NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.

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1 NOTA: En odos los ejercicios se deberá jusificar la respuesa eplicando el procedimieno seguido en la resolución del ejercicio. CURSO JUNIO CURSO Aplicando ransformadas de Laplace, hallar la función y () que cumple la ecuación diferencial siguiene y''() 5 y'() 6 y() 3 sen() con las condiciones iniciales: y(0) 0, y'(0). SEPTIEMBRE CURSO Uilizando razonadamene las propiedades de la ransformada de Laplace y la abla de ransformadas, hallar la ransformada de Laplace de la función definida así f e 1, comprobando previamene que eise. Aplicando ransformadas de Laplace, hallar la función y () que cumple la ecuación diferencial siguiene: y'''( ) 3 y'' 4 y'( ) y( ) 0 con las condiciones iniciales: y(0) 1, y'(0) 0, y''(0) 4. CURSO 11-1 JUNIO CURSO 11 1 Pág.1

2 3 La solución general de la e.d.o. y'' y' y 0 es de la forma, y Ce C e e A) 1 y Ce C e B) 1 y Ce C e C) 1 D) Ninguna de las aneriores. 4 a) Hallar la ransformada de Laplace de la función definida así comprobando previamene que eise. 0 e 1 d, b) Sabiendo que L sen3 F() s s 3 9, convergene para s > 0. Aplicar las propiedades de la ransformada de Laplace para calcular Lsen Resolver la ecuación diferencial ''( ) 4 '( ) 3 ( ) cos, uilizando ransformadas de Laplace y eniendo en cuena las condiciones iniciales: (0) = 1, (0) = 0. Resolver la ecuación diferencial lineal siguiene: y' y, uilizando el méodo de variación de la consane. SEPTIEMBRE CURSO Hallar la ecuación de la curva que pasa por el puno (0,1) y cumple que la pendiene de la reca angene en cualquier puno es el riple que la abscisa del puno de conaco. Pág.

3 8 Hallar la ransformada de Laplace de la función 0 si 0 f() si 0 5, 6 si 5 uilizando las funciones de Heaviside para definir f () y, poseriormene, la abla de ransformadas Resolver la ecuación diferencial ''( ) '( ) sen, uilizando ransformadas de Laplace y eniendo en cuena las condiciones iniciales: (0) 0, '(0) 1. y 1 Resolver la ecuación diferencial siguiene y' 1 3 CURSO 1-13 JUNIO CURSO Uilizando la abla de ransformadas de Laplace y las propiedades de las ransformadas, calculamos la ransformada de Laplace de la función 1 f () e 4 e indicamos los valores de s para los cuales dicha ransformada es convergene, resulando: A) Fs, convergene s 4. s 4 B) Fs, convergene s 4. s C) Fs s 4, convergene s 4. Pág.3

4 D) Ninguna de las aneriores. 1 Uilizar ransformadas de Laplace para resolver la ecuación diferencial lineal de orden y coeficienes consanes, ''() '() 5 () e eniendo en cuena que cumple las condiciones iniciales siguienes: (0) = 0, (0) = Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiene: dy d 6 4y e Obener la solución general de la siguiene ecuación diferencial lineal: y y 1 1 '( ) C Solución: y ( ) log1 SEPTIEMBRE CURSO Hallar las funciones () e y() que resuelven el siguiene sisema de ecuaciones diferenciales, uilizando obligaoriamene ransformadas de Laplace ' y 1 y'( ) 4 0 con las siguienes condiciones iniciales: (0) = y(0) = 0 Pág.4

5 15 16 Comprobar que la siguiene ecuación diferencial es homogénea y resolverla: dy y d y Sabiendo que la ransformada de Laplace de la función Fs () s s 1 f sen es, señalar cuál de las siguienes funciones es la ransformada de Laplace de la función g sen : A) Gs B) Gs C) Gs 6s 3 ( s 1) 6s 3 ( s 1) 6s 4 ( s 1) D) Ninguna de las aneriores. 17 Resolver la ecuación diferencial siguiene, aplicando el méodo general de resolución de ecuaciones diferenciales de orden n, lineales y de coeficienes consanes: y ''' y'' 3 y' 6y 4 CURSO JUNIO CURSO Pág.5

6 18 Dada la función 0 si 0 f 1 si 0 1, se pide: 1 si 1 a) Demosrar que cumple las condiciones suficienes para que eisa su ransformada de Laplace. b) Hallar la abscisa de convergencia de f(). c) Epresar f() uilizando las funciones salo o funciones de Heaviside U ( c). d) Hallar la ransformada de Laplace de f() uilizando las propiedades de la ransformada de Laplace y la abla de ransformadas. 19 Resolver el siguiene sisema de ecuaciones diferenciales, aplicando ransformadas de Laplace 3 ' y' y 1 ' y' y 0 0, y 0 0, con las condiciones iniciales: Noa: Se recomienda simplificar al máimo los resulados anes de hallar las ransformadas inversas de Laplace. 0 a) Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiene: dy 3 y y d 3 3 b) Obener la solución paricular de la ecuación diferencial anerior que verifica la condición inicial: y 1. Pág.6

7 1 Sea la función f() cuya gráfica se muesra en la figura. Se pide: a) Epresar la función f() uilizando la función de Heaviside o función salo y hallar su ransformada de Laplace. b) Aplicando ransformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación siguiene, donde la función f() que aparece en el miembro de la derecha es la función cuya ransformada hemos calculado en el aparado a), c) y'( ) y( ) y( ) d f( ) 0 hallar la función y() que cumple dicha ecuación, eniendo en cuena la condición inicial y(0) = 1. SEPTIEMBRE CURSO Dada la función: 0 si 0 f() si 0. Se pide: si a) Dibújala. b) Comprueba si f() verifica las condiciones suficienes para que eisa su ransformada de Laplace. c) c) Epresa f() en érminos de las funciones salo o funciones de Heaviside U( c) y halla su ransformada de Laplace uilizando la abla de ransformadas. Pág.7

8 3 Uilizando ransformadas de Laplace, resuelve la siguiene ecuación diferencial lineal de orden y coeficienes consanes: ''() '() 5 () e, eniendo en cuena que cumple las condiciones iniciales: 0 0, '(0) 1. 4 Obén la solución general de la siguiene e.d.o. lineal de orden y coeficienes consanes: y''() 3 y'() y() e 5 A parir de las ransformadas de Laplace de las funciones g() e sen f () sen,, que se recogen en la abla de ransformadas, aplicando las propiedades adecuadas, obén la ransformada de Laplace de las siguienes funciones: ; v () e sen h () U sen, 6 Uilizando ransformadas de Laplace, resuelve la siguiene ecuación diferencial lineal de orden 3 y coeficienes consanes: '''( ) ( ) 5, eniendo en cuena que cumple las condiciones iniciales: 0 0, '(0) 0, ''(0) 0. 7 Obén la solución general de la siguiene e.d.o. lineal de orden y coeficienes consanes: y''() 4 y'() 4 y() Pág.8