Circuito equivalente de un transformador con regulación. Equivalent circuit of a regulating transformer

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1 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0, pp Circuio equilee de u rsformdor co regulció Equile circui of regulig rsformer Ju A. Mríez-elsco Frcisco de Leó Reciido 6 de juio de 00, cepdo 3 de oiemre de 00 Receied: Jue 6, 00 Aeped: Noemer 3, 00 REUMEN Ese rículo prese u meodologí pr l oeció y uilizció del circuio equilee de u rsformdor co regulció e el que es posile rir su relció de rsformció. Ese speco esá isuficieemee rdo e l myorí de liros de exo cules e los que el circuio de u rsformdor co regulció se prese de form poco jusificd. Ese documeo muesr cómo oeer el circuio equilee del rsformdor y cómo plicrlo uilizdo o lores reles como lores por uidd (pu). El rmieo co lores por uidd se puede relizr seleiodo los lores se de form rirri, lo que supoe u ej eidee cudo se r de deermir lgu de ls esioes omiles del rsformdor e esudio. Auque el ojeio del rículo es el de preser u méodo pr rsformdores co regulció, el méodo es mié álido pr rsformdores co relció de rsformció cose e los que se eg que deermir lgu de sus esioes omiles. El rículo icluye dos ejemplos co cmpos de plicció muy disios que serirá pr ilusrr ls ejs del méodo propueso. Plrs cle: Trsformdor de poeci, rsformdor co oms, circuio equilee, álisis e régime permee, modelció, lores por uidd. ABTRACT This pper preses mehodology imed oiig d pplyig he equile circui of regulig rsformer, whose ur rio c e ried. This spec is isufficiely reed i mos curre exooks i which he equile circui of pped rsformer is o well jusified. This docume shows how o oi he equile circui of he rsformer d how o pply i usig eiher physicl quiies or per ui (pu) quiies. The usge of per ui lues c e performed y selecig he se quiies i rirry mer, which is oious dge whe oe of he red olges mus e esimed. Alhough he gol of he pper is o deelop mehod for regulig rsformers (e.g., uder lod p chgers, ULTC), i c e pplied o rsformers wih fixed ur rio for which oe of he red olges is ukow. The pper icludes wo illusrie exmples wih differe fields of pplicio. Keywords: Power rsformer, p chger, equile circui, sedy-se lysis, modelig, per ui lues. INTRODUCCIÓN El rsformdor co oms es u disposiio muy comú e ls redes de rspore y disriució de eergí elécric, icluso e islcioes elécrics de l esió. e r de u disposiio muy úil pr el corol de esioes [-5]. i demás de rir su relció de rsformció, mié se Deprme d Egiyerí Elècric. Uiersi Poliècic de Cluy. A. Digol 647, CP Brcelo, Espñ. E-mil: mriez@ee.upc.edu Deprme of Elecricl d Compuer Egieerig. Polyechic Isiue of NYU. Brookly, NY 0. UA. E-mil: fdeleo@poly.edu

2 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 puede rir el desfse ere ls esioes e sus ermiles, eoces mié es u disposiio muy úil pr el corol de flujos de poeci [6-7]. Uo de los prolems que se prese cudo se r de relizr cálculos co ese ipo de rsformdor es el rmieo de su circuio equilee. El prolem se complic cudo se preede relizr cálculos co ciddes por uidd (pu), dode los lores se y los lores omiles o coicide. El cálculo de los prámeros del circuio equilee de u rsformdor e lores por uidd es muy simple cudo los lores se seleiodos y los lores omiles del rsformdor coicide. i emrgo, exise ris rzoes por ls que o es posile seleior los lores se igules los lores omiles; por ejemplo, cudo el prolem cosise e deermir l om o l esió omil (de primrio o secudrio) que se dee sigr u rsformdor pr coseguir u deermid esió e ciero udo de l red e esudio, o cudo el sisem iee rios rsformdores y o es posile seleior los lores se igules los lores omiles de odos ellos. Por or pre, exise muy pocos liros de exo que presee de form meódic l oeció del circuio equilee, y que jusifique o l seleió de lores se como ls hipóesis de cálculo empleds. El ojeio de ese rículo es mosrr cómo se puede oeer y plicr los circuios equilees de u rsformdor de dos rrollmieos co relció de rsformció rile, cuyos prámeros puede esr expresdos e ciddes físics o e lores por uidd, si los lores se se elige de form rirri. El circuio equilee de u rsformdor depede del ipo de esudio relizr y sore odo del rgo de frecuecis que puede precer e ls ods de esió y corriee del sisem e esudio. Pr u álisis delldo de los modelos de rsformdor empler, el lecor ieresdo puede cosulr ls referecis [8-]. Los circuios equilees esudidos e ese rículo sólo so álidos pr el álisis de redes e régime permee y equilirdo; por ejemplo, pr esudios de flujos de crg (lod flow) e los que se uiliz modelos moofásicos. El documeo h sido orgizdo como sigue. Iicilmee prese u ree iroduió de los circuios equilees de u rsformdor moofásico de dos rrollmieos e régime permee, sí como de los circuios equilees empledos e ese rjo. A coiució de jusific l deduió de los circuios equilees de u rsformdor co oms y co prámeros expresdos e ciddes físics o e lores por uidd. L plicció de esos circuios se ilusr medie dos ejemplos relciodos co pliccioes muy disis: l seleió de esió omil y el cálculo de ls corriees de corocircuio permees e cso de fl siméric. CIRCUITO EQUIALENTE DE UN TRANFORMADOR L Figur muesr el circuio equilee de u rsformdor de dos rrollmieos e el que sus ldos primrio y secudrio esá relciodos medie l relció de rsformció N p /N s. Ese circuio puede serir pr represer u rsformdor moofásico o culquier de ls fses de u rsformdor rifásico, o e régime permee como e procesos rsiorios de j frecueci. E cso de eer que lizr el compormieo compleo de u rsformdor rifásico, demás de icluir l represeció de ls res fses, serí ecesrio eer e cue el ipo de coexió e mos ldos del rsformdor. E ese rjo sólo se liz circuios decudos pr represer u rsformdor de dos rrollmieos fuciodo e régime permee y e codicioes de crg siméric y equilird. E les codicioes, u rsformdor rifásico se puede represer medie u circuio equilee moofásico. R L P P N P : N R m L m Figur. Circuio equilee de u rsformdor co dos rrollmieos. L R 94

3 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció Los prámeros que prece e el circuio de l Figur iee u sigificdo físico muy cocreo: R m y L m so los prámeros del úcleo del rsformdor; R m represe ls pérdids e el úcleo, miers que L m represe el flujo de mgeizció cofido e el úcleo y comú los dos rrollmieos del rsformdor. R p, L p, R s y L s so los prámeros de los rrollmieos; R p y R s represe ls pérdids por efeco Joule de los dos rrollmieos del rsformdor, y L p y L s represe los flujos de dispersió de cd rrollmieo. L relció N p /N s es l relció ere el úmero de espirs de los ldos primrio y secudrio del rsformdor, o lo que es igul l relció de rsformció ere esioes y corriees omiles de mos ldos. L represeció de l Figur o es l úic uilizd e esudios co rsformdores. Es muy corriee el uso de circuios equilees e los que los dos rrollmieos del rsformdor se represe medie u sol resiseci y u sol iducci, y se referid l ldo primrio o l ldo secudrio. Por oro ldo, los prámeros del úcleo, R m y L m, mié podrí her sido siudos e el ldo secudrio. E odos los csos se h supueso que el prámero L m es o liel. U represeció más riguros hrí cosiderdo que mié es o liel el prámero R m, y hrí eido e cue l depedeci de R m co respeco l frecueci. El circuio de l Figur es uilizdo e el cálculo de procesos rsiorios de j frecueci y e deermidos esudios e régime permee, uque e ese úlimo cso se suele cosiderr que el prámero L m iee u compormieo liel. Pr deermidos esudios, el circuio equilee de u rsformdor se puede simplificr, prescidiedo de los prámeros que represe el úcleo. E ese rjo se supoe que culquier de los circuios de l Figur represe el compormieo de u rsformdor co suficiee precisió [6-7, 3-4]. De hecho e lgú cso se prescidirá icluso del prámero resiseci. Pr oeer los prámeros de los circuios de l Figur será ecesrio coocer los lores oeidos e el esyo ormlizdo e corocircuio. i se uiliz los siguiees símolos: Poeci omil, e ka o MA Tesioes omiles,, e k Tesió de corocircuio ε, (e pu o e %) Pérdids por efeco Joule e el esyo e corocircuio W, e kw o MW el cálculo de los prámeros del circuio equilee simplificdo y referido l secudrio podrí ser como sigue (Figur ): Z R ε () W () X ωl Z R ( ω πf ) (c) dode Z es l impedci ol de los rrollmieos, referid l ldo secudrio, y f es l frecueci de operció del sisem e el que fucio el rsformdor. R L P ) Prámeros e el ldo primrio. P L R ) Prámeros e el ldo secudrio. Figur. Circuios equilees simplificdos de u rsformdor co dos rrollmieos. Por lo que respec l cálculo de prámeros referidos l ldo primrio (Figur ), sólo es ecesrio cmir el suídice por el suídice e el símolo de esió omil y plicr el mismo proceso. 95

4 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 Los lores de resiseci, iducci (o recci) e impedci de los circuios de l Figur se cooce mié como resiseci, iducci (o recci) e impedci de corocircuio. Así, por o, e el reso del rículo se uilizrá los siguiees símolos: Z Z R + jx () Z Z R + jx () E l plicció de ess fórmuls se supoe que los lores de ε y W, so los mismos idepedieemee de cuál se el ldo por el que se lime o el ldo por el que se corocircui el rsformdor dure el esyo e corocircuio. CIRCUITO EQUIALENTE DE UN TRANFORMADOR CON REGULACIÓN El esudio se relizrá co u rsformdor moofásico del que se cooce l poeci omil ( ), ls esioes omiles (, ), l esió de corocircuio (ε ) y ls pérdids de poeci por efeco Joule oeids e el esyo e corocircuio (W ). L relció ere los lores omiles de u rsformdor es: I I (3) Los lores se uilizdos pr oeer el circuio equilee co prámeros por uidd se escoge iicilmee de form rirri: Poeci se: Tesioes se:, De quí se oiee ls siguiees iesiddes e impedcis se: I Z ; I (4) ; Z (4) El esudio se reliz supoiedo que i l esió plicd e el esyo de corocircuio, ε, geerlmee expresd e lor porceul (%) co respeco ls esioes omiles, i ls pérdids de poeci por efeco Joule medids e el mismo esyo, W, depede de l om, o se, de l relció de rsformció e el rsformdor. De form iuii es posile rzor que l cmir l om del rsformdor el flujo de dispersió e el ldo de l om rí de form proporciol y que, por o, l esió de corocircuio referid l ue esió omil seguirá siedo l mism. Por lo que respec ls pérdids por efeco Joule, se puede supoer que l rir l om o l esió omil e u ldo del rsformdor, se modific l resiseci y l iesidd de form proporciol. Como ls pérdids depede del cudrdo de l iesidd y l impedci rí co el cudrdo de l relció de rsformció, se puede supoer que mos efecos se compes cudo se ju ls pérdids de los dos rrollmieos e u sol cidd. E relidd o es esricmee correco supoer que l esió de corocircuio de u rsformdor expresd e form porceul es idepediee de l om del rsformdor. i emrgo, cudo se r de oeer el circuio equilee de u rsformdor co regulció, es proximció es uilizd e los liros de exo y e muchos esudios e los que l represeció del rsformdor se deri de lguo de los circuios mosrdos e l Figur. L seió h sido diidid e dos pres, e cd u de ls cules se oedrá u circuio equilee del rsformdor co regulció. Aplicdo ls hipóesis comeds e el párrfo erior, se puede cocluir que el lor de l impedci de corocircuio de u rsformdor se puede oeer referid su ldo secudrio cudo se cooce l esió omil de ese ldo y ls oms de regulció se siú e el ldo primrio, er ecucioes (). Iersmee, será posile oeer l impedci de corocircuio referid l ldo primrio cudo ls oms de regulció se siú e el ldo secudrio y, por o, se cooce l esió omil del ldo primrio. 96

5 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció Impedci de corocircuio is desde el ldo secudrio L Figur 3 muesr el circuio equilee de u rsformdor iso desde su ldo secudrio, e el que se puede regulr su relció de rsformció. I Y Z I Y 3 I r Z I Figur 4. Circuio equilee e π. Figur 3. Circuio equilee de u rsformdor iso desde el ldo secudrio. Ls ecucioes del circuio equilee se puede or de l siguiee form: Dode r r + Z I I I / r ( ) (5) I ; Z ε (6) I El lor de Z se puede clculr cudo se cooce el lor de, l como muesr l ecució (6). Los lores de l resiseci, R, y l recci de corocircuio, X, iss desde el ldo secudrio, se clcul medie ls ecucioes (). E el esudio que se prese coiució se descooce, y por o r. A prir de (5) se oiee ls siguiees ecucioes de rsmisió del rsformdor: I r rz 0 / r I (7) E ess ecucioes, l relció de rsformció r será descoocid, uque e relidd l icógi se l esió omil de primrio. El ojeio es sieizr u circuio psio prir de ess ecucioes de rsmisió. L cofigurció del circuio será l que muesr l Figur 4. Ls ecucioes de rsmisió de ese circuio so ls siguiees: I + ZY3 Z Y + Y3 + YY 3Z + ZY I (8) De l comprció ere ls ecucioes (7) y (8) se deduce que: Z r Z ; + ZY3 r ; + ZY / r (9) de dode se oiee Z Y Y r Z 3 / r r Z r Z r r Z rz (0) L Figur 5 muesr el circuio resule, e el que r suele ser u icógi. r Z r Z r r Z Figur 5. Circuio equilee de u rsformdor iso desde el ldo secudrio. L oeció del circuio equilee co prámeros por uidd se puede relizr de ris forms. E ese rjo se relizrá prir de l ecució (7), que puede expresrse e fució de los lores se como sigue: 0 r rz 0 I i 0 / r 0 0 () I i 97

6 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 dode,, I y I so los lores se de esioes y corriees, y,, i y i so los lores de esioes y corriees del rsformdor ddos por uidd. No: E ese rículo los prámeros y riles (esioes, corriees y poecis) e lores por uidd se o co lers miúsculs, pr diferecirlos de los correspodiees lores expresdos e ciddes físics, que se o co lers myúsculs. L ecució erior qued de l siguiee form: 0 r rz i 0 I 0 / r 0 de dode resul: i 0 () I i r r rz I / / (3) 0 r / r i resul el siguiee sisem de ecucioes co riles y prámeros por uidd: i Hciedo, r r z r r / / 0 r / r (8) i qued filmee: i r / r (9) z 0 / i (0) iguiedo el mismo procedimieo que co los circuios eriores, el circuio l que correspode ess ecucioes puede ser culquier de los que muesr l Figur 6. i z i siedo, r I I (4) ) Co rsformdor idel. Teiedo e cue l expresió de Z, er ecució (6), el érmio rz I / se puede escriir de l siguiee form (óese que se h prescidido del crácer complejo de Z ). z z rz I de dode resul: rz I r ε (5) r ε r (6) Pueso que el lor de l impedci de corocircuio por uidd is desde el ldo secudrio es: z Z ε Z (7) ) i rsformdor idel. Figur 6. Circuio equilee de u rsformdor co prámeros e pu iso desde el ldo secudrio. El circuio de l Figur 6 es el que se suele lizr e l myorí de exos cudo el ojeio del esudio es deermir l om co l que dee operr u rsformdor pr coseguir u deermid esió e u udo de l red e esudio. Impedci de corocircuio is desde el ldo primrio L Figur 7 muesr el circuio equilee de u rsformdor co regulció iso desde su ldo primrio. 98

7 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció I Z r I co z Z ε Z (5) Figur 7. Circuio equilee de u rsformdor iso desde el ldo primrio. Ls ecucioes del circuio equilee se puede or de l siguiee form: El circuio l que correspode ess ecucioes puede ser culquier de los que muesr l Figur 9 si se sigue el mismo procedimieo que se empleó cudo los prámeros er reles. r + Z I r + Z I / r I I / r () i z i dode: Z ε () ) Co rsformdor idel. z / A prir de () se oiee ls siguiees ecucioes de rsmisió: z z I r Z r / 0 / r I (3) iguiedo el mismo procedimieo que co el circuio erior se oiee el circuio de l Figur 8, e el que uemee l relció de rsformció r será u icógi. E ese cso l icógi relmee es, y que es coocid y se uiliz pr oeer Z. Z Z /r r r Z Figur 8. Circuio equilee de u rsformdor iso desde el ldo primrio. Ls ecucioes resules del circuio co prámeros por uidd so ls siguiees: i z / 0 / i (4) ) i rsformdor idel. Figur 9. Circuio equilee de u rsformdor co prámeros e pu iso desde el ldo primrio. El circuio de l Figur 9 es uilizdo e muy pocos exos, er por ejemplo [6]. e puede demosrr que los prámeros del circuio de l Figur 6 y los del circuio de l Figur 9 so los mismos cudo el lor de es coocido. Por ejemplo, pr el prámero cerl de mos circuios se iee: Circuio equilee Figur 6 z r Z ε (6) r Z Circuio equilee Figur 9 z r Z / ε (6) r Z 99

8 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 Es decir, cudo los lores se y los lores omiles so coocidos, idepedieemee del lor de, el esudio se puede hcer co uo u oro circuio, er Ejemplo. i emrgo, eso o sigific que se pued uilizr uo u oro circuio idisimee cudo se r de clculr el lor de, como se muesr e el Ejemplo. El circuio de l Figur 6 es el que dee uilizrse cudo se cooce l esió omil de secudrio, y el de l Figur 9 cudo se cooce l esió omil de primrio. Oros circuios equilees Los circuios eriores fuero oeidos co lores se escogidos de form rirri. i emrgo, si l seleió de los lores se se reliz siguiedo deermidos crierios es posile oeer oros circuios equilees, segú se idic coiució.. i r r, resul, y ls ecucioes (0) y (4) qued, respecimee: i i z 0 z 0 i i Pueso que se h supueso que: mié se cumple: (7) (7) (8) (9) co lo que prir de (7) y (5), o (7), resul z z z (30) y el circuio resule de u rsformdor co prámeros por uidd, iso o desde el ldo primrio como desde el ldo secudrio, será el que muesr l Figur 0. Pr oeer ese circuio equilee o es ecesrio que ls esioes se seleiods se igules ls esioes omiles del rsformdor, sio que l relció ere esioes se y esioes omiles se l mism (es decir, r r ; ). z Figur 0. Circuio equilee de u rsformdor co prámeros e pu - r r ;.. E el cso priculr e el que y, mié es y z z z ε (3) 3. i demás de l codició erior se iee, eoces: z z z ε (3) Auque l relció de rsformció, r /, o se coocid, es posile supoer como se muesr e el siguiee ejemplo. i emrgo, o siempre resul cosejle hcer r r ; e les csos se edrá que escoger, ere el circuio de l Figur 5 o el de l Figur 8, y uilizr ( r /r ) como icógi. EJEMPLO Los circuios equilees del rsformdor co regulció se ouiero pr u rsformdor moofásico. To el procedimieo como los circuios equilees y el cálculo de prámeros será igules e cso de rr co rsformdores rifásicos. E el cso de rsformdores rifásicos, l poeci omil,, es l correspodiee ls res fses, miers que ls esioes omiles, y, so ls esioes eficces (rms) ere fses. Los rsformdores esudidos e los ejemplos que se prese coiució so rifásicos. U ojeio comú los dos ejemplos icluidos e es seió es mosrr cómo se puede uilizr los disios circuios de u rsformdor co regulció lizdos e l seió erior. 00

9 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció Ejemplo. Ese ejemplo icluye dos pres e ls que se esudi el mismo rsformdor, uque los lores deermir será disios e cd pre. E cd cso se r de deermir u de ls esioes omiles del rsformdor. El circuio empledo pr represer el rsformdor depederá de l esió descoocid e cd cso. Auque el procedimieo es el mismo e ms pres, exise lgus diferecis impores que jusific el esudio de los dos csos. Tégse e cue que el rsformdor e esudio puede ser o u rsformdor co oms (pr el que se dese deermir l relció de rsformció ecesri) como u rsformdor co relció de rsformció fij (pr el que se dese deermir u de sus esioes omiles). A. Cálculo de l esió omil de primrio Cosidérese el rsformdor mosrdo e l Figur. e r de u rsformdor co relció de rsformció rile, pr el que se puede regulr su esió omil de primrio. e dese deermir el lor de l esió omil de primrio,, pr que ediedo l demd idicd e l figur, l esió resule e el ldo secudrio se 5 k cudo l esió e su ldo primrio es 0 k. El ejemplo se resolerá uilizdo dos procedimieos disios, y e mos csos los cálculos se relizrá co ciddes por uidd. Como lor de poeci se se uilizrá 00 MA. jx Figur. Ejemplo A: Circuio equilee del rsformdor ( ). Los lores se y los omiles so, por o: Tesioes: Nomiles /5 k Bse /5 k Poeci: Nomil 0 MA Bse 00 MA. Osérese que o el lor se como el lor omil de l esió e el ldo primrio so descoocidos. E relidd se r del lor oeer e ese ejemplo. De cuerdo co l ecució (7) se iee: x x , 0 040, Ls codicioes de operció coocids so ls siguiees: Tesió udo : 0 k Tesió udo : 5 k Demd e udo : D 0 MA, fp 0,8. A prir de los lores se se oiee los siguiees lores por uidd: Tesió udo : pu Demd e udo : s D 0,6 + j0, pu. El lor de l esió e el udo se puede oeer medie l siguiee expresió: + jx i Figur. Ejemplo A: Digrm del cso esudir. ) Prámero Los lores se pr ls esioes será los lores omiles, y el circuio equilee será el que muesr l Figur. Hciedo 0, el lor de l iesidd i será i sd 06 j0 sd i,, pu ( * de dode resul: * ), j0, 064 pu 05, pu 0

10 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 Pueso que y 0 k, se oiee 0 09, 5 k 05, ) Prámero Los lores se pr ls esioes será los lores de ls esioes coocids e mos ldos del rsformdor, y el circuio equilee será el que muesr l Figur 3. Recuérdese que el prámero cerl se expres como impedci y los prámeros rsersles como dmicis. jx de dode resul 0. El ejemplo se resolerá medie el méodo de Newo-Rphso, siguiedo el mismo procedimieo que se emple e l resolució del flujo de crgs (lod flow) [6, 5, 6]. Pr el rmieo de rsformdores rifásicos e esudios de flujo de crgs, er [7-8]. De l Figur 3 se oiee l siguiee mriz de dmicis de udo: Y BU jx jx jx jx Teiedo e cue que x 0,4 qued: jx jx Figur 3. Ejemplo A: Circuio equilee del rsformdor ( ). Los lores se y los omiles so hor los siguiees: Tesioes: Nomiles /5 k Bse 0/5 k Poeci: Nomil 0 MA Bse 00 MA. L recci de corocircuio del rsformdor se oiee de ueo medie l ecució (7), co lo que se oiee el mismo lor que se ouo eriormee; es decir, x 0,40 pu. Ls codicioes de operció coocids so ls misms que e el esudio erior. i emrgo, pr ls codicioes de operció coocids por uidd hy u oedd, y que hor mié se cooce l esió e el udo : Tesió udo : pu Tesió udo : pu Demd e udo : s D 0,6 + j0, pu. Por lo que respec l prámero se iee r / 5 r 0 / 5 0 5, 5, j j Y BU 5, j j 5, Ls ecucioes de poeci e el udo, prir de ls ecucioes de dmici de udo del circuio de l Figur 3, so ls siguiees: p [ ( g cosδ + si δ ) + g ] q [ ( g si δ cos δ ) ] dode y so los módulos de ls esioes e los udos ermiles del rsformdor, e por uidd, δ δ δ, δ y δ so los rgumeos de ls esioes, y g ij y ij so respecimee l pre rel e imgiri de los elemeos de l mriz de dmicis de udo, e por uidd. Teiedo e cue los lores de l mriz de dmicis de udo qued: p si δ q [ cos δ + ] 0

11 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció i se om el águlo de fse de l esió e el udo como águlo de refereci, δ 0, qued δ δ δ. Pueso que: 5,, 5 resul filmee, p q 5, si δ 5, cos δ + 5, Pr l resolució medie el méodo de Newo- Rphso se eslece ls siguiees ecucioes: f p p 0 p coocid clculd fq qcoocid qclculd 0 que e ese cso qued de l siguiee form: f f p q 5, 06, si δ 0 5, 6, + cosδ 0 (33) e iee u sisem de dos ecucioes co dos icógis, y δ. El méodo de Newo-Rphso se srá e el siguiee lgorimo: δ δ fp δ fp f m / / m q / δ ( + ) ( ) fq / f p fq ( m) ( m) i se iici el proceso ierio co δ (0) 0 y (0), se oiee δ 3,495 ; 0,954. De quí resul 0 0 0,954 09,5 k. B. Cálculo de l esió omil de secudrio Cosidérese hor el rsformdor mosrdo e l Figur 4. e r del mismo rsformdor erior pero pr el que hor se regul su esió omil de secudrio. e dese deermir el lor de es esió omil,, pr que ediedo l demd idicd e l figur, l esió resule e el ldo secudrio se 5 k cudo l esió e su ldo primrio es 0 k. 0/ Figur 4. Ejemplo B: Digrm del cso esudir. ) Prámero Los lores se pr ls esioes será los lores omiles, y el circuio equilee será el mismo que muesr l Figur. Es decir: Tesioes: Nomiles 0/ k Bse 0/ k Poeci: Nomil 0 MA Bse 00 MA. iguiedo el mismo procedimieo que e el ejemplo erior, de cuerdo co l ecució (5) se oiee el mismo lor, x 0,40. Ls codicioes de operció so ls misms que e el cso erior. A prir de los lores se se oiee los siguiees lores por uidd: Tesió udo : pu Demd e udo : s D 0,6 + j0, pu. El lor de l esió e el udo se puede oeer resoliedo l siguiee ecució: 4 + ( r p + x q ) z s 0 (34) ( D D ) + ( D ) e l que s 0, 0 p 06, q 0, D D D z 04, r 0 x 0, 4 No: L deduió de l ecució (34) se prese e el Aexo de ese rículo. Resul 0,9470. Pueso que: 03

12 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 y 5 k, se oiee: 5 6, 4 k 0, 9470 ) Prámero Los lores se pr ls esioes será los lores de ls esioes coocids e mos ldos del rsformdor, y el circuio equilee será el que muesr l Figur 5. jx / jx jx Figur 5. Ejemplo B: Circuio equilee del rsformdor ( ). Los lores se y los lores omiles so hor los siguiees: Tesioes: Nomiles 0/ k Bse 0/5 k Poeci: Nomil 0 MA Bse 00 MA. L recci de corocircuio del rsformdor se oiee de ueo medie l ecució (5), que proporcio el mismo lor que se ouo e el Ejemplo A; es decir, x 0,40 pu. Ls codicioes de operció coocids so ls misms que e el esudio erior. i emrgo, pr ls codicioes de operció por uidd hor mié se cooce l esió e el udo : Tesió udo : pu Tesió udo : pu Demd e : s D 0,6 + j0, pu. Por lo que respec l prámero se iee r 0 / 5 r 0 / 5 de dode resul 5 /. De l Figur 5 se oiee l siguiee mriz de dmicis de udo: Y BU jx jx jx jx Teiedo e cue que x 0,4, qued j j YBU 5, 5, j5, j5, Ls ecucioes de poeci e el udo, prir de ls ecucioes de dmici de udo del circuio de l Figur 5 so ls misms que pr el ejemplo erior. i se om de ueo el águlo de fse de l esió e el udo como águlo de refereci, δ 0, y se iee e cue que: 5, 5, resul filmee: p 5, si δ q 5, cos δ + 5, Co el mismo procedimieo que e el cso erior se oiee el siguiee sisem de ecucioes: f p 06,, 5si δ 0 f 0, +, 5cos δ, 5 0 q (35) L plicció del méodo de Newo-Rphso se srá e el mismo lgorimo que e el Ejemplo A. e oiee δ 3,875 ; 0,947. De quí resul 6,4 k. Del esudio de ls siucioes eriores, co, se oiee u coclusió ierese. E mos csos se cooce ls misms codicioes e lores por uidd, pero los sisems de ecucioes resoler, (33) y (35), so disios, y los resuldos so diferees. El uso de uo u oro circuio iee impueso por el lor de esió omil que se h de oeer: e el Ejemplo A se eí que deermir, miers que e el Ejemplo B h sido. 04

13 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció Ejemplo L Figur 6 muesr u rsformdor coecdo u red de medi esió que lime u islció idusril. e dese clculr l corriee de corocircuio, medid e su ldo secudrio. Circuio equilee iso desde el ldo secudrio i x eq xeq + xt i + x i x eq + x i T T x eq T + x Figur 6. Ejemplo : Digrm del cso esudir. i x eq x T i ) Impedci de corocircuio e secudrio. x eq x T i i Pueso que, y r r I ii I 3 3 x x T eq x x ) Impedci de corocircuio e primrio. Figur 7. Ejemplo : Circuios equilees. El ojeio es clculr l corriee de corocircuio cosiderdo rios escerios e los que se rí l om del rsformdor y ls codicioes de operció. Los cálculos será relizdos co ciddes por uidd, omdo como refereci los circuios de l Figur 7, e los que x eq represe l impedci de l red de 3,8 k. El cso h sido propueso e [9] y quí será lizdo cosiderdo los modelos y procedimieos presedos e ls seioes eriores. Teiedo e cue que odos los cálculos se relizrá co los mismos lores se ( 0 MA, 3,8 k, 4,6 k), el cálculo de l corriee de corocircuio, medid e los ermiles del ldo secudrio, se oiee prir de los dos circuios como sigue: resul: I 3 xeq + x Circuio equilee iso desde el ldo primrio i ( xeq + xt) i x Pueso que x T eq x x + x T resul l mism expresió que se ouo co el circuio iso desde el ldo secudrio. 05

14 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 Pr el cso se, er Figur 6, se iee los siguiees lores: 0 MA, 3,8 k, 4,6 k, x 0,06, 3,8 k, x eq 0,0, de dode resul I 7,53 KA. L Tl muesr los resuldos oeidos prir de l expresió erior co lguos de los csos lizdos e l refereci [9]. e puede compror que e odos los csos, los resuldos so los mismos que se ouiero e [9]. Ese ejemplo demuesr que l plicció de uo u oro circuio produce los mismos resuldos cudo el lor de es coocido. Tl. Ejemplo : Resuldos e fució de l om de regulció y de ls codicioes de operció. Cso 3,8 k 4,6 k 500 MA 3,/3,98 k 0 MA x 6% Resuldos 3, k 3, 98 k 3, 8 k 3, / 3, 98 3, 8/ 4, 6 3,8 3, 0 I 8, 53 ka 3, 8 3, 8 3, 3 3, 98 00, + 0, 06 3, 8 4, k 4,5 k 500 MA 3,8/4,6 k 0 MA x 6% 3, 8 k 4, 6 k 4, k 3, 8/ 4, 6 3, 8/ 4, 6 4, 3, 8 0 I 7, 73 ka 3, 8 3, 8 3, 8 3 4, 6 00, + 0, 06 3, 8 3,8 k 4,67 k 3,8 k 4,67 k 500 MA 3,455/4,6 k 0 MA x 6% 500 MA 3,8/4,67 k 0 MA x 6% 3, 455 k 4, 6 k 3, 8 k 3, 455 / 4, 6 0, 975 3, 8/ 4, 6 3, 8 3, I 7, 57 ka 3, 8 3, 8 3, , 6 00, + 0, 06 3, 8 3, 8 k 4, 67 k 3, 8 k 3, 8/ 4, 67 0, 975 3, 8/ 4, 6 3, 8 3, 8 0 I c c 6, 9 ka 3, 8 3, 8 3,8 3 4, 67 00, + 0, 06 3, 8 (Coiú) 06

15 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció Cso 3,54 k 4,6 k 500 MA 3,/4,056 k 0 MA x 6% Resuldos 3, k 4, 056 k 3, 54 k 3, 8/ 4, 056, 06 3, 8/ 4, 6 3, 54 3, 0 I 7, 84 ka 3, 8 3, 8 3, 3 4, , + 0, 06 3, 8 No: E odos los cálculos 3, 8 k; 4, 6 k; 0 MA. CONCLUIONE Ese rículo h mosrdo cómo deermir el lor de l esió omil co l que dee rjr u rsformdor co regulció que form pre de u red e l que se corol l esió e lguo de sus udos medie u relció de rsformció decud. Por or pre, se h mosrdo que es posile oeer más de u circuio equilee pr u rsformdor co regulció, y que el empleo de uo u oro circuio depederá de los lores coocidos, del esudio relizr, y del méodo de solució plicdo. e h demosrdo que e lguos csos es posile uilizr circuios muy simples. Ls coclusioes más impores se puede resumir de l siguiee form:. Los cálculos e u rsformdor co lores por uidd se puede relizr seleiodo los lores se (,, ) de form rirri.. E el cso más geerl (por ejemplo, cudo los lores de esioes se so seleiodos de form rirri), el cálculo de los prámeros del circuio equilee de u rsformdor co relció de rsformció rile será diferee iso desde el ldo primrio que iso desde el ldo secudrio. Tégse e cue que el prámero es u lor descoocido si se descooce u de ls esioes omiles del rsformdor. 3. i l seleió de lores se se hce supoiedo que r r, eoces el circuio equilee resul más simple y los prámeros so igules isos desde culquier de los ldos del rsformdor. e h mosrdo, por oro ldo, que e lguos ejemplos muy simples, e los que es posile hcer los cálculos de form mul, se puede supoer uque o se coozc ls dos esioes omiles del rsformdor. 4. No siempre es posile o cosejle escoger r r. Por ejemplo, cudo se dese oeer l relció de rsformció medie écics de flujo de crgs, lo que puede ser ecesrio e cso de que el rsformdor forme pre de u red o sisem grde. E l cso es impore eer e cue que el circuio equilee uilizr e los cálculos cudo r r, y, se dee escoger ere el circuio de l Figur 6 o el de l Figur 9. REFERENCIA [] M.J. Hehcoe. The J & P Trsformer Book. Newes. Twelfh Ediio [] R.M. del ehio, B. Pouli, P.T. Feghli, D.M. hh d R. Ahuj. Trsformer Desig Priciples. CRC Press. ecod Ediio. 00. [3] J.H. Hrlow (Ed.). Elecric Power Trsformer Egieerig. CRC Press [4] Bhr Hey Elecricls Ld. Trsformers. McGrw-Hill [5].. Kulkri d.a. Khprde. Trsformer Egieerig Desig d Prcice. Mrcel Dekker, Ic [6] J.J. Griger d W.D. eeso. Power ysem Alysis. McGrw-Hill [7] O.I. Elgerd. Elecric Eergy ysems Theory. A Iroducio. McGrw-Hill. ecod Ediio. 98. [8] CIGRE Workig Group 0 (C 33). Guidelies for Represeio of Nework 07

16 Igeire. Reis chile de igeierí, ol. 9 Nº, 0 Elemes whe Clculig Trsies. CIGRE Techicl Brochure. Nº [9] A.M. Gole, J.A. Mriez-elsco d A.J.F. Keri (Eds.). Modelig d Alysis of ysem Trsies Usig Digil Progrms. IEEE PE pecil Pulicio. TP [0] J.A. Mriez d B.A. Mork. Trsformer modelig for low- d mid-frequecy rsies A reiew. IEEE Trs. o Power Deliery. ol. 0, Issue, pp Aril, 005. [] J.A. Mriez, R. Wllig, B.A. Mork, J. Mri-Aredo d D. Durk. Prmeer deermiio for modelig sysem rsies Pr III: Trsformers. IEEE Trs. o Power Deliery. ol. 0, Issue 3, pp July, 005. [] F. de Leó, P. Gómez, J.A. Mriez-elsco d M. Rioul. Trsformers. I: J.A. Mriez-elsco (Ed.). Power ysem Trsies. Prmeer Deermiio. CRC Press [3] J. Duc Gloer, M. rm d T. Oerye. Power ysem Alysis d Desig. CL Egieerig. Fourh Ediio [4] A.R. Berge d.j. il. Power ysem Alysis. Preice Hll. ecod Ediio [5] N.M. Peerso d W. co Meyer. Auomic djusme of rsformer d phse-shifer ps i he Newo power flow. IEEE Trs. o Power Apprus d ysems. ol. 90, Issue, pp Jury - Ferury, 97. [6] J.C. Ds. Power sysem lysis: shorcircui lod flow d hrmoics. Mrcel Dekker, Ic. 00. [7] N.N. Begimi. Regulig rsformer model for use i lod flow lysis. IEEE Trs. o Power Apprus d ysems. ol. 04, Issue 5, pp [8] P.A.N. Grci, J.L.R. Pereir d. Creiro. olge corol deices models for disriuio power flow lysis. IEEE Trscios o Power ysems. ol. 6, Issue 4, pp Noemer, 00. [9] IEEE d iole Book. IEEE Recommeded Prcice for Clculig hor-circui Curres i Idusril d Commercil Power ysems ANEXO Por or pre E ese exo se deducirá l ecució (34), empled e l segud pre del Ejemplo. e supoe que el circuio equilee del rsformdor esudir es el que se muesr e l Figur A. Ls codicioes de operció coocids icluye l esió e el primrio del rsformdor,, y l demd de poeci e el secudrio, D. s De (A) se oiee * D i i sd * (A), /, x D, fp (P D,Q D ) i Figur A. Digrm y circuio equilee del cso esudir. L Figur A muesr ls riles y prámeros cosiderr e el esudio. e supoe que odos los lores del circuio equilee esá expresdos por uidd. L ecució del circuio es l siguiee: r x i que susiuid e (A) d i se hce: + z s D * (A3) 0º δ (A4) z r + jx (A4) + z i (A) 08

17 Mríez y de Leó: Circuio equilee de u rsformdor co regulció s p + jq (A4c) D D D y se sepr l pre rel y l pre imgiri del ldo derecho de l ecució (A3) resul: r p + + x q x p r q j + D D D D i se muliplic cd ldo de es ecució por su cojugdo complejo qued: r p + D + xq D D D x p r q + E es ecució sólo hy u lor descoocido,. i se muliplic mos ldos por, se oiee: ( D D ) + D D + r p + x q x p r q ( ) ( ) Desrrolldo los dos iomios resul filmee: 4 ( ) + ( ) + ( r pd + xqd) zsd 0 (A5) L ecució iee curo solucioes, sólo dos de ls cules so posiis y por o ceples, y que se r de oeer el módulo de l esió e el udo. Ls ors dos solucioes so egis y de lor soluo igul ls solucioes co sigo posiio. 09

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