BLOQUE 2: ÁLGEBRA. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

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1 BLOQUE : ÁLGEBRA Ecuacines inecuacines sistemas

2 . ÁLGEBRA. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS: la divisibilidad en el cnjunt de plinmis es mu similar a la divisibilidad entre númers enters. Un plinmi P( es divisible pr tr plinmi Q( cuand el cciente P(:Q( es eact. En ese cas P(:Q(C(. Y pr tant P( Q( C(. Pr ejempl: ( : ( ( ( ( Un plinmi se dice que es irreducible cuand ningún plinmi de grad inferir a él es divisr su. Pr ejempl sn plinmis irreducibles: Ls de primer grad:... ; ls de segund grad sin raíces:... Un plinmi de segund grad cn raíces a b se puede descmpner en frma de prduct: k (-a (-b. Pr ejempl: ( ( Cualquier tr plinmi se puede descmpner en prduct de plinmis irreducibles. Pr ejempl: ( ( ( PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO: en cas de que sepams factriar un plinmi ns pdems valer de ls siguientes prcedimients: Siempre que se pueda sacarems la cm factr cmún. Si el plinmi es de grad bastará reslver la ecuación de segund grad que resulta de igualar dich plinmi a cer para btener sus raíces descmpnerl en frma de prduct. Pr ejempl: ( ( La regla de Ruffini ns permite lcaliar las raíces enteras de un plinmi pues: Si ls ceficientes de P( sn númers enters las raíces enteras de P( sn divisres de su términ independiente. Si P(a entnces P( ( a Q( Pr ejempl: ( ( ( Si un plinmi de grad mar que n tiene raíces enteras es pc prbable que pdams descmpnerl cn ls cncimients que pseems.

3 . FRACCIONES ALGEBRAICAS: DEFINICIÓN: Se llama fracción algebraica al cciente de ds plinmis: P( Q( SIMPLIFICACIÓN: Si el numeradr denminadr de una fracción algebraica se puede dividir pr un mism plinmi (de grad mar igual que al hacerl se simplifica la fracción. Pr ejempl:.(.. ( SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: para sumar ( restar fraccines algebraicas se reducen a cmún denminadr se suman ( restan sus numeradres. Pr ejempl: (.( ( (..( PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: el prduct de ds más fraccines algebraicas es el prduct de sus numeradres partid del prduct de sus denminadres. Pr ejempl: ( ( (. (.. ( (. ( ( ( ( ( COCIENTE DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS: el cciente de ds fraccines algebraicas es igual al prduct de la primera pr la inversa de la segunda. Pr ejempl: (. : ( (. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES: ECUACIONES DE º GRADO a bc : Las slucines se btienen aplicand la siguiente fórmula b ± b a ac si b ac > la ecuación tendrá ds slucines si b ac la ecuación tendrá una slucin dble si b ac < la ecuación n tendrá ninguna slución Cuand en una de estas ecuacines b c la ecuación se llama incmpleta se puede reslver de frma sencilla sin necesidad de aplicar la fórmula: Si b es decir a c; para reslverla despejams. Si c es decir a b.(ab; pr tant las slucines sn -b/a

4 ECUACIONES BICUADRADAS a b c : Sn ecuacines de cuart grad sin términs de grad impar. Para reslverlas efectuams un cambi de variable así a b c a b c además ha que recrdar que para cada valr psitiv de habrá ds valres de : ± ECUACIONES CON RADICALES: para reslver una ecuación en la que la incógnita se encuentre baj una raí cuadrada se siguen ls siguientes pass: Se aísla la raí cuadrada que querems eliminar en un de ls miembrs Se elevan ambs miembrs al cuadrad En este prces pueden aparecer slucines falsas que deberems eliminar; pr es en estas ecuacines es fundamental cmprbar tdas las slucines. Pr ejempl: ( ( 9( 9 Cmprbams la slución ECUACIONES CON EN EL DENOMINADOR: ls denminadres se eliminarán igual que en trs cass multiplicand pr el mínim cmún múltipl; per también pdrems llegar a slucines falsas (aquellas que hacen cer un denminadr que deberems rechaar. Pr es será indispensable cmprbar tdas las slucines. Pr ejempl: m. c. m( ( ( ( ( ( ( Cmprbams la slución

5 FACTORIZACIÓN DE ECUACIONES: sn aquellas de la frma: (-a(-b...(-c Para calcular la slución ha que igualar a cer cada un de ls factres reslver las ecuacines resultantes. Pr ejempl: ( ( ± ECUACIONES EXPONENCIALES: sn aquellas en las que la incógnita está en el epnente. Tendrems varias frmas de reslverlas según sea el cas: Epresar ambs miembrs cm una ptencia de la misma base Usar lgaritms para eliminar la incógnita del epnente Utiliar un cambi de variable (en el cas de que haa sumas restas ECUACIONES LOGARITMICAS: sn aquellas en las que la incógnita está en una epresión afectada pr algún lgaritm. Se resuelven teniend en cuenta las prpiedades de ls lgaritms; además es cnveniente cmprbar las slucines sbre la ecuación inicial teniend en cuenta que sól eiste el lgaritm de númers psitivs.. SISTEMAS DE ECUACIONES: Un sistema de ecuacines es un cnjunt de ecuacines de las que pretendems encntrar la slución slucines en cmún. Para reslver un sistema de ecuacines tenems varis métds: Gráficamente: representams la ecuacines en un plan la slucines serán ls punts que tengan en cmún Pr el métd de sustitución: despejand una de las incógnitas en una de las ecuacines sustituend el resultad btenid en el rest hasta llegar a una ecuación cn una sla incógnita. Pr el métd de igualación: despejams la misma incógnita en ds ecuacines e igualams ls resultads btenids Pr el métd de reducción: multiplicams las ecuacines pr algún númer de md que al sumarlas una de las incógnitas desapareca. 9

6 (ª (ª (ª ( : (ª (ª (ª (ª (ª (ª. MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS LINEALES: Cnsiste en transfrmar un sistema de ecuacines lineales en un triangular mu fácil de reslver. Veámsl cn uns ejempls: Ejempl : Ejempl : Ejempl : Ejempl (SISTEMA INCOMPATIBLE sin slución: Si al aplicar el métd de Gauss llegams a una ecuación del tip k (k entnces el sistema es incmpatible es decir n tiene slución. Suprimims de la ª ª ecuación : (ª (ª (ª (ª Suprimims de la ª ecuación Puest que la ª ecuación n tiene l suprimims también de la ª (ª (ª (ª ª ( Es más fácil eliminar que a que el ceficiente de en la ªecuación es - (ª (ª (ª ª ( Para suprimir de las ecuacines ª ª (ª : (ª (ª Para hacer más pequeñs ls ceficientes de la ª ecuación (ª (ª (ª (ª (ª Para suprimir de la ª ecuación (ª (ª (ª ª ( Para suprimir de la ª ª ecuación. Resulta que también desaparece la LLEGAMOS A UN ABSURDO. POR LO TANTO EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN. ES INCOMPATIBLE! (ª (ª (ª (ª (ª

7 Ejempl (SISTEMA INDETERMINADO cn infinitas slucines: (ª (ª (ª (ª (ª (ª : ( (ª (ª (ª La ª ecuación n ns dice nada. La suprimims ns quedams cn las tras ds. Para cada valr de ha una slución! Si al aplicar el métd de Gauss llegams a una ecuación del tip se suprime. Si quedan mens ecuacines que incógnitas el sistema tiene infinitas slucines. Se trata de una sistema indeterminad.. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES: Es un cnjunt de ds más ecuacines dnde alguna de ellas n es lineal cm pueden ser las ecuacines de grad mar que ecuacines cn fraccines algebraicas cn radicales. Pr ejempl: 9 ( 9 Para Para. INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA: Una inecuación es una desigualdad entre epresines algebraicas (se trata de desigualdades en las que se usan ls signs < >. Pr ejempl: 9 < < ; ; ; La slución de una inecuación sn ls valres de cn ls que se cumple la desigualdad. La slución de un sistema de inecuacines es una slución cmún a tdas sus inecuacines. Habitualmente tienen infinitas slucines que se agrupan en intervals de R. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA: para reslver una inecuación lineal cn una incógnita se prcede igual que si reslviérams una ecuación per teniend en cuenta las desigualdades. Sus slucines sn tds ls punts de un interval infinit.

8 Las slucines de un sistema de inecuacines lineales cn una incógnita pueden frmar un interval finit infinit pueden n eistir. Pr ejempl: Slución: [ INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA: Las slucines de las inecuacines a b c < dependen de la psición de la parábla respect al eje del sign de la inecuación. Pr ejempl: Representams las slucines en la recta cmprbams que interval intervals cumple la inecuación: La slución es: ( ] [. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS En cada una de ellas el cnjunt de slucines es el semiplan que está a un de ls lads de la recta abc. Cuand en la desigualdad está incluid el igual ls punts de la recta sn también slucines Pr ejempl: > Representams la recta en el plan Cnsiderams un punt que perteneca a un de ls semiplans en ls que queda dividid el plan pr ejempl el ( cmprbams si verifica la inecuación en cas afirmativ tda la región es la slución en cas cntrari marcams el tr semiplan.

9 .9 SISTEMAS DE INECUACIONES Se resuelve pr separad cada una de las inecuacines lueg se eligen las slucines cmunes. CON UNA INCÓGNITA: Pr ejempl: Reslvems [ ] Calculams la intersección de ambs intervals La slución es CON DOS INCÓGNITAS: Pr ejempl: Representams la parte del plan que es slución de cada una de las inecuacines la slución será la parte cmún a ambas.

10 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Epresa cm cuadrad de un binmi cm prduct de una suma pr una diferencia (recuerda las identidades ntables. a. b. c. 9 9 d. e. f. 9 g. h. 9. Sacand factr cmún utiliand ls prducts ntables factria al máim ls siguientes plinmis : a b c d e 9 f 9. Factria ls siguientes plinmis : a ; b ; c ; d e ; f ; g. Simplifica las siguientes fraccines algebraicas : a 9 b c d 9 e f. Efectúa simplifica : a b c d : e : f : g : h

11 . Simplifica: a. b. c. d. e. f.. Efectúa las siguientes sumas: a. b. c. ( (.. d. e. f.. Calcula: a. b. : c. : d. 9. Resuelve las siguientes ecuacines: { } { } 9. { }

12 9. ( ( ( ( 9 9. ( ( { } 9.9 ( [ ] { } 9. { } l { } 9. ( 9. ( {n tiene } 9. ( { } ( ( { } 9. { }

13 { } { } {ntiene } { } 9. { } {ntiene } 9.9 {ntiene } { } ( ( R 9. ( ( {n tiene } R-{ } { } { } { }

14 9 ( ( { } { } { } { } { } { } { } 9. { } 9.9 { } { } { } { } 9. ( ( 9. { } { } { } 9.

15 { } 9.9 { } 9. { 9 } { } 9. { } { } { } 9. ( { } 9. { } { } {ntiene } 9. { } { 9 } 9.. Calcula m para que la ecuación --m tenga las ds slucines iguales (raí dble. Las raíces (slucines de la ecuación b c sn -. Halla b c.. Dada la ecuación -- btener tra ecuación cuas raíces sean : a. Opuestas a las de la ecuación dada. b. Inversas de las de la ecuación dada. c. Cuadrad de las mismas. 9

16 . Halla ds númers enters cnsecutivs cu prduct sea.. Obtén una ecuación de tercer grad cuas raices sean -.. Obtén una ecuación bicuadrada cuas raices sean Halla un númer sabiend que su tercera parte mens su rai cuadrada es igual a.. Halla ls lads de un rectángul cua diagnal mide cm más que la base la altura cm mens que dicha base.. Dentr de añs la edad de Pabl será la mitad del cuadrad de la edad que tenía hace añs. Calcula la edad de Pabl. 9. Resuelve las siguientes ecuacines epnenciales: a. b. c. d. 9 e. 9 j. k. l. 9 m. 9 n. r. s. t. 9 u. v. f. g.. p. w. ( h. i. q.. Resuelve las siguientes ecuacines lgarítmicas : a lg lg ( - c lg lg d lg lg e lg lg lg f lg lg ( g lg lg lg lg ( h ln ln ln lg( j lg lg( k lg lg 9 i ( ( (

17 l ( lg 9 lg m ( ( lg lg lg. Resuelve ls siguientes sistemas de ecuacines : a b c d 9 e f lg lg g lg lg h lg lg lg lg i lg lg lg lg j lg lg lg k ( lg lg l ( ( lg lg lg. Resuelve ls siguientes sistemas: ( 9 ( 9 9 { S. I. } { S.C.I. } (- ( ( ( ( ( 9 ( ( 9 (- ( ( (9

18 ( (- ( ( ( ( ( ( { S.I. } 9 ( ( ( (- ( ( { S.I. { S.C.I. } ( 9 (- }

19 t t t t (-- ( (- ( ( (- (- ( (- (- ( ( ( ( (- 9 (-- (-- ( ( ( (-- ( (--. Halla ds númers sabiend que su diferencia es 9 que al dividirls se btiene de cciente de rest. { }. La distancia entre ds ciudades A B es de Km. Un camión sale de A hacia B a una velcidad de Km/h. A la misma hra sale de B hacia A un cche a Km/h. Cuánt tiemp tardarán en encntrarse? { Hras}. Hems hech un pedid de Kg de un artícul A Kg de tr artícul B cbrándns en ttal. Un segund pedid de Kg de A Kg de B ns ha cstad 9. Cuánt cstará un tercer pedid de Kg de A Kg de B? { }. Halla tres númers naturales cu prduct es tal que si se aumenta en una unidad el segund factr (* el prduct aumenta en per si es el tercer factr (* el que aumenta en una unidad el prduct aumenta en. (*: rden alfabétic. { }. Calcula las edades de tres hermans sabiend que sumadas ds a ds dan añs respectivamente. { añs }

20 . Halla ds númers sabiend que suman que la suma de sus inverss es. { } 9. Calcula ds númers que sumen que la diferencia de sus cuadrads sea. { }. Halla ds númers tales que su suma sea la suma del cuadrad del primer el dble del cuadrad del segund sea. { }. Halla las dimensines de un rectángul de perímetr cm área igual a cm { 9 cm}. La diagnal de un rectángul mide cm su área cm. Calcular sus dimensines. { cm}. Resuelve las siguientes inecuacines: -<- ( [ ] ( ] [ < > ( ( ( ( 9 < ( [ > ( ( ( ] ( > [ ] ( ( < 9 ( ( (- < ( ( > ( ( ( ( > ( [ ] ( ( [ ] [ ( ( [ ] < ( (

21 < ( ( [ ] ( ( ( ( ] [ [ ( [ { } > ( ( ( ( ] ( ] ( 9 9 > ( ( 9 ( ] [ > > { } tiene n < > ( > [ > > { n tiene } - 9 < [. Resuelve las siguientes inecuacines representa la slución sbre la recta real: ( a > ( ( ( b ( ( c d ( e f ( ( ( < g

22 . Un instaladr de equips infrmátics tiene el siguiente cntrat: a. Un sueld fij de al mes. b. Una cmisión de pr cada equip que instala. c. Unas audas en cste de lcmción de pr kilómetr recrrid. Calcula cuánts equips instaló durante un mes si en su nómina cnsta un sueld superir a recrrió km.. Una empresa tetil fabricó camisas cn un cste de prducción de pr unidad. Si vendiend tdas las camisas btiene un benefici de más de a qué preci vende cada unidad?. Resuelve gráficamente las siguientes inecuacines cn ds incógnitas: > a > b c. Resuelve ls siguientes sistemas de inecuacines: a ( < < b > c d e > > f > g ( > 9 h 9. Resuelve las siguientes inecuacines: > a 9 b 9 > c d. Resuelve la inecuación < representa la slución en la recta real.. Resuelve gráficamente el sistema de inecuacines

23 . En una fábrica de bicicletas se emplea kg de acer para un tip de bicicletas kg para tr. En la fábrica sl se dispne de kg. Representa en un plan la región de tdas las slucines psibles del númer de bicicletas que pueden fabricar de cada tip.. Se dispne de para cmprar revistas de deprtes de infrmática. El preci de las revistas es de respectivamente se desea cmprar pr l mens el mism númer de revistas deprtivas que de infrmática. Representa en el plan el recint de las slucines del númer de revistas que se pueden cmprar.

24 AUTOEVALUACIÓN. Resuelve factria previamente: 9 9. Opera simplifica el resultad: :. Qué valres crees que debe tmar el parámetr k para que k n tenga slucines reales?. Determina m para que al dividir el plinmi 9 m entre el rest sea igual a.. Escribe un plinmi de grad que sól tenga raíces. Resuelve las siguientes ecuacines: a. b. e. c.. Resuelve ls siguientes sistemas de ecuacines: a. 9 b. d. f. ln ln ln( g.. Justifica sin reslverl pr qué este sistema de ecuacines n puede tener slución: 9. Inventa una ecuación que tenga pr resultad - /.. Resuelve estas ecuacines de segund grad en las que la incógnita es : a. ab ( a b b. ( a ( a a c. a b b a d. ( a b b a. Resuelve: < a. ( ( ( b. c. d. < e. f. ( ( > <

25 . La suma de tres cifras de un númer es igual a. La cifra de las decenas es una unidad mar que la suma de las tras ds. Si invertims el rden de las cifras el númer aumenta en 99 unidades. Cuál es ese númer? AUTOEVALUACIÓN. Resuelve la inecuación: ( (. Hallar la región slución del sistema: {( U ( U( }. El cste ttal de tres prducts A B C es de eurs. Si se descuenta un % en el preci de A un % en el preci de B un % en el preci de C se ahrran. Y si se cmpran tres prducts de tip A cinc de tip B un de tip C el imprte ttal es de. Calcular el preci de cada prduct. {A ; B ; C }. Resuelve las ecuacines: a. b. { }. Calcular las slucines de las siguientes ecuacines: a. ( lg( lg( lg {} b. lg 9 lg 9

26 AUTOEVALUACIÓN. Hallar la slución de la inecuación: > {( U ( U ( }. Reslver el siguiente sistema de ecuacines sabiend que la suma de las tres slucines es igual a. { - }. Una dieta cntiene ds ingredientes: A B. El ingrediente A cntiene g de lípids g de prteínas pr cada g el ingrediente B aprta g de lípids g de prteínas pr cada g.la dieta debe cntener mens de g de lípids al mens g de prteínas pr cada g de aliment. Indicar las epresines que determinan las psibles slucines del prblema representarlas gráficamente.. Reslver las ecuacines: a. b. ± ±. Calcular las slucines de las siguientes ecuacines: a. lg ( lg( {} b. lg 99 lg c. {}

27 EJERCICIOS DE REPASO BLOQUE (ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. De entre las ecuacines siguientes: a. Señala las que n tienen slucines en Q. b. Cuáles tienen slución en R? 9. Cmpara reduciéndlas a índice cmún.. Efectúa las siguientes peracines simplifica: a. a a a a a a c. ( ( d. 9 b. 9. Si lgk. calcula el valr de las siguientes epresines: a. lg k. Determina en cada cas: b. lg c. lg k k a. b. c.. Factria ls siguientes plinmis: a. 9 b.. Simplifica. Resuelve las siguientes ecuacines: a. ( ( b. 9. Resuelve ls siguientes sistemas: a.. Opera simplifica: : (. Resuelve: a. b. lg ( lg c. d. b. > 9 c. d.

28 . Resuelve ls siguientes sistemas: a. lg lg( b.. Resuelve