IES Fernando de Herrera Curso 2017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T NOMBRE:

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1 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T NOMBRE: Instrucciones: 1) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con la anulación del ejercicio o, incluso, de la prueba completa. En el ejercicio 1 hay que obtener una puntuación mínima de 1. puntos. De lo contrario, la calificación máima de la prueba es.. 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y cos ( ) b) y 6 ln ( ) c) y arctg e d) y log ( + 1) ) Estudiar la continuidad de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades: si 1 ( ) f() ( puntos) si 1 8 ) Hallar las tangentes a y + 1 paralelas a y 0. ( puntos) ) Realizar un estudio completo y representar gráficamente la función f(), ( 1) comprobando previamente que sus derivadas son Derivadas: 8 16 f '(), f "() Asíntotas: ( 1) ( 1) 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos 0, puntos Monotonía/Etr.relativos: 0,9 puntos Curvatura/P.Infleión: 0,9 puntos Gráfica (tras estudio anterior): 1 punto

2 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T SOLUCIONES 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y cos ( ) y ' cos ( ) ln sen ( ) 1 [cos ( ) ln 1 sen ( )] b) y 6 ln ( ) y 6 ln ( ) 1 6 ln ( ) 1 [ln 6 ln( ) ] 1 [ln 6 + ln ln( )] 1 [ln 6 + ln ln( )] y ' c) y arctg e d) y log ( + 1) y ' e 1 ( e ) y ' e 1 e ln10 6 ) Estudiar la continuidad de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades: si 1 ( ) f() ( puntos) si 1 8 (, 1): f coincide con la función y que, al ser elemental, es ( ) continua en su dominio. Como el denominador sólo se anula en, dicho valor es su única discontinuidad. Pero (, 1), por lo que es discontinuidad de esta última función, pero no de f. f es continua en este intervalo. (1, + ): f coincide con y, que es continua salvo en 8, punto que está 8 en este intervalo. Veamos de qué tipo es la discontinuidad: 1) / f(8); ) lim Como lim y lim 8 8, se trata de una discontinuidad asintótica de salto infinito. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 1 de

3 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T 1 1: 1) f(1) ( 1) 9 ; ) lim f( ) lim 1 1 ( ) 9 ; lim f( ) 1 lim. Como los límites laterales no coinciden, es una discontinuidad de salto finito. En resumen, f es continua en R {1, 8}, con discontinuidad de salto finito en 1 y asintótica de salto infinito en 8. ) Hallar las tangentes a y + 1 paralelas a y 0. ( puntos) Dos rectas son paralelas si, y sólo si tienen la misma pendiente. La recta que nos dan es y, por lo que su pendiente es 1. Buscamos, pues, tangentes a la función dada que tengan pendiente 1. La pendiente de la recta en un punto de abscisa vale f '(). Luego los buscados son: ó 1 Por lo que hay dos puntos en los que ocurre la condición pedida. 1: o Punto de tangencia: f( 1) ( 1) ( 1) + 1 es ( 1, ). o Pendiente de la tangente: m f '( 1) 1. o Ecuación de la tangente: y 1( + 1) y +. 1: o Punto de tangencia: f(1) es (1, 0). o Pendiente de la tangente: m f '(1) 1. o Ecuación de la tangente: y 0 1( 1) y 1. ) Realizar un estudio completo y representar gráficamente la función f(), ( 1) comprobando previamente que sus derivadas son Derivadas: 8 16 f '(), f "() Asíntotas: ( 1) ( 1) Comencemos derivando: ( 1) ( 1) f '() ( 1) ( 1)[ ( 1) 8 ] ( 1) 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos 0, puntos Monotonía/Etr.relativos: 0,9 puntos Curvatura/P.Infleión: 0,9 puntos Gráfica (tras estudio anterior): 1 punto 8 ( 1) ( 1) ( 1) ( )( 1) ( 1) [( 1) ( )] f "() 6 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1. Dominio: R { 1}, pues 1 anula el denominador. Aquí es continua, al ser elemental. ( ). Par / Impar: f( ) f(), f() Ni par, ni impar. ( 1) ( 1). Intersecciones con los ejes: Si 0 y 0: (0, 0). Y si y 0 0 0, válida, pues no anula el denominador. Da el mismo punto que antes. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 1º Bach C-T. Asíntotas: Verticales: El único punto de discontinuidad es 1. Y como lim 1 ( 1) 1 La recta de ec. 1 es asíntota vertical. 0 Horizontales: lim ( 1) lim 1 lim lim 0 La recta de ec. y 0 es asíntota horizontal. Oblicuas: Saldría la misma que la horizontal ya calculada.. Monotonía. Etremos relativos: Discontinuidades de f: 1. Discontinuidades de f ': 1. f '() 0: 0 1. Dividimos el dominio en intervalos mediante los puntos obtenidos: (, 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, +) f ' + / 0 + f (crec) / (decrec) mín (crec) Como f(1) 1 Tiene un mínimo relativo en (1, 1). 6. Curvatura. Puntos de infleión: Discontinuidades de f, f ': 1. Discontinuidades de f ": 1. f "() 0: Dividimos el dominio en intervalos mediante los puntos obtenidos: (, 1) 1 ( 1, ) (, +) f ' + / + 0 f (convea) / (convea) P.I. (cóncava) Como f() 8/9 Tiene un punto de infleión en (, 8/9). 7. Gráfica IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

5 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T NOMBRE: Instrucciones: 1) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con la anulación del ejercicio o, incluso, de la prueba completa. En el ejercicio 1 hay que obtener una puntuación mínima de 1. puntos. De lo contrario, la calificación máima de la prueba es.. 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y b) y tg ( + 1) c) y e ( + ) d) y ln ( ) ) (Selectividad 01) Sea f() + a + b + c. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene abscisa 1 y que f tiene un mínimo relativo en de valor 9. Calcular a, b y c. (1, puntos) ) (Selectividad 011) Dada la función f(), hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. (1 punto) ) (Selectividad CCSS 011) Estudiar la continuidad de la siguiente función según los valores de a, clasificando sus discontinuidades: (1, puntos) si f() a si ) Realizar el estudio completo y la representación gráfica de f() comprobar que sus derivadas son f '() ( ) 8 8 f "(). ( ) y ( ) tras Derivadas: 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos Asíntotas: 0, puntos Monotonía/Etr.relativos: 0,9 puntos Curvatura/P.Infleión: 0,9 puntos Gráfica (tras estudio anterior): 1 punto

6 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T SOLUCIONES 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y y ' 1 ( ) b) y tg ( + 1) y ' ( ) cos ( 1) c) y e ( + ) y ' e ( + ) + e ( + ) 1 e ( + ) [( + ) + 6 ] e ( + ) ( ) d) y ln ( ) 1 ln ( ) 1 ln ln( ) 1 [ln + ln ln( )] 1 [ln + ln ln( )] y ' ) (Selectividad 01) Sea f() + a + b + c. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene abscisa 1 y que f tiene un mínimo relativo en de valor 9. Calcular a, b y c. (1, puntos) Tenemos que: f '() + a + b; f "() 6 + a; f "'() 6. Punto de infleión en 1: Para que lo tenga, es suficiente eigir dos cosas: 1) f "(1) a 0 a. ) f "'(1) 0 6 0, que se cumple. Mínimo relativo en : Para que así sea, es suficiente eigir dos cosas: 1) f '() a + b 0 (como a ): b 0 b 0. ) f "() > a > 0 (como a ): 1 6 > 0, que se cumple. El mínimo en tiene valor 9: f() a + b + c 9 (como a y b 0): c 9 c. Luego a, b 0, c, siendo f(). ) (Selectividad 011) Dada la función f(), hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. (1 punto) Punto de tangencia: f() 0. Es (, 0). Pendiente de la tangente: f '() m f '() 1 1 Pendiente de la normal: m' 1 m Ecuación de la normal: y 0 1 ( ) y y 0. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 1 de

7 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T ) (Selectividad CCSS 011) Estudiar la continuidad de la siguiente función según los valores de a, clasificando sus discontinuidades: (1, puntos) si f() a si (, ): Es continua en todo el intervalo, por tener epresión polinómica. (, + ): Al coincidir con una función elemental, es continua en el dominio de ésta, que es R {0}, porque 0 anula el denominador. Pero 0 no está en este intervalo. Luego es continua en él. : 1) f() 6 + ; ) lim f( ) lim( ) ; lim f( ) lim a a 8 a. Será continua en cuando estos tres resultados coincidan, es decir: 8 a 8 a a. Y si esto no sucede, los límites laterales serán finitos pero distintos, por lo que tendrá una discontinuidad de salto finito. En resumen, si a es continua en todo R, y si a tiene una discontinuidad de salto finito en. ) Realizar el estudio completo y la representación gráfica de f() tras ( ) comprobar que sus derivadas son f '() y Derivadas: ( ) Asíntotas: 8 8 f "(). Monotonía/Etr.relativos: ( ) Curvatura/P.Infleión: Gráfica (tras estudio anterior): Derivadas ( ) ( ) 1 ( )[ ( ) ] f '() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( ) 1 ] 8 1 f "() 6 [( ) ] ( ) ( ) 8 8 ( ) 1. Dominio: R {}, pues anula el denominador. Aquí es continua. ( ) ( )( ). Par / Impar: f( ), que ( ) [( 1)( )] ( 1) ( ) ( ) no coincide ni con f() ni con f(), por lo que no es par, ni impar.. Intersecciones con los ejes. 0 y 0: (0, 0). y 0 0 0, válida porque no anula el ( ) denominador. Nos da el mismo punto que antes. 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos 0, puntos 0,9 puntos 0,9 puntos 1 punto IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

8 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T. Asíntotas Verticales: Como es la única discontinuidad, lim ( ) 0 la recta de ecuación es asíntota vertical. Horizontales: lim ( ) lim... 1 la recta de ecuación y 1 es asíntota horizontal. Oblicuas: Saldría la horizontal ya calculada.. Monotonía. Etremos relativos. Discontinuidades de f:. Discontinuidades de f ':. f '() 0: 0 0, válida porque no anula el denominador. ( ) Dividimos el dominio en intervalos por los puntos obtenidos, y vemos el signo de f ' en cada uno de ellos, tomando para ello un valor cualquiera del intervalo: (, 0) 0 (0, ) (, +) f ' 0 + / f (decrec) mín (crec) / (decrec) Como f(0) 0, tiene un mínimo relativo en (0, 0). 6. Curvatura. Puntos de infleión. Discontinuidades de f, f ', f ":. 8 8 f "() 0: 0 1, válida porque no anula el denominador. ( ) (, 1) 1 ( 1, ) (, +) f ' 0 + / + f (cóncava) P.I. (convea) / (convea) Como f( 1) 1/9, tiene un punto de infleión en ( 1, 1/9). 7. Gráfica. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

9 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T, grupo C NOMBRE: Instrucciones: 1) Todos los folios deben tener el nombre y estar numerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y simplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con la anulación del ejercicio o, incluso, de la prueba completa. 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y 8 b) y cos ( + 1) c) y e ( + 1) d) y ln ( ) ) Estudiar la continuidad en todo el dominio de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades y hallando el valor de a para que sea continua en : ( ptos) 1 si f() 9 a si ) Dada la función f() e cos(), calcular la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 0. (1 punto) ) Siendo f() a + b + c + d, calcular a, b, c y d sabiendo que f tiene un etremo relativo en (0, 1) y su gráfica un punto de infleión en (1, 1). (1 punto) ) Realizar el estudio completo y la representación gráfica de f(), comprobando previamente ( 1) que sus derivadas son f '() 6 ( 1). ( 1) y f "() Derivadas: 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos Asíntotas: 0, puntos Monotonía/Etr.relativos: 0,9 puntos Curvatura/P.Infleión: 0,9 puntos Gráfica (tras estudio anterior): 1 punto

10 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T, grupo C SOLUCIONES 1) Derivar y simplificar las siguientes funciones: ( puntos) a) y 8 b) y cos ( + 1) c) y e ( + 1) d) y ln ( ) a) y 8 y ' (8 ) ( ) b) y cos ( + 1) y ' 1 sen( + 1) c) y e ( + 1) y ' e ( + 1) + e ( + 1) 6 e ( + 1) [( + 1) + 1 ] e ( + 1) ( ) 1 d) y ln ln 1 ln ln( ) ( ) ( ) 1 [ln + ln ln( )] 1 [ln + ln ln( )] y ' ) Estudiar la continuidad en todo el dominio de la siguiente función, clasificando sus discontinuidades y hallando el valor de a para que sea continua en : ( ptos) 1 si f() 9 a si 1 (, ): f está definida mediante la función y. Al ser ésta una 9 función racional, es continua en su dominio, es decir, en todos los números reales salvo y, que anulan el denominador. Como no pertenece a (, ), lo ignoramos. Por todo ello, f es continua en todo este intervalo salvo en. Pasamos a estudiar éste punto: 1) / f( ) 1 ) lim 9 0 ; 1 lim De donde deducimos que tiene una discontinuidad asintótica de salto infinito en. (, +): f está definida por una función polinómica (y + a), y dichas funciones no presentan discontinuidades. Luego es continua en todo este intervalo. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 1 de

11 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T, grupo C 1 1 : 1) f() ; ) Para calcular lim f( ), hemos de estudiar 9 los límites laterales, porque la definición de f no coincide a izquierda y a derecha del punto que se estudia: 1 1 lim f( ) lim ; lim f( ) lim ( a) + a 9 Para ser continua en, estos resultados deben coincidir (de lo contrario, tendría en dicho punto una discontinuidad de salto finito). Así: a 0 + a 1 a 1 a 1 En definitiva, si a, f es continua en R { }, con una discontinuidad asintótica de salto infinito en. ) Dada la función f() e cos(), calcular la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 0. (1 punto) Punto de tangencia. Como f(0) e 0 cos(0) 1 1 1, es (0, 1). Pendiente de la recta tangente. f '() e cos() e sen() e [cos() sen()] m f '(0) e 0 [cos(0) sen(0)] 1(1 0) 1. Ecuación de la recta tangente. Usando la ecuación punto-pendiente, es: y 1 1( 0) y + 1. ) Siendo f() a + b + c + d, calcular a, b, c y d sabiendo que f tiene un etremo relativo en (0, 1) y su gráfica un punto de infleión en (1, 1). (1 punto) Sabemos: f '() a + b + c f "() 6a + b f "'() 6a Para tener un etremo relativo en 0, basta eigir: 1) f '(0) 0 c 0. ) f "(0) 0 (para que sea máimo o mínimo) b 0 b 0 (1) que nos queda pendiente de comprobación. Para que pase por (0, 1), eigimos f(0) 1 d 1. Para que tenga un punto de infleión en 1, eigimos: 1) f "(1) 0 6a + b 0 a + b 0 () ) f '"(1) 0 6a 0 a 0 () que nos queda pendiente de comprobación. Para pasar por (1, 1): f(1) 1 a + b a + b () Resolvemos el sistema formado por () y (): ab0 a b Sustituyendo en (): b a a 1 Con estos valores, se verifican (1) y (), por lo que la solución es válida. Esta solución es: a 1, b, c 0, d 1 f() + 1 ) Realizar el estudio completo y la representación gráfica de f(), comprobando ( 1) Derivadas: 0, puntos Dominio, Par/Impar, Int. Ejes: 0, puntos Asíntotas: 0, puntos Monotonía/Etr.relativos: 0,9 puntos Curvatura/P.Infleión: 0,9 puntos Gráfica (tras estudio anterior): 1 punto IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

12 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T, grupo C 6 previamente que sus derivadas son f '(), f "(). ( 1) ( 1) Comenzamos por calcular sus derivadas: ( 1) ( 1) ( 1)[ ( 1) ] f '() ( 1) ( 1) ( 1) f "() ( 1) ( 6 )( 1) ( )( 1) 6 ( 1) ( 1) [( 6 )( 1) ( )] ( 1) ( 1) 6 ( 1) 1. Dominio: D(f) R { 1}, pues 1 anula el denominador. Aquí es continua. ( ). Par / Impar: f( ) ( 1) ( 1) f(), f() Ni par, ni impar.. Cortes con los ejes: 0 f(0) 0 (0, 0). y 0 ( 1) 0 0, válida porque no anula el denominador (0, 0).. Asíntotas. Verticales: lim 1 ( 1) asíntota vertical. Horizontales: lim ( 1) No tiene AH. Oblicuas: m f ( ) lim 1 0 La recta de ecuación 1 es lim 1 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de lim 1 lim lim lim lim 1 n lim[ f ( ) m] lim 1 ( 1) lim lim lim 1 lim Luego la recta y es asíntota oblicua.

13 IES Fernando de Herrera Curso 017 / 18 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1º Bach C-T, grupo C. Monotonía. Etremos relativos. Discontinuidades de f: 1. Discontinuidades de f ': 1. f '() 0: ( 1) 0 ( + ) 0 0 ó. Dividimos el dominio en intervalos por los puntos anteriores, y vemos el signo de f ' en cada uno de ellos, tomando para ello un valor cualquiera del intervalo: (, ) (, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, + ) f ' + 0 / f (crec) má (decrec) / (crec) Tg horiz (crec) Como f( ) 7/ Máimo relativo en (, 6.7). Com f(0) 0 Tiene tangente horizontal en (0, 0). 6. Curvatura. Puntos de Infleión. Discontinuidades de f, f ': 1. Discontinuidades de f ": 1. 6 f "() 0: ( 1) 0 0. (, 1) 1 ( 1, 0) 0 (, +) f " / 0 + f (cóncava) / (cóncava) P.I. (convea) Tiene un punto de infleión en (0, 0). 7. Gráfica. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de