DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO"

Transcripción

1 DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios coormados por ua acció y u activo libre de riesgo III. Portaolios de activos co riesgo egocio IV. Determiació del puto tagete o retoro de activos V. Formació de la líea de mercado Sergio Bravo Orellaa Proesor ESAN Julio, 004

2 RESUMEN Este documeto desarrolla los coceptos que permite aproximarse a la teoría de portaolio e el marco del modelo CAPM (Capital Assets Pricig Model). Co el propósito de presetar de maera simpliicada las pricipales relacioes de la coormació de portaolios, e esta parte se simulará u modelo de mercado de úicamete dos accioes. Posteriormete, e u documeto adicioal, se presetará las relacioes iacieras y matemáticas que permite coormar portaolios de múltiples accioes, siempre detro del modelo CAPM. I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros Los estadígraos de posició y dispersió La elaboració de portaolios de activos iacieros ecesita de la icorporació de coceptos estadísticos. Todo activo iaciero puede ser descrito a partir de dos estadígraos: () u estadígrao de posició, la media, que proporcioa ua medida del redimieto promedio del activo e u determiado periodo; y () u estadígrao de dispersió, la desviació estádar de los distitos redimietos respecto al redimieto promedio, que proporcioa ua medida del riesgo del activo iaciero. El siguiete ejemplo ayudará a explicar la ormació de portaolios. E el cuadro adjuto se preseta los redimietos de las accioes de dos empresas. Co ies de simpliicació, los redimietos so semestrales y correspode a diez periodos. Para poder establecer relacioes más coiables, sería recomedable obteer redimietos semaales y, por lo meos, de tres periodos auales. Es coocido que el retoro medio es calculado como la suma de los redimietos de capital (cambios e los precios de las accioes) y los pagos de dividedos. Redimieto semestral de las accioes de la empresa y la empresa r 7,5%,% 4,% -4,% -,9% 0,5% 8,% -,3% 9,8% 8,4% r 8,% 5,7% 8,6%,% 0,6% 4,5%,5% 5,% 8,0% 4,5% R = i = r i El retoro medio de cada ua de las accioes puede ser calculado co la relació o órmula de la izquierda: la suma de los redimietos de cada periodo dividida etre el úmero de periodos. Se obtiee así el retoro medio de la acció (R =,%) y el retoro medio de la acció (R =8,98%). R,% R 8,98% = El riesgo asociado a la acció idividual se determia a través de la desviació r estádar, cuya órmula se preseta, igualmete, a la izquierda. i R i = Como se puede observar, es ua medida de la dispersió de los dieretes redimietos de cada periodo co respecto al retoro medio de la acció. Aplicado la relació a las observacioes del cuadro de redimietos semestrales, se obtiee que la desviació estádar de la acció es 0,49% ( ) y la desviació estádar de la acció es 3,59% ( ). 0,49% 3,59% Ahora se puede idetiicar cada activo iaciero segú su retabilidad y riesgo asociado. La acció se idetiicará co ua retabilidad (retoro medio) de R =,% y u riesgo asociado (desviació estádar) de =0,49%. Del mismo modo, la acció se idetiicará co ua retabilidad R =8,98% y u riesgo asociado de =3,59%. Puede advertirse que etre la acció y la acció se establece u itercambio de retabilidad por riesgo: a mayor o meor retabilidad, mayor o meor es el riesgo, lo que diiculta precisar cuál de los dos activos es de mejor calidad.

3 El estadígrao de covariabilidad Adicioalmete a los estadígraos de posició y dispersió, para la coormació de portaolios es ecesario cotar co uo adicioal: la covariaza etre los redimietos de los activos iacieros. Y es que depediedo de la orma como covaríe los redimietos de las accioes, es posible coormar portaolios que sea más eicietes, icluso, que las accioes mismas. E otras palabras, la iversió de u moto de capital e dos accioes puede dar por resultado u redimieto igual al promedio de estos activos iacieros, pero co la posibilidad de u meor riesgo asociado a este portaolio. Para explicar el impacto de la covariaza, a cotiuació se preseta dos situacioes distitas. E la primera, se coorma u portaolio co accioes que covaría e el mismo setido, mietras que e la seguda, el portaolio cotiee activos que covaría e setido iverso. 3 4 r 7,0%,0% 7,0%,0% r 0,0% 4,0% 0,0% 4,0% r p 8,5%,5% 8,5%,5% 5% 0% 5% 0% 3 4 r r rp Para ilustrar el primer caso, supógase dos accioes cuyos redimietos se preseta e el cuadro adjuto. Como puede observarse, los redimietos de los activos covaría e el mismo setido. Es decir, tato los redimietos de la acció como los redimietos de la acció se icremeta del periodo al periodo y del periodo 3 al periodo 4, y ambos desciede del periodo al periodo 3, tal como puede observarse gráicamete e la igura adjuta. Si se supoe que la mitad del capital se ivierte e ua acció y la otra mitad e la otra acció, el redimieto promedio obteido varía e la misma direcció que los redimietos idividuales. Se dice que covaría de la misma maera co las accioes y. Los valores de los estadígraos so los siguietes: la acció preseta ua retabilidad de 9% y u riesgo asociado de,3%, la acció preseta u redimieto de % y el mismo riesgo asociado, mietras la retabilidad promedio del portaolio es de 0,5% y el riesgo asociado del portaolio tambié es de,3%. R 9,00%,3% Co estos resultados, se cocluirá que el portaolio o ha colaborado e lograr u mejor balace etre retabilidad y riesgo e relació co las accioes idividuales. Frete a opcioes de igual riesgo (,3%), habría sido más racioal ivertir el 00% del capital e el activo, cuya retabilidad es mayor. R,00%,3% Rp 0,50% p,3% Luego, se puede cocluir que cuado las accioes covaría e el mismo setido, el portaolio resultate o orece mayor vetaja. Para ilustrar el segudo caso, cuado las accioes covaría e orma iversa, supógase los datos del cuadro adjuto (e realidad, so las mismas ciras del ejemplo aterior, pero ordeadas de distita maera). Como puede observarse, mietras los redimietos de la acció se icremeta, los de la acció desciede, y viceversa. Para ies del ejemplo, se ha establecido u redimieto promedio úico del portaolio: 0,5%. 3 4 r,0% 7,0%,0% 7,0% r 0,0% 4,0% 0,0% 4,0% rp 0,5% 0,5% 0,5% 0,5%

4 5% 0% 5% 0% 3 4 r r rp E la igura correspodiete puede observarse claramete la maera iversa como varía los redimietos y como esto implica que el redimieto promedio resulte ua líea uiorme. E térmios de los estadígraos, la retabilidad promedio de la acció es 9% y su riesgo es de,3%. La acció preseta el mismo riesgo, pero ua retabilidad mayor, igual a %. 5.0% Co estos valores, lo que sí ha variado es el riesgo asociado al portaolio, ya que co ua retabilidad promedio similar al del caso aterior (0,5%), la desviació estádar del portaolio es igual a 0% (si riesgo). Se puede observar, etoces, que el balace etre retabilidad y riesgo del portaolio es claramete mejor respecto a la acció, mietras e el caso de la acció se ha sacriicado algo de retabilidad a cambio de dismiuir sigiicativamete el riesgo. R 9,00%,3% R,00%,3% R p 0,50% p 0,00% Los ejemplos ateriores permite percibir la vetaja de costruir portaolios: a través de ellos se puede admiistrar el riesgo de las iversioes. Y la variable que icide e orma determiate e este proceso es la covariaza. cov( r, r ) = = ρ La órmula aterior expresa el valor umérico de la covariaza etre los redimietos de la acció y la acció. De aquí es iteresate rescatar el ídice de correlació etre los mismos redimietos, que expresa de maera más clara la orma cómo covaría las accioes. Por ejemplo, e el primer caso, las accioes covaría e orma perectamete directa, el coeiciete de correlació será (ρ =); e el segudo caso las accioes covaría e orma perectamete iversa, el coeiciete de correlació será (ρ = ). 0.0% 5.0% 0.0% 5.0% Como quiera que e el mudo real las accioes o ha de variar perectamete, i directa i iversamete, se debe obteer este ídice de correlació o directamete la covariaza. El ídice de correlació se calcula de la siguiete maera: 0.0% % -0.0% 6,0% 4,0% Evolució del Retoro Empresa ρ = r r i ri i R ri r i r i R,0% 0,0% 8,0% 6,0% 4,0%,0% 0,0% Evolució del Retoro Empresa E la igura de la izquierda puede observarse la variació de los redimietos de la acció r r r r -0,73 y de la acció del ejemplo iicial, el de los 0 periodos. Los redimietos tiee ua covariació egativa (iversa), pero o perecta. Aplicado la relació aterior, se puede ecotrar el valor umérico del ídice de correlació etre estos dos activos iacieros. 3

5 El cuadro se preseta como es proporcioado ormalmete por ua hoja de cálculo. Se lee que el ídice de correlació etre ua misma acció es de, mietras el ídice de correlació etre la acció y la acció es de 0,73 (iversamete correlacioadas). I. Portaolios coormados por ua acció y el activo libre de riesgo. Activos co riesgo y activos libres de riesgo El mercado de capitales seleccioa los activos iacieros haciedo u balace etre el ivel de retabilidad que orece y el ivel de riesgo que preseta. Así, se puede ecotrar tato activos co riesgo míimo, como so, por lo geeral, los reeridos a los Boos del Tesoro de Estados Uidos (los Treasury Bills a tres meses), cosiderados libres de riesgo, como activos co riesgo del egocio o riesgo iaciero por el ivel de edeudamieto. E realidad, los T-Bills a tres meses sí preseta variació, tal como lo muestra el cuadro adjuto. Si embargo, e ució de su tiempo de maduració (tres meses), esta variació es míima, ya que los valores de redimieto so predecibles. La igura adjuta preseta la evolució de los redimietos de los T-bills a tres meses durate u periodo de cico años EVOLUCIÓN DE LOS T-BILLS Porcetaje Meses Retoro Los activos co riesgo so aquellos que preseta e el mercado premios por riesgo del egocio o por riesgo iaciero. Los premios por riesgo del egocio se otorga o establece por la variabilidad de los lujos o resultados ecoómicos; y los premios por riesgo iaciero correspo de al Retabilidad y Riesgo ivel de Retoro Ri,% 8,98% apalaca Riesgo i 0,49% 3,59% mieto iaciero de la empresa. Estos riesgos se icluye e el retoro esperado de la empresa y so resultado de las múltiples 9,0% 8,0% iteraccioes producidas e el mercado de 7,0% capitales, dode se caliica cada iversió. E 6,0% el ejemplo, la iteracció reerida está 5,0% precisado que los accioistas de la empresa 3,0%,0%,0% 0,0% 0,0%,0% 4,0% 6,0% 8,0% 0,0%,0% Riesgo 4

6 requiere,% de retoro, mietras que los de la empresa espera 8,98% de retoro; y es que la primera preseta ua variabilidad de 0,49%; y la seguda, de 3,59%. Se observa que las dos accioes preseta u itercambio etre retabilidad y riesgo. Si ambas uera las úicas accioes e el mercado, sería imposible precisar cuál sería preerible, porque mietras ua muestra mayor retabilidad, la otra preseta el beeicio del meor riesgo.. Portaolios de activos co riesgo y activos libres de riesgo El activo libre de riesgo cumple la ució de permitir la costrucció de portaolios co itercambio lieal etre retabilidad y riesgo. Para apreciar como se produce este itercambio, supógase que las iversioes e las accioes y so excluyetes, pero que se puede ivertir e portaolios coormados por ua de estas accioes y por u activo libre de riesgo. La coormació de u portaolio de este tipo supoe la iversió de u porcetaje del moto e el activo co riesgo ( ) y del porcetaje restate e el activo si riesgo ( ). De esta combiació resultará u activo iaciero uevo cuya retabilidad media RP y riesgo asociado puede ser estimados por los estadígraos descritos. RP RP = R + R = R + r La retabilidad media se obtiee segú la relació adjuta, que muestra que la retabilidad del portaolio es igual al promedio poderado de la retabilidad idividual de cada activo segú el porcetaje de iversió hecho e cada activo. P P P Por su parte, el riesgo asociado al portaolio se calcula = co la órmula adjuta. Puede apreciarse que la + + ρ desviació respecto del redimieto medio del = portaolio ( P ) es ució de la desviació idividual de + + ρ cada acció y, algo importate, tambié de la = covariaza etre el activo y el activo (ρ ). Como se supoe que, por deiició, la desviació del activo libre de riesgo es cero (o existe variació de los redimietos co relació al redimieto del activo libre de riesgo) e, igualmete, la correlació del activo libre de riesgo respecto a cualquier activo co riesgo (ρ ) es cero dado que ate cualquier variació del redimieto del activo co riesgo, el redimieto del activo si riesgo permaecerá igual, la desviació co respecto al redimieto del portaolio ( P ) será igual al porcetaje de iversió e la acció ( ) multiplicado por la desviació respecto del redimieto de ésta ( ). Nótese que se trata de u itercambio lieal, mateiedo costate la desviació de la acció. Si se aplica las relacioes ateriores, por ejemplo, a ua iversió tal que el 30% del moto ( =30%) se ivierte e la acció (R =,%, =0,49%) y el saldo se ivierte e u T-Bill a tres meses (r =5,65%, =0%), se obtedrá u portaolio co retoro medio de (R P ) 7,59% y ua desviació respecto al mismo ( P ) de 3,5%. Obsérvese que el retoro medio del portaolio es u promedio del retoro de la acció y del retoro del T-Bill, lo mismo se puede decir del riesgo asociado a ese portaolio. R,% 0,49% r 5,65% 0% 30% R P 7,59% 70% P 3,5% R 8,98% 3,59% r 5,65% 0,00% 70% R P 6,65% 30% P,08% De la misma maera, si se aplica las relacioes ateriores al activo iaciero (R =8,98%, =3,59%), cosiderado ua iversió de 30% del moto a esta acció ( =30%) y el saldo e u T-Bill a tres meses (r =5,65%, =0%), se obtedrá u portaolio co retoro medio de (R P ) 6,65% y ua desviació respecto al mismo ( P ) de,08%. 5

7 Si se asiga porcetajes cosecutivos del moto de iversió a la acció, se obtedrá ua líea de portaolios coormados por la acció y el T-Bill. Si, igualmete, se hace variar el porcetaje del moto de iversió asigado a la acció, se obtedrá ua líea de portaolios coormados por la acció y el T-Bill. Los resultados de ambos grupos de portaolios se ha graicado e la igura de la derecha. Bajo el supuesto que la iversió e la acció y la iversió e la acció so excluyetes y que cada uo de estos activos puede coormar portaolios Diagrama de Retabilidad y Riesgo co el activo libre de riesgo, de los 6,0% resultados se puede cocluir que co 4,0% la acció es posible costruir,0% RP portaolios superiores a los costruidos 0,0% co la acció. Esto, porque e 8,0% RP cualquier puto, a u mismo ivel de 6,0% retabilidad media, los portaolios 4,0% costruidos co la acció orece u riesgo meor al orecido por la,0% 0,0% acció ; e igualmete, a u mismo Desv. Std - Riesgo riesgo (igual desviació), los portaolios costruidos co la acció orece mayor retabilidad. Retoro Medio - Retabilidad 0,0%,0% 4,0% 6,0% 8,0% 0,0%,0% 4,0% 6,0% La costrucció de líeas de portaolios es importate, ya que éstas determiará, posteriormete, el redimieto del mercado. Obsérvese que teiedo como puto de pívot la tasa libre de riesgo, cuato más pediete tega la líea, mayor será el balace etre retabilidad y riesgo que orezca esos portaolios rete a aquellos cuya líea presete meor pediete. III. Portaolios coormados por dos accioes co riesgo egocio Como se explicó e la secció aterior, u portaolio se coorma asigado porcetajes diversos del moto de iversió a determiados activos iacieros. E el ejemplo que sigue, y dado que se cosidera sólo dos activos, se asiga u porcetaje de la iversió a la acció () y el restate porcetaje a la acció (). El portaolio resultate, al igual que las accioes idividuales, será idetiicado por el retoro medio y la desviació respecto al mismo, o riesgo asociado. Para iiciar el aálisis, recuérdese que el retoro medio de u portaolio de dos accioes es igual al promedio poderado de los retoros idividuales de los activos iacieros que lo coorma. Si se ivierte el 30% de u capital e la acció ( =30%), cuyo retoro medio es de,% (R ), y el saldo ( =70%) e la 30% R,% 70% R 8;98% RP 9,9% R P = R+ acció, que preseta u retoro medio de 8,98% (R ), se obtedrá u retoro medio del portaolio de 9,9%. La iversió e el portaolio origia ua ueva desviació respecto al retoro medio de dicho portaolio, la que se calcula co la relació mostrada e el cuadro adjuto. Obsérvese que el riesgo asociado al retoro del portaolio ( p ) depede de la desviació respecto al P = + + retoro de cada acció y de la covariaza etre las dos accioes. Este estadígrao resulta de eorme importacia para la coormació de portaolios, como se explicó ateriormete, ya que segú el valor resultate cov( r, r ) = = ρ se podrá obteer portaolios co u mejor balace etre retabilidad y riesgo. E el caso de úicamete dos accioes, se R ρ 6

8 puede observar que si la covariaza es egativa esto es, si las accioes varía e orma iversa el portaolio resultará co ua meor variaza y desviació respecto a las variazas o desviacioes idividuales. Como se observa e la órmula, la covariaza depede de la correlació etre los redimietos de las dos accioes. E el ejemplo, el ídice de correlació (ρ ) etre el redimieto de la acció y el redimieto de la acció es de 7,3%. Si el ídice de correlació resultara egativo lo que sigiica que las accioes covaría e orma iversa, se estaría cumpliedo co el pricipio de la costrucció de portaolios: admiistrar el riesgo. E meor medida auque tambié es importate, la desviació del portaolio depede de la desviació idividual de las accioes y de la magitud de la iversió e cada ua de ellas. Cosiderado el mismo ejemplo, si se asiga 30% ( ) del moto de iversió a la acció, que tiee ua desviació respecto al retoro medio del 0,49% ( ), y 70% ( ) del moto de iversió a la acció, que tiee ua desviació 30% 70% 0,49% 3,59% respecto al retoro medio del 3,59% ( ), y, además, las accioes covaría egativamete co u ídice de correlació del 7,3% (ρ ), etoces, el resultado de la aplicació es ua desviació respecto al retoro del portaolio equivalete a,9% ( P ). ρ -7,3% P,9% Como se señaló ateriormete, la desviació del redimieto del portaolio resulta ser meor que las desviacioes de los redimietos idividuales de cada acció. Se puede cocluir que, respecto a la acció, el retoro del portaolio ha descedido (de,% a 9,9%); si embargo, el riesgo asociado ha bajado sigiicativamete (de 0,49% a,9%). E el caso de la acció, los resultados so icluso más halagüeños, el retoro del portaolio se ha icremetado (de 8,98% a 9,9%) y el riesgo asociado ha dismiuido (de 3,59% a,9%). Estos resultados muestra que u iversioista podría diversiicar riesgo si costruye portaolios cuya covariaza le permita reducir la desviació respecto al redimieto medio del portaolio. Si se asiga porcetajes cosecutivos de iversió a la acció ( ) y, por lo tato, tambié a la acció ( ), se obtedrá u cojuto de portaolios que puede ser idetiicados por su redimieto medio (R P ) y por su riesgo asociado ( P ). Los resultados puede observarse e el cuadro adjuto, dode los porcetajes de iversió varía desde 0% hasta 0% y co ellos se determia los valores de, el R P y la P A 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0%... 95,0% 00,0% 05,0% 0,0% 5,0% 0,0% B 00,0% 95,0% 90,0% 85,0% 80,0% 75,0%... 5,0% 0,0% -5,0% -0,0% -5,0% -0,0% RP 8,98% 9,4% 9,9% 9,45% 9,6% 9,77%...,96%,%,8%,43%,59%,75% P 3,59% 3,06%,58%,0%,99%,98%... 9,84% 0,49%,5%,8%,46% 3,% Obsérvese que icluso puede tomar valores superiores a 00%, lo que sigiica que se está tomado ua posició short e la acció, es decir, el iversioista se ha prestado títulos de la acció y los ha vedido e el mercado. Después que liquide su posició tedrá que devolverlos al precio que rija al mometo de la liquidació; de ahí los valores egativos e. E el cuadro se observa que el retoro del portaolio se icremeta a partir de 8,98%, que correspode al retoro de la acció (R ) cuado =0% y =00%, llega a,%, que correspode a la acció (R ) cuado =00% y =0%, y luego se icremeta por ecima de este valor detro de la posició short e la acció. 7

9 Por su parte, el riesgo asociado o la desviació respecto al retoro medio ( P ) empieza e u valor de 3,59% cuado el 00% de la iversió se destia al activo, se va reduciedo coorme la iversió se traslada hacia la acció, pero sólo hasta el ivel de,98%, cuado =5%, luego se va icremetado y se observa que e la zoa de posició short e la acció se icremeta e paralelo al redimieto del portaolio. El siguiete gráico muestra los itercambios etre retabilidad y riesgo. La desviació ( P ) ocupa el eje de las X; y el redimieto del portaolio (R P ), el eje de las Y. Cada puto correspode a ua posició de iversió co determiados y. Si se ue los DIAGRAMA DE RENTABILIDAD Y RIESGO DE PORTAFOLIOS 3% Redimieto Medio del Portaolio (Rp) % % 0% 9% 8% 7% 6% "Frotera Eiciete" 5% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % Desviació(p) sobre Rp o Riesgo Asociado valores del cuadro y la represetació gráica, se podrá observar que el puto ierior correspode a u =0% y u =00%, mietras el puto extremo superior correspode a u =0% y a u = 0% (posició short e la acció ). Puede percibirse que los portaolios ubicados e la parte superior del gráico preseta u balace etre retabilidad y riesgo superior al balace de los portaolios ubicados e la parte ierior. A cualquier posició de desviació similar, los portaolios de la parte superior muestra ua retabilidad mayor. Por esta razó, esta parte superior se deomia rotera eiciete. 8

10 IV. Determiació del puto tagete (T) o retoro de mercado E la rotera eiciete se ecuetra distitos portaolios cuyos balaces etre retabilidad y riesgo o so posibles de discrimiar como superiores o ieriores. Se puede decir, e ua primera aproximació, que ello depederá de la aversió al riesgo del iversioista. Si embargo, tal como se explicó e la secció aterior, es posible costruir portaolios co accioes y u activo libre de riesgo y coormar co ellos ua líea de portaolio. Así, se puede elaborar u gráico que cotega la rotera eiciete señalada, los portaolios ormados por cada acció idividual y por u activo libre de riesgo y agregar a ello otros dos portaolios: uo superior a los ateriores, coormado por el portaolio X (ver gráico) y por u activo libre de riesgo, y uo que a su vez es superior al aterior, que resulta ser tagete a la rotera eiciete (puto T). 6.00% Diagrama de Retabilidad y Riesgo 4.00% RML X Retoro Medio - Retabilidad.00% 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% T RP RP Frotera Eiciete 0.00% 0.00%.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 8.00% 9.00% 0.00%.00%.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% Desv. Std - Riesgo Como es posible deducir, se ha logrado la líea co mayor pediete y o es posible teer ua líea superior. A esta líea que resulta ser la combiació del portaolio de accioes e el puto T y el activo libre de riesgo se le deomia líea de mercado. Etoces, la preocupació será determiar ese puto T, al que tambié se deomia retoro de mercado, porque represeta la iversió más eiciete que el mercado puede seleccioar realizado u balace etre retabilidad y riesgo. El puto T podrá ser determiado si se halla el porcetaje de capital que deberá ivertirse e la acció ( ) y aquél que deberá ivertirse e la acció ( ). Ua vez determiados estos porcetajes que deie el puto T, se podrá determiar el retoro (R T ) y la desviació o riesgo asociado ( T ) del puto T. El retoro del puto T es el retoro del mercado (R M ). 9

11 El problema es, etoces, matemático. Utilizado las propiedades estadísticas se puede deducir que se puede hallar los porcetajes de iversió e la accioes y ( y ) aplicado las relacioes mostradas e el cuadro adjuto. Allí se expresa dos ecuacioes co dos icógitas, y. Dode: es la covariaza de la acció respecto así misma; e térmios prácticos, la variaza de la acció,. Este tipo de expresió será importate cuado se geeralice las órmulas. Dode : Se puede exp resar : ρ = ρ = ρ = = ρ ρ + = R = R = = r R R r = = r r es la covariaza de la acció respecto a la iversió ó viceversa, que tambié será igual a, y ambas expresioes será iguales a ρ, que resulta ser la órmula de la covariaza. es la covariaza de la acció respecto así misma o la variaza de la acció,. R y R, so los retoros medios de la acció y la acció, respectivamete; y r es el retoro del activo libre de riesgo. Todos los datos, variazas o desviacioes al cuadrado, ídice de correlació y retoros ya se cooce, pues correspode al ejemplo iicialmete utilizado. Por lo tato, se puede resolver la ecuació de dos icógitas. Resueltas las ecuacioes, el valor de es igual a 5,7 y el de es igual a 80,. Para ecotrar las participacioes relativas de la iversió e cada ua de R,% 0,49% R 8,98% 3,59% R 5,65% Corr -7,3% las accioes se eectúa u cambio de escala. Se totaliza los y provisioales y se ecuetra la participació relativa dividiedo cada valor etre el total. Así, resulta que el puto = 80, 75,70% = 5,7 4,30% 05,8 T está determiado por ua iversió e la acció de 4,30% del moto total ( ) y ua iversió e la acció de 75,70% del moto total ( ). RT 9,74% T,97% Reemplazado e la órmula los valores de y, determiados ateriormete, se halla el retoro del portaolio T, que es R T =9,74%, y su riesgo asociado, que es T =,97%. Se puede decir que el retoro de este mercado de dos accioes es de R M =9,74%. Como puede observarse, la desviació del portaolio T resulta meor que las desviacioes idividuales de cada acció. Respecto a la acció, el retoro del portaolio ha descedido (de,% a 9,74%), pero el riesgo asociado ha bajado sigiicativamete (de 0,49% a,97%). E el caso de la acció, los resultados so mejores, el retoro del portaolio se ha icremetado (de 8,98% a 9,74%) y el riesgo asociado ha dismiuido (de 3,59% a,97%). Estos resultados muestra que el iversioista o tedrá mejor alterativa de diversiicació de riesgo, ya que este portaolio es el que orece mejor balace etre retabilidad y riesgo. Respecto a la acció, o hay duda que se geeró u portaolio superior. Si embargo, tambié es posible estar claramete e ua posició superior respecto a la acció. Co el portaolio del puto T es posible, ahora, geerar u uevo grupo de portaolios que combie este portaolio (R T y T ) co el activo libre de riesgo. 0

12 Así, utilizado las relacioes ateriormete aalizadas y deducidas se puede hallar el retoro para el cojuto de combiacioes de iversió e el portaolio T ( ) y e el activo libre de riesgo ( ). De la misma LM = T R LM = RT + maera, se puede calcular el riesgo asociado a estos uevos portaolios co la relació que se preseta a la izquierda. Nótese que la desviació del portaolio es ua ució lieal de la desviació del portaolio T ( T ). El resultado será la líea de mercado. E el gráico se observa esta líea e ua posició tagete a la rotera eiciete e el puto T. r PUNTO DE TANGENCIA Y RETORNO DE MERCADO 7% Redimieto Medio del Portaolio (Rp) 5% 3% % 9% 7% T 5% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % Desviació sobre Rp o Riesgo Asociado E el gráico aterior se puede otar ua relació importate. Los putos que coorma la líea de mercado costituye portaolios superiores a los que orma la rotera eiciete. Y es que a u mismo ivel de riesgo, siempre será posible ecotrar u portaolio costituido por el portaolio del puto T y el activo libre de riesgo que orezca mayor retabilidad que el portaolio correspodiete e la rotera eiciete. Si bie este portaolio de la rotera eiciete es susceptible de ser combiado co el activo libre de riesgo, o será posible lograr mayor pediete que la establecida por el portaolio del puto T. E ese setido, la líea de mercado siempre costituirá el cojuto de portaolios de mejor balace etre retabilidad y riesgo. E cosecuecia, el portaolio del puto T será superior si duda a la acció idividual y a cualquier otra combiació o acció idividual e este mercado de dos accioes.

13 V. Coloó - Este documeto permite itroducir los coceptos de ormació de portaolios sustetados e el modelo CAPM. - Icorpora la importacia de los estadígraos de retabilidad retoros medios o esperados y riesgo desviació sobre el retoro medio, pero revela la importacia del estadígrao de covariabilidad etre los retoros idividuales de las accioes. Es justamete la orma o valor que adquiera la covariaza lo que permite coormar portaolios superiores a las accioes idividuales. - Se ha aalizado la orma como se costruye portaolios de accioes co riesgo egocio y el activo libre de riesgo para advertir la ormació de líeas de portaolios y la importacia de la pediete de estas líeas. Se pudo observar que etre accioes cosideradas idividualmete o se puede determiar cuál es superior, pero sí es posible hacerlo a través de las líeas de portaolio. - Se ha aalizado la coormació de portaolios de accioes o activos co riesgo egocio y se ha logrado establecer distitas combiacioes de portaolios. Se pudo observar que ha sido posible deliear la rotera eiciete, aquella combiació o portaolio de accioes que resulta superior por mejor balace etre retabilidad y riesgo. - Ua vez determiada la rotera eiciete, es diícil precisar cuál de los portaolios es el más eiciete, porque etre u y otro existe premios o castigos de retabilidad y riesgo. Si embargo, si cada uo de esos portaolios se combia co el activo libre de riesgo es posible determiar el portaolio más eiciete, que resulta ser el puto T o el portaolio dode la líea de portaolios etre portaolios de la rotera eiciete y el activo libre de riesgo es tagete a la rotera eiciete. - La combiació de este portaolio del puto T y el activo libre de riesgo costituye la líea de mercado, que es el cojuto de portaolios de mejor combiació de retabilidad y riesgo que es posible coormar e este mudo de dos accioes.

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir,

Más detalles

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables :

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables : 1 1. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 1.- Calcular los itereses producidos por u capital de 1800 colocado 10 días al 7% de iterés aual simple. a) Cosiderado el año civil. b) Cosiderado el año comercial.

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo

Más detalles

Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878 La medida del riesgo de los bonos

Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878 La medida del riesgo de los bonos Jua Mascareñas Uiversidad Complutese de Madrid Versió iicial: mayo 99 - Última versió: oviembre 06 - Teoremas de la valoració de los boos, - El cocepto de duració, 6 - La duració modificada como ua medida

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTIAS FINANIERAS Secció: 1 Profesores: ristiá Bargsted Adrés Kettlu oteido Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs Iterés ompuesto Valor Presete y Valor Futuro Plaificació estratégica Matemáticas

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS Esperaza Mateos, Aa Elías, Gabriel Ibarra Uiversidad del País Vasco iapmasae@lg.ehu.es Resume Ua de las asigaturas

Más detalles

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math.

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math. Matemáticas Fiacieras Material recopilado por El Prof. Erique Mateus Nieves Fiacial math. 2.10 DESCUENO El descueto es ua operació de crédito que se realiza ormalmete e el sector bacario, y cosiste e que

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD MCAL103/03 LIBRO: PARTE: TÍTULO: CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD 1. CONTROL DE CALIDAD 03. Aálisis Estadísticos de Cotrol de Calidad A. CONTENIDO Este Maual cotiee los procedimietos para aalizar,

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I)

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) Tema 6- Parte 1 1 EL MÉTODO de la TASA de DESCUENTO AJUSTADA al RIESGO : a = k + p E presecia de iflació a = k + p ( 1 + a ) = ( 1 + a )(

Más detalles

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) *

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) * Valoració de permutas fiacieras de itereses (IRS) * JOSÉ E. ROMERO FERNÁNDEZ Agecia Estatal de Admiistració Tributaria SUMARIO 1. INTRODUCCIÓN. 2. INSTRUMENTOS FINANCIEROS DERIVADOS. 3. LOS MERCADOS. 4.

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública Uidad Cetral del Valle del Cauca acultad de Ciecias Admiistrativas, Ecoómicas y Cotables Programa de Cotaduría Pública Curso de Matemáticas iacieras Profesor: Javier Herado Ossa Ossa Ejercicios resueltos

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA 1. LA FUNCIÓN FINANCIERA DE LA EMPRESA La empresa, tato para iiciar su actividad como para realizarla co eficiecia, ecesita recursos fiacieros. Para su fucioamieto, la

Más detalles

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 1.- Qué es ua fuete fiaciera?.- Cuál es la diferecia etre los fodos propios y los fodos ajeos? La forma de obteer recursos fiacieros la empresa para llevar a cabo sus iversioes.

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.-.3 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Tema 7. Fondos de Inversión Mobiliaria

Tema 7. Fondos de Inversión Mobiliaria ema 7 Fodos de Iversió Mobiliaria 1. La iversió colectiva El iterés por utilizar las istitucioes de iversió colectiva se basa e la fucioalidad que proporcioa a pequeños y mediaos aorradores de acudir a

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetición

Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetición Ejercicios Tema 4. Estructuras de Repetició 1. Calcular el factorial de u úmero etero itroducido por teclado. 2. Calcular de la suma y la media aritmética de N úmeros reales. Solicitar el valor de N al

Más detalles

Tomado del libro Evaluación Financiera de Proyectos de Jhonny de Jesús Meza Orozco Editorial WAKUSARI Bogotá, Año 2004

Tomado del libro Evaluación Financiera de Proyectos de Jhonny de Jesús Meza Orozco Editorial WAKUSARI Bogotá, Año 2004 SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA CENTRO AGROPECUARIO EL PORVENIR MÓDULO FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS PRODUCTIVOS TALLER 4 TEMA: Evaluació de proyectos de iversió OBJETIVO: Determiar la retabilidad

Más detalles

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES La serie estadística de Ídice de Precios al por Mayor se iició e 1966, utilizado e

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES Mercedes Ferádez mercedes@upucomillas.es CONTENIDO El valor temporal del diero. Selecció de iversioes CONTENIDO El valor temporal del

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

4) Calcular el plazo necesario para obtener 20.000 a partir de una inversión

4) Calcular el plazo necesario para obtener 20.000 a partir de una inversión ) alcular el motate o capital fial obteido al ivertir u capital de. al 8% de iterés aual simple durate 8 años.. 8 o i. 8,8 ( i ) 8.( 8,8) ) alcular el capital iicial ecesario para obteer u capital de.

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

Probabilidad con técnicas de conteo

Probabilidad con técnicas de conteo UNIA 3 Probabilidad co técicas de coteo Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: distiguirá y utilizará las reglas de multiplicació y de suma para el cálculo de la catidad de arreglos co y si orde explicará

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios. ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de

Más detalles

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

Los sistemas operativos en red

Los sistemas operativos en red 1 Los sistemas operativos e red Objetivos del capítulo Coocer lo que es u sistema operativo de red. Ver los dos grupos e que se divide los sistemas oeprativos e red. Distiguir los compoetes de la arquitectura

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua.

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua. Septiembre 0. Preguta B.- Se tiee u prisma rectagular de vidrio de ídice de refracció,4. Del cetro de su cara A se emite u rayo que forma u águlo a co el eje vertical del prisma, como muestra la figura.

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos)

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B).

Más detalles

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas Sistemas Automáticos. Ig. Orgaizació Cov. Juio 05. Tiempo: 3,5 horas NOTA: Todas las respuestas debe ser debidamete justificadas. Problema (5%) Ua empresa del sector cerámico dispoe de u horo de cocció

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos.

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos. Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes

Más detalles

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci debe su ombre a Leoardo de Pisa (.70-.40), más coocido por Fiboacci (hijo de Boaccio). A pesar

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles