Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso Problemas

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1 Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso Problemas

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3 REGLAS DE DERIVACIÓN. Reglas de derivación Obtener la derivada de las siguientes funciones:. y = (x 7x + ). y = (4x + 5). y = (x 4x 5x + ) 4 4. y = x (x + ) 5. y = (x ) (x + 5) 6. y = x + x x + 7. y = x + (x ) 8. y = x x + (x + ) 9. y = x x + 0. y = 5x. y = x. y = x +. y = 4 x 4. y = 4 x x 5. y = x 6. y = x + 7. y = x x 8. y = x + x x + 9. y = (x x + ) x + 0. y = ln(x ). y = ln x 4 x + 4. y = ln 4x +. y = ln x 4. y = ln(x + ) 5. y = x ln x x 6. y = (x x) ln(x + ) 7. y = e x 8. y = e x 9. y = e x 0. y = xe x. y = (x )e x. y = ex x. y = x e x 4. y = e x 5. y = 5e x 6. y = ln(e x + ) 7. y = log x 8. y = log ( x) 9. y = x 40. y = 5x 4. y = + ln x 4. y = (ln x) 4. y = ( ln x) 44. y = e x ln x 45. y = sen x 46. y = tg(π x) 47. y = cos x 48. y = 5 cos(π x) 49. y = sen x 50. y = sen x cos x 5. y = sen x cos x 5. y = sen x cos x 5. y = e sen x 54. y = cos x 55. y = cos x sen x 56. y = ln tg x 57. y = x x 58. y = x cos x

4 REGLAS DE DERIVACIÓN y = ln cotg x 60. y = ln 5x x + 7 x 6. y = ln x + 6. y = ln 6. y = 8 x x y = ln cos e x ln + sen x sen x 65. y = ln cos e x 66. y = a tg x cos x 67. y = a 68. y = a sen x 69. y = e x 70. y = ex + e x 7. y = e5x + e x 7. y = ex x 7. y = a x 74. y = ln ex + e x 75. y = ln + x x 76. y = log ( cos x sen x ) 77. y = log cos x + cos x + sen x 78. y = log sen x 79. y = arsen x 80. y = arcos x 8. y = x artg x 8. y = a x + arsen x a 8. y = ln 84. y = x x ( x ) x 85. y = a 86. y = ( + x) x + x + x + artg x 87. De la ecuación de la trayectoria x = x 0 + v 0 t + at obtener la fórmula de la velocidad y la aceleración. 88. De la fórmula ( + x) n = + ( ) n x + ( ) n x + ( ) n x + + obtener, derivando y haciendo x =, que ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n = n n 89. Obtener la derivada segunda de: ( ) n x n n a) y = x 5x + 4 b) y = x 4 x + x + 6 c) y = ln x d) y = e sen x e) y = ln + sen x f ) y = x e x 90. Obtener la diferencial de: a) y = 4x 5x + b) y = + x c) y = x d) y = x e sen x

5 CÁLCULO DE LÍMITES 5. Cálculo de ĺımites 9. Calcular los siguientes límites: a) lím x (x x + 5) b) lím x (x x + 5) c) lím x d) lím x x + 5x + x x + 4x + x 4 5x 4 + x + x + x + 9. Calcular los siguientes límites: a) lím x x 4 x x + 6x + b) lím x x 6x + x + 4 x + x + c) lím x x 6x + 6 x 4 x + x x 4 d) lím x 0 x + x 9. Calcular los siguientes límites: a) lím x 5 x 5 x 5x x + 5x + 0x + b) lím x x + x x Calcular los siguientes límites: x + 5x + x 9 a) lím x x + 7x + 5x + 9 b) lím x x 4 6x + 8x x 4 x + x 95. Calcular los siguientes límites: x 5 a) lím x 5 x 5 x 5x + 6 b) lím x x x Calcular los siguientes límites: ( a) lím x x + x x + ) x ( ) b) lím x x x c) lím x x 4 x + x x + 4x x x 4 + 4x + 5x + 4x + 4 d) lím x x 4 + 4x + 4x ( ) x c) lím x x 4 x 4 x x 5 d) lím x 5 x 5 ( c) lím x x) x ( d) lím x + x x + ) x c) lím x 0 d) lím x x x ( 4x + x ) x 97. Calcular los siguientes límites: a) lím x b) lím x ( 4x + x ) x ( ) x x x + c) lím x d) lím x ( x ) x + x ( x + x ) x 98. Calcular los siguientes límites:

6 CÁLCULO DE LÍMITES 6 a) lím x ln x b) lím x log x c) lím x log / x d) lím x 0 + ln x e) lím x 0 + log 5 x f ) lím log x 0 + / x g) lím ln( + x) x 0 h) lím log 5 x x 5 i) lím log x x j ) lím x log x 99. Calcular los siguientes límites: a) lím x b) lím x x x + x x + 5 x Calcular los siguientes límites: a) lím x b) lím x x e x e x x 0. Calcular los siguientes límites: a) lím x b) lím x ln x x x 5 ln x 0. Calcular los siguientes límites: a) lím x 0 sen x x b) lím x 0 tg x x c) lím x d) lím x c) lím x d) lím x c) lím x d) lím x c) lím x 0 x x + x x + x x 5x + x 4 x x + + e x x x ln x e x sen x x arsen x cos x x d) lím x 0 artg x e) lím x f ) lím x e) lím x f ) lím x e) lím x f ) lím x e) lím x 0 x 4 x + 4x 4 + x 5 x + x x 5x + 6 e x x + x 5 x x sen x ln x x sen x sen x cos x f ) lím x 0 x + tg x x 0. Calcular las asíntotas de las siguientes curvas: a) y = x + x b) y = x x + 4 c) y = x 04. Calcular las asíntotas de las siguientes curvas: a) y = x + x 4 b) y = x + x c) y = x Calcular las asíntotas de las siguientes curvas: a) y = x + x b) y = x + x x + c) y = x4 + x Soluciones: (9) (a) 5 (b) (c) (d) 5 (9) (a) (b) 0 (c) (d) 0 (9) (a) (b) 7 (c) 9 7 (d) 5 4

7 CONTINUIDAD 7 (94) (a) (b) (c) 5 4 (d) 5 (95) (a) 0 5 (b) (c) 0 (d) (96) (a) (b) (c) (d) (97) (a) 0 (b) e 6 (c) (d) e 4 (98) (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) 0 (h) (i) 0 (j ) (99) (a) (b) 0 (c) (d) 0 (e) 4 (f ) (00) (a) 0 (b) (c) 0 (d) 0 (e) (f ) (0) (a) 0 (b) (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f ) (0) (a) (b) 0 (c) (d) 0 (e) (f ) (0) (a) x =, y = (b) x =, y = (c) x =, y = 0 (04) (a) x =, x =, y = 0 (b) x =, x =, y = (c) y = 0 (05) (a) x =, y = x + 6 (b) x =, x =, y = x + (c) x =, x =. Continuidad 06. Estudiar la continuidad de la función: x + a si x f(x) = x ax + si x > según los valores de a. 07. Estudiar la continuidad de la función: f(x) = x x + x x x 08. Calcular a y b para que la siguiente función sea continua: x + ax si x f(x) = b si < x < x + 4 si x 09. Estudiar los puntos de discontinuidad de la función: y = x x 9 0. Hallar el valor de k para que la función: x 4 si x f(x) = x k si x = sea continua en x =.. Cómo hay que definir en x = la función: x y = x x para que sea continua en ese punto?. Estudiar la continuidad de la función: e ax si x 0 f(x) = x + a si x > 0 según los valores de a.

8 4 TEOREMA DE BOLZANO 8. De la función g(x) se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, ] y que para 0 < x es: g(x) = x + x x Cuánto vale g(0)? 4. Sea la función: f(x) = x 4 x El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x =. Cómo se debería elegir el valor de f() para que la función f sea continua en ese punto? Soluciones: (06) Para a = es continua en x =. Para los demás valores hay un salto finito. (07) En x = hay una discontinuidad evitable. En x = hay un infinito de la función. (08) a = 9, b = 0. (09) En x = hay una discontinuidad evitable. En x = hay un infinito. (0) k = 4. () La función tiene que valer. () La función es continua en x = 0 para a =. () Tiene que valer g(0) =. (4) Debe elegirse f() = Teorema de Bolzano 5. Demostrar que la ecuación x x + 40 = 0 tiene alguna solución en el intervalo ( 4, ). 6. Demostrar que las gráficas de las funciones f(x) = ln x y g(x) = e x se cortan en algún punto. 7. Dada la función f(x) = x + x 5, demostrar que existe un c (, ) tal que f(c) = Comprobar que la ecuación sen x x + = 0 tiene una solución en el intervalo (, ). 9. Comprobar que la función f(x) = x 5 x x + 5 toma el valor en el intervalo (, ). 0. Demostrar que la función f(x) = xe x + toma el valor en el intervalo (, 0).. Demostrar que la ecuación sen x cos x + x = tiene una solución en el intervalo (, ).. Comprobar que la función f(x) = cos x x + corta al eje OX en al menos un punto, e indica un intervalo de extremos de números enteros consecutivos al cual pertenezca dicho punto.. Lo mismo para la función f(x) = xe x x Demostrar que las gráficas de las funciones f(x) = x + x y g(x) = cos πx se cortan en un punto x 0. Calcular la parte entera de x Demostrar que la ecuación x + x + 4x 7 = 0 tiene al menos una solución. 6. Comprobar que la ecuación x = cos x tiene al menos una solución. 7. Demostrar que las gráficas de las funciones f(x) = x + x y g(x) = + cos x se cortan en algún punto. 8. Sea la función: x 4 si 0 x f(x) = 4 e x si < x Observamos que f está definida en [0, ] y que toma valores de signos opuestos en los extremos de este intervalo. Sin embargo, no existe ningún c (0, ) tal que f(c) = 0. Contradice esto el teorema de Bolzano?

9 5 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 9 5. Continuidad y derivabilidad 9. Considérese la función: e ax x 0 f(x) = x + x > 0 donde a es un número real. a) Calcular lím x 0 f(x) y comprobar que f(x) es continua en x = 0. b) Para qué valor del parámetro a la función es derivable en x = 0? 0. Determinar el valor de a para el cual la siguiente función es derivable en x = 0: cos x x 0 f(x) = x + a x > 0. Dada la función: ax + x < f(x) = e x x calcular a para que f sea continua en x =. Para el valor obtenido, es derivable la función en x =?. Discutir según los valores de m la continuidad y la derivabilidad de la función: mx x f(x) = mx x >. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos: bx + ax a f(x) = x x + ax + x + x < x x > 4. Dada la función: x + ax + b x < f(x) = cx x Calcular a, b y c para que la función sea derivable en x =, sabiendo que f(0) = f(4). 5. Estudia la derivabilidad de las función f(x) = x 7x + en x = La función f(x) = x no es derivable en x = 0 y la función g(x) = sen x, sí. Es derivable en x = 0 la función p(x) = x sen x? 7. Sea la función: sen x f(x) = x π π < x < π x π Estudiar su continuidad y su derivabilidad en x = π.

10 6 RECTA TANGENTE 0 6. Recta tangente 8. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 5x + 6 en el punto de abscisa x = 9. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva x + x + 5 en el punto de abscisa x = 40. Calcular la ecuación de la recta tangente a y = x 4x + que tenga pendiente igual a. 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 4 en el punto de abscisa Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x x que sean paralelas a la recta y = 6x Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 4 x en los puntos de corte con el eje de abscisas. 44. Hallar los puntos de tangente horizontal de la curva y = x x 9x. 45. Hallar los puntos de tangente horizontal de las siguientes curvas: a) y = x x + b) y = x x 46. En qué puntos de y = /x la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante?. Tiene algún punto de tangente horizontal? 47. En qué punto la recta tangente a la curva y = x 6x + 5 es paralela a la recta y = x? 48. En qué puntos la recta tangente a y = x 4x tiene la pendiente igual a 8? 49. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x que son paralelas a x+y = 0. x 50. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y = ln x trazada desde el origen. + x 5. Hay algún punto de la gráfica de y = ln con tangente horizontal? x 5. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curvaf(x) = sen x en el origen. 5. Hay algún punto de la gráfica de f(x) = tg x en el que la tangente tenga menor pendiente que la bisectriz del primer cuadrante? 54. Encuentra los puntos con abscisa en [0, π] para los que la tangente a la curva f(x) = sen x + cos x sea horizontal. 55. Obtén la ecuación de la tangente a la curva x + y = en P (, ) de dos formas: utilizando la derivación implícita y despejando y. 56. Usa la derivación implícita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva x y = en el punto de abscisa x = 57. Dada la función: x ln x f(x) = x si x 0 x + k si x < 0 a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en R. b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto del abscisa x =.

11 7 PROBLEMAS DE MOVIMIENTO 58. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función f(x) = xe x + x x + 4 en el punto de abscisa x = Halla el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y = e x en el punto de abscisa x =. 7. Problemas de movimiento 60. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de tal forma que su posición en un tiempo t está dada por: x(t) = t 7t + t,5 a) Calcular la velocidad y aceleración en el tiempo t. b) Calcula el tiempo en que la partícula está en reposo y cuando está acelerando y frenando. Justifica las respuestas. c) Calcula los valores de t en que el movimiento cambia de sentido. d) Calcular la distancia recorrida en los primeros segundos. 6. La posición de una partícula t segundos después de que comience el movimiento está dada por la función: x(t) = t t + 8t metros. Calcular: a) La velocidad y aceleración en función de t. b) El momento en que la partícula está (i) en reposo (ii) acelerando (iii) frenando. c) La aceleración cuando la velocidad de la partícula es cero. Interpretar la respuesta. d) El momento en que la partícula cambia de dirección. e) La distancia recorrida en los primeros cinco segundos. 8. Problemas BI 6. Una caja sin tapa se construye cortando cuadrados en los vértices de una pieza de cartón cuadrada de 4 m de lado. Calcular el tamaño de los cuadrados de forma que el volumen de la caja sea máximo. 6. Calcular las dimensiones de una lata cilíndrica de un litro de capacidad de forma que su superficie sea mínima. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima cuya base está en el eje de abscisas y sus otros dos vértices sobre la parábola y = 0 x. 64. Una lámina de latón de 6 cm de perímetro se enrolla para formar un cilindro. a) Calcular sus dimensiones de forma que el volumen del cilindro sea máximo. b) La misma lámina gira alrededor de uno de sus lados para generar el cilindro. Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo. 65. Calcular la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x + y = en el punto (0, ). 66. Calcular la derivada del folium de Descartes x + y 9xy = El punto P (, m) donde m < 0 se encuentra en la curva x y + y = 6:

12 8 PROBLEMAS BI a) Calcular el valor de m. b) Calcular la pendiente de la normal y la tangente en P. 68. Dada la curva x + y = x xy + y : a) Calcular su derivada. b) Demostrar que dy dx = x y +. c) Demostrar que d y dx = ( dy dx ). 69. Una escalera de 0 m de longitud se encuentra apoyada sobre una pared. La parte superior desliza sobre la pared con una velocidad de 0,5 m s. Calcular la velocidad con que desliza sobre el suelo el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 6 m de la pared. 70. Un depósito cónico se llena con agua a razón de m min. El depósito está situado con el vértice hacia abajo. A qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de m y el radio de la superficie del agua es de,5 m? 7. El volumen de un cubo aumenta a,5 m s.calcular la velocidad con que aumenta la superficie del cubo cuando su volumen es de 8 m. 7. Un avión que vuela a una altura de 8000 m pasa sobre una estación de radar. Cuando el avión se encuentra a 000 m de la estación, el radar obtiene que la distancia está cambiando con una velocidad de 0 km h. Calcular la velocidad del avión en ese momento. 7. Dos circunferencias concéntricas se están expandiendo. En el tiempo t el radio de la circunferencia exterior es de 9 m y está creciendo a un ritmo de, m s. El radio de la circunferencia interior es de m y crece a,5 m s. Calcular la velocidad de crecimiento del área de la corona comprendida entre ambas circunferencias en el tiempo t. 74. Calcular los valores de a para los que la serie a + a + a + a ( + a ) + es convergente y calcular su suma. 75. Dada la función: calcular: y = x x + 5 x x a) Su asíntota horizontal. b) Los puntos en que la curva se corta con su asíntota. 76. Sea f una función par definida en el intervalo ( a, a), a > 0. Demostrar que si f es derivable en todo su dominio, la tangente a su gráfica en x = 0 es paralela al eje x. 77. Si f es una función tal que f(x) = [g(x)], g(0) =, g (0) = 8, calcular la ecuación de la tangente a f(x) en x = Considérese la función: y = x x a) Calcular las asíntotas horizontales y verticales. b) Demostrar que la función es impar. c) Comprobar que y < 0 para todo x de su dominio.

13 9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD d) Representar gráficamente la función. 79. Calcular la menor distancia del punto (,5, 0) a la curva y = x. 80. Con una pieza de alambre de 80 cm se forman dos circunferencias iguales y un cuadrado. Calcular el radio de las circunferencias si queremos que la suma de las tres áreas sea mínima. 8. Una escalera de 0 m de longitud se apoya contra una pared. En determinado momento, el extremo superior empieza a deslizar hacia abajo con una velocidad de 0,5 m s. Calcular la velocidad de cambio del ángulo que forma la escalera con el suelo cuando la escalera se apoya a 8 m del suelo. 8. Un cámara profesional se encuentra filmando un safari. Supongamos que está situado a 0 m de un árbol, siguiendo a unos pájaros que vuelan a una velocidad de 95 km h. Los pájaros se mueven perpendicularmente a la línea que une el árbol con el cámara. A qué velocidad debe girar la cámara para seguir a un pájaro: a) Que está justo enfrente de la cámara. b) Un segundo después. 9. Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad 8. Estudiar la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x (x + ) b) f(x) = x 4 + x x 84. Estudiar la monotonía de: a) f(x) = x x + x b) f(x) = x x Estudiar la monotonía de: a) f(x) = x e x b) f(x) = x + ln x c) f(x) = ln x x d) f(x) = x ln x 86. Determinar los máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando la derivada segunda: a) y = x 4x 6 b) y = (x ) x + c) y = ln(x + ) d) y = (x + 4)e x 87. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) y = x x + x + 4 b) y = x x c) y = 9 + x d) y = ln x x e) y = 4 cos x cos x f ) y = x e x 88. Sea f(x) = x + mx donde m es un parámetro real. Hallar el valor de m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = 4.

14 9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Se considera la función: f(x) = ae x +bx+c ; a > 0 Calcular los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un mínimo relativo en el punto (, a) y f(0) =. 90. Determinar los valores de a, b y c para que la función: f(x) = x + ax + bx + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de inflexión en x = y su recta tangente en x = tenga pendiente. 9. Calcula para f(x) = (x+)e x los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad. 9. Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función: f(x) = x + x + x + 9. Demostrar que la curva de ecuación y = x 4 x + x x + no tiene ningún punto de inflexión. 94. Sea f : R R la función definida por: f(x) = x + x + ax + b Determinar a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = x Calcular los valores del parámetro a, a 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación y = ax 4 + ax ax +,5 en los puntos de inflexión sean perpendiculares. 96. Se considera la función f(x) = x + ax + bx + c donde a, b y c son parámetros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x = y x = 4 son paralelas al eje X. b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de f(x) está en el eje X. 97. Demuestra que la curva f(x) = x cos x tiene un punto de inflexión en el interior del intervalo [0, π] y halla la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto. Haz un dibujo en un entorno del punto hallado. 98. Hallar una función polinómica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (, ) y un punto de inflexión en (0, ). Es (, ) el único extremo de la función?. Soluciones: ( ) ( (8) (a) creciente en (, ) (0 ) (b) creciente en, ) +,

15 0 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO 5 (84) (a) creciente en (, 0) (, ) (b) creciente en (, ) (85) (a) creciente en (, ) (0, ), máximo en x = (b) decreciente en (, 4), mínimo en x = 4 (c) creciente en ( 0, e ), máximo en x = e (d) decreciente en (0, e ), mínimo en x = e (86) (a) máximo en x =, mínimo en x = (b) máximo en x =, mínimo en x = (c) mínimo en x = 0 (d) no hay extremos relativos (87) (a) cóncava en (, ) (b) ( cóncava ) en (, ) (, ), puntos de inflexión en x = y x = (c) cóncava en (, ) (d) convexa en 0, e (e) convexa en [ 0, π ) ( 4π, π] (f ) cóncava en (, ) ( +, ) (88) m = (89) a =,b =, c = e (90) a =, b = 6, c = 0 (9) creciente en (, 0), cóncava en (, ) (9) máximo en x =, mínimo en x =, punto de inflexión en x = 0 (9) La derivada segunda no tiene raíces (94) a = 6, b = 9 (95) a =, a = (96) a = 9, b = 4, c = 8 (97) y π = ( x π ) (98) a =, b = 0, c =, d =. 0. Teoremas de Rolle y del valor medio 99. Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a f(x) = tg x en el intervalo [0, π] y, si es posible, determinar el punto en el que la derivada se anula. 00. Razonar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = (x ) en el intervalo [0, 4]. 0. Aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = x + x en el intervalo [ 4, ] e interpretarlo geométricamente. 0. Cada una de las funciones siguientes toma el mismo valor en los extremos del intervalo [, ], pero no hay ningún valor ξ (, ) en el que la derivada se anule. Justificar en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle: a) f(x) = x 4 b) f(x) = x 0. Probar que la función f(x) = x +x x satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ] y calcula un punto del intervalo abierto (, ) cuya existencia garantiza el teorema. 04. Demostrar que la ecuación x = e x solamente tiene una solución. 05. Demostrar que la ecuación x = x cos x sen x se verifica para un solo valor de x. 06. Demuestra que la curva y = x x + solo corta al eje X en un punto del intervalo [0, ]. 07. Demostrar que la ecuación x + x + x = 0 solo tiene una solución real. 08. Dado el intervalo I = [0, 5] y dadas las funciones f(x) = x Ax, encontrar el valor de A para que se pueda aplicar el teorema de Rolle al intervalo I y aplicar el teorema en ese caso. 09. Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demostrar que las curvas y = cos x e y = x se cortan en un único punto del intervalo (0, π). 0. Demostrar que se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) = x + 9 en el intervalo [0, 4] y halla el punto que verifica el teorema.. Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) = x + x 8 en el intervalo [, ] e interpretarlo geométricamente.

16 REGLA DE L HÔPITAL 6. Razonar si es aplicable el teorema del valor medio a la función x ln x x > 0 f(x) = 0 x = 0 en el intervalo [0, e]. En caso afirmativo, hallar el valor al que se refiere el teorema.. Dada la función: f(x) = x x x + x demostrar que existen α, β (, ) tales que f(α) = 0 y f (β) =. Decir que teorema se utiliza. 4. Sea f(x) = x + x y sea el intervalo I = [0, ]. Aplicar el teorema del valor medio a la función f en el intervalo I, hallando el punto de dicho intervalo cuya existencia asegura el teorema. 5. Dada la función f(x) = x cos πx demostrar que existe ξ (, ) tal que f (ξ) =. Citar los teoremas que se utilicen.. Regla de l Hôpital 6. Calcular los siguientes límites: a) lím x x 4x + 4 x 4 c) lím x 0 sen x x cos x x e x e x b) lím x 0 sen x d) lím x x 5 x 7. Calcular los siguientes límites: a) lím x 0 e x x sen x sen x c) lím x 0 e x e x x x sen x 8. Calcular los siguientes límites: x a) lím x 0 ln( + x) ln x c) lím x 0 cotg x 9. Calcular: a) lím x 0 x cotg x c) lím x 0 (e x x) x e x b) lím x 0 cos x x b) lím x 0 cos x d) lím x 0 sen x x + x ( ) b) lím x 0 x cotg x d) lím x 0 + x e x sen x 0. Calcular:

17 REGLA DE L HÔPITAL 7 a) lím x x 5 x b) lím ( x ) x x. Calcular: a) lím x 0 e x sen x x x + x 4. Calcular: ( a) lím x ln x ) x. Calcular: a) lím (ln x)e x x x sen x b) lím x 0 tg x sen x ( b) lím x artg e x π ) x ( b) lím + tg ) x x x 4. Calcular: x + x a) lím x x + x b) lím x π ln cos x ln( cos x) 5. Calcular, si existen, los siguientes límites: x a) lím x)tg x 0 +(sen b) lím x 0 sen x x 6. Calcular: a) lím x 0 c) lím n x + b) lím ) tg πx x x +(x ( n ) 8 n+ 7. Calcular los valores del número real a sabiendo que: e ax ax ln( + ax) a) lím x 0 x = 8 b) lím = x 0 sen x x c) lím x ln(e ax ) = 4 8. Calcular los valores de λ 0 para los cuales: lím x 0 9. Calcular: sen x cos λx = a) lím x (x ) ln(x ) b) lím x 0 x sen x c) lím (cos x + sen x) x d) lím x 0 x (x ) x x e) lím x + x

18 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 8 Soluciones: (6) (a) 0 (b) (c) (d) (7) (a) (b) (c) (8) (a) (b) (c) 0 (d) 0 (9) (a) (b) 0 (c) (d) (0) (a) (b) () (a) (b) () (a) (b) 0 () (a) (b) e (4) (a) (b) (5) (a) (b) a la izquierda y a la derecha (6) (a) (b) 4 π (c) (7) (a) a = ±4 (b) a = 6 (c) a = (8) λ = ± (9) (a) 0 (b) (c) e (d) (e). Problemas de optimización 0. De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, hallar la altura y el radio del que tiene mayor volumen.. Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima.. En qué punto de la parábola y = 4 x la tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?. Determinar el punto de la parábola y = x que está más próximo al punto (, 0). 4. Determinar un punto de la curva de ecuación y = xe x en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima. 5. Considérense las funciones f(x) = e x y g(x) = e x. Para cada recta r perpendicular al eje X, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para el cual el segmento AB es de longitud mínima. 6. El coste del marco de una ventana rectangular es de,50 euros por metro lineal de los lados verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de m de superficie para que resulte lo más económico posible. b) Calcular, además, el coste de este marco. 7. De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación x + y = determinar el de área máxima. 8. Considérese el recinto limitado por la curva y = x y la recta y =. De entre los rectángulos que tienen un lado sobre la porción de recta que queda sobre la curva y los otros dos vértices sobre la parábola, determinar el que tiene área máxima. 9. Un trozo de alambre de longitud 0 se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las longitudes de ambos trozos para que sea mínima la suma del área del rectángulo y la del cuadrado.

19 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Una cartulina tiene forma rectangular con 0 cm de base y 0 cm de altura. Se quiere construir un cajón sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina de la cartulina. Calcular x para que el volumen del cajón resultante sea máximo. Calcular dicho volumen. Soluciones: (0) r = 6, h = 6 () y 6 () x =, x = () x = (4) x = 0 (5) x = 0 (6) 80 cm y 5 cm (7) El que tiene un vértice en (, (8) El que tiene un vértice en (, ) (9) 80 7 y 60 7 (40) ). Representación de funciones 4. Estudiar y representar las siguientes funciones: a) y = 8 x 4 b) y = x + x 4. Representar gráficamente la función y = x x. 4. Dada la función y = x x + determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbócese su gráfica. 44. Se considera la función: y = x x + a) Halle sus asíntotas, máximos y mínimos. b) Represéntese gráficamente la función. 45. Estudiar (dominio, crecimiento, máximos, mínimos y asíntotas) y representar gráficamente la función: y = x x x 46. Representar gráficamente la función: y = x x estudiando las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

20 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Calcular las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = e x y representarla gráficamente. 48. Se considera la función: y = (x + ) e x Hallar los extremos locales y los puntos de inflexión. Representar gráficamente la función. 49. Sea la función f(x) = x e x. a) Comprobar que la recta y = 0 es asíntota horizontal en +. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Con los datos anteriores, hacer una representación aproximada de la función. 50. Representar gráficamente las funciones: a) y = x ln x b) y = x ln x 5. Sea f(x) = x + ln x con x (0, ). Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Determinar las asíntotas y esbozar la gráfica. Soluciones: (4) (4) (4)

21 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50)

22 4 MÁS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (5) 4. Más problemas de optimización 5. Hallar el rectángulo de área máxima inscriptible en un triángulo isósceles de base 6 cm y altura 0 cm. Generalizar. 5. Hallar el rectángulo de área máxima inscriptible en un semicírculo. 54. Demostrar que de todos los rectángulos de igual perímetro, el de área máxima es el cuadrado. 55. Hallar el cilindro de máximo volumen inscriptible en un cono recto circular de radio 0 cm. y altura 0 cm. Generalizar. 56. Demostrar que todos los cilindros de igual superficie, el de volumen máximo es el de altura igual al diámetro. 57. Inscribir en una esfera el cilindro, de volumen máximo. 58. Idem de área máxima. 59. Demostrar que la altura del cono de volumen máximo inscrito en una esfera vale los 4/ del radio. (Tomar como variable dicha altura.) 60. Calcular las dimensiones de un depósito cónico invertido abierto, de 000 litros de capacidad, de modo que requiera la mínima cantidad de superficie. 6. Sabido es que el desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular. Dado un círculo, cuál es el sector correspondiente a un cono de máximo volumen? 6. La superficie lateral de una caldera cilíndrica de m de capacidad está hecha de material que cuesta euros el dm, mientras los círculos de las bases cuestan a euros el dm. Calcular las dimensiones más económicas. Soluciones (5) La base es cm y la altura 5 cm. (5) La base es R y la altura R. (54) La base debe ser la cuarta parte del perímetro. (55) El radio es 0 cm y la altura 0 cm. S (56) El radio es y la altura el doble. S es el área total. 6π (57) El radio es R (58) El radio es r = R (59) y la altura R (60) El radio es r = π m.

23 5 INTEGRAL INDEFINIDA 5. Integral indefinida 6. Calcular las siguientes integrales inmediatas: (a) (4x 5x + 7) dx (d) (x sen x) dx (b) 5 dx (e) (x + 4)x(x ) dx x (c) x + 7 dx (f ) (x ) dx (g) (h) (i) x dx (sen x + e x ) dx x dx 64. Calcular las siguientes integrales inmediatas: (a) sen(x π) dx (d) x dx 7 (b) cos x dx dx (e) x x + x (c) (e x + e x ) dx (f ) dx x (g) (h) (i) dx + x dx x tg x dx 65. Calcular las siguientes integrales: dx dx (a) (b) (c) x 4 (x 4) (x 4) dx (d) dx (x 4) 66. Calcular las siguientes integrales: (a) e x 4 dx (b) e x+9 dx (c) e 5x dx (d) ( x x ) dx 67. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente: dx 4 dx 5 dx (a) 4 + x (b) + x (c) 4x + (d) + 9x dx 68. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno: dx dx (a) (b) 4x 4 x (c) e x e x dx 69. Calcular las siguientes integrales racionales: (a) x 5x + 4 dx x + (b) x + x + 4 dx x + (c) x x + x dx x 70. Calcular las siguientes integrales: x + (a) (x )(x + 5) dx (c) x + (b) x + dx (d) x x 4 dx dx x x (e) (f ) x + 5x x + x x dx (x ) dx 7. Calcular las siguientes integrales:

24 5 INTEGRAL INDEFINIDA 4 (a) (b) x + 7x x + x x dx x + 6x + 6 dx (c) (d) dx x + 4x + 5 x + x + x + dx (e) (f ) x x + x + dx x x + 4x + dx 7. Calcula las siguientes integrales: (a) cos x sen x dx (b) xe x dx (c) x dx (x + ) 5 (d) x ln x dx 7. Calcular las siguientes integrales: (a) x 4 e x5 dx (c) (b) x sen x dx (d) dx 9 x x dx x + 5 (e) (f ) sen x cos x dx sen x cos 5 x dx 74. Calcular las siguientes integrales: (a) (b) (x + )5 dx x 6x dx (c) (d) x x(x ) dx tg x sec x dx (e) (f ) ( + ln x) dx x ( + cos x) sen x dx 75. Integrar por partes: (a) x e x dx x (b) e x dx (c) artg x dx (d) (e) (f ) x cos x dx x sen x dx x ln x dx (g) (h) (i) arcos x dx x cos x dx x 5 e x dx 76. Calcula cos(ln x) dx integrando por partes dos veces. 77. Calcula: ln x (a) dx (b) x x ln x dx (c) sen x x dx (d) artg x + x dx 78. Calcular: (a) sen x x dx (b) ln x x dx (c) (ln x) dx 79. Calcular: (a) x x + dx (b) x x + dx (c) + x dx 80. Calcular: (a) sen x dx (b) cos x dx (c) e x cos x dx

25 5 INTEGRAL INDEFINIDA 5 8. Encuentra la primitiva de la función: f(x) = + x que se anula para x = Halla la función F (x) para la que F (x) = x ; F () = 8. De todas las primitivas de la función y = 4x 6, cuál de ellas toma el valor 4 para x =? Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (6) (a) 4x 5x + 7x (b) 5 5 x 4 (c) x x6 ln x + 7 (d) + cos x (e) 4 6 x4 4 x (f ) (x )4 (g) x x (h) cos x + e 4 x (i) x x 4 (64) (a) cos(x + π) (b) 7 tg x (c) e x e x (d) ln x (e) ln x (f ) ln x x (g) artg x (h) arsen x (i) x + tg x (65) (a) ln x 4 (b) (x 4) (c) (d) x 4 (x 4) (66) (a) e x 4 (b) e x+9 (c) 5 e5x (d) x ln x4 4 (67) (a) artg x (b) 4 artg x (c) 5 artg (x) (d) artg (x) (68) (a) arsen x (b) arsen x (c) arsen ex (69) (a) x 6x + 0 ln x + (b) x x + x + ln x + (c) x x ln x (70) (a) ln x +x 0 (b) ln(x +)+ artg x (c) ln(x+)+ln(x ) (d) ln(x ) ln(x+) (e) ln x+ + ln x + ln x (f ) 4 ln x + ln x 4 4(x ) 4(x+) (7) (a) ln x x+ (b) artg (x+) (c) artg (x+) (d) ln(x +x+) artg (x+) (e) 4 ln(x +x+) 5 0 artg 4x+ 5 (f ) 4 ln(x + 4x + ) artg (x + ) (7) (a) sen4 x 4 (b) e x (c) (7) (a) ex5 cos x (b) 5 (ln x)4 8(x +) 4 (d) 4 (74) (a) (x+) 7 7 (b) 4 ln 6x (c) (c) arsen x (d) x + 5 (e) cos x (f ) 4 cos 4 x (x x) (d) tg x (+ln x) (e) (f ) (+cos x) 5 5 (75) (a) 7 (9x 6x+)e x (b) +x e x (c) x artg x ln(+x ) (d) cos x+x sen x (e) x cos x+x sen x 6 sen x+6x cos x (f ) x ln x 4 x (g) x arcos x x (h) 9 cos x + x sen x (i) ( + x )e x (76) x cos ln x + x sen ln x (77) (a) (ln x) (b) ln(ln x) (c) cos x (d) ( artg x) (78) (a) cos x (b) x ln x x (c) x (ln x) x ln x + x (79) (a) 5 (x + ) (x ) (b) x + (x ) (c) ln x + x + ln + x ln + x (80) (a) x sen x cos x (b) x + sen x cos x (c) ex (sen x + cos x) (8) ln + x (8) x + (8) x 6x 7

26 6 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS 6 6. Más integrales indefinidas Calcular las siguientes integrales: x x dx 85. cos x dx cos x dx (multiplicar y dividir por cos x) 90. dx 4 x x dx x 4x 9 dx 95. x x 4 + dx 97. (hacer t = x ) x 4x + x 98. x dx x dx 0. x x x dx x + x (x + ) dx sen x cos x dx (tg x + sec x) dx 9 + x dx 4x + 9 dx x x 6 dx (hacer t = x ) 0. x x 4 dx sec x tg x sec x dx x + 0x + 0 dx x + x + 5 dx dx x x x + dx 07. (x ) dx 4 x dx 09. (x ) 5 4x x dx x + dx x dx x x + dx. x (x dx ) (x x) 4 (x ) dx 7.. x dx + x4 x dx (x ) x dx x + x + x 4 dx

27 6 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS ( + x) x dx 9. sec x tg x dx. x sec x dx. cos 4 x sen x dx 5. (x + )(x ) x cosec x dx tg x dx 5 x dx dx 6. sec x 4 tg x dx Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (84) x ( + x + 5 x) (85) x x+ (86) sen x (87) sec x (88) cotg x+cosec x (89) tg x+sec x x (90) arsen x (9) artg x (9) 4 arsen 4x 5 (9) 6 artg x (94) arsec x (95) arsen x (96) 6 artg x (97) x (98) 4x + 4 artg x (99) sec x artg (00) x 6 + arsen x (0) 5 (x+5) 5 artg (0) arsen x 4 (0) x+ artg (04) arsen x+6 (05) 5 4x x arsen x+ (06) 4x x + 4 arsen x (07) 5 (x ) 5 (08) (x ) (09) x + (0) 9 (x ) () 9 ( x) () 6 (x + ) 4 () 6 ( + x4 ) (4) 4(x +4) (5) 4 x4 x + x (6) 5 (x x) 5 (7) x + x 4 (8) ( + x) (9) 5 x 5 x 4x (0) sec x () cotg x () tg x () tg x x (4) 5 cos5 x (5) arsen x 5 (6) arsen ( tg x) 5 7. x dx e x 8. x dx 9. (e x + ) e x dx dx 0. e x + e x. x dx. e x + x dx. (e x + ) dx 4. (e x x e ) dx e x e x + dx 6. x 5 x4 + dx 8. ln(x + ) dx 40. x sen x dx 4. arsen x dx 44. sec x dx 46. x sen x dx 48. x cos x dx 50. e x e x dx x e x dx ln x dx x ln x dx artg x dx arcos x dx x e x dx x sec x dx

28 6 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS 8 5. x artg x dx 5. x e x dx 5. x sen x dx 54. x arsen x dx 55. ln x dx x Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (7) () e x ln x (8) e x (9) (ex +) 4 (0) x ln(e 4 x + ) () e x + () ex + e x + x (4) e x xe+ e+ (5) ln(ex + ) (6) arsen e x (7) 4 ln 5 5x4 + (8) ex (x ) (9) x ( ln(x + ) ) + artg x (40) x (ln x ) (4) x cos x + sen x (4) x ln x 9 x (4) x arsen x + x (44) x artg x ln( + x ) (45) (sec x tg x + ln sec x + tg x ) (46) x arcos x 4x (47) x cos x + (x sen x + cos x) (48) x e x 4 x e x + 4 xex 8 ex (49) x sen x + cos x (50) x tg x ln sec x 9 (5) (x + ) artg x x (5) ( e x x + x + ) 9 (5) x cos x + x sen x + 6x cos x 6 sen x (54) x arsen x + x ln x+ (55) x 56. Demostrar la siguiente fórmula de reducción: sen m x dx = senm x cos x + m m m sen m x dx 57. Aplicar la fórmula anterior para calcular la integral de sen x. 58. Calcular la integral de sen x. 59. x dx x + x 4 6. x x 8 dx 6. x + 6. x dx x + x 65. x dx x + 5 x x x 4 dx x (x ) dx x + x + 6 dx 4x x + x + dx Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (59) 6 ln x x+ (60) 5 ln (x + )(x 4) 4 (6) x+ln (x + )(x 4) 4 (6) ln x x (6) ln(x +x+) (64) artg x+ (65) 5 5 ln(x +4x+5) artg (x+) (66) ln(x +x+) 8 artg 4x sec x dx Con el cambio t = sen x dt = cos x dx sec x dx = = = cos x dx cos x cos x dt = t dt = cos x dt + t dt + t dt = ln + t ln t + C = ln + t t + C = ln + sen x sen x + C = ln sec x + tg x + C

29 6 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS sec x dx Por partes u = sec x ; dv = sec x dx sec x dx = sec x sec x dx = sec x tg x tg x sen x cos x sen x dx = sec x tg x cos x dx cos x = sec x tg x cos x = sec x tg x = sec x tg x dx cos x dx + cos x dx sec x dx + ln sec x + tg x sec x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x + C sec x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x + C 69. x dx Con el cambio x = sen t ; dx = cos t dt x dx = sen t cos t dt = cos t cos t dt = cos t dt = (t + sen t cos t) + C = ( arsen x + x ) x + C 70. x dx Con el cambio x = sec t ; dx = sen t cos t dt x sec dx = t sen t cos t dt = tg t sen t sen t cos t dt = sen t cos t cos t dt sen t cos = cos t dt = t cos dt t = sec t dt sec t dt = sec t tg t + ln sec t + tg t ln sec t + tg t + C = sec t tg t ln sec t + tg t + C = x x x ln + x + C

30 7 INTEGRAL DEFINIDA 0 7. Integral definida b 7. Se define el valor medio de una función f(x) en un intervalo [a, b] como el cociente b a f(x) dx. a Calcula el valor medio de la función f(x) = x 4 x en el intervalo [0, ]. 7. Sea f una función definida por f(x) = x + x con x. Hallar c tal que f(c) = 7. Sea F (x) = x 0 e t dt. Hallar el valor de F (0). 74. Determinar los máximos y mínimos de la función F (x) = x ln t dt en el intervalo [, 0]. 75. Determina la siguiente integral definida: 4 x 4 dx 76. Hallar el área encerrada por las funciones f(x) = x y g(x) = x. f(x) dx. 77. Dadas las funciones f(x) = x x y g(x) = x x, encuentra el valor del área comprendida entre ellas. 78. Dadas la parábola y = 6x x y la recta y = x, determina el área limitada por ambas. 79. Determina el área de la región limitada por las curvas y = x, y = x y las rectas x = y x =. 80. Calcula el área de la región limitada por la función f(x) = x 4x + y el eje OX. 8. Averigua el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x +x, el eje OX y las rectas x = y x =. 8. Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = cos x entre x = π 4, x = π 4 y el eje OX. 8. Calcula el área encerrada por la curva y = x sen x y las rectas y = 0, x = 0 y x = π. 84. Halla el área limitada por la curva y = ln x y las rectas y = 0 y x = e. 85. Hallar el área del recinto limitado por los ejes de coordenadas, la recta y = y la curva cuya ecuación es y = x. 86. Hallar el área del recinto plano delimitado por las rectas y = x e y = x y la parábola y = x. 87. Determinar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x x y g(x) = x cuando solo se consideran valores positivos de x. 88. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x y las rectas x = y x =. 89. Representa la región del plano limitada por y = ln x, su recta tangente en x = e y el eje OX. Calcular su área. 90. Encontrar el área del recinto limitado por las curvas y = x e y = x 4x. 9. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x x e y = x La curva y = 4 x+4, los ejes de coordenadas y la recta x = 4 limitan una superficie S. (a) Calcular el área de S (b) Determina el volumen de la figura generada por S al dar una vuelta completa alrededor del eje OX. 9. Considera la figura plana encerrada entre las curvas y = x e y = x cuando 0 x. Hallar el volumen que genera esta figura cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX. 94. Se considera la función f(x) = ax + b + 8 x. Calcular a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (, 6) y admita en dicho punto una tangente horizontal. Calcular también el área limitada por la gráfica de f(x) y las rectas x =, x = e y = 0.

31 8 PROBLEMAS DE CINEMÁTICA 95. Si la integral definida de una función en el intervalo [, ] verifica que f(x) dx, es cierto que para todos los puntos x [, ] se tiene que f(x) 0? 96. Sabiendo que la función f es derivable en todos sus puntos y su derivada verifica f (x) para cualquier valor de x y que f(0) =, demuestra que f() Dada la función f(x) = ax + bx + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x =, un punto de inflexión en (0, 0) y que 0 f(x) dx = 5 4, calcula a, b, c y d. 98. Hallar el valor de a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = x ax y el eje OX es de. 99. Dos constructores tienen una parcela que han de repartirse en partes iguales para la construcción de un centro comercial. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x y la recta y =. Si deciden dividir la parcela mediante una recta y = a paralela a la recta y =, hallar el valor de a Determina el valor del parámetro a para que el área limitada por las gráficas de f(x) = ax y g(x) = x a, en el primer cuadrante, sea igual a unidades cuadradas. 40. Sea y = x + a. Calcular el valor de a para que las tangentes cuya abscisa tenga valor absoluto, pasen por el origen de coordenadas. Hallar el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes. 40. Se considera la función y = xe ax, donde a es una constante no nula. Calcular el valor de a si sabemos que el área limitada por la curva y = xe ax y las rectas y = 0, x = 0, y x = es igual a a. 40. Determina el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x + ax y la recta y + x = 0 es Con ayuda de la calculadora representar y calcular el área encerrada por las curvas y = cos x e y = ln(x ) Lo mismo para las curvas y = cos x e y = cos x Lo mismo para las curvas y = sen x e y = e x 4 +. ( 407. Representar el área encerrada por la curva y = tg x, x abscisa x = π 4 y el eje OX. π, o pi ), su tangente en el punto de Soluciones: (7) 4 (7) (7) (74) F () = ln, F (0) = 0 ln 0 9 (75) 64 (76) 5 (77) (78) 6 4 (79) (80) 4 (8) ln (8) (8) (84) (85) 0 (86) 7 6 (87) 8 (88) 7 (89) e (90) 7 (9) 0 π 9 (9) 4 ln, π (9) π (94),, ln (95) no (96) Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial 70 (97), 0,, 0 (98) 4 y 4 (99) (400) (40), (40) (40) 5 y Problemas de cinemática 408. Un avión vuela horizontalmente en línea recta durante un minuto, comenzando en el tiempo t = 0, donde t se mide en segundos. La aceleración a, medida en m s está dada por la siguiente gráfica:

32 8 PROBLEMAS DE CINEMÁTICA a) Calcular una expresión de la aceleración en función del tiempo. b) Suponiendo que en t = 0 la velocidad es de 5 m s, calcular la velocidad máxima durante el minuto que sigue. c) Suponiendo que el avión supera la barrera del sonido a 95 m s, calcular durante cuánto tiempo el avión vuela a una velocidad superior a esta velocidad Un paracaidista se lanza desde un globo a 000 m de altura. Su velocidad en m s, t segundos después de saltar, está dada por v = 50 ( e 0,t). a) Calcular la aceleración 0 segundos después de saltar. b) A qué altura se encuentra en ese momento? 40. Un cuerpo se mueve en un líquido de forma que su aceleración en m s es: a = v 00 donde v es la velocidad del cuerpo en m s. La velocidad inicial del cuerpo es de 40 m s. a) Demostrar que el tiempo que necesita el cuerpo para frenarse hasta la velocidad V está dado por: 40 T = 00 V v + 80 dv b) Explicar por qué la aceleración puede expresarse como a = v dv ds y, a partir de este resultado, hallar una integral similar a la del apartado a) para la distancia S recorrida por el cuerpo hasta que se frena a la velocidad V. c) Calcular la distancia recorrida y el tiempo empleado hasta que el cuerpo queda momentáneamente en reposo. 4. La aceleración en m s de una partícula que se mueve en línea recta en el tiempo t 0 está dada por la función: a = v Cuando t = 0 la velocidad es de 40 m s. Calcular una expresión de v en función de t.

33 9 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4. La aceleración de un cuerpo en función del desplazamiento s es: a = s s + a) Hallar una fórmula de la velocidad en función del desplazamiento sabiendo que cuando s = m, v = m s. b) A partir de esa fórmula calcular la velocidad cuando el cuerpo ha recorrido 5 metros. 9. Distribuciones de probabilidad 4. Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: 5 (6x + 4x + ) si 0 x p(x) = 0 resto de valores Hallar la media y la varianza de X. 44. Una variable aleatoria continua tiene como función de densidad de probabilidad la siguiente: kx si 0 x p(x) = k si < x 0 resto de valores a) Demostrar que k =. b) Calcular E(x) y Var(x). c) Demostrar que la mediana es 6 mayor que la media. d) Hallar el valor de la constante a para que p(x > E(X) a) = 0, Sea p(x) = kx si 0 x 0 en el resto a) Comprobar que k = 8. b) Calcular E(X) y la mediana de X. 46. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X se define como: 8 x si 0 x p(x) = 7 8x si < x r 0 en el resto a) Calcular el valor de r. b) Calcular la media y la desviación típica. 47. Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad deda por: k(x x ) si 0 x p(x) = 0 en el resto a) Hallar el valor de k. b) Calcular p(0,5 < X < 0,5).

34 0 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID) La función de probabilidad de una variable aleatoria continua es: p(x) = 4 x(4 x ) si 0 x 0 en el resto Calcular el valor de la mediana de X. 49. El tiempo T en minutos que tardan los alumnos en responder a una pregunta en un examen de matemáticas tiene una función de densidad de probabilidad dada por: f(x) = 7 (t t 9) si 4 t 0 0 en los demás casos a) Hallar el valor esperado y la varianza de T. b) Se elige un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que el tiempo que tarda ese alumno en responder la pregunta se encuentre en el intervalo (σ µ, µ). 40. La función de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada por: c f(x) = 4 x para x 0 en los demás casos a) Hallar el valor exacto de la constante c. b) Dibujar aproximadamente la gráfica de f(x) y, a partir de ella, obtener la moda de la distribución. c) Hallar el valor exacto de E(x). 4. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua viene dada por: 4 f(x) = π(4 + x si 0 x ) 0 en los demás casos Hallar la moda de X y el valor exacto de E(x). 4. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada por: x ( x) para 0 x f(x) = 0 en los demás casos Hallar la probabilidad de que X se encuentre entre la media y la moda. 0. Problemas de selectividad. Cálculo. (Comunidad de Madrid) 4. Se considera la ecuación x + λx x =. Utilizando el teorema de Bolzano de los valores intermedios: a) Probar que si λ >, la ecuación admite alguna solución menor que. b) Probar que si λ <, la ecuación admite alguna solución mayor que. 44. Se considera la función e x si x 0 f(x) = x + x si x > 0 Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:

35 0 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID) 5 a) Es continua en el punto x = 0? b) Es derivable en el punto x = 0? c) Alcanza algún extremo? 45. Se considera la función: x x f(x) = x x x + si x si x > a) Estúdiese si f(x) es continua en x =. b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x =. c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas. 46. Se considera la función real de variable real definida por: x si x f(x) = x(x ) si x < a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (, ). 47. Dada la función: f(x) = x5 x 8 x 6 a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. 48. Calcular los siguientes límites: a) lím x 0 ln cos(x) ln cos(x). b) lím x x 4 x. 4x 49. Sea la función: f(x) = sen x cos x definida en el intervalo cerrado y acotado [ π, π]. Se pide: a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado. c) Calcular π/ 0 f(x) dx 40. Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima. 4. Se considera la función: f(x) = (x ) 4x + a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x). b) Calcular 0 f(x) dx

36 0 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID) 6 4. Sabiendo que la función f(x) tiene como derivada f (x) = (x 4) (x 8x + 7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallar los máximos y mínimos relativos de f. c) Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f? Justificar razonadamente la respuesta. 4. Sea f(x) una función derivable en (0, ) y continua en [0, ] tal que f() = 0 y 0 xf (x) dx = Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar 0 f(x) dx. 44. Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax + bx + cx + d sabiendo que verifica: a) Tiene un máximo relativo en x =. b) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (0, ). c) Se verifica: 45. Dada la función: 0 p(x) dx = 5 4. f(x) = x a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f(a)) para a > 0. b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado anterior con los dos ejes coordenados. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados sea mínima. 46. a) Dibujar la gráfica de la función f(x) = x decrecimiento y asíntotas. b) Demostrar que la sucesión a n = n n+ c) Calcular lím n n (a n+ a n ) 47. Calcular: dx x + x x+ indicando su dominio, intervalos de crecimiento y es monótona creciente. 48. a) Calcular los valores de a y b para que la función: x + si x < 0 f(x) = x + a cos x si 0 x < π ax + b si x π sea continua para todo valor de x. b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. 49. Dada la función f(x) = xe x

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