Selección de portafolios de mínima varianza cuando están expuestos a diversos factores de riesgo: nota técnica

Transcripción

1 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca 7 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca Fracsco López Herrera Ivestgador de la Dvsó de Ivestgacó de la Facultad de Cotaduría y Adstracó, UNAM Resue Dada la aparete auseca de ua solucó explícta para la seleccó de portafolos óptos co actvos resgosos cuado el proceso geerador de datos (PGD) de los redetos obedece a ua relacó leal co últples factores, e esta ota se preseta ua propuesta de solucó. Se uestra que bajo los supuestos de u odelo ultfactoral es posble recurrr a la teoría clásca de optzacó para deterar la cobacó ópta de actvos para reducr el resgo de u portafolo y adstrar su exposcó a la flueca de los factores causales de resgo ssteátco. El étodo de optzacó se basa e la dervacó de la frotera efcete que se preseta e Merto (97) y es cosstete co los odelos ultfactorales teórcos, coo el APT de Ross (976) u otros epírcos, sepre y cuado supoga que el PGD obedece a ua estructura leal ultvarada. Se preseta tabé u ejeplo pequeño de la aplcacó de esta propuesta a la foracó de u portafolos que za el resgo bajo etas del vel de su exposcó a los factores de resgo. I. Itroduccó Dada la aparete auseca e la lteratura especalzada de ua solucó explícta, e el presete trabajo presetaos la propuesta que heos elaborado para deterar la cobacó ópta de u portafolo de actvos resgosos expuestos a dferetes fuetes de resgo o dversfcable, es decr, el resgo ssteátco tal coo lo captura u odelo ultfactoral. La hstora de los odelos ultfactorales tee ya alguas décadas y es u teto de superar la probleátca epírca del odelo CAPM de Sharpe (96, 964), Lter (965) y Moss (966), cuya explcacó del resgo ssteátco cosdera úcaete al resgo del ercado coo causal úca y la uy coocda beta detera el redeto esperado del actvo, sedo etoces el redeto de los actvos resultado de la pra que debe recbr dada su relacó co el factor que orga el resgo ssteátco, es decr, la volatldad del actvo respecto de la volatldad del ercado. Coo es be sabdo, la cosderacó ateror tabé está presete e la versó beta-cero de lack (97). Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

2 8 Fracsco López Herrera E geeral, los odelos ultfactorales o ultídces se dfereca del CAPM, sea e su fora básca o e la versó de lack, por cosderar que los redetos o obedece sólo a u factor de ercado, so que respode a la flueca de dversos factores ecoócos o de grupo estructural (dustra). Etre los trabajos poeros sobre el tea se ecuetra dscutbleete la teoría de Ross (976) y el trabajo de Merto (97) que do lugar al aplaete coocdo Iterteporal Captal Asset Prcg Model (ICAPM). Actualete exste ua dversdad de odelos que cluye u cojuto de factores para explcar el resgo ssteátco coo efecto de la flueca sultáea de dchos factores auque, quzá desafortuadaete, la ayor parte de estos odelos es de carácter epírco y o sepre co u fuerte fudaeto teórco. Ua preguta teresate sobre la utldad práctca de u odelo ultfactoral es el cuestoaeto sobre cóo puede ser útl para que u versosta o u adstrador de versoes toe decsoes óptas, partcularete s se cosdera coo terés prordal reducr el resgo y cotrolar los efectos de los factores causales. E Sharpe (970, 000) se preseta la solucó para la seleccó de portafolos óptos cuado los redetos de los actvos obedece a u proceso geerador de datos que es leal y cotee dversos factores de resgo. La solucó de Sharpe optza el portafolo para u versosta adverso al resgo cuya fucó de utldad es cuadrátca, cosstete co la teoría de eda y varaza de Markotz (95, 959) y Tob (958). Desafortuadaete esa fucó de utldad cuadrátca cueta co todas las característcas o deseables del supuesto de crecete aversó al resgo, plícto e dcha fucó. La fucó de utldad cuadrátca plca que cofore aueta el vel de rqueza del versosta, éste se setrá eos atraído a vertr e actvos resgosos. Hasta el oeto, e la revsó de la bblografía respectva, o se ha ecotrado ua solucó explícta seejate a la de Sharpe para optzar u portafolo e fucó del resgo e el caso e el que las preferecas del versosta esté descrtas por ua fucó de utldad que o sea la cuadrátca o, ejor aú, que sea lbre de preferecas. Por lo ateror, co base e la solucó de Sharpe, heos elaborado, y se preseta e este artículo, ua propuesta de solucó para u caso ás geeral cosderado úcaete que el versosta prefere eos resgo s establecer supuestos adcoales sobre la fora partcular de su fucó de utldad. Nosotros propoeos que se puede optzar el portafolos para u versosta cuyo terés fudaetal es úcaete reducr el resgo de su portafolo, dado u vel de exposcó a la flueca de los factores que explca su coportaeto, recurredo spleete a las téccas dervadas de la teoría clásca de la optzacó, coo lo deuestra Merto (97) para el caso de la dervacó de la frotera efcete e el espaco de eda y varaza. Asso, propoeos que se puede aplcar el étodo de optzacó clásca que se preseta e este trabajo al caso de que la dstrbucó probablístca de los redetos de los actvos sea estable, gaussaa o de cualquer otro tpo que cupla las codcoes de establdad y que pueda ser descrta de aera sufcete por su eda y su varaza. Por otra parte, o asuos coprosos co gua teoría de equlbro del ercado de actvos faceros, por ede, sobre cuál es el ejor odelo para la valoracó de dchos actvos y cóo se fja sus precos. Es decr, o se propoe que la Teoría de Ross (976) u otra dferete sea válda, pero Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

3 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca 9 s el PGD puede explcarse edate u proceso leal ultvarado es aplcable la propuesta de que se puede optzar u portafolos para algue adverso al resgo al so tepo que se cotrola la exposcó del portafolo a los factores de resgo ssteátco recurredo a ua adaptacó de la técca ostrada por Merto (97) para deterar la frotera efcete de portafolos e el setdo de Markotz. E la seccó sguete de este docueto se preseta la estructura foral del odelo ultfactoral de carácter geeral objeto de la optzacó. La seccó III descrbe los detalles del proceso de optzacó edate la adaptacó de la dervacó de Merto y e la seccó IV se ofrece u ejeplo uérco de escala pequeña para ostrar la operacoalzacó del proceso de optzacó. Por últo, e la seccó V se preseta alguas cosderacoes de carácter geeral. II. Modelo de factores últples Supógase que para todo oeto e el tepo los redetos de los actvos co resgo (accoes, por ejeplo) obedece al PGD deterado por la flueca de dversos factores co la sguete estructura leal: R = a + b F + b F +...+b F + e, () =,,..., dode: R = redeto del actvo, a = redeto esperado del actvo, o correlacoado co los factores de resgo, b = sesbldad del actvo a la realzacó del factor, F = realzacó del factor, e = redeto aleatoro del actvo, o correlacoado co los factores de resgo. Por defcó se tee que: ) Var( e ) = e, =,,..., ; ) Var( F ) =, =,,...,. F Por los supuestos del odelo se tee tabé que: ) E( e ) = 0, ; v) E e F E F = 0,, [ ( ( ))]. Cabe aclarar aquí que el supuesto de lealdad de la fucó faclta eoreete la obtecó de ua solucó exacta, a dfereca de las fucoes o leales que o sepre tee ua solucó exacta so que requere de la aplcacó de étodos uércos para obteer solucoes aproxadas. S ebargo, el supuesto de lealdad se refere úcaete a los paráetros de la fucó y, por lo tato, sepre y cuado se pueda preservar la lealdad de los paráetros, varas fucoes o leales se puede resolver de aera seejate auque las varables depedetes o sea ecesaraete leales, s se puede covertr e leales edate algua trasforacó oótoa. Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

4 0 Fracsco López Herrera S los redetos de los actvos se relacoa úca y exclusvaete por los factores de resgo, es decr, s estos factores so úcaete, y o otros, los que produce el oveto cojuto e los precos de los actvos, y de ahí e sus redetos, tato el redeto esperado depedete, a, coo el redeto aleatoro, e, tabé depedete, so abos redetos úcos para cada actvo y etoces el redeto aleatoro correspode al resgo tabé úco (o ssteátco) de cada actvo sedo depedetes etre sí etre cada epresa, por lo que se puede platear coo hpótess: v) E( e, e ) = 0,, j, j. j Adcoalete, s el odelo se restrge a que los factores de resgo o esté correlacoados etre sí, se puede agregar tabé la hpótess: [( F E( F ))( F E( F ))] = 0, k, l, k. v) E l k k l l Etoces, debdo a ), al toar los valores esperados de abos ebros de () se tee que el redeto esperado del actvo es: E(R ) = a + b E(F ) + b E(F ) +...+b E(F ), () es decr, el redeto esperado para el versosta es fucó del redeto autóoo y los redetos que debe obteer dado el vel de exposcó del actvo a las fuetes causales de resgo. La varaza de los redetos del actvo, por ), ), v), y v), se reduce a: R Ζ b F Ηb F ΗL Ηb F Η e. () Por su parte la covaraza etre los redetos de los actvos y j, e vrtud de v), v) y v), resulta ser: j = b b + b b + L + b j F j F j F b. (4) S be es certo que este supuesto o parece del todo plausble, por ejeplo, cuado los factores so de carácter acroecoóco puede supoerse uy razoableete que exsta u alto grado de correlacó etre ellos, es tabé uy certo que dcho supuesto o represeta ayor problea desde el puto de vsta práctco, pues exste étodos relatvaete sples para obteer factores o correlacoados. Para los detalles téccos puede cosultarse a Elto y Gruber (995) y Sharpe (970, 000). E auseca de la flueca de los factores de resgo, este copoete puede terpretarse coo la tasa lbre de resgo. Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

5 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca Ahora be, puesto que para u portafolo el redeto esperado, E(R p ), está dado por: E ( RP ) = = E( R ), dode = proporcó del portafolo vertda e el actvo, bajo la estructura leal ultfactoral se tee que E ( RP ) = [ a + b E( F ) + L+ b E( F )] = = = a + = b E( F ) + L + = b E( F ); (5) es decr, el redeto esperado del portafolos es u proedo de los redetos autóoos de los actvos ás los redetos proedo atrbubles a la flueca de los factores dadas las exposcoes de los actvos a dchos factores. Estos proedos so poderados y los pesos de poderacó está dados por la proporcó del portafolo vertda e cada uo de los actvos. Para el caso geeral ultfactoral, esté o o correlacoados los factores, la varaza del portafolos está dada por: dode: Pk Pl kl e = = = = b b k l P = + Pk Pl kl k = l= = = beta del portafolorespectodel factor k, = beta del portafolorespecto del factorl, e, (6) = cov araza de los factoresk y l = varaza de los errores del actvo que puede obteersede ua regresó. S se supoe que prevalece v), teeos coo resultado que: Pk Pl kl = 0, k l, (7) Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

6 Fracsco López Herrera y, coo puede aprecarse, el úero de téros cotedos e la doble suatora del prer téro del ebro derecho de (6) se reduce cosderableete pues se ela las covarazas etre los factores y peraece sólo las varazas de cada factor, lo que resulta suaete vetajoso para efectos de cálculo. 4 Ua vez que se ha foralzado la estructura geeral de u odelo ultfactoral y se ha eucado los prcpales resultados de los supuestos que se ha postulado, procedereos a presetar e la seccó sguete el procedeto para optzar el portafolos dada la flueca de dversos factores de resgo. III. Proceso de optzacó Supoedo que exste actvos resgosos, etre los cuales se puede seleccoar y que los redetos de estos actvos obedece a u proceso coo el que se descrbó e la seccó preva, el problea de seleccó del portafolo cuado se desea forar el portafolo de ío resgo al so tepo que se cotrola los veles de exposcó de los actvos a los dversos factores de resgo se puede platear coo: P = + Pk Pl kl k = l= = e (8) sujeta a: P M P = = M = Las preras restrccoes correspode a los veles deseados de exposcó del portafolo a los factores de resgo y la últa restrccó correspode a la restrccó presupuestal que plca dstrbur totalete el presupuesto de vertr etre los actvos resgosos. Coo es be sabdo, este problea cuadrátco co restrccoes leales (expresadas e téros de las varables de decsó segú (6)), puede resolverse edate el étodo de ultplcadores de Lagrage, por lo que la fucó objetvo, (8), se coverte e: P M, P =., 4 Ésta es ua de las vetajas de cotar co factores o correlacoados (ortogoales). La otra es que la ortogoaldad garatza que gú factor es ua cobacó leal de otros y que, por tato, al o exstr tal asocacó leal o ultcolealdad, se puede obteer estacoes o sesgadas y cosstetes de los paráetros edate los étodos tradcoales, coo el de regresó ío cuadrátca. Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

7 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca { } + λ ( ) + + λ ( ) + γ( = = = ) + L = P P P P λ λ γ k l Pk Pl kl e L = (9),,, que para proporcoar u valor ópto (ío) de la fucó tee coo codcoes de prer orde (c.p.o.): 5 = = L = = 0 (0) λ λ γ Al dervar parcalete y ordeado adecuadaete se obtee: λ λ = = ( b + L+ b + ) + L+ ( b b + L+ b b ) = γ ( b b + L + b b ) + L + ( b + L + b + ) = b = b b b L L b e L b + P + = 0 LLLLLLLLLLLLLLLLL P = 0 + = 0 () e λ b λ b L λ b LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L λ b que perte forar u sstea de ecuacoes leales cuyas cógtas so, =,,...,, λ, =,,...,M, y γ, que, por lo tato, puede resolverse por cualquera de los étodos estádar que se ha dseñado para tal efecto. IV. Ejeplo uérco Supógase que sólo dos factores, co varazas de.7 y.89 respectvaete, detera el redeto 5 Debdo a que la varaza es u úero sepre postvo, las c.p.o. so codcoes ecesaras y sufcetes para garatzar que se tee u ío al resolver el problea de optzacó. Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

8 4 Fracsco López Herrera de los actvos y que se desea forar u portafolo co tres accoes cuyas sesbldades al factor se ha deterado coo.95,. y.7, e tato que su sesbldad al factor dos es de.4,.75 y.65. Supógase tabé que se ha estado las varazas de los redetos aleatoros (por ejeplo, la varaza de la sua de cuadrados de los errores e ua regresó) y que ellas so.5,. y., respectvaete. Por últo, cosdérese que se desea u portafolos co sesbldad utara al factor y cuya sesbldad al factor sea de.85. Para deterar la dstrbucó de la versó e este portafolo que tega el ío resgo posble (eddo por la varaza del portafolo) y que satsfaga las etas e cuato a los veles de exposcó, bastaría spleete cosderar que las ecuacoes que resulta de cuplr las c.p.o. () fora el sguete sstea de ecuacoes leales: [.95 (.7) +.4 (.89) +.5] + [.95(.)(.7) +.4(.75)(.89)] + [.95(.7)(.7) +.4(.65)(.89)].95λ [.95(.)(.7) +.4(.75)(.89)] +. (.7) +.75 (.89).λ.4λ.75λ [ +.] +.(.7)(.7) +.75(.65)(.89) [.95(.7)(.7) +.4(.65)(.89)] + [.(.7)(.7) +.75(.65)(.89)] +.7 (.7).65λ = = 0 + = 0 [ ] [ ].7λ que al resolverse sultáeaete por cualquera de los étodos algebracos dspobles tee coo solucó = 0., = 0.5, = 0., que so las proporcoes a vertr e los actvos resgosos respectvos. Los valores de λ =0.4655, λ =0.095 y γ =0.7559, que fora tabé parte de la solucó, correspode a los precos sobra, es decr, al cabo esperado e la fucó objetvo ate u aueto utaro e la restrccó correspodete. V. Cosderacoes fales Auque aquí se ha ostrado úcaete el caso de u problea sólo co restrccoes para satsfacer las etas de exposcó a los resgos ssteátcos y el requsto presupuestal de versó, o represeta ayor dfcultad el clur otras restrccoes, coo pudera ser u redeto eta para el portafolo o u objetvo de dvdedos a obteer, por ejeplo, pues lo úco que se tedría sería u ayor úero de ecuacoes e cógtas (respectvaete ua por cada restrccó adcoal). Por lo tato, es posble deterar todos los portafolos que se ecuetra sobre la frotera efcete del espaco eda-varaza Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00

9 Seleccó de portafolos de ía varaza cuado está expuestos a dversos factores de resgo: ota técca 5 o, s se prefere, e el espaco eda-desvacó estádar, pues las proporcoes a vertr que hace ópta la cobacó de actvos es la sa e cualquera de los dos espacos. El caso e el cual exste la restrccó de las vetas e corto (o egatvdad e las proporcoes) tabé puede resolverse edate el esquea propuesto, auque para ello se requere adcoalete el cupleto de las codcoes de Kuh-Tucker para obteer valores óptos. Para uestra buea fortua, la dspobldad de rutas adecuadas e paquetes de cóputo de aplcacó geeral, coo la hoja de cálculo Excel, perte resolver u problea de pequeña escala de aera relatvaete fácl; para probleas de ayor desó exste coo recursos paquetes especalzados coo Matlab o Mathcad, etre otros. Adeás, el étodo que se ha presetado e estas págas se puede aplcar tabé e el caso de la optzacó del portafolo e codcoes e que se sostee el teorea de separacó, o teorea de u fodo, propuesto por Tob (958) cuado exste u actvo s resgo. Referecas LACK, Fsher: 97, Captal arket equlbru th restrcted borrog, Joural of usess, 45, ELTON, Ed J. y GRUER Mart J.: 995, Moder Portfolo Theory ad Ivestet Aalyss, Joh Wley & Sos, Nueva York. LINTNER, Joh: 965, The Valuato of Rsk Assets ad the Selecto of Rsky Ivestets Stock Portfolos ad Captal udgets, The Reve of Ecoocs ad Statstcs, vol. XLVII, No., febrero, -7. MARKOWITZ, Harry M.: 95, Portfolo Selecto, Joural of Face,, , Portfolo Selecto: Effcet Dversfcato of Ivestets, Joh Wley & Sos, Nueva York. MERTON, Robert C.: 97, A Aalytc Dervato of the Effcet Portfolo Froter, Joural of Facal ad Quattatve Aalyss, Vol. VII, No. 4, septebre, , A Iterteporal Captal Asset Prcg Model, Ecooetrca, 4, No. 5, septebre, MOSSIN, Ja: 966, Equlbru a Captal Asset Market, Ecooetrca, vol. 4, No. 4, octubre, ROSS, Stephe A.: 976, The Arbtrage Theory of Asset Prcg, Joural of Ecooc Theory,, SHARPE, Wlla F.: 96, A Splfed Model for Portfolo Aalyss, Maageet Scece, IX, No., eero, , Captal Asset Prces: A Theory of Market Equlbru Uder Codtos of Rsk, Joural of Face, XIX, No., septebre, , Portfolo Theory ad Captal Markets, McGra-Hll, Nueva York. 000, Portfolo Theory ad Captal Markets, The Orgal Edto, McGra-Hll, Nueva York. TOIN, Jaes: 958, Lqudty Preferece as ehavor Toard Rsk, The Reve of Ecooc Studes, 6, AC Revsta Cotaduría y Adstracó, No. 0, octubre-dcebre 00