 84 Sea (X, T ) un espacio topológico compacto y f : (X, T ) (IR, d e ) una aplicación continua. Entonces, f alcanza su máximo y su mínimo. Proposición 85 Sea (X, d) un espacio métrico y {x n } n N una sucesión en X que no tiene subsucesiones convergentes. Entonces se tiene que: (a) El conjunto A = {x 1, x 2, x 3,... } es infinito. (b) El conjunto A no tiene puntos de acumulación. En particular, A es cerrado. Definición 86 Un espacio topológico en que toda sucesión posee una subsucesión convergente se dice que tiene la Propiedad de Bolzano-Weierstrass. Lema 87 Sean (X, d) un espacio métrico, A X y x A. Entonces, ɛ > 0, se tiene que B d (x, ɛ) A es un conjunto infinito. Teorema 88 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Sea (X, d) un espacio métrico. Las condiciones siguientes son equivalentes: (a) (X, d) es compacto. (b) (X, d) tiene la Propiedad de Bolzano-Weierstrass. 15. Compacidad local. Definición 89 Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente compacto si para todo x X y N X entorno de x, existe K X compacto, también entorno de x y tal que K N. Ejemplos. (1) (IR n, T e ) y (IR, T dis ) son localmente compactos no compactos. (2) (IR, T cof ) y (IR, T i ) son localmente compactos y compactos. Proposición 90 La compacidad local es una propiedad topológica. Definición 91 Un espacio topológico (X, T ) se dice regular si x X y F F con x / F, U, V T tales que U V =, x U y F V. Ejemplos. (1) (IR, T e ), (IR, T dis ) y (IR, T i ) son regulares. (2) (IR, T cof ) no es regular. Proposición 92 (a) La regularidad es una propiedad topológica. (b) Todo espacio topológico T 2 y compacto es regular. (c) Si (X, T ) es un espacio topológico regular, entonces x X y N X entorno de x, F F entorno de x con F N. Teorema 93 Sea (X, T ) un espacio topológico T 2. Entonces, (X, T ) es localmente compacto si y sólo si x X K X que es un entorno compacto de x. Corolario 94 Todo espacio topológico T 2 y compacto es localmente compacto. Ejemplo. (Q, T e Q ) no es localmente compacto. 15

16 Proposición 95 (a) Sea (X, T ) un espacio topológico localmente compacto y sea G T. Entonces, (G, T G ) es también localmente compacto. (b) Sea (X, T ) un espacio topológico localmente compacto y sea F F. Entonces, (F, T F ) es también localmente compacto. 16