PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1. Resolver la ecuación en la incógnita x: Solución al problema 1
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- Joaquín Olivera Camacho
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1 PROBLEMS RESUELTOS Presetmos cotucó ls solucoes los problems,, del úmero de l Revst, que eví Crlos Mrcelo Css Cudrdo. Problem Resolver l ecucó e l cógt : (bsolutorl ufgbe, Bver, 87 Solucó l problem El térmo myor grdo del polomo que result l desrrollr el determte es 8, por lo que voy tetr descompoerlo e el producto de cutro polomos de segudo grdo (eso sempre es posble y que s z (complejo es ríz del polomo, z tmbé lo es, y (z (z tee coefcetes reles. Pr hcer esto, plcmos ls propeddes del determte: S se tercmb dos fls ó colums, el determte o vrí (cmb de sgo, pero l ser gul cero o vrí. S se sum u fl o colum u combcó lel de ls otrs fls o colums, el determte o vrí. S se multplc u úmero por u determte, tod u fl (o u colum qued multplcd por ese úmero. plcdo eso vmos operr el determte: Sumdo l curt colum ls otrs tres qued:
2 y como l curt colum está tod multplcd por, sle fuer del determte: ( y restdo tods ls fls l prmer: ( esrrolldo por l curt colum: ( Sumdo l tercer fl l segud meos l prmer: ( y cmbdo el sgo l tercer colum: ( scdo el fctor fuer del determte:
3 ( ( Restdo tods ls colums l prmer: ( ( El vlor del determte es el producto de los elemetos de l dgol secudr cmbdo de sgo, l ser cero todos los elemetos por debjo de ell. sí, l descomposcó fl qued: ( ( ( ( L úc posbldd de que es ecucó se cumpl es que l meos uo de los fctores se gul cero. Vmos lzrlos por seprdo: : ( ( que tom vlores reles s, ó. : ( que tom vlores reles s, ó. :
4 ( que tom vlores reles s, ó. : ( que tom vlores reles s, ó. Solucoes reles: epededo del vlor de, l ecucó tee dferete úmero de solucoes reles: <, 6 solucoes reles (y complejs: (, solucoes reles, u de ells doble (y complejs:, doble 6 6
5 < <, solucoes reles (y complejs:, solucoes reles, u de ells doble (y complejs:, doble < <, 6 solucoes reles (y complejs:, solucoes reles, dos de ells dobles (y complejs:, doble, doble >, solucoes reles (y 6 complejs:
6 Problem Clculr el límte: lm lm N (bsolutorl ufgbe, Bver 87 Solucó l problem Vmos ver cómo se comport el umerdor y el deomdor del límte cudo tee fto. eomdor: Scdo fctor comú qued: ( El teror del prétess es l sum de u progresó rtmétc, co lo que qued: ( y smplfcdo: ( co lo que se comport como cudo tede fto. Numerdor: Llmo N l umerdor. L fórmul de tegrcó del trpeco dce que: b f( d lmh f( f( h f( h f( ( h f( h h sedo el úmero de subtervlos equespcdos y h el dámetro de cd b tervlo ( h. S tommos f((, y b, l epresó qued:
7 ( ( h lm d ( h y operdo: ( lm lm lm N N Etoces, cudo tede fto, N se comport como, por lo que N se comport como. Volvedo l límte cl, y utlzdo ls promcoes de N y obteds, qued: lm lm y smplfcdo: 8 lm Not: Pr comprobr este resultdo he hecho u progrm, lmte.ee que clcul l epresó del límte desde hst u que hy que fjr, y
8 d l sld e sere.tt, y otro, lmte.ee, que hll el vlor de l epresó pr u solo, y d l sld e sere.tt (este últmo dmte s más grdes. Pr.., l epresó del límte es , cerco l solucó, Problem Por u puto P de l curv de ecucó y B C se trz u rect, que es tgete l curv e otro puto P. Por P se trz u rect, que es tgete l rect e u uevo puto P, y sí sucesv e defdmete. emostrr que l sucesó de putos P, P, P, tede hc el puto de fleó de l curv. (Prueb de Bchllerto, Suec 96 Solucó l problem do u puto P (,y de es sucesó vmos ver qué epresó tee el puto P (,y. Pr ello empezmos hlldo l ecucó de l rect que ps por P y P : y y m ( Hllmos l terseccó de es rect co l curv: y m ( y B C P( (B m (C m y Ls ríces de P( será los putos de terseccó de l rect co l curv. ebe teer u ríz smple,, que por suposcó está e ls dos, y u ríz,, doble, por ser l curv y l rect tgetes (ést últm es l que buscmos. Como es ríz, dvdmos P( por ( por ruff: Bm Cm y Q Q Q
9 Ls epresoes Q, Q y Q so dtos que o ecestmos pr l resolucó del problem (co ellos se podrí hllr m, l pedete de l rect. L dvsó h ddo como resultdo: Q ( P( R( R( debe teer u ríz doble por lo dcho terormete, y es es: por lo que teemos l relcó etre l coorded de u puto y el sguete: Hy que demostrr que tede cudo tede fto, sedo l coorded del puto de fleó de l curv: C B y( B ( y 6 ( y 6 ( y co lo que hy u puto de fleó e. Pr demostrr que coverge, voy hllr l dstc que hy desde e fucó de :
10 por lo que l dstc de es l mtd de l dstc de. S llmmos l dstc de, se tee que: tede s el límte cudo tede fto de l dstc etre y es cero: lm lm lm por lo que: lm y como pr cd vlor de e l curv cl sólo hy u vlor de y, y por lo tto u puto: lm P P
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