Bolsa Nacional de Valores, S.A. San José, Costa Rica

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1 SELECCIÓN DE CARTERAS DE INVERSIÓN (TEORÍA DEL PORTAFOLIO) RODRIGO MATARRITA VENEGAS * Bolsa Nacoal de Valores, S.A. Sa José, Costa Rca By ow t s evdet that MPT (moder Portfolo Theory), the theory frst expouded by Markowtz 50 years ago, has foud applcatos may aspects of moder facal theory ad practce. ( ) Though t dd take a few years to create a buzz, the late 0 th ad early st cetures saw o let-up the spread of the applcato of MPT. Further, t s ulkely that ts popularty wll wae aytme the ear or dstat future. Cosequetly, t seems safe to predct that MPT wll occupy a permaet place the theory ad practce of face. The Legacy of Moder Portfolo Theory Frak Fabozz, Fracs Gupta y Harry Markowtz, 00. RIESGO Y DIVERSIFICACIÓN.. RIESGO E INCERTIDUMBRE La vda real está llea de stuacoes de resgo y de certdumbre, auque muchos puede creer que los dos térmos so smlares, lo certo, es que ambos tee ua cootacó dferete. Lo que realmete se busca es covertr stuacoes de certdumbre e stuacoes de resgo. Veamos por qué. Se habla de ua stuacó de certdumbre cuado se descooce los posbles resultados de u eveto y, se descooce, además, las probabldades de ocurreca de tales evetos. Metras tato, ua stuacó de resgo mplca que auque se descoozca el resultado específco de u eveto, se cooce los posbles resultados e cluso se puede determar ua probabldad de * Estoy e deuda co Maurco Vllalta, Karla Gozález, Slva Jméez Johaa Solórzao y Alexadra Campos, alumos de alguos de ms cursos de Teoría del Portafolo, quees recoplaro alguas de sus otas de clase y revsaro borradores de este documeto.

2 Pága ocurreca, co lo que es posble obteer lo que se deoma valores esperados. Por eemplo, ua stuacó de certdumbre es tratar de determar la codcó del clma e ua fecha futura muy aleada, dgamos la tarde del 7 de mayo del año 097, e tato que, ua stuacó de resgo sería ua apuesta sobre qué gaa u partdo de fútbol e dode hay evetos coocdos y se puede estmar las probabldades de ocurreca. E el prmer caso o se puede precsar cual será el posble estado de la aturaleza ( lloverá?, será u día soleado?, ubloso?, etc.), tampoco la probabldad de que tales evetos pueda ocurrr, por lo que o se puede obteer u valor esperado. E el caso del partdo de fútbol, se cooce de atemao cuáles so los posbles resultados (gaa uo de los dos equpos o empata) e cluso, puede asgarse probabldades de suceso co lo que se puede obteer resultados esperados. La mayoría de las decsoes se toma e ambetes de certdumbre, e los que o exste plea certeza de los resultados de las probabldades volucradas e la decsó. Y esto lo ecotramos tato las decsoes secllas como por eemplo el escoger bueos almetos; como las decsoes compleas como escoger co que casarse... cluye todas u grado de certdumbre; como se ve, e realdad so pocas las decsoes que se toma co absoluta certeza, por lo tato, lo mportate es teer ua dea del posble resultado de u eveto y de su probabldad de suceso. A f de covertr stuacoes de certdumbre e stuacoes de resgo, se ecesta de formacó. El vel de la formacó empleada es el determate de la dstaca etre ua stuacó de resgo y ua de plea certeza. Exste tres formas de covertr ua stuacó de certdumbre e u ambete de resgo. La prmera es comprado formacó. La seguda hacedo uso del proceso de señalzacó, e el que u emsor que le

3 Pága 3 evía ua señal o códgo a u receptor, y la tercera es por el uso de probabldades subetvas; ua vez determadas las probabldades de u eveto, es posble calcular su valor esperado. El valor esperado, també llamado Esperaza Matemátca, que vee a ser el promedo poderado de los posbles resultados por la probabldad de ocurreca asocado a cada eveto; es la suma de las multplcacoes de cada eveto por su respectva probabldad de ocurreca. Su formulacó matemátca es la sguete: E[ R] = = p R Dode E[R] es el resultado esperado o la esperaza matemátca del resultado, sedo los posbles estados de la aturaleza (=,...), p la probabldad de ocurreca de cada eveto y R el resultado esperado s se verfca el escearo. Eemplo.. A, B y C so actvos que se ecuetra suetos a cosderacó por parte de u versosta. Se ha desarrollado las sguetes dstrbucoes de probabldad de redmetos esperados para tales actvos de acuerdo a la stuacó de la ecoomía: Actvo A Actvo B Actvo C Eveto Prob. Red. Red. Re8d. Auge 0.0% 40% 0% 0% Establdad 5.0% 5% 8% % Estacameto 40.0% 0% 6% 8% Recesó 5.0% -5% 4% 0% Crss 0.0% -0% -% 5% Calcular el valor del redmeto esperado para cada uo de los tres actvos. Aplcado la fórmula vsta, se tedría que: E[Ra]= (0, x 0,4) + (0,5 x 0,5) + (0,4 x 0,) + (0,5 x 0,05) + (0, x 0,) E[Ra] = 0,65 = 6,50% Realzado los cálculos para los otros actvos: E[Rb] = 5,80% E[Rc] = 6,74% E 5 [ R] = = p R

4 Pága 4.. RENDIMIENTO Y RIESGO Para facltar la compresó de los coceptos que vedrá, es útl cocebr las dsttas alteratvas de versó facera como bees hedócos, es decr, más que mercacías e sí msmas, so bees que represeta coutos de cualdades o atrbutos. Por eemplo: qué dfereca exste etre u escarabao VOLKSWAGEN del 89 e perfectas codcoes, de u solo dueño que sólo lo empleaba ua vez al mes para retrar su ublacó y u JAGUAR del año? Bueo, más be algue podría pregutarse qué tee e comú? La respuesta a cualquera de las pregutas se halla e la dfereca que pueda establecerse al vel de qué lo demada y para qué. S lo que se quere es u medo de trasporte efcete, ta bueo puede ser el uo como el otro, pero s lo que se quere es demostrar bue gusto y stuacó ecoómca, ambos bees o so susttutos porque represeta coutos de característcas o cualdades dsttas. Lo msmo que se apreca para estos dos automóvles, puede aprecarse e las versoes faceras y e los títulos y valores. Efectvamete las versoes faceras puede verse como coutos de característcas o de cualdades que los detfca a uos de otros, más aú, se puede cocebr dos strumetos faceros que auque dsttos puede ser perfectos susttutos porque lo que a uo le falta al otro le sobra e cuato a las característcas relevates para el versosta, de maera que, como coutos de característcas so smlares. Alguas de estas característcas que defe las versoes faceras y los títulos y valores so, por eemplo, la retabldad, el resgo, la garatía y la lqudez. Cuado se compara o evalúa bees hedócos, se emplea uas pocas característcas relevates para elegr etre ellos, más au, por lo

5 Pága 5 geeral exste ua característca que prva sobre las demás, sedo el resto de característcas o codcoes subordadas a la prmera. Por eemplo, s se desea realzar ua versó segura se buscará alteratvas co baos veles de resgo, luego etre estas se podría dscrmar de acuerdo al redmeto o a la lqudez. Ua de las característcas más mportates de las versoes faceras es la retabldad, pero o es la úca, s embargo, va a represetar u coveete puto de partda. La retabldad esperada de ua versó facera puede obteerse por medo de la esperaza matemátca del retoro de los dsttos escearos efretados. Este valor será etoces represetatvo de los cambos e los dsttos estados de la aturaleza supuestos, los cuales reflea de ua u otra maera, los dsttos veles de certdumbre co respecto a otras característcas de las versoes faceras (lqudez, solveca de la empresa emsora, garatías, etc.). El resgo es la característca presete e ua stuacó certa pero e la cual se puede establecer probabldades de ocurreca. Se puede aproxmar mdedo la varabldad de los redmetos esperados producto de los cambos percbdos e la verfcacó del resto de las característcas. De esta forma, se ecuetra dsttos tpos de resgo asocados a las versoes faceras: resgos de lqudez, resgos de solveca, resgo de caldad de la garatía, etc. E preseca de u mercado efcete, los cambos e la formacó y e las percepcoes de los versostas y del mercado, se traduce e cambos de precos de maera que, el resgo se puede medr co la varabldad de precos y redmetos. Descrto lo ateror, se puede cocebr los posbles resultados de la varable e estudo (los redmetos de ua versó facera) como u couto de datos que posee ua determada dstrbucó. Los

6 Pága 6 msmos se puede descrbr por medo de meddas de poscó (valor esperado) y de dspersó. Para medr la dspersó se puede usar varos métodos que permte cuatfcar cuáto se alea las dsttas observacoes de las meddas de poscó cetral, etre estos está: la varaza y su raíz cuadrada coocda como desvacó estádar. Así, etre mayor sea la varaza o la desvacó estádar de la dstrbucó de los redmetos, tato mayor será el resgo asocado a ese actvo, y ello porque se asume ua relacó drecta etre las meddas de dspersó de las observacoes de redmeto y precos y el vel de resgo que represeta ua versó.... MEDIDAS DE VARIABILIDAD...a. Varaza (Var ó ) Se defe como el segudo mometo de la dstrbucó y resulta ser ua medda de la dspersó de los datos alrededor del promedo. Se calcula de la sguete maera: Var[ R] = R = = p [ E( R) R ] Dode Var[R] es la varaza de las observacoes o posbles valores del redmeto ate cada escearo posble, dado u redmeto esperado E(R), sedo posbles evetos (=,...), p la probabldad de ocurreca asocada a cada uo de esos posbles evetos y R el redmeto estmado de esos posbles evetos. La dfereca de E(R) R, se eleva al cuadrado para obvar el problema de que las dferecas egatvas co respecto al promedo de la dstrbucó se vea compesadas por las postvas. Los resultados so expresados e udades cuadradas lo que hace dfícl su

7 Pága 7 terpretacó. Por ello, se utlza la desvacó estádar, que se defe de la sguete maera:...b. Desvacó Estádar () Es coocda també, como error o desvacó típca. Es ua medda del desvío promedo que tee las observacoes co respecto al valor cetral. Es la raíz cuadrada de la varaza y se calcula: DE[ R] = Var( R) = R = = p [ E( R) R ]...c. Coefcete de Varacó (CV) E alguas ocasoes covee saber qué tato represeta el desvío típco co respecto al promedo, es decr, cuátas udades de resgo exste por udad de redmeto; por lo que se costtuye e ua medda del resgo relatvo de u actvo (co respecto a su redmeto promedo). Para determar esto se calcula el Coefcete de Varacó (CV), el cual mde la desvacó estádar como porcetae del promedo de las observacoes. Este es u dcador útl por cuato permte comparar los resultados de las calbracoes de resgo y redmeto etre dferetes actvos, y se calcula de la sguete forma CV ( R) = E( R)

8 Pága 8 Eemplo.. Cotuado co la formacó de los actvos e el eemplo ateror, se debe determar la desvacó estádar del redmeto de cada uo de los tres actvos y calcular el respectvo coefcete de varacó. Cuál tee mayor resgo relatvo? Aplcado la fórmula correspodete: VAR Para el actvo A, se tedría que: Var [Ra] = (0, x (0,65-0,4) ) + (0,5 x (0,65-0,5) ) + (0,4 x (0,65-0.) ) + (0,5 x (0,65 + 0,05) ) + (0, x (0,65+0,) ) VAR [Ra] = 0, , , , ,0070 VAR[Ra] = = 0,0775 DE[Ra] = = 0,4756 = 4,76% 5 = R = [ R] = p [ E[ R] R ] CV[Ra] = / E[Ra] = 0,4756 / 0,65 = 0,8943 *Se dea al lector el cálculo de los otros dos actvos. Resume de los resultados e térmos de retabldad y resgo A B C E(R) 6.50% 5.80% 6.74% Varaza.8% 0.0% 0.9% Desv. Est 4.76% 3.09% 4.4% CV De los resultados aterores se observa que, relatvamete, el actvo A es el más resgoso, ya que por cada udad de redmeto agrega 0,89 udades de resgo. Metras tato el actvo C es relatvamete más seguro, debdo a que por udad de retabldad agrega 0,6 de resgo. Debe observarse además que comparado los actvos por medo de la desvacó estádar, la coclusó hubese sdo que el actvo B es relatvamete más seguro, lo que o es correcto e térmos de la relacó resgo/redmeto.

9 Pága 9... TRATAMIENTO DE SERIES DE TIEMPO El procedmeto vsto hasta ahora aputa a la utlzacó de observacoes (redmetos, e uestro caso) que podría presetarse e escearos alteratvos y mutuamete excluyetes. Pero el aálss puede extederse para ser empleado e el tratameto de seres de tempo, e que los valores que puede asumr la varable e estudo o correspode a escearos probables, so a mometos del tempo específcos. E este caso se observa el comportameto del redmeto a lo largo de u período, se toma los evetos como gualmete probables (pues ya todos se dero e verdad) y se obtee el promedo smple como la meor estmacó del redmeto esperado. E este caso el valor esperado, su varaza y desvacó estádar se expresaría como: E[ R] = = R Var[ R] = DE[ R] = R R = = [ E( R) R ] = [ E( R) R ] =

10 Pága 0 Eemplo.3. Tomado la sere hstórca de u actvo, por eemplo, la Tasa Básca Pasva (e térmos brutos, es decr, s descotar el efecto del mpuesto sobre títulos valores) es posble calcular el promedo, la desvacó estádar y el coefcete de varacó para cada año, medate: DIC R = ENE k [ ] = E R Dode las observacoes (), varía desde eero hasta dcembre del año e estudo (año k). El cálculo para cada uo de los años aparece e el cuadro sguete bao el título de Valores Muestrales, dado que se tomó como muestra los redmetos mesuales de cada año. Los cálculos també puede realzarse para la totaldad de los datos cosderados, (3 observacoes) y se cluye bao el subtítulo de Valores Poblacoales. Evolucó Mesual de la Tasa Básca Pasva (Bruta) datos e porcetaes, tasas a 6 meses Eero 3,50 3,50 34,00 9,50 9,50 3,75 7,75 7,5 4,60 8,30 4,50 Febrero 3,50 3,50 35,00 7,50 9,00 3,5 9,5 6,50 4,00 8,5 4,50 Marzo 3,00 3,50 33,00,50 9,00 3,5 33,00 4,30,50 8,5 4,50 Abrl 3,00 4,50 33,00 0,50 7,00 3,00 33,00,90,5 8,50 4,50 Mayo 3,00 4,50 3,50 6,50 5,50 3,00 33,00,30 0,75 8,50 3,30 Juo 3,00 5,50 30,50,50 6,50 3,5 33,00,90 0,75 9,00,00 Julo 3,00 5,50 30,50 5,00 9,50 3,5 3,50,80 0,50 9,75,30 Agosto 3,00 7,00 30,50 6,00,75 3,5 3,50 3,30 9,50 0,5 0,00 Setembre 3,00 8,50 30,50 6,50 5,00 4,50 3,75 4,0 9,00,5 0,00 Octubre 3,00 9,50 3,00 7,00 5,00 6,75 3,5 3,70 8,75 4,5 0,00 Novembre 3,00 34,00 30,50 8,50 5,00 7,75 30,00 4,0 8,75 4,50 9,30 Dcembre 3,50 34,00 30,50 9,00 5,00 5,53 8,50 4,60 8,50 4,50 8,30 Valores Muestrales E[r] 3,3 6,96 3,7 9,7 0,73 4, 3,9 3,99 0,65 0,44,85 0,3 3,8,6 5,00 3,63,6,93,59,00,57,33 CV = / E[r] 0,0 0,4 0,05 0,6 0,8 0,07 0,06 0,07 0,0 0,3 0, k Valores Poblacoales E[r] 4,0 4,86 CV = / E[r] 0,0

11 Pága..3. MAPA DE MEDIA - VARIANZA El redmeto y el resgo so las característcas claves para comparar los dsttos actvos faceros, co esta formacó es posble costrur u espaco cartesao dode se compare el redmeto esperado y la desvacó estádar, a éste se le deoma el espaco de meda - varaza. Los actvos A, B, C, del Eemplo. se represeta e este espaco de la sguete maera: FIGURA. Espaco de Meda - Varaza E(R) 8% 6% 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% B C Actvos eemplo CV= -% % 5% 7% 0% % 5% 7% Desvacó estádar (resgo) A Como se puede aprecar, el actvo más retable sería el actvo C, metras que el actvo A muestra u mayor resgo (su desvacó estádar es la mayor). Dado que e los ees del mapa de meda - varaza se stúa el redmeto esperado y la desvacó estádar, todos los putos del espaco cartesao reflea correspodetes actvos faceros, caracterzados por su redmeto promedo y su desvacó estádar, los cuales puede, a su vez defr los respectvos coefcetes de varacó. Los putos que se ecuetra sobre la líea de 45 o que parte del orge está asocados a u CV = ; los que se ubca por ecma de

12 Pága esta líea posee u CV <, lo que dce que el actvo es relatvamete seguro y los que se ecuetra por debao de esta líea está asocados a u CV >, por lo que se dce que el actvo es relatvamete resgoso. El espaco de meda - varaza permte vsualzar fáclmete las característcas esecales de los actvos faceros evaluados, utlzado para ello las msmas observacoes co u método totalmete obetvo e mparcal que se puede aplcar tato para aálss trasversal (e u mometo del tempo, para ua coleccó de dsttos actvos, como el caso desarrollado), como para aálss croológcos o de seres de tempo (cuado se cosdera la evolucó del redmeto de u actvo a lo largo de u período determado). Eemplo.4. Es posble costrur mapas de actvos e el espaco de meda varaza. E su coformacó para el caso del mercado de valores costarrcese se tomó: a) datos auales de ua muestra de 30 actvos faceros del sector prvado de ua sere de 0 años, b) 3 actvos del sector públco y c) el couto de títulos accoaros de aquellas empresas co mayor bursatldad. Eemplo trascrto de Alfaro y Matarrta (994). Eerccos más recetes demuestra que la stuacó descrta o se ha vsto modfcada (Véase Matarrta, 00). Véase Matarrta, 993.

13 Pága 3 Como se apreca exste ua clara fragmetacó del mercado etre lo que podría deomarse el mercado de títulos de reta fa y el mercado accoaro. Esta brecha geera posbldades de complettud de mercado, ecesaras para tegrar el mercado de valores local. Además, puede observarse la clara relacó postva etre el resgo y redmeto, tato para los títulos de reta fa (que sugere u comportameto expoecal) como el de los documetos accoaros dode la relacó leal parece ser la meor aproxmacó..3. RENDIMIENTO Y RIESGO DE UN PORTAFOLIO Hasta aquí se ha estudado sobre la determacó del redmeto y el vel de resgo de u actvo e forma dvdual, o obstate, el puto medular de la teoría de la seleccó de carteras es, cómo se puede combar los actvos de maera que los obetvos que persgue el versosta pueda satsfacerse de la meor maera posble. E esta parte que sgue se verá los elemetos báscos para la coformacó de portafolos. Para ello se procurará obteer, como para el caso de u actvo e forma dvdual, el redmeto y el resgo, meddo éste por medo de la desvacó estádar..3.. RENDIMIENTO DE UN PORTAFOLIO (E[R P ]) El redmeto del portafolo es el promedo poderado resultate de multplcar el redmeto esperado de cada actvo por su peso relatvo detro del portafolo de versoes. Se calcula de la sguete forma: E[ R Portaf ] = S = w E( R ) Dode las w so las partcpacoes de cada uo de los =,...S actvos que compoe el portafolo, debédose cumplr:

14 Pága 4 S w = = Así, para el caso de dos actvos, que es el modelo básco, se tedría: w a + w b = w = b w a De maera que el redmeto de u portafolo de dos actvos sería: Lo que podría reescrbrse como: E [ R ] = E[ R ] w + E[ R ] w P a E[ RP ] = E[ Ra ] wa + E[ Rb ] ( wa ) Ua ecuacó e la que exste ua sola varable, ua vez defda la meta e térmos del redmeto esperado por el versosta. a b b Eemplo.5 De la formacó del Eemplo.., para los actvos A, B y C, determar el redmeto de u portafolo que cotega ua proporcó gual de cada uo de dos actvos. E[R P ] = (E[Ra] + E[Rb]) x 0.5 E[R P ] = (6,50% + 5,80%) x 0.5 E[R P ] =,5%.3.. EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIONES El resgo de u portafolo resulta ser ua formulacó u poco más complea, pues es algo más que u promedo poderado de los resgos dvduales. E la coformacó del resgo, se da u feómeo teresate y es el hecho de que u par de coutos de observacoes cualesquera aportará varabldad e forma dvdual y e forma couta y aú e forma smultáea. De esta maera, la varabldad

15 Pága 5 del portafolo deberá corporar estas cosderacoes; así, de maera smplfcada se puede decr que la varaza del portafolo está compuesto por dos partes, la varaza de cada uo de los actvos y sus covarazas, es decr, la forma e la que cada actvo que forma parte de u portafolo afecta al resto..3..a. LA COVARIANZA (COVA X,Y ) Esta es ua medda estadístca de la forma e que dos seres de datos varía e forma smultáea. Puede ser postva o egatva depededo de la dreccó de los cambos de las observacoes co respecto a su promedo. Se calcula de la sguete forma: Cova( x, y) = Exste cuatro posbles combacoes de los sgos de las dferecas: Dfereca e X co respecto a su promedo x, y = p ( x x)( y y) = Dfereca e Y co respecto a su promedo Efecto e la Covaraza Cuado las dferecas tee el msmo sgo, la covaraza es postva, cuado tee sgo cotraro, la covaraza es egatva. Ua covaraza postva defe u comportameto de las dferecas e la msma dreccó, e tato que ua covaraza egatva sgfca que las dferecas se da e dreccoes opuestas..3..b. CASO DE SERIES DE TIEMPO Las varates que preseta el caso de los datos proveetes de seres de tempo es que se asume que las observacoes so gualmete

16 Pága 6 probables, por lo que se obtee ua espece de promedo smple. Se calcula: Cova( x, y) = x, y = = ( x x)( y y) Eemplo.6. Sguedo co la formacó del Eemplo.., calcular la covaraza correspodete etre los actvos A, B y C, e sus respectvas combacoes. COVA COVA x, y = p ( x x)( y y) = A C A, B = p ( R 0.65)( R 0.058) = COVA A,B = (0, x 0,35 x 0,04) + (0,5 x 0,085 x 0,0) + (0,4 x 0,035 x 0,000) + (0,5 x 0,5 x 0,08) + (0, x 0,65 x 0,078) COVA A,B = 0,0043 Aplcado la formula respectva para las otras combacoes de actvos posbles etre A, B y C se obtee lo sguete: COVA A,C = -0, COVA B,C = -0,0066 Por tato, se observa que exste ua relacó drecta etre el redmeto esperado del actvo A y el del actvo B, lo que dca que cuado el redmeto del actvo A, se espera que el movmeto e actvo B sea e la msma dreccó. E tato, exste ua covaraza egatva etre C y los otros actvos (A y B), dcado que cuado el redmeto del actvo C aumeta los redmetos respectvos de A y B cae, y vceversa. Es mportate teer presete que el sgo de la covaraza dca la dreccó de la relacó etre los actvos. Ua vez compreddo el cocepto de covaraza, se aalzará el cocepto de resgo del portafolo.

17 Pága 7.3..C. RIESGO DE UN PORTAFOLIO (VAR[R P ]) El resgo de u portafolo está compuesto por dos clases de elemetos. El prmero, las varazas dvduales de cada actvo corporado e el portafolo poderadas por su partcpacó al cuadrado, y el segudo la covaraza de cada parea de actvos, poderada por el producto de las partcpacoes de cada actvo volucrado. Se calcula de la sguete forma: = Var[ P] = = w + w w Portaf = = El prmero de los sumados correspode a la suma de las varazas y el segudo a la suma de las covarazas. Para el caso de dos actvos se tedrá: = + P w a a + wb b wawb a, b.4. RELACIÓN RIESGO - RENDIMIENTO La relacó etre el redmeto de u portafolo y la varaza (resgo) del msmo se puede lustrar e el plao cartesao que coforma el espaco de meda - varaza, pero para explcar este lgame a vel fucoal es coveete combar las fórmulas halladas, lo que se hará, e ua versó smplfcada, para el caso de dos actvos. Partedo de: E[ RP ] = E[ Ra ] wa + E[ Rb ] ( wa ) Despeado w a se obtee: w a = E[ R E[ R P a ] E[ R ] E[ R b b ] ]

18 Pága 8 De esta ecuacó, se etede que w a está e fucó del redmeto esperado del portafolo, dado que E[Ra] y E[Rb] so datos coocdos. E otras palabras, defedo el versosta su meta de redmeto, será posble determar la proporcó e la que deberá ser vertdos los actvos para alcazar tal redmeto obetvo. Es mportate resaltar el hecho de que el redmeto propuesto como meta perteecerá a u couto acotado por los redmetos de los actvos elegdos para formar parte del portafolo. S, por eemplo, los redmetos de los actvos fuera 0% y 5%, o habrá combacó posble de ellos que geere u redmeto de 30%. Así que susttuyedo e la fórmula hallada la relacó: puede escrbr la varaza del portafolo como: w b = w se a VAR [ RP ] = wa A + ( wa ) B + wa( wa ) A, B Factorzado se tee: VAR [ RP ] = ( A + B A, B ) wa + ( A, B B ) wa + B La ecuacó ateror demuestra que el espaco meda Varaza se puede reexpresar por medo de ua fucó cuadrátca. Esta formulacó cumple co la codcó de:. Maxmzar el redmeto sueto a u vel de resgo determado, o. Mmzar el resgo sueto a u vel dado de redmeto esperado, lo que se puede expresar como: M VAR[R P ]; sa E[R P ] = R* El procedmeto a segur es el sguete: dados los redmetos esperados de los actvos cosderados, se debe establecer el redmeto esperado del portafolo (R*), el cual a su vez, defrá la proporcó w a (y e cosecueca su complemeto adtvo w b ). Defdas las proporcoes w se obtedrá, medate la aplcacó de la fórmula correspodete, el valor de la varaza del portafolo. Este fue

19 Pága 9 el plateameto básco del estudo poero de Harry Markowtz e su artículo Portfolo Selecto (Markowtz, 95) Eemplo.7 Coformar u portafolo de mímo resgo co los actvos A y B, tal que su redmeto esperado sea gual a u 0%. Calcular també el resgo del portafolo. Prmeramete se obtee la poderacó del actvo A: w a w a E[ R = E[ R P a ] E[ R ] E[ R b b ] ] 0% 5.8% = = 39.5% 6.5% 5.8% w b = = = 60.75% VAR [ Luego se calcula la varaza del portafolo y co la raíz cuadrada del msmo se determa la desvacó estádar, o el resgo del portafolo. R P VAR [ R ] = w + w + w w, P A A B B ] = (0.305) (0.08) + (0.6075) (0.000) + (0.395* * ) = DESV. EST.[ ] = R P A B A B.5. DIVERSIFICACIÓN DE CARTERAS RIESGOSAS: LA FRONTERA DE EFICIENCIA Ua vez establecda la ubcacó de los dsttos actvos faceros e el mapa de Meda Varaza, es decr, mdedo su relacó resgo - redmeto, la preguta relevate es: cómo puede emplearse esta formacó para defr ua estratega de versó?, más aú, cómo se puede emplear esta formacó para defr ua estratega de dversfcacó del portafolo.

20 Pága 0 Al observar la fgura, se platea la terrogate e cuál de los tres actvos (A, B, C) se debe vertr. Se podría pesar e térmos de retabldad que los actvos A y C so ua teresate alteratva pues brda u redmeto compettvo co respecto al actvo B, e clusve el actvo C, además de redmeto brda u mayor vel de segurdad, s embargo, los tereses del versosta puede ser otros, los cuales puede satsfacerse por medo de productos de geería facera. La geería facera es el dseño de productos faceros creados co el f de satsfacer u obetvo predetermado, ya sea este de versó o de facameto. Cómo puede combarse ua coleccó de actvos faceros para crear uevas alteratvas de versó? Esto depede de la relacó estadístca que exsta etre ellos defda por el Coefcete de Asocacó Leal o Coefcete de Correlacó Muestral..5.. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MUESTRAL (ρ) Esta es ua medda del grado de asocacó leal etre dos seres de datos dsttas, es decr, la dstaca que tee sus comportametos vstos e forma dvdual. Puede asumr valores de a + (.e. ρ [-, ]) depededo de la relacó etre las varables que se aalza. Este dcador cueta co alguas característcas: Es smétrco, es decr ρ x,y = ρ y,x. Es depedete del orge y de la escala. No mplca ua relacó de causa efecto. Su fórmula está descrta por: ρ x, y = = = ( x ( x x) x)( y = y) ( y y)

21 Pága Lo que també puede escrbrse como: ρ x, y = x x, y y El coefcete de asocacó leal es ua relacó etre la forma e la que dos seres de datos covaría o varía e forma smultáea y la forma e que varía coutamete. El sgo del coefcete de asocacó leal lo defe la covaraza. Hay que teer presete que metras la covaraza mde la dreccó e que se mueve los actvos; el coefcete de correlacó muestral dca la magtud de esa asocacó. Por tato, u coefcete de asocacó leal postvo y muy cercao a, sgfca que gra parte de la varabldad smultáea está sedo explcada por la couta. S este fuera gual a cero, dcaría que la covaraza es cero o que uo de los actvos o tee varabldad. Eemplo.8. Determar el coefcete de asocacó leal para cada parea de actvos que se obtee del Eemplo.. ρ A,B = 0,0043 / (0,476 x 0,0309) = 0,9055 = 90,55% El coefcete de asocacó leal es de 0,9055, es decr, u 90,55% de la varabldad de los redmetos del actvo A está asocada al comportameto de los redmetos del actvo B. Lo que dca que exste u comportameto muy smlar etre los actvos, está fuertemete relacoados. Realzado u cálculo smlar para las otras pareas de actvos se obtee lo sguete: ρ A,C = -93,4% ρ B,C = -87,43% Cuado el sgo del coefcete de correlacó es egatvo debe verse co algo de cudado: el valor absoluto dca el porcetae de la

22 Pága varabldad smultáea que es explcada por la varabldad couta, o obstate, su sgo dca que los actvos ofrece u potecal de dversfcacó mayor. De hecho, se establecerá que el máxmo porcetae de dversfcacó (elmacó del resgo) que puede teer dos actvos será el cuadrado del coefcete de correlacó muestral (ρ ). Por tato, etre más cercaa esté de - mayor es la elmacó del resgo que se logra co la combacó de éstos actvos e u portafolo..5.. LA FRONTERA DE EFICIENCIA La frotera de efceca represeta las combacoes óptmas de redmeto y resgo descrtas por la fórmula: M VAR[RP]; s.a. E[RP] = R*; es decr, aquellas combacoes que asegura, medate u proceso optmzador, cuál es el portafolo co el mayor redmeto dado u vel de resgo, o be, el mímo resgo dado u redmeto esperado. La gráfca geerada por esta relacó etre redmeto y resgo es també llamada curva de trasformacó de resgo por redmeto, pues descrbe la forma e la cual el versosta puede tercambar redmeto por resgo de ua maera efcete, es decr, cumpledo el obetvo de maxmzar el redmeto sueto a u vel de resgo, o mmzar éste sueto a u vel de redmeto. La forma de la frotera de efceca depede de la relacó establecda por el coefcete de correlacó muestral. Para lustrar esto, se mostrará el caso e que la asocacó leal es perfecta y postva ( ρ = ); el de la asocacó leal perfecta y egatva (ρ = -); y el de la asocacó leal mperfecta (ρ ]-, [ ). Para smplfcar el aálss se verá prmero el caso de dos actvos y luego se geeralzará al caso de varos actvos.

23 Pága 3.5..a. Correlacó perfecta postva (ρ = ) E este caso la relacó gráfca se puede represetar por ua líea recta, cuyos pares ordeados represeta cada uo de los actvos aalzados. Sobre la recta AB de la fgura 4, se preseta las dsttas combacoes de los actvos A y B, y e los putos extremos se verte el 00% e el actvo respectvo. E[R] FIGURA 4. Frotera de Efceca co ρ = R Β B R Α A Α Β Para poder explcar lo que está ocurredo aquí es mportate volver a la fórmula de la varaza del portafolo de dos actvos: [ + VAR RP ] = wa A + wb B wawb A, B La cual, coocedo la relacó etre el coefcete de asocacó leal y la covaraza, podría escrbrse como: VAR ( RP ) = wa A + wb B + wawb A Bρ A, B S ρ A,B = ; el resultado se smplfca, quedado: VAR( R ) = w + w + w w P A A B B A B A B

24 Pága 4 La raíz cuadrada de esta formulacó (que vedría a ser la desvacó estádar) vedría dada por 3 : DE ( RP A A B B ) = ( w + w ) Es decr, la desvacó estádar del portafolo será u promedo poderado de las desvacoes de cada actvo, por ello la frotera de efceca adquere e este caso ua forma leal..5..b. Correlacó perfecta egatva (ρ = -) E este caso toda la varabldad couta es explcada por el verso adtvo de la varabldad smultáea. El comportameto de ua sere de observacoes sobre el redmeto de u actvo es totalmete opuesto y co la msma magtud al de la otra sere de datos aalzados, por lo que el cambo e el redmeto de u actvo es compesado exactamete por cambo e el redmeto del otro actvo. FIGURA 5. Frotera de Efceca co ρ = - E[R] R Β B A* R f R Α A Α Β 3 Es fácl demostrar que (w A A + w B B ) = w A A + w B B + w A w B A B

25 Pága 5 Cuado ρ = - es posble, medate la dversfcacó, crear u portafolo lbre de resgo 4, es decr, u portafolo e el cual los resgos dvduales de cada actvo se aule y permta al versosta geerar ua cobertura ate el resgo. Justamete a esto se refería James Tob (Premo Nóbel de Ecoomía) cuado afrmaba co relacó a la teoría del portafolo:... smplemete por decr que o es bueo poer todos los huevos e la msma caasta. Este actvo ta partcular recbe el ombre de Actvo Arrow-Debreu. S se apreca be, se podrá ver que este caso es ua prologacó del caso ateror. De hecho, la gráfca que se ha plateado correspode a la localzacó de las poscoes que puede atederse de los actvos A y B, e dode w A, w B [0, ]; evetualmete, partedo de ua stuacó orgal como la que podría señalarse por el puto A* y B e la Fgura 5., y que correspode a los respectvos A y B e la Fgura 4., el puto R f, que represeta el actvo lbre de resgo, es smplemete ua prologacó de la Fgura 4., s pudera vertrse egatvamete (estar corto o edeudarse) e el actvo A..5..c. Caso Geeral de dos actvos (- < ρ < ). E este caso, que es el caso más comú, el resgo o puede ser elmado del todo, pero se puede reducr a través de la dversfcacó. La forma del couto óptmo de combacoes de redmeto - resgo adopta u comportameto parabólco, descrto por el polomo de segudo grado de la geeral, la cual podría expresarse e térmos de la proporcó e que se verte e el actvo A: VAR [ RP ] = ( A + B A, B ) wa + ( A, B B ) wa + B Más aú, sabedo que, e u mudo co dos actvos, la proporcó de pederá del valor del redmeto obetvo (R*) la gráfca podría ubcarse e el mapa de meda - varaza, como se apreca e la sguete fgura: 4 Este comportameto també aplca para actvos.

26 Pága 6 E[R] R Β FIGURA 6. Frotera de Efceca e el caso e que <r< B X V Y W R Α T A mí Α Β La gráfca expuesta e la Fgura ateror reproduce el esquema de la fucó polomal parabólca descrta; o obstate, aú cuado posbles todas combacoes señaladas, o todas será cotadas como efcetes, pues podrá o reur algua de las codcoes señaladas para ello. Por eemplo u puto como T, que represeta u actvo defdo, o perteecerá a la frotera de efceca, pues se podrá obteer u meor redmeto e X para el msmo vel de resgo. Lo msmo podría decrse del puto teror W, que permte observar que es posble obteer u meor redmeto e X, para el msmo vel de resgo, o meorar la segurdad para el msmo redmeto, e u puto como Y. Por ello, la frotera de efceca o solo señala la forma efcete de tercambar resgo por redmeto; s o que establece el límte de domaca, dado que cualquer combacó por ecma de esta frotera o será posble, e tato que cualquera teror o feror será domada por las combacoes de la frotera a partr del puto de míma varaza a la derecha, es decr la parte crecete de la

27 Pága 7 curva, lo que establece ua relacó postva etre el redmeto y el resgo. Por otra parte, puto a la derecha de B, o la derecha de A, represetará vetas e corto u operacoes apalacadas e los respectvos actvos de refereca..5..d. Puto de Míma Varaza para carteras compuestas de dos actvos La Fgura 6. permte determar que la frotera de efceca será la parte crecete de la gráfca a partr de lo que se deoma el puto de míma varaza, que represeta aquella combacó de actvos que hará que el resgo sea mímo. El puto de míma varaza está represetado por el puto V, relacoado co M, se obtee para el caso de dos actvos de la sguete maera 5 : Mí w A B A, B = + A B A, B Por tato, la frotera de efceca so aquellas combacoes de resgo - redmeto que se ubca e la parte crecete de la curva, a partr del puto V; debdo a que e u puto como T el versosta puede lograr, por medo de la dversfcacó, ubcarse co u msmo vel de resgo pero u redmeto mayor, e el puto X. 5 No es otra cosa que la prmera dervada de la ecuacó de la varaza co respecto a w A.

28 Pága 8 Eemplo.9. Coformar u portafolo co los actvos A y C, hallar el puto de varaza míma y grafcar e el espaco de meda - varaza la frotera de efceca. Realzar lo msmo para la combacó de actvos B, C y A, B. Para A y C Mí w A = + A C C A, C A, C Mí w A ( ) = =.64% ( ) w Mí C Mí = ( w ) = 78.36% A Calculado el redmeto y resgo del portafolo: Var( p) = (0.64) E ( ) = (0.7836) * (0.6.74) + (0.64) * (0.65) = 6.66% R P ( ) + (0.7836) (0.009) + (0.7836)(0.64) ( ) = P =,68% Realzado cálculos smlares para los otros pares de actvos se obtee los sguetes datos: Portafolo B y C: Portafolo A y B: w w B C E( R = 59.% = 40.9% p ) = 0.7% Var( p) = % = 0.665% Matemátcamete la proporcó de míma varaza etre los actvos A y B sería la sguete: w =.9% w A B =.9% Ello sgfca, desde el puto de vsta facero esta combacó o es posble e u mercado co auseca de la posbldad de realzar operacoes e corto. Este resultado respode a la alta correlacó postva etre los actvos, 90.55%, formado ua frotera de efceca cercaa a ua líea recta, dode el puto mímo de varaza se logra co u 00% del actvo B y 0% e A. A partr de este puto el versosta puede aumetar su redmeto aumetado su resgo. E este caso se alcaza lo que se deoma ua solucó de esqua.

29 Pága 9 E la gráfca sguete se ubca los portafolos e los putos de varaza míma y la frotera de efceca para las combacoes posbles de actvos. Froteras de efceca 8.00% 6.00% AC C A E(R) 4.00%.00% 0.00% 8.00% BC AC BC AB A 6.00% 4.00% B AB B C.00% 0.00% 0.00%.00% 4.00% 6.00% 8.00% 0.00%.00% 4.00% Resgo La decsó de versó, como se verá más adelate, o depede sólo de la ubcacó del portafolo e térmos de resgo y redmeto, so també de los gustos y preferecas de los agetes ecoómcos..5..e. El caso de actvos Cuado la catdad de actvos se cremeta exste ua sere de combacoes para cada parea de actvos, relacó defda por el coefcete de asocacó leal etre cada par de actvos. De esta forma es posble establecer u gra couto de froteras de efceca para cada combacó de dos actvos. Más aú, sería posble coformar portafolos teedo como actvos, strumetos faceros que so a su vez combacoes de otros actvos, co ua ueva combacó de redmeto y resgo. La fgura que se observaría sería smlar a la sguete:

30 Pága 30 E[R] FIGURA 7. La Frotera de Efceca co actvos B L S H Y* V Y X W* W T A Cada parea de actvos, por eemplo (A, T), (W, V), (V, Y) defe ua frotera de efceca, luego carteras compuestas como W* o Y* puede combarse etre sí, falmete el proceso puede tegrarse hasta geerar ua evolvete que sería la curva AB. Esta líea más las combacoes dvduales de los actvos smples (A, B, X,...T) defe u área que vee a ser el couto de combacoes de actvos resgosos. S embargo, aú cuado todas estas combacoes so posbles, o todas so óptmas ya que alguas de ellas o maxmza el redmeto sueto a certo vel de resgo o mmza el resgo sueto a u vel de redmeto que ha sdo la codcó para la formacó de la frotera de efceca. Para compreder lo ateror, se platea el sguete eemplo: defedo u vel de resgo defdo, se preseta tres carteras S, H, L. La cartera H posee u redmeto asocado de R H, s embargo ua reasgacó e la forma e que se comba los dsttos actvos resgosos, podría permtr elevar el redmeto hasta u puto como S, por otra parte, podría reasgarse las proporcoes e las que se verte los actvos para alcazar L, ua combacó gualmete

31 Pága 3 retable, pero más segura. De esta forma se verfca que pese a ser posbles, o todos lo putos de la gráfca so óptmos segú el plateameto de M VAR[RP]; s.a. E[RP] = R*. Las combacoes que dvdualmete puede hacerse etre cada parea de actvos defe dsttas combacoes posbles; e realdad lo que se tedrá es u couto deso de posbles combacoes de actvos y el lugar de pequeñas froteras de efceca para cada parea de actvos se tedrá u mapa deso y completo; a cotuacó se muestra, para tres actvos, u couto de 00 teracoes desarrollado por el profesor Km Egelmaer 6. GRÁFICO. Resultado de 00 teracoes para combacoes de tres actvos Redmeto 0,5% 0,0% 9,5% 9,0% 8,5% 8,0% 7,5% 7,0% 6,5% 6,0% Combacoes de 3 8% 9% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% Resgo De esta maera, solamete los actvos o carteras que forma parte de la parte superor extera de la curva, partedo del puto de míma varaza hasta el actvo resgoso smple de mayor combacó redmeto - resgo (B) cumple co la codcó de efceca: Maxmzar el redmeto sueto a u vel de resgo o mmzar el resgo sueto a u vel de retabldad. Etre estos, los versostas escogerá aquellos que satsfaga sus gustos y preferecas. 6 Véase Egelmaer (003).

32 Pága 3 Cabe recalcar que u mayor resgo exge ua mayor retabldad, pero o ecesaramete ua mayor retabldad sgfca u mayor resgo. Es posble que exsta oportudades de versó que refleará u redmeto alto y també ua alta segurdad, pero s o exste fragmetacó e dcho mercado, rápdamete el arbtrae se ecargará establecer la lógca correspodete. Esta frotera de efceca para el couto de actvos resgosos se cooce e la erga facera como el paraguas de Markowtz, e memora del trabao de este autor y costtuye la represetacó gráfca del resultado que se obtee al aplcar la fórmula de la varaza del portafolo, dadas las codcoes M VAR[RP]; s.a. E[RP] = R*. Esta fórmula de varaza se escrbe como: VAR[ R ] = w + w w P = = = Ua forma extedda de ver esta formulacó es la sguete otacó seudomatrcal, e que se ordea los elemetos por flas y columas de acuerdo a la combacó de los actvos: w + w w w w... w w... w w, 3,,, w w w w w w w, w w + 3,,, w w w w w w w w w,3,3 3 +,3, w w + w w + w w ,, 3, + w + + w w, w w 3 w w w w... w w... w,, 3,, Se apreca que los datos stuados e la dagoal prcpal correspode a la prmera sumatora de la fórmula de la varaza y que represeta las varazas. Este ordeameto es smétrco, es decr, los datos por

33 Pága 33 ecma de la dagoal prcpal so los msmos de los que se ecuetra por debao, por eemplo, w w, = ww,, lo que explca la exsteca del doble producto de la covaraza por las partcpacoes de cada actvo, tal como e la fórmula correspodete para el caso de dos actvos: VAR [ RP ] = wa A + wb B + wawb A, B,.6. RIESGO ABSOLUTO Y RIESGO RELATIVO DE UN ACTIVO El ordeameto seudomatrcal propuesto e la formulacó de la varaza sugere otros resultados teresates. Por eemplo, al tomar los sumados de u regló específco se tee lo que se deoma el resgo absoluto de u actvo, es decr, el aporte que hace u actvo específco al resgo de u portafolo, este estará compuesto tato por el resgo propo como por el efecto que tee la corporacó de este al resto de los actvos faceros que compoe el portafolo, el cual puede descrbrse como: VAR R a [ p ] w w + w = w w, + w w, w + + w w, = =,... També puede obteerse el aporte porcetual de resgo de u actvo al portafolo, de la sguete maera: Resgo relatvo = β, P = w w, + w w, w w w, VAR[ R ] P La suma de los resgos absolutos de cada actvo debe ser equvalete al resgo total del portafolo, por lo que debe cumplrse que: = β, = ;0 β,, =,... P P Así, para que el resgo absoluto sea cero, las covarazas debe ser egatvas, y su suma gual a la varaza del actvo e cuestó.

34 Pága RIESGO SISTEMÁTICO Y RIESGO NO SISTEMÁTICO Al exteder el caso smple de dos actvos a u couto o lmtado de actvos, se puede aprecar que el aporte margal de cada uevo actvo al resgo del portafolo, se dluye coforme el úmero de actvos que compoe el portafolo crece, esto por cuato el límte del valor de la partcpacó ( w = ) tede a cero cuado la catdad de actvos () crece ( / 0). Asmsmo, dado que 0 w ; =,... se tee: 0 w w, w ;, que los pesos de los poderadores se reduce y hace que el efecto de cada uevo actvo sea cada vez meor e el resgo total del portafolo. Lo ateror explca porqué el resgo del portafolo es meor a la sumatora de los resgos de cada actvo (varazas), por lo tato, la dversfcacó meora la posbldad de aumetar la retabldad y dsmur el resgo, pero esto o quere decr que elma el resgo total del portafolo. El resgo que se logra reducr medate la dversfcacó recbe el ombre de resgo dversfcable, resgo o sstemátco o resgo específco y es aquel resgo propo de cada actvo. Es depedete de lo que ocurra e el mercado. El resgo que o se puede reducr medate la dversfcacó se llama resgo de mercado, resgo sstemátco, o resgo o dversfcable y provee de la certdumbre propa del mercado que afecta a cualquer tpo de actvo o strumeto facero. Gráfcamete esto puede represetarse medate la sguete fgura:

35 Pága 35 Resgo del Portafolo FIGURA 8. Resgo Sstemátco y Resgo No Sstemátco Resgo No Sstemátco Resgo Sstemátco Número de Actvos.8. RIESGOS Y RENDIMIENTOS RELATIVOS Se puede costrur u dcador al que se deomará el coefcete de varacó dámco, que se expresa como el cocete del aporte margal del resgo del actvo al resgo total (β,p ), etre el aporte margal del redmeto del actvo (R ) al redmeto total del portafolo [E(R p )], al que deomaremos como γ,p. Lo ateror se puede expresar de la sguete forma, asumedo que w como el peso relatvo del actvo detro del portafolo, así el aporte margal de R al redmeto total será: γ, P = w R E [ R ] P Por lo tato, el δ,p se puede expresar como: δ =, P β γ, P, P

36 Pága 36 Así, puede establecerse que etre mayor sea el δ,p, mayor es el aporte margal del resgo e comparacó co el de la retabldad. E esta stuacó el agete ecoómco buscará modfcar las proporcoes hasta lograr que los δ,p de todos los actvos del portafolo sea guales. Lo que podría covertrse e ua cosderacó de efceca técca, ya que, margalmete o habría cetvos para modfcar la forma e la que se ha estructurado el portafolo, dado que los aportes margales e el resgo por udad de aporte margal al redmeto para cada actvo so guales. δ,p = δ,p El cocepto de efceca e la estructuracó de u portafolo se verá más adelate, dode se expoe co mayor detalle, bao el ombre de portafolos geuos e telgetes, e la sguete udad temátca. Eemplo.0. Coformar u portafolo co proporcoes détcas de cada uo de los actvos compreddos e el Eemplo.. Calcular para dcho portafolo los resgos absolutos y relatvos para cada actvo, los aportes relatvos al redmeto y los aportes margales al resgo por udad de redmeto. Var( p) = w El redmeto esperado del portafolo sería: E ( R p ) = ( ) =.99% 3 El resgo del portafolo sería: w + a a a b c a w ab w w + ac + w w + a b ab wb b w w + b c bc + w w + a b c c c w ac w w + Var ( p) = = 9 El resgo absoluto por actvo vedría dado por: bc c ( ( ) ) = % Var ( p a ) = = 9 ( )

37 Pága 37 Var ( p b ) = 9 = Var ( p c ) = = 0. ( ) ( ) De esta maera el correspodete resgo relatvo por actvo sería: β β β a. p = = b. p = = = = 0.00 b. p Los respectvos aportes relatvos al redmeto vedría dados por: γ γ γ = = = 0.99 a, p = b, p = c, p = 4.34% 4.88% 4.96% Los coefcetes de aporte margal del resgo por udad de aporte margal al redmeto sería: β a, p.063 δ a, p = = =.5 γ a, p δ b, p =.35 δ c, p = 0.6 Este coefcete de comparacó de aportes margales puede tomar tres posbles casos, a saber:

38 Pága 38 δ,p > que será dcatvo de que el respectvo actvo aporta, margalmete, más resgo que redmeto, por lo que se cosdera como u actvo resgoso. δ,p = e esta stuacó el actvo aporta al portafolo resgo y redmeto e ua msma proporcó, margalmete hablado. δ,p < e este últmo caso, el actvo se cosdera relatvamete seguro, ya que aporta más redmeto que resgo al adcoarse al portafolo. Al aalzar los resultados os damos cueta que el actvo C cotrbuye a elmar el resgo (dado que el resultado es egatvo) y que el actvo A es el que más resgo relatvo aporta. Por lo tato, u portafolo co proporcoes détcas de actvos (al que llamaremos Portafolo Igeuo) o ecesaramete es efcete. El portafolo efcete se lograría cuado el coefcete de varacó dámco sea gual para todos los actvos. E el caso aalzado, u escearo telgete sería vertr mucho e C, meos e B y cas ada e el actvo A. De esta forma se buscaría gualar los deltas, para lograr maxmzar el redmeto sueto a u vel de resgo ó mmzar el resgo sueto a u vel dado de redmeto. El sguete apartado desarrolla co u mayor detalle lo expuesto e este puto.

39 Pága 39 EJERCICIOS PROPUESTOS Los sguetes se propoe como u proceso de verfcacó de los coocmetos adqurdos, co el propósto de que el lector pueda calbrar su vel de aprehesó de la matera vsta. I. Defr lo sguetes coceptos (e caso de duda puede remtrse al lstado de térmos al fal del documeto) a. Frotera de Efceca b. Covaraza c. Coefcete de asocacó leal d. Resgo relatvo de u actvo e. Resgo Sstemátco f. Resgo o Sstemátco g. Coefcete de Varacó h. Desvacó Estádar. Resgo. Icertdumbre k. Actvo lbre de resgo II. Comete la valdez de las sguetes afrmacoes a. Es mposble ecotrar u actvo cuyo β,p sea cero. b. Sempre la Covaraza va a ser meor (y a lo sumo gual) al producto de las desvacoes dvduales para cada parea de actvos. c. Tal cosa como el resgo o exste, lo que hay es falta de formacó. d. Cada vez que me efreto a ua stuacó e la que o sé qué va a ocurrr, rezo u par de Padresuestros decdo y actúo. Nuca me ha fallado Esa es m forma de elmar la certdumbre. e. E u mudo de dos actvos, cualquer combacó de ellos forma parte de la frotera de efceca. f. Adqurr partcpacoes de u megafodo hace que el versosta pueda dlur el resgo sstemátco.

40 Pága 40 III. Eerccos. Se le proporcoa los sguetes datos para los redmetos de las accoes de dos compañías: Atlas Eléctrca y la Idustra Nacoal de Cemeto: Atlas Eléctrca INCSA Atlas Electr. 5.8,06 INCSA -75,90.093,44 E(R) 36,63 7,79 Utlce la fórmula de la proporcó de varaza míma para hallar las proporcoes e que debe combar los actvos. Grafque, e el espaco de meda varaza, los resultados obtedos y perfle la posble frotera de efceca.. Jua, El Artsta, se propoe vertr e dos accoes: A y B. Espera ua retabldad de 0% e A y del 8,5% e B. La desvacó típca de las retabldades es de 8% para A y de 5% para B. El coefcete de correlacó etre las retabldades es de 0.. y pesa vertr 50% e cada actvo. Cuáles sería los valores de los respectvos coefcetes de varacó de los portafolos e los que Jua verte, correspodetemete 30%, 50% y 80% e las accoes de la empresa A?. 3. F, G y H so actvos que se ecuetra suetos a cosderacó por parte de u versosta. Se ha desarrollado las sguetes dstrbucoes de probabldad de redmetos esperados para tales actvos: Actvo F Actvo G Actvo H Eveto Prob. Red. Prob. Red. Prob. Red % % 0.0 0% 0.0 0% % 0.5 0% % % % % 0.5 0% % % a. Calcule el valor del redmeto esperado, para cada uo de los tres actvos. Cuál proporcoa mayor redmeto esperado? b. Determe la desvacó estádar para el redmeto de cada uo de los tres actvos. c. Calcule el coefcete de varacó de cada uo de los tres actvos. Cuál parece teer mayor resgo relatvo? 4. Se solcta su coseo para elegr ua cartera de actvos y le ha proporcoado los sguetes datos:

41 Pága 4 Redmeto Esperado (%) Año Actvo A Actvo B Actvo C Se le ha dcho que puede crear dos carteras (ua costtuda por actvos A y B y la otra por los actvos A y C) vrtedo e proporcoes guales (50% e cada uo de los actvos compoetes). a. Cuál es la tasa de redmeto esperada para cada actvo durate el período de tres años? b. Cuál es la desvacó estádar para el redmeto de cada actvo? c. Cuál es el redmeto esperado cada ua de las carteras? d. Cómo caracterzaría las correlacoes etre los redmetos de ambos actvos que coforma las dos carteras detfcadas e el lteral c.? e. Cuál es la desvacó estádar para toda la cartera? f. Qué recomeda usted? Por qué? 5. U versosta se ecuetra cosderado la elaboracó de ua cartera que cotega dos actvos L y M. El actvo L represetará u 40% del valor e dólares de la cartera y el actvo M cotará co el restate 60%. Los redmetos esperados durate los sguetes ses años ( ) para cada uo de los actvos se ecuetra resumdos e el sguete cuadro: Redmeto Esperado (%) Año Actvo L Actvo M a. Calcule el redmeto esperado de cada actvo para el perodo de ses años. b. Determe la desvacó estádar de los redmetos esperados. c. Determe el redmeto esperado para cada año de la cartera compuesta por u 40% de L y u 60% de M. d. Determe la desvacó estádar de los redmetos esperados de esas carteras. 6. Dése la sguete formacó sobre dos actvos faceros: las accoes de la empresa A, dedcada a la presetacó de espectáculos artístcos y cematográfcos; la empresa B, dedcada a la produccó y veta de papas. Estado de la Probabldad Retabldad Potecal Ecoomía Empresa A Empresa B Auge 0.0 0% % Establdad % 3% Recesó 0.5 % 4% Crss 0.0-5% 5%

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