Soluciones de los problemas de la HOJA 2B

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA TITULACIONES Igeiería Idustrial (GITI/GITI+ADE) Igeiería de Telecomuicació (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso 5-6 Solucioes de los problemas de la HOJA B. La derivada de la fució f ( ) L e el puto es f La recta tagete es y La recta ormal es y L lim. a) La fució f ( ) g( ) es derivable e y f b) La fució h( ) g( ), e geeral, o es derivable e. a) La fució f () es derivable e b) La fució f () es cotiua e y o es derivable e o es derivable e c) La fució f () es cotiua e y o es derivable e es derivable e f y f ya que f y f ya que f y f ya que f y f y. Si f y g L o bie, el águlo que forma las curvas e es arctg f arctgg arctg g f g f tg arctg 5. a) La derivada de la fució f ( ) arctg() L es f ( ) arctg() b) La derivada de la fució f ( ) a se es se f ( ) a cos La

2 si c) La derivada de la fució f ( ) es e si si f ( ) e si d) La derivada de la fució f ( ) es si f ( ) si si La fució f () o es derivable e y 6. Si f ( ) se, la fució iversa es f ( ) arcse. Etoces f ( ) f f cos arcse se arcse 7. a) La recta tagete a la curva La recta ormal es y se y e el puto b) La recta tagete a la curva y 6 y 6 La recta ormal es es y y 5 e el puto es 8. a) Como (), y se verifica que f '() y f '(), por el teorema de Bolzao eiste c, tal que f ( c) y e dicho puto, que perteece al itervalo,, la recta tagete es horizotal y por lo tato paralela al eje X. Cosecuetemete la proposició es CIERTA b) Si f es ua fució par etoces f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) y por lo tato f es impar. Si f es ua fució periódica de periodo T etoces f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) luego f () es ua fució periódica de periodo T Etoces se verifica f ( ) f ( ) ( f impar) f ( ) f ( ) ( f periódica) Sumado estas igualdades se tiee que f ( ). Por lo tato f ( ) y e cosecuecia la proposició es CIERTA. f es cotiua e el itervalo 9. Utilizado la recta tagete de la fució cuado está cerca de f e el puto se tiee que

3 Etoces 6 5 Utilizado la recta tagete de la fució cuado está cerca de Etoces 98 9 Utilizado la recta tagete de la fució e cuado está cerca de Etoces e e f e el puto se tiee que f e el puto se tiee que. Como,, y so raíces de la fució f se ( )( ) ( )( ) cos ( ) ( )( ) ( ) Por el teorema de Rolle f () tiee al meos tres raíces reales distitas (ua etre cada par de raíces cosecutivas de f () ). f () tiee al meos dos raíces reales distitas (ua etre cada par de raíces cosecutivas de f () ). f () tiee al meos ua raíz real etre las dos raíces de f ().. a) Si cosideramos la fució f se tiee que f L Como f o tiee raíces reales por el Teorema de Rolle f tiee como mucho ua raíz real. Al ser f y f, por el Teorema de Bolzao eiste c, tal que f c. Combiado ambos resultados se cocluye que la fució f tiee ua úica raíz real c, que es la solució de la ecuació. La parte etera de la solució es 5 b) Si g ( ) 9 como g 5 se tiee que g o tiee raíces reales luego por el Teorema de Rolle g tiee como mucho ua raíz real. Al ser g 5 y g 9 por el Teorema de Bolzao eiste c, tal que g c. Combiado ambos resultados se cocluye que la fució c,. g tiee ua úica raíz real. Si cosideramos la fució h( ) cos e e cos se tiee que h se Como h o tiee raíces reales por el Teorema de Rolle h tiee como mucho ua h y h cos, por el Teorema de Bolzao eiste raíz real. Al ser

4 c, tal que h c h tiee ua úica raíz real,. Combiado ambos resultados se cocluye que la fució c que es la abscisa del úico puto de corte de las gráficas de f () y g ().. Si cosideramos la fució f L e se tiee que f e. Por otra parte f L e Como f tiee ua raíz real por el Teorema de Rolle f tiee como mucho dos raíces reales. Al ser e raíz de f y f etoces e es la úica raíz real de f y por lo tato la úica solució de la ecuació L e.. Si f ( ) e l( ) etoces f ( ) f e f ( ) f e,, Como f ua raíz real y dicha raíz es mucho dos raíces reales. Al ser raíz de raíz real de o tiee raíces reales por el Teorema de Rolle. Etoces (Teorema de Rolle) f y f. 5. a) lim cot b) f tiee como mucho f tiee como f etoces es la úica 9 lim 9 se lim ch e c) lim arctgl d) e) sh lim e se L e es 6. a) El poliomio de Taylor de orde de f se P b) El poliomio de Mc-Lauri de orde de f L P es 7. El poliomio de Mc-Lauri de orde de f ( ) 8 es P 88 U valor aproimado de 8 es

5 El error cometido R verifica 5 5 R 65 c, c Si aproimamos se utilizado el poliomio de Taylor de orde 5 de la fució f ( ) se se tiee se El error cometido R 5 verifica R 5 6! 6! 6 sec 5 c, 6 9. a) ch cos lim tg se se ( e ) Log b) sh arctglog tg se lim. i) La fució f () es cotiua e para todo A ii) La fució f () es derivable e solamete para A. Los valores de g( ), g () y g () para que se verifique que lim f ( ) g( ) 5 8 g ( ) g ( ) 9 so. a) El orde y la parte pricipal de Orde f f e so PPf f tg so b) El orde y la parte pricipal de se Orde f PPf se f e cos so c) El orde y la parte pricipal de Orde f PP f 6

6 . a) Para la fució f ( ) cos e a b se tiee los siguietes casos: Si a Ordef PP f a Si a y b Ordef PP f b Si a y b Orde f f PP 88 b) Para la fució Log se casos: Si Si 6 f se tiee los siguietes Ordef PPf Orde Si 6 Si 6 Si 6 f 9 PP f Ordef 8 8 PP f Orde f 8 PP f Ordef PPf 8. a) La fució f ( ) es creciete e los itervalos, y,, decreciete e los itervalos, y, tiee u míimo relativo e y u máimo relativo e e b) La fució f ( ) es creciete e los itervalos, y, y decreciete e los itervalos, y, tiee u míimo relativo e y u máimo relativo e si c) La fució f ( ) si 6 si es creciete e los itervalos, y, y decreciete e los itervalos, y,

7 tiee míimos relativos e y y u máimo relativo e 5. Al ser g () estrictamete decreciete e y g ( ) g() etoces g ( ) y g ( ). Si cosideramos la fució h( ) e g( ) se tiee que h( ) e e ya que ( ) Rolle g. Como e g( ) h o tiee raíces reales por el Teorema de h tiee como mucho ua raíz real. Al ser g h y h e g, por el Teorema de Bolzao eiste c, tal que h c. Combiado ambos resultados se cocluye que la fució h tiee ua úica raíz real c, que es la abscisa del úico puto de corte de las curvas y f () e y g() e. 6. La fució g( ) f 5 f ( ) f ( ) es creciete e el itervalo, decreciete e el itervalo, y tiee u máimo relativo e y 7. a) La fució f ( ) e el itervalo, alcaza el míimo absoluto e ( f ( ) ) y el máimo absoluto e ( f ( ) ) b) La fució f ( ) cos e el itervalo, alcaza el míimo absoluto e ( f ( ) ) y el máimo absoluto e ( f ( ) 5) si c) La fució f ( ) e el itervalo, alcaza el si míimo absoluto e los putos y ( f ( ) f () ) y el máimo absoluto e ( f ( ) ) 8. El área de T es. El área de u triágulo cualquiera T es

8 Area T a a El triagulo T de área máima se obtiee cuado Cosecuetemete Area T AreaT a y su área es. 9. a) El área máima se alcaza cuado y el radio del sector circular es R. b) El área máima se alcaza cuado y el radio del sector circular es R.. La distacia míima es 5 y el eplorador la recorre cuado va a buscar agua al puto del rio. La distacia máima es y el eplorador la recorre cuado va a buscar agua a los putos y del rio.. a) Las dimesioes del cilidro de volume V co área total míima so V Radio V Altura b) El radio y la altura del cilidro circular iscrito e ua esfera de radio R que tiee área lateral máima so R Radio Altura R. a) La fució f () tiee ua sola raíz real que es. b) La fució f () es covea e y o tiee putos de ifleió.. La fució g f ( ) cos a se tg si a. tiee u puto de ifleió e.... a) El orde y la parte pricipal de ( ) e f so Ordef PPf b) Si es impar etoces la curva y f () tiee u máimo relativo e. Si es par etoces la curva y f () tiee u puto de ifleió e.

9 L f se tiee Dom f, La gráfica de la fució f corta al eje X e y o corta al eje Y Asítota vertical y asítota horizotal y, e e, 5. a) Para la fució f es creciete e y decreciete f tiee u máimo relativo e e f es cócava e el itervalo, e, La gráfica de f tiee u puto de ifleió e f es e y covea e el itervalo e b) Para la fució f e se tiee Dom f La gráfica de la fució f o corta a los ejes coordeados Asítota vertical f es creciete e, y decreciete, y, f tiee u míimo relativo e,, y o tiee putos de ifleió f es covea e y La gráfica de f es e c) Para la fució f ( ) Dom f si se tiee si La gráfica de la fució orige de coordeadas. f corta a los ejes coordeados e el

10 Asítota horizotal y f es cotiua e y o derivable e dicho puto f es creciete e, y, y decreciete, y, f tiee u míimo relativo e y máimos relativos e y f es covea e los itervalos, y, y cócava e los itervalos,, y f tiee putos de ifleió e f es La gráfica de