Matrices y sistemas lineales

Transcripción

1 Capítulo 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El tamaño de una matriz se describe especificando el número de filas y columnas que la forman. Si A es una matriz de m filas y n columnas, A m n, se usará a ij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, se representará por A = (a ij ) 1 i m 1 j n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = (a ij ) m n =.... a m1 a m2 a mn Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementos correspondientes en ambas matrices son iguales. Una matriz A n n (ó A n ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la forma a 11, a 22,..., a nn se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A 1 n se dice que es una matriz fila y de una matriz A m 1 que es una matriz columna Operaciones con las matrices Las matrices con las que trabajaremos habitualmente serán matrices reales, es decir que sus elementos sean números reales. Sin embargo, los resultados y definiciones dados aquí son igualmente válidos para el cuerpo de los complejos. Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, m n, la suma A + B es otra matriz de tamaño m n donde el elemento ij de A+B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elemento ij de B. Es decir, si A = (a ij ) m n y B = (b ij ) m n, entonces A + B = (a ij + b ij ) m n. El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A, se designa por A, y es A = ( a ij ) m n. Producto por escalares: Si A es una matriz m n y k IR un escalar, el producto ka es otra matriz del mismo tamaño donde cada elemento de A aparece multiplicado por k. Es decir, ka = (ka ij ) m n. Evidentemente, A = ( 1)A y A B = A + ( B). Producto de matrices: Si A m n y B n p el producto AB es otra matriz de tamaño m p tal que, el elemento ij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B. Es decir, b 1j b 2j n ( c ij = Fi A Cj B = (lo denotaremos por c AB ij ) a i1 a i2 a in. b nj = a i1b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = a ik b kj k=1 = F A i C B j cuando queramos significar la fila y columna que intervienen).

2 17 Matemáticas I 2.1 Definiciones básicas La matriz cuadrada I = I n =....., formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene unos, de llama matriz identidad y es el neutro del producto de matrices (tomada del tamaño adecuado). Es decir, para toda A m n se tiene que I m A m n = A m n y A m n I n = A m n. Observación: La definición dada de producto de matrices requiere que el número de columnas de la primera matriz, A, sea igual que el número de filas de la segunda matriz, B, puesto que para el cálculo de c ij ha de haber tantos elementos en la fila i (número de columnas de A) como en la columna j (número de filas de B ). En forma sinóptica con los tamaños (m n) (n p) = (m p). a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 b 11 b 12 b 13 b 14 b 15 b 21 b 22 b 23 b 24 b 25 = b 31 b 32 b 33 b 34 b b 41 b 42 b 43 b 44 b c 11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 21 c 22 c 23 c 24 c 25 c 31 c 32 c 33 c 34 c 35 Nota: Cada elemento de la matriz producto puede obtenerse de manera independiente, por lo que no es necesario calcular todos si sólo son necesarios unos pocos. Así: e AB ij = Fi A Cj B. F i AB = Fi A B. Cj AB = A Cj B. 3 5 e ABC ij = F A i C BC j = F A i B C C j. Propiedades 40.- Suponiendo que todas las operaciones son posibles: a) A + B = B + A (conmutativa de la suma). b) A + (B + C) = (A + B) + C (asociativa de la suma). c) A(BC) = (AB)C (asociativa del producto). d) A(B + C) = AB + AC (distributiva por la izquierda). e) (A + B)C = AC + BC (distributiva por la derecha). f) a(b + C) = ab + ac ; a IR. g) (a + b)c = ac + bc ; a, b IR. h) a(bc) = (ab)c = B(aC); a IR. En general, NO es cierto que: AB = BA Si AB = 0 tengan que ser A = 0 ó B = 0 Si AB = AC necesariamente sea B = C ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 41.- Con A =, B = y C = obtenemos que AB = ( ) 0 17 BA = es decir AB BA y AB = 0 con A 0 y B Además AC = 0 = AB y sin embargo B C.

3 18 Matemáticas I 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales Matriz transpuesta Definición 42.- Si A es una matriz m n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz A t de tamaño n m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. Es decir, el elemento ij de A t coincide con el elemento ji de A. ( ) t a11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 Proposición 43.- Se verifican las siguientes propiedades: 1.- (A t ) t = A. 2.- (A + B) t = A t + B t. 3.- (ka) t = ka t. 4.- (AB) t = B t A t y, en general, (A 1 A 2 A n ) t = A t n A t 2 At 1. Demostración: Las tres primeras son claras. Veamos la cuarta: e Bt A t ij Luego B t A t = (AB) t. = Fi Bt Cj At = Ci B Fj A = Fj A CB i = e AB ji. 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales Definición 44.- Se denomina ecuación lineal de n variables (o incógnitas), x i, aquella ecuación que puede expresarse en la forma: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, donde los a i, b IR. Una solución de la ecuación lineal es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s 2,..., s n ), tales que a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se le denomina conjunto solución de la ecuación Nota: Una ecuación lineal de 2 variables, ax + by = c, es una representación analítica de una recta del plano XY, las soluciones de la ecuación son cda uno de los puntos de la recta y el conjunto solución es toda la recta, todos los puntos de la recta. En una ecuación lineal no pueden aparecer productos de variables, ni potencias, ni expresiones trigonométricas, etc. Definición 45.- Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a la reunión de m ecuaciones lineales sobre las mismas n incógnitas, y se escribe en la forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Una n-upla (s 1, s 2,..., s n ) es solución del sistema si es solución de todas y cada una de las ecuaciones que lo forman. { x + y = 2 Ejemplo.- Consideremos el sistema. El par ( 7, 9) es solución del sistema si es 2x + y = 5 solución de cada una de las 2 ecuaciones, es decir (ver la nota anterior), si es un punto común a las dos rectas. De lo anterior es evidente que un sistema puede no tener solución (dos rectas paraleras no tienen puntos en común) o infinitas (si las dos ecuaciones representan la misma recta). Si un sistema no tiene solución, suele decirse que es incompatible, si la solución es única compatible determinado y compatible indeterminado si tiene un conjunto de soluciones infinito.

4 19 Matemáticas I 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales, también puede escribirse como AX = B donde A = (a ij ) m n, X = (x i ) n 1 y B = (b j ) m 1. a 11 a 12 a 13 a 1n a AX = 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn x 1 x 2 x 3. x n b 1 b 2 =. = B b m La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los términos independientes y una S = (s i ) n 1 es solución de sistema si verifica AS = B Matrices elementales. Definición 46.- Llamaremos operación elemental en las filas de las matrices, a las siguientes: a) Intercambiar la posición de dos filas. b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero. c) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila. Definición 47.- Se dice que una matriz cuadrada E n n es una matriz elemental si se obtiene de efectuar una sola operación elemental sobre la matriz identidad I n n. Teorema 48.- Si la matriz elemental E m m resulta de efectuar cierta operación elemental sobre las filas de I m y si A m n es otra matriz, el producto EA es la matriz m n que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de A. Ejemplo.- Son matrices elementales las matrices E 1 = 1 0 0, E 2 = y E 3 = , que se obtienen de I 3, intercambiando la primera con la segunda fila (F 1 F 2 ), multiplicando la segunda fila por 2 (2F 2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 (F 3 + 3F 1 ), respectivamente. Y si A = (a ij ) 3 4, se tiene E 1 A = E 3 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 11 a 12 a 13 a 14, E 2 A = a 31 a 32 a 33 a 34 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 +3a 11 a 32 +3a 12 a 33 +3a 13 a 34 +3a 14 a 11 a 12 a 13 a 14 2a 21 2a 22 2a 23 2a 24 a 31 a 32 a 33 a 34. y Observación 49.- Es claro, que una vez realizada una operación elemental puede deshacerse mediante otra operación elemental: así, si intercambiamos la fila i con la fila j, la operación elemental que lo deshace es intercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k 0 se deshace multiplicándola de nuevo por 1 k y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la fila j multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por k). Denotando por E1, E 2 y E 1 a las matrices elementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E 1, E 2 y E 3 del ejemplo anterior, tenemos que

5 20 Matemáticas I 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales E 1 = = E 1, E2 = y E3 = Entonces, si E es una matriz elemental y E es la matriz elemental que deshace esa operación, se verifica que E (EA) = A. Teorema 50.- Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y (EA)X = EB tienen las mismas soluciones. Demostración: En efecto, si S es solución del primer sistema, AS = B, luego (EA)S = E(AS) = EB y S es también solución del segundo. Y viceversa, si (EA)S = EB y E es la matriz elemental que deshace E, multiplicando en la igualdad, se tiene: E (EA)S = E EB = AS = B Método de Gauss. El resultado anterior asegura que haciendo sobre el sistema AX = B únicamente operaciones elementales llegamos a un sistema con las mismas soluciones (sistema equivalente). La búsqueda sistemática de un sistema equivalente que proporcione las soluciones de manera sencilla se conoce con el nombre de método de Gauss: Se trata de hacer ceros en la matriz del sistema, para encontrar una matriz escalonada, con ceros por debajo de la escalera. Esta matriz escalonada debe cumplir: 1.- Si una fila consta únicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz. 2.- Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debe encontrarse más a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior. El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las incógnitas correspondientes a estos elementos incógnitas principales. Ejemplo x x x 6 = 5 x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Apliquemos sobre este sistema el método de Gauss, es decir hagamos operaciones elementales, sobre la matriz A de los coeficientes y, como vimos en el teorema 50, también sobre B para que se mantenga la equivalencia. Para realizar las operaciones sobre A y B de una sola vez, se usa la matriz (A B), añadiendo a A la matriz columna B, que se denomina matriz ampliada del sistema: (A B) = Por la operación (a) cambiamos la fila 1 por la fila 2 (F 1 F 2 ). Por (b) hacemos cero el 2 de F 3 (F 3 2F 1 ) y el de F 4 (F 4 2F 1 ). Hacemos 0 el 1 de F 3 (F F 2) y el 4 de F 4 (F F 2).

6 21 Matemáticas I 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales Cambiamos F 3 por F 4 (F 3 F 4 ). x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 5x x x 6 = 5 6x 6 = 2 0 = 0 Esta matriz es escalonada, y nos proporciona el sistema equivalente = x 1 = 3x 2 + 2x 3 2x 5 x 3 = 5 10x 4 15x 6 5 x 6 = 2 6 cuyas soluciones se encuentran fácilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteniéndose: x 6 = 1 3, x 3 = 2x 4, x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5, donde x 2, x 4 y x 5 pueden tomar cualquier valor. Las soluciones son: ( 3x 2 4x 4 2x 5, x 2, 2x 4, x 4, x 5, 1 3 ) para cualquier valor de x 2, x 4 y x 5. Por ser el elemento principal no nulo, se garantiza que su incógnita asociada puede despejarse. Si en alguna fila el elemento principal está en la columna ampliada, el sistema no tiene solución: claramente una de las ecuaciones equivalentes será 0x x n = k (con k 0 por ser un elemento principal de la ampliada) y esta igualdad no se cumple para ningún valor posible de las incógnitas. Si el sistema tiene solución, tenemos dos casos: Si el número de elementos principales es igual que el número de incógnitas el sistema tiene solución única. Supongamos que la matriz escalonada obtenida es , el sistema x 1 = 2x 2 5x 2 = 5 15x 3 6x 3 = 2 y se obtiene x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 1 2 solución única. Si el número de elementos principales es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones. Basta observar el ejemplo 51 anterior, tenemos una solución para cada uno de los posibles valores de x 2, x 4 y x Sistemas homogéneos. Definición 52.- Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si tiene todos los términos independientes cero; es decir, un sistema de la forma AX = 0. Un sistema homogéneo siempre tiene solución pues X = 0 es una solución del sistema. A esta solución suele llamarse la solución trivial y de cualquier otra solución distinta de ésta se dice solución no trivial Método de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan continúa el método de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguir una matriz escalonada reducida: los elementos principales son 1 y en las columnas de dichos unos todos los demás elementos son cero; es decir, despeja las incógnitas principales.

7 22 Matemáticas I 2.3 Matrices cuadradas. Ejemplo 53.- Continuando con el sistema del ejemplo 51 (quitada la fila de ceros, que no interviene): Hacemos 1 los elementos principales multiplicando 1 5 F 2 y 1 6 F hay que hacer cero el 3 de F 2 y C 6 (a 26 ): F 2 3F 3 hay que hacer cero el 2 de F 1 y C 3 (a 13 ): F 1 + 2F 2 luego x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5 x 3 = 2x 4 x 6 = 1 3 obteniéndose, naturalmente, las mismas soluciones que antes. Definición 54 (1 a definición del rango).- Se llama rango de una matriz A y se denota por rg(a) al número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz. Teorema de Rouché 55.- Sea el sistema AX = B, sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Entonces AX = B tiene solución si, y sólo si, rg(a) = rg(a B). En caso de tener solución, si rg(a) = r, toda solución del sistema puede expresarse en la forma X = V 0 + t 1 V 1 + t 2 V t n r V n r, siendo V 0 una solución particular de AX = B y los vectores V 1,..., V n r soluciones del sistema homogéneo asociado AX = 0. Resumiendo: Si rg(a) = r, entonces: rg(a) = rg(a B) = Sist. Compatible (con sol.) { r = n Solución única. r < n Infinitas soluciones. rg(a) rg(a B) = Sist. Incompatible (no tiene solución). 2.3 Matrices cuadradas. Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir: a ij = 0, para cualquier i,j tal que i > j. Una matriz cuadrada A se dice triangular inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, a ij = 0, para cualquier i,j tal que i < j. Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cero todos los elementos que no están en la diagonal principal. Una matriz cuadrada A se dice simétrica si A = A t, es decir, si a ij = a ji para todo i,j. Se dice antisimétrica si A = A t, es decir si a ij = a ji para todo i,j Matrices inversibles. Definición 56.- Si A es una matriz cuadrada de orden n, A n n, y existe B n n tal que AB = BA = I se dice que A es inversible y que B es inversa de A.

8 23 Matemáticas I 2.3 Matrices cuadradas. Nota: Es claro de la definición que también B es inversible y A una inversa de B. Por definición, se ha de verificar que AB = I y también que BA = I ; sin embargo es suficiente con que se verifique una de ellas para que la otra también se verifique (se verá en el Corolario 64). Proposición 57.- Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es única. Y la denotaremos por A 1. Demostración: Supongamos que B y C son inversas de A. Al ser B inversa de A es I = AB, multiplicando a esta igualdad por C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B. Recordando los comentarios hechos en la Observación 49, es claro el siguiente resultado para matrices elementales. Proposición 58.- Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son también elementales: De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo. De multiplicar una fila por k 0, multiplicar esa fila por 1/k. De sumar a una fila un múltiplo de otra, restar a esa fila el múltiplo sumado. Teorema 59.- Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y En general, (A 1 A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A 1 1. (AB) 1 = B 1 A 1. Demostración: { (AB)(B Basta con operar: 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 B = I. La generalización es inmediata. Propiedades (A 1 ) 1 = A. 2.- (A n ) 1 = (A 1 ) n. 3.- (ka) 1 = 1 k A 1. Definición 61.- Una matriz cuadrada, A, se dice ortogonal si A 1 = A t. Teorema 62.- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Son equivalentes: a) A es inversible. b) El sistema AX = B tiene solución única para todo B n 1. c) El sistema homogéneo AX = 0 tiene solución única. d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad. Demostración: a) b) A es inversible, luego existe A 1. Si se multiplica por A 1 en la igualdad AX = B se tiene que A 1 AX = A 1 B, luego X = A 1 B es la solución del sistema y es la única. b) c) Es un caso particular. c) d) Como la solución del sistema AX = 0 es única, al aplicar el método de Gauss-Jordan a la matriz A la escalonada reducida tiene que ser, necesariamente I.

9 24 Matemáticas I 2.4 Ejercicios d) a) Si existen matrices elementales tal que E k E 2 E 1 A = I, multiplicando sucesivamente en la igualdad por sus inversas, obtiene A = E1 1 E 1 2 Ek 1 como producto de matrices inversibles y, por tanto, es inversible. Además, A 1 = E k E 2 E 1. Corolario 63.- Una matriz A n n, es inversible rg(a) = n Corolario 64.- Sea A una matriz cuadrada. Entonces a) Si existe B tal que BA = I, entonces A es inversible y B = A 1. b) Si existe B tal que AB = I, entonces A es inversible y B = A 1. Demostración: Si BA = I, consideremos el sistema AX = 0. Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX = B0 = 0, pero al ser BA = I, X = 0 es la única solución del sistema y, por tanto, A es inversible. Entonces, A 1 = IA 1 = BAA 1 = B. Analogamente, en b). Corolario 65 (Cálculo de A 1 por el método de Gauss-Jordan).- Si A es inversible, existen matrices elementales tales que E k E 2 E 1 A = I y A 1 = E k E 2 E 1. Luego haciendo en I las mismas operaciones elementales que efectuemos sobre A para llegar a la identidad se tendrá que: (A I) (E 1 A E 1 I) (E 2 E 1 A E 2 E 1 I) (E k E 1 A E k E 1 I) = (I A 1 ) Ejemplo.- Sea la matriz A = (A I) = F 3 F Ejercicios Encontremos A 1 : F 3 F F 2 F F 1+2F F 3 F = (I A 1 ) 2.26 Sean las matrices 3 0 ( ) 4 1 A= 1 2 B = C = ( ) D = E = a) Calcular cuando se pueda: 3C D, (AB)C, A(BC), ED, DE, (4B)C + CA y CA + B 2. Indicar porqué no es posible en los otros casos. b) Calcular, haciendo el menor número de operaciones posible, la fila 1 de CA, la columna 2 de CD y los elementos 23 y 12 de la matriz CDE. c) Hallar para cada una de ellas una matriz escalonada e indicar cual es su rango Encontrar las matrices elementales que llevan la matriz A = a una matriz escalonada

10 25 Matemáticas I 2.4 Ejercicios 2.28 Considerar el sistema x + 2y z t = 0 x + z t = 2 x + 2y 3z + t = 4 (1) a) ( 2, 2, 2, 0) y (1, 0, 1, 2) son solución del sistema (1)? b) Encontar todas las soluciones de (1) c) Encontar todas las soluciones del sistema x y + z t = 3 x + 6y 5z t = 4 d) Cuáles de las soluciones de (1) son también solución de (2)? Tiene (2) alguna solución que no lo sea de (1)? } (2) 2.29 Estudiar cada uno de los siguientes sistemas: a) x + 2y z = 2 2x + y + z = 1 3x + 3y + 2z = 1 b) x + y + z = 3 2x + 3z = 4 3x + y + 4z = 7 5x + y + 7z = 9 c) x + 2y z + t = 0 x + 4y 5z + 7t = 2 2x + y + z 2t = 1 Si existe solución, expresarla en la forma descrita por el Teorema de Rouché. 1 4 ( ) Hallar una matriz P tal que: 2 3 P = Considerar las matrices A = y B = a) Hallar todas las matrices columna X 3 1 que verifican la igualdad ABX = BAX. b) Los sistemas BX = 0 y B t X = 0 tienen las mismas soluciones? Justificar la respuesta Hallar los valores de los coeficientes de las descomposiciones en fraciones simples del ejercicio 25 de polinomios: X a) 2 +1 X 5 X+5 b) c) X 4 6X 3 16X 2 +54X+63 (X 1)(X 3 1) 2X 4 X 3 4X 2 +10X 4 X d) 2 +2 X e) 3 3X 2 +X 3 X f) 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X X 5 +7X 4 +16X 3 +8X 2 16X 16 X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X (X 3 3X 2 +X 3) Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, según los valores de los parámentros: a) c) x + 2y z = a 2x + y + z = 1 a 3x + (1 + a)y + az = 1 a x + y + z = a 3 ax + y = 0 ax + y + az = 0 b) d) x + 2y + 4z = 1 x + 2y + 2az = 2 ax + 4y + 4az = 4a 5x (a + b)y + 7z = 8 + b 2x ay + 3z = 4 x + y + z = 3 3x 3y + 4z = Usar el método de Gauss para saber cuales de las siguientes matrices tienen inversa y calcularlas: a) b) c) d)

11 26 Matemáticas I 2.4 Ejercicios 2.35 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada columna es cero. Probar que rg(a) < n. Es A una matriz inversible? 2.36 Probar que si A es una matriz cuadrada, la matriz A+A t es simétrica y la matriz A A t es antisimétrica. Probar que en una matriz cuadrada antisimétrica la diagonal principal está formada únicamente por ceros Sea A = a) Encontar todas las matrices B 3 3 tales que AB = 0. Qué relación tienen estas matrices con las soluciones del sistema AX = 0? b) Encontar todas las matrices C 3 3 tales que CA = 0. c) Encontar todas las matrices D 3 3 tales que AD DA = Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0. Demostrar que si B 0, entonces A no es inversible Sean A y B dos matrices de tamaño m n. Probar que si existe C inversible tal que AC = BC entonces A = B Sea A una matriz cuadrada y E una matriz elemental. Probar que AE t realiza sobre las columnas de A la misma operación elemental que hace EA sobre las filas de A.