APLICACIÓN DE LEYES ANALÍTICAS DE MORTALIDAD EN CIERTOS SEGUROS DE VIDA

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1 APLICACIÓN DE LEYES ANALÍTICAS DE MORTALIDAD EN CIERTOS SEGUROS DE VIDA Sergio Barszcz 1 ; Elea Verazza 1 RESUMEN El trabajo preseta y aaliza resultados obteidos de la aplicació de leyes aalíticas de mortalidad a coceptos asociados a ciertos seguros de vida. Para ello, se comieza expoiedo distitos coceptos asociados a los seguros de vida y a las leyes aalíticas de mortalidad. Respecto a los seguros de vida, se defie las variables aleatorias relevates para el aálisis y sus correspodietes distribucioes, así como otros coceptos que se utiliza e el desarrollo posterior. E cuato a cada ua de las leyes aalíticas, se especifica la fuerza de la mortalidad, la fució de supervivecia y sus distitos parámetros co sus correspodietes restriccioes. Luego, se preseta los resultados, e fució de los distitos parámetros, que se obtiee al aplicar cada ua de las leyes aalíticas de mortalidad a los distitos coceptos asociados a los seguros de vida. A cotiuació, se aaliza los resultados ateriores para distitos valores de los parámetros de cada ua de las leyes aalíticas cosideradas. Fialmete, se realiza ua sítesis coceptual de las pricipales coclusioes obteidas. Palabras clave: Actuarial, Seguros de vida, Leyes aalíticas de mortalidad. Itroducció Los sistemas de seguros, segú Bowers (Bowers et al, 1997), se ha desarrollado para reducir el impacto fiaciero adverso de alguos tipos de evetos aleatorios. La existecia de estos sistemas está codicioada por las características comparadas de las fucioes de utilidad de los asegurados respecto a las de las compañías aseguradoras. E uestro desarrollo posterior, trabajaremos e primer lugar co modelos de seguros de vida diseñados para reducir el impacto fiaciero del eveto aleatorio fallecimieto (e fecha descoocida). E los seguros sobre la vida que aalizaremos aquí, el tamaño y el mometo del pago de la idemizació depederá úicamete del mometo del fallecimieto del asegurado. Los seguros de vida a teer e cueta, será aquellos cuya idemizació es pagadera al mometo del fallecimieto del asegurado (pmf o seguros cotiuos) a diferecia de aquellos cuya idemizació es pagadera e el aiversario del cotrato imediato posterior al fallecimieto (pacipf o seguros discretos). Aalizaremos además u seguro e el que el pago de la idemizació está codicioado a la supervivecia del asegurado a cierto mometo e el tiempo (seguro dotal puro). Otro elemeto muy importate viculado a los seguros de vida, so las retas de vida, cuya relevacia se fudameta por el tipo de operacioes e las cuales participa y e particular, e fució de que los seguros so adquiridos, habitualmete, a través de ellas. Ua reta de vida, segú Bowers (Bowers et al, 1997), es ua sucesió de pagos realizada e forma cotiua o a itervalos equidistates (tales como meses, semestres, años) mietras que ua determiada persoa sobrevive. Puede ser temporaria, esto es, limitada a u cierto úmero de 1 Istituto de Estadística.

2 años (siempre sujeta a la codició de que el asegurado esté vivo) o puede ser vitalicia, esto es, pagadera por toda la vida. Por otra parte, cabe resaltar que, e este documeto será tratadas úicamete aquellas retas discretas e las que los pagos se realiza e forma adelatada. Todo lo establecido, tato para seguros como para retas, está referido a vidas humaas auque las coclusioes se extiede e lo pertiete a otras situacioes asimilables. Resulta imprescidible culmiar esta itroducció, señalado que para trabajar co los seguros sobre la vida y las retas de vida ecesitamos coocer el comportamieto de la mortalidad: las leyes aalíticas de mortalidad brida u puto de partida para modelar dicha variable e fució de la edad. Las variables aleatorias X, T, K Detro del aálisis de seguros de vida y retas de vida, los coceptos edad de muerte y tiempo de sobrevida, so fudametales. Por este motivo, es que se defie, e térmios actuariales, las siguietes variables aleatorias (v.a.), las cuales será claves e el desarrollo del presete trabajo. A partir de la otació geeralmete utilizada, se defie: 1) X = Edad de muerte de u recié acido - v.a. absolutamete cotiua Su correspodiete fució de distribució es: F ( x) = P( X x) X siedo su fució de supervivecia s( x) = 1 F( x) = 1 P( X x) = P( X > x) = x p 0 La fució de supervivecia a la edad x establece la probabilidad de que u recié acido alcace la edad x. Co estos elemetos queda defiido otro cocepto fudametal: la fuerza de la mortalidad: f X ( x) ( FX ( x))' (1 s( x))' s '( x) µ x = = = = 1 F ( x) s( x) s( x) s( x) X La fuerza de la mortalidad, establece, para cada valor de x, el valor de la desidad codicioal de X a la edad exacta x, dada la supervivecia a esa edad. 2) T(x) = Tiempo de sobrevida de ua persoa de edad x v.a. absolutamete cotiua Su correspodiete fució de distribució es: G ( ) ( ( ) ) ( ) t = P T x t = q T x t x la cual permite calcular cual es la probabilidad de que u idividuo de edad x, fallezca etre la edad x y x+t. Su fució de desidad se defie: g ( ). ( ) t = p µ + dode: T x t x x t

3 µ x + t puede iterpretarse como ua desidad codicioada y t px. µ x + t. dt es la probabilidad de que ua persoa de edad x sobreviva a la edad x+t y muera etre x + t y x + t + dt 3) K(x) = Años de sobrevida completados por ua persoa de edad x ates de su fallecimieto v.a. discreta que equivale a la parte etera de T(x) Su correspodiete fució de distribució es: P K x k q ( ( ) ) = k + 1 x la cual establece la probabilidad de que ua persoa de edad x, fallezca ates de la edad x+k+1 (lo que es equivalete a que llegue a completar como máximo k años eteros de sobrevida a partir de la edad x). Su fució de cuatía queda defiida como: P( K( x) = k) = p. 1 q + = /1 q k x x k k x la cual puede iterpretarse como la probabilidad de que ua persoa de edad x, fallezca co edad x+k, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que ua persoa de edad x, sobreviva a la edad x+k pero fallezca ates de la edad x+k+1. Presetació geeral de distitos tipos de seguros de vida E esta secció será presetados los aspectos fudametales que caracteriza a cada uo de los seguros, sobre los cuales, más adelate, se aplicará las leyes aalíticas de mortalidad. Para ello desarrollaremos u modelo que explicaremos a cotiuació. Tal como establece Bowers (Bowers et al,1997), al desarrollar el modelo de cualquier seguro de vida, utilizaremos ua fució de beeficio b t (idemizació) y ua fució de actualizació v t (factor de actualizació del mometo de cobro al mometo de emisió de la póliza).defiiremos t como la logitud del período desde la emisió de la póliza hasta el fallecimieto. Para la fució de actualizació asumiremos que la tasa de iterés efectiva aual es, o solo determiística, sio costate (5%). Icorporar la tasa de iterés como v.a. requiere u desarrollo mucho más profudo que el que os plateamos realizar e este trabajo. Así, el primer paso para el aálisis de u seguro sobre la vida será defiir b T y v T, co lo que defiiremos al valor presete Z T, como Z T = b T.v T. Z T es ua v.a. a la cual deotaremos Z. Cabe aclarar que para u valor de t para el cual b T = 0,el valor de v T es irrelevate dado que lo que os iteresa es Z T. Ello os permitirá defiir v T de maera coveiete e ciertas circustacias. A cotiuació determiaremos alguas características de la distribució de probabilidad de Z que so cosecuecia de supuestos sobre la distribució de T (si todavía igresar al terreo de las leyes aalíticas de mortalidad). Para u seguro de vida, el valor esperado de la v.a. valor presete Z es llamado premio puro úico (e adelate, ppu), valor presete actuarial (e adelate, vpa) ó esperaza del valor presete de los pagos de idemizació.

4 Seguro de Muerte temporario años U seguro de muerte temporario años provee u pago solo si el asegurado fallece detro del térmio de años a partir del mometo de emisió de la póliza. Si se paga $1 pmf, segú Gerber (Gerber, 1995) T 1 t t v T = ; v = v t 0 ; Z = 0 t > 0 T> b t t La fució de distribució de Z, quedará defiida etoces de la siguiete maera segú Gozález Majarrez (Gozález Majarrez, 2008) T log( z) log z FZ ( z) = P( Z z) = P( v z) = P( T log( v) log( z)) = 1 P( T ) = 1 FT log( v) log v Etoces: 0 z v log( z) FZ ( z) = 1 FT v < z < 1 log( v) 1 z 1 El ppu para u seguro de muerte por años co u pago de $1 al mometo del fallecimieto de ua persoa de edad x es, segú el pricipio del valor esperado, E(Z) y puede ser calculado de la siguiete maera, a través de la fució de desidad de la v.a. T: t T gt x µ x + t 0 0 E ( Z ) = zg ( t ) dt = v p dt = A 1 x: Seguro de Muerte vida etera U seguro de muerte vida etera provee u pago luego del fallecimieto del asegurado, produzcase cuado se produzca. Si el pago es de $1, etoces: t T b = 1 t 0 ; v = v t 0 ; Z = v T 0 t t La fució de distribució de Z quedará defiida etoces de la siguiete maera, segú ya vimos: T log( z) log z FZ ( z) = P( Z z) = P( v z) = P( T log( v) log( z)) = 1 P( T ) = 1 FT log( v) log v Etoces:

5 0 z 0 log( z) FZ ( z) = 1 FT 0 < z < 1 log( v) 1 z 1 El ppu para este tipo de seguros, e fució de la v.a. T, es: t A = E( Z ) = v p µ dt x 0 t x x+ t Seguro Dotal Puro años U seguro dotal puro años provee u pago al fial de los años si y solo si el asegurado sobrevive al meos años desde la emisió de la póliza. Si el moto a pagar es $1, etoces: 0 t 0 T b t = ; v = v t 0 ; Z 1 t > t = v T> El úico elemeto de icertidumbre e el seguro dotal puro es si el reclamo va a ocurrir o o. El tamaño y el mometo del pago, si el reclamo ocurre, está predetermiados. E la expresió Z = v Y, Y es ua v.a. idicadora del eveto de que ua persoa de edad x sobreviva a la edad x+. 1 el idividuo de edad x está co vida a la edad x + P( Y = 1) = Y = co: 0 el idividuo de edad x o está co vida a la edad x + P( Y = 0) = p q x x Quedado defiida la cuatía de Z como: qx si z=0 P( Z = z) = px si z=v 0 e el resto Y su fució de distribució queda dada por: 0 z < 0 FZ ( z) = qx 0 z < v 1 z v El ppu es: E( Z) = E( v Y ) = v E( Y ) = v p = A 1 x x: Seguro Dotal Mixto U seguro dotal mixto por años provee u moto a pagar imediatamete luego de la muerte del asegurado o al sobrevivir años desde el mometo de emisió de la póliza, segú lo que ocurra primero. Si el seguro es por $1 y el beeficio de fallecimieto es pagadero al mometo de la muerte, etoces:

6 t T v t v T = 1 ; v = ; Z = v t > v T > b t t El seguro puede ser visto como la combiació de u seguro de muerte temporario por años y u dotal puro por años (cada uo de ellos por $1). Sea Z1, Z2 y Z3 las v.a. que deota el valor presete del seguro de muerte temporario co el beeficio de fallecimieto pagadero al mometo de la muerte, del seguro dotal puro y del seguro dotal mixto respectivamete, T T v T 0 T v T Z 1 = ; Z 2 = ; Z 3 = 0 T> v T> v T > etoces: Z 3 = Z 1 + Z 2 y por lo tato 1 1 x: = x: + x: A A A Presetació geeral de distitos tipos de retas Hay distitas operacioes de la vida diaria que costituye retas de vida. E particular, la mayoría de los seguros idividuales se adquiere a través de ua reta de vida adelatada. Tal como ya se dijo, os cocetraremos e el aálisis de retas de vida discretas adelatadas.. Para llevar a cabo el desarrollo de las retas de vida, comezaremos cosiderado u pago de $1 detro de años sujeto a la codició de que ua persoa de edad x sobreviva ese período. Vimos ates que u seguro de ese tipo recibía el ombre de seguro dotal puro. E el ámbito de los seguros, utilizamos el térmio ppu para la esperaza del valor presete del pago de la idemizació. E relació a las retas el térmio valor presete actuarial (vpa) y la otació E x será las utilizadas. La palabra actuarial e la expresió valor presete actuarial implica que ua esperaza, u otro factor además del iterés, ha sido icorporado al cálculo. De esta forma el valor presete actuarial de $1 detro de años sujeto a la codició de que ua persoa de edad x viva años más es: E = v p. x x Para trabajar co las retas de vida, puede ser utilizadas dos técicas: la técica de la corriete de pagos y la técica del valor agrupado. Los pasos a llevar a cabo, para aplicar estas técicas se preseta a cotiuació. Técica de corriete de pagos. Dicha técica cosiste e: 1. Determiar el importe del pago e el mometo t. 2. Determiar el valor presete actuarial del pago del mometo t 3. Sumar (itegrar) estos valores presetes actuariales para todos los pagos que se realiza. A pesar de que e uestro desarrollo posterior utilizaremos úicamete esta técica, se cosidera de utilidad explicar la otra técica (técica del valor agrupado) y aplicarla para mostrar el tratamieto de las retas cotiuas. Técica del valor agrupado. Cosiste e:

7 1. Calcular el valor presete, cosiderado úicamete el iterés compuesto, de todos los pagos que se realizará si la muerte ocurre e el mometo t. 2. Multiplicar el valor presete, hallado e el paso 1, por la probabilidad o la fució de desidad del fallecimieto a la edad x+t 3. Sumar (itegrar) para todos los valores de t. Como aplicació de esta última técica, a modo de ejemplo, se debe teer e cueta que: siedo T el tiempo de sobrevida de ua persoa de edad x, el valor presete de los pagos de ua reta de vida vitalicia cotiua de $ 1 por año es ua variable aleatoria: Y = V(0,T,δ). La fució de distribució de Y segú Bowers (Bowers, 1997) es: T T F ( y) = P( Y y) = P( V (0, T, δ ) y) = P(1 v δ y) = P( v δ y 1) Y T log(1 δ y) log(1 δ y) 1 = P( v ( δ y 1)) = P( T ) = FT ( ) para 0 < y < δ δ δ y la fució de desidad de Y (segú el mismo autor) es: FY ( y) log(1 δ y) ft (( log(1 δ y)) / δ ) 1 fy ( y) = = FT ( ) = ) para 0 < y < y y δ 1 δ y δ Ahora, siguiedo la técica del valor agrupado, el valor presete actuarial de la reta es: E(Y)=E(V(0,T,δ)). a x = V (0, T, δ ). t px. µ x + tdt 0 Alterativamete, bajo la técica de la corriete de pagos se puede calcular el vpa de la reta haciedo: t a = v. p x t x 0 Aplicado itegració por partes. se puede demostrar que las dos expresioes resulta equivaletes. Como ya fue explicitado, e el presete trabajo, calcularemos el valor presete actuarial de las retas a través de la técica de corriete de pagos. Reta de Vida temporaria años, u pago por año, adelatada Sea a&& x: el valor presete actuarial de ua reta temporaria años adelatada de $1 pagadero al comiezo de cada año mietras que ua persoa de edad x esté co vida, etoces, a partir de la técica de la corriete de pagos se tiee: 1 k a&& = v x: k p k = 0 x

8 Reta de Vida Vitalicia, u pago por año, adelatada Sea a&& x el valor presete actuarial de ua reta de vida vitalicia adelatada de $1 pagadero al comiezo de cada año mietras que ua persoa de edad x esté co vida, etoces, por la técica de la corriete de pagos se tiee: k x = k x k = 0 a&& v p Reta de Vida temporaria años, r pagos por año, adelatada E la práctica, las retas de vida so habitualmete pagaderas sobre bases mesuales, trimestrales o cuatrimestrales. ( r) Sea a&& x: el valor presete actuarial de ua reta de vida temporaria, co r pagos por año adelatados de $1/r (el primer pago se da al mometo de comprometerse a pagar la reta) mietras que ua persoa de edad x esté co vida, durate el plazo de años. Etoces, por la técica de la corriete de pagos y aplicado la fórmula de Woolhouse se tiee: ( r) r + 1 : : (1 a&& = a + v x x px ) 2r Si cada uo de los r pagos fuera de $ 1, etoces tedríamos que el correspodiete vpa sería: ( r) r + 1 r. a&& = r. (1 ) x: a + v x: px 2r Reta de Vida vitalicia, r pagos por año, adelatada ( ) Sea a&& r x el valor presete actuarial de ua reta de vida vitalicia, co r pagos por año adelatados de $1/r (el primer pago se da al mometo de comprometerse a pagar la reta) mietras que ua persoa de edad x esté co vida. Etoces, por la técica de la corriete de pagos y aplicado la fórmula de Woolhouse se tiee: ( r) ( r + 1) a&& x = ax + 2r Si cada uo de los r pagos fuera de $ 1, etoces tedríamos que el correspodiete vpa sería: ( r ) r + 1 x = x + r. a&& r. a 2r

9 Presetació geeral de tres leyes aalíticas de mortalidad Las leyes aalíticas de mortalidad pretede bridar u puto de partida para el modelado de la mortalidad e fució de la edad. Es e busca de este objetivo que cada ua de ellas propoe ua expresió distita para las fucioes biométricas, e particular, la fució de supervivecia s(x), la fució que determia la fuerza de la mortalidad µ, etre otras. La pricipal razó por la cual se sugiere el uso de determiadas leyes aalíticas es por u tema práctico, ya que a partir de ellas resulta más secillo expresar ua tabla de mortalidad: Efectivamete, co las leyes aalíticas se debe defiir uos pocos parámetros, fácilmete estimables, e lugar de valores asociados a cada edad de la tabla. E el presete trabajo, se trabajará co las leyes aalíticas de mortalidad propuestas por De Moivre (1729), Gompertz (1825) y Makeham (1860). Las leyes aalíticas de mortalidad y sus correspodietes parámetros y restriccioes se preseta e la Tabla 1. x Tabla 1 Leyes aalíticas de mortalidad Ley µ s( x) x Restriccioes De Moivre (1729) (w-x) -1 1-(x/w) 0 x < w Gompertz (1825) Bc x exp(-m(c x -1)) B > 0 ; c > 1 ; x 0 Makeham (1860) A + Bc x exp[-ax -m(c x -1)] B > 0 ; c > 1 ; x 0 ; A B Observacioes m=b/log(c) Gompertz es u caso especial de Makeham, e el cual A = 0. Ley de De Moivre E térmios teóricos resulta evidete que la fuerza de la mortalidad debe aumetar co la edad (excluyedo las edades iiciales). Esto puede verse claramete e lo propuesto por De Moivre, observado la expresió de µ x. Siedo w la edad máxima de la tabla de mortalidad, µ x tiede a ifiito cuado la edad tiede a la edad máxima. Por otra parte, aalizado la expresió de s(x), se observa que esta ley parte de la siguiete hipótesis: úmero de fallecimietos costate por año idepediete de la edad y por ede de los sobrevivietes. Ley de Gompertz Por su parte Gompertz, propoe icorporar la fuerza de la mortalidad, a través de ua fució defiida como: Bc x (creciete expoecialmete) asumiedo, e este caso, que cada idividuo preseta ua resistecia a efermedades (y a fallecer por causas aturales) decreciete e fució de la edad.

10 Ley de Makeham Makeham, establece, además, la ecesidad de icorporar los riesgos por fallecimietos accidetales (idepedietes de la edad), lo cual queda capturado e A, es decir que Makeham cosidera que la muerte de u idividuo puede estar determiada tato por el azar como por ua resistecia (cada vez más débil, e fució del aumeto de la edad) a la muerte. Segú Merio (Merio et al, 2002) "Esta ley preseta bueos ajustes e edades itermedias (adultas), mietras que proporcioa problemas e las edades extremas de la tabla pricipalmete e las edades más jóvees puesto que e las edades ifatiles la mortalidad es decreciete. Es cosiderada la ley más coocida y ampliamete utilizada para ajustar diversas tablas de supervivecia." Aplicació de las leyes aalíticas Lo primero que haremos e esta secció será determiar como queda expresada la fució de distribució de T (tiempo de sobrevida) y la fució de distribució y de desidad de Z (valor presete del pago de idemizació e el caso de los seguros de vida) para el seguro de muerte temporario años, bajo las leyes aalíticas de mortalidad (la extesió a los otros seguros de muerte se basa e el mismo razoamieto y e el caso del seguro dotal puro y mixto es ecesario hacer algua operació adicioal). Por otra parte, las fucioes de distribució y desidad de Y (valor presete de las retas de vida) o se desarrolla e este trabajo, por razoes de extesió. 1.De Moivre Fució de distribució de la variable aleatoria T ( ) DeMoivre x + t 1 s( x t) + w x t w x w x t t FT ( x) ( t) t qx 1 1 w + + = = = 1 s( x) x = = = 1 w x w x w x w Recordado la relació ya establecida etre la fució de distribució de T y de Z para el seguro de muerte temporario años, obteemos la fució de distribució y la desidad de Z para este seguro F 0 z v log( z) log( v)( w x) 1 z 1 Z ( z) = 1 v < z < 1 y la fució de desidad de Z: F ( z) 1 f z z z z log( v)( w x) Z Z ( ) = = para v < < 1 2.Gompertz Fució de distribució de la variable aleatoria T

11 Gompertz t + x S( x + t) exp[ m( c - 1)] x t FT ( x) ( t) = t qx = 1 = 1 1 exp[ mc ( c -1)] x = S( x) exp[ m( c - 1)] A partir de la cual se determia la fució de distribució de Z: 0 z v FZ ( z) = 1 z 1 log( z) x log( v) exp[ mc ( c -1) v < z < 1 y la fució de desidad de Z: f log( z) x log( v) log( z) m( c ) c 1 + x log( v) FZ ( z) mlog( c) c e Z ( z) = = para v < z < 1 z z log( v) 3. Makeham La fució de distribució de la variable aleatoria T queda determiada por: Makeham t + x S( x + t) exp[ A( x + t) m( c - 1)] x t FT ( x) ( t) = t qx = 1 = 1 1 exp[ At mc ( c -1)] x = S( x) exp[ Ax m( c - 1)] Y a partir de esta, queda defiida la fució de distribució de Z: 0 z v log( z) log( z) x log( v) Z ( ) = exp[ ( - 1) v < z < 1 F z A mc c log( v) 1 z 1 La cual deriva e la siguiete fució de desidad de Z: f log( z ) x log( v ) log( z) m( c ) c 1 A+ log( v) + x log( v) log( v) FZ ( z) ( A + m log( c) c ) e z Z ( z) = = Para v < z < 1 z log( v) Resultados para los distitos seguros Utilizado estas fucioes se halla los premios puros úicos defiidos e seccioes previas. A meos meció expresa e cotrario, w = 110, x (edad de la persoa) = 40, (plazo de las operacioes temporarias) es igual a 10 y la tasa efectiva aual es 0,05. Para la aplicació práctica de la fórmula de De Moivre se utilizará como valor de referecia de la edad máxima la ya mecioada e el párrafo aterior.

12 Para la aplicació práctica de las fórmulas de Gompertz y Makeham se partirá de los valores de los parámetros utilizados para la elaboració de ua tabla de mortalidad ilustrativa, segú Bowers (Bowers et al, 1997). Dichos parámetros so: B = , c = y A = Seguro de vida temporario años Los resultados obteidos para el ppu de este tipo de seguro, se preseta a cotiuació. Al variar la edad Bajo la aplicació de la ley de De Moivre al cálculo del ppu, se obtiee los resultados presetados e la tabla siguiete (Tabla 2) Tabla 2 Seguro temporario años Segú edad - De Moivre Edad E(Z) A partir de la Tabla 2, podemos apreciar que el ppu para este seguro, aumeta, al aumetar la edad. Si embargo el crecimieto etre los valores esperados o resulta lo suficietemete prouciado como sería razoable esperar para vidas humaas, debido a las hipótesis de las cuales parte la ley de De Moivre. Los resultados que surge de realizar el mismo cálculo, pero bajo la aplicació de la ley aalítica de mortalidad de Gompertz, se puede ver e la Tabla 3. Tabla 3 Seguro temporario años Segú edad - Gompertz Edad E(Z) Estos resultados, muestra que al aumetar la edad, aumeta el ppu, tal como ocurría bajo De Moivre. El crecimieto y el ivel para las distitas edades de los valores esperados resulta razoable si se cosidera vidas humaas. U comportamieto similar se aprecia e los resultados obteidos de la aplicació de la ley aalítica de Makeham (Tabla 4). Tabla 4 Seguro temporario años Segú edad - Makeham Edad E(Z) Vale la pea aalizar la diferecia etre los resultados que se obtiee co la fórmula de Makeham respecto de los que se obtiee co Gompertz. Efectivamete, los resultados obteidos co Makeham so mayores e todos los casos a los obteidos co Gompertz : esto se deriva por u lado del hecho de que estamos cosiderado u seguro cuya idemizació se paga e caso de fallecimieto y por el otro del valor positivo que estamos utilizado para el parámetro A e la fórmula de Makeham Al variar los parámetros B y A

13 La figura 1, refleja que es lo que ocurre co el ppu de u seguro temporario años, bajo la aplicació de la ley de Gompertz y Makeham, al variar B. Cojutamete se preseta el comportamieto de la ley de Makeham, al modificar el valor de A. Figura 1 Seguro temporario años - ppu bajo Makeham - Segú B - Para distitos A. Dado que se trata de u seguro cuya idemizació se paga e caso de fallecimieto y teiedo e cueta el sigo de los parámetros A y B, resulta lógico el resultado que se observa e el gráfico que muestra que a valores crecietes de dichos parámetros se obtiee ppu crecietes. Se puede observar tambié que ciertos valores de los parámetros o so compatibles co la cosideració de la ley aalítica para vidas humaas. Por otra parte, B es u factor de escala que impacta sobre el crecimieto (supuesto expoecial creciete) del riesgo de muerte depediete de la edad, mietras que A costituye u factor que recoge el riesgo de muerte accidetal (o depediete de la edad). Al variar los parámetro c y A E la figura 2, observamos el comportamieto del ppu de u seguro temporario e fució de c, y para distitos valores de A.

14 Figura 2 Seguro temporario años - ppu bajo Makeham - Segú c - Para distitos A. Teiedo e cueta el sigo de A y los valores de c, resulta lógico el resultado que se observa e el gráfico que muestra que a valores crecietes de dichos parámetros se obtiee ppu crecietes. Se puede observar tambié que ciertos valores de los parámetros o so compatibles co la cosideració de la ley aalítica para vidas humaas. Al variar Las siguietes tablas (Tablas 5-7) os preseta que ocurre al variar. Tabla 5 Seguro temporario años Segú - De Moivre E(Z) Tabla 6 Seguro temporario años Segú - Gompertz E(Z) Tabla 7 Seguro temporario años Segú - Makeham E(Z) Podemos apreciar, a partir de estas tablas, que el ppu, bajo la aplicació de las distitas leyes, muestra e todos los casos crecimieto al aumetar (como resulta lógico dado que represeta el período de cobertura), auque la tasa a la que se produce dicho crecimieto es sesiblemete mayor e el caso de Gompertz y Makeham. Los resultados obteidos para De Moivre cofirma que la ley o resulta razoable para vidas humaas.

15 Seguro de Vida vitalicio Los resultados obteidos para el ppu de este tipo de seguro, se preseta a cotiuació. Al variar la edad Las tablas 8 a 10, establece que es lo que ocurre co el ppu, al variar la edad, cosiderado las tres leyes aalíticas de mortalidad tratadas e este trabajo. Tabla 8 Seguro vida etera - Segú Edad - De Moivre Edad E(Z) Tabla 9 Seguro vida etera - Segú Edad - Gompertz Edad E(Z) Tabla 10 Seguro vida etera - Segú Edad - Makeham Edad E(Z) Cosiderado que el seguro vida etera es, e cierta forma, u caso particular de seguro temporario (de plazo w-x), vale e lo pertiete las coclusioes a las que habíamos arribado al aalizar aquel seguro. La iformació que aporta estos uevos cuadros (e particular para la ley de Gompertz y Makeham) so las cotas superiores de los ppu de los seguros temporarios a las diferetes edades cuado se cosidera el mayor plazo posible, dada la tabla de mortalidad implícita. Al variar los parámetro B y A y c y A Las Figuras siguietes (Figuras 3 y 4) refleja que sucede al variar, por u lado, el parámetro B, para distitos valores de A, y por otro lado, que ocurre al variar c, para distitos valores de A.

16 Figura 3 Seguro vida etera PPU bajo Makeham - Segú B, para distitos A. Figura 4 Seguro vida etera - PPU bajo Makeham - Segú c, para distitos A. Vale los cometarios ya hechos respecto al vículo etre los seguros vida etera y los temporarios.

17 Seguro Dotal Puro años Al variar la edad E las tablas 11 a 13 vemos que ocurre al variar la edad, para las tres leyes e estudio. Tabla 11 Seguro Dotal Puro - Segú Edad - De Moivre Edad E(Z) Tabla 12 Seguro Dotal Puro - Segú Edad - Gompertz Edad E(Z) Tabla 13 Seguro Dotal Puro - Segú Edad - Makeham Edad E(Z) E primer lugar, se puede observar que los valores de los distitos cuadros de este seguro tiee u comportamieto totalmete distito a los de los seguros ateriores. Ello se debe, como razó pricipal, a que este seguro paga la idemizació e el mometo que correspoda si la persoa está viva mietras que e los ateriores la codició para el pago de la idemizació es el fallecimieto. Por otra parte, se reitera la iadecuació de la ley de De Moivre para vidas humaas y la similitud de los valores que se obtiee de la aplicació de la ley de Gompertz y Makeham. Resulta iteresate aalizar para estas dos últimas leyes como se produce el decrecimieto del ppu a medida que se avaza e la edad. Al variar Tabla 14- Seguro Dotal Puro - Segú - De Moivre E(Z) Tabla 15- Seguro Dotal Puro - Segú - Gompertz E(Z) Tabla 16- Seguro Dotal Puro - Segú Makeham E(Z) Se puede observar que al igual que e el aálisis por edad los valores de los distitos cuadros de este seguro tiee u comportamieto totalmete distito a los de los seguros ateriores. Ello se debe a la misma razó que se mecioaba cuado se hacía el aálisis por edad.

18 Por otra parte, se reitera la iadecuació de la ley de De Moivre para vidas humaas y la similitud de los valores que se obtiee de la aplicació de la ley de Gompertz y Makeham. Resulta iteresate aalizar para estas dos últimas leyes como se produce el decrecimieto del ppu a medida que crece. Cuado se aaliza este seguro, e fució de los parámetros B, C y A vale e lo pertiete las mismas coclusioes ya mecioadas. Al variar B Tabla 17- Seguro Dotal Puro - Segú B - Gompertz B E(Z) Tabla 18- Seguro Dotal Puro - Segú B - Makeham B E(Z) Al variar c Tabla 19 - Seguro Dotal Puro - Segú c - Gompertz c 1, ,11 1,21 1,31 E(Z) , Tabla 20 - Seguro Dotal Puro - Segú c - Makeham c 1, ,11 1,21 1,31 E(Z) Al variar A Tabla 21 - Seguro Dotal Puro - Segú A - Makeham A ,005 0,007 E(Z) Seguro Dotal Mixto Lo que sucede al variar la edad, puede apreciarse e la figura 5. E primer lugar, es ecesario teer e cueta que como el seguro dotal mixto es e realidad u seguro de muerte temporario y u seguro dotal puro por igual plazo, los resultados que se obtiee respecto al ppu para la ley de De Moivre e este caso arrastra los problemas ya mecioados cuado se aalizaro los ppu de sus compoetes. Por otra parte, para las leyes aalíticas de Gompertz y Makeham (para los que se observa ppu muy similares) es particularmete iteresate la evolució del ppu segú edad.

19 Figura 5 Seguro Dotal Mixto - ppu bajo De Moivre, Gompertz y Makeham - Segú Edad Al variar Tabla 22 Seguro Dotal Mixto Segú - De Moivre E(Z) 0, , , , Tabla 23 Seguro Dotal Mixto Segú Gompertz E(Z) 0, , , , Tabla 24 Seguro Dotal Mixto Segú Makeham E(Z) 0, , , ,21462 Como ya se dijo, es ecesario teer e cueta que como el seguro dotal mixto es e realidad u seguro de muerte temporario y u seguro dotal puro por igual plazo, los resultados que se obtiee respecto al ppu para la ley de De Moivre arrastra los problemas ya mecioados cuado se aalizaro los ppu de sus compoetes. Cuado se aaliza este seguro, e fució de los parámetros B, C y A vale e lo pertiete las mismas coclusioes ya mecioadas.

20 Al variar B Tabla 25- Seguro Dotal Mixto - Segú B - Gompertz B E(Z) Tabla 26- Seguro Dotal Mixto - Segú B - Makeham B E(Z) Al variar c Tabla 27- Seguro Dotal Mixto - Segú c - Gompertz c 1, ,11 1,21 1,31 E(Z) Tabla 28 - Seguro Dotal Mixto - Segú c - Makeham c 1, ,11 1,21 1,31 E(Z) Al variar A Tabla 29 - Seguro Dotal Mixto - Segú A - Makeham A ,005 0,01 E(Z) Resultados para las distitas retas A cotiuació se presetará los resultados obteidos para las retas plateadas e uestro desarrollo previo, bajo la aplicació de la ley aalítica de mortalidad de De Moivre, Gompertz, y Makeham. A meos meció expresa e cotrario, w = 110, x (edad de la persoa) = 40, (plazo de las operacioes temporarias) es igual a 10 y la tasa efectiva aual es 0,05. Para la aplicació práctica de la fórmula de De Moivre se utilizará como valor de referecia de la edad máxima la ya mecioada e el párrafo aterior. Para la aplicació práctica de las fórmulas de Gompertz y Makeham se partirá de los valores de los parámetros utilizados para la elaboració de ua tabla de mortalidad ilustrativa, segú Bowers (Bowers et al, 1997). Dichos parámetros so: B = , c = y A =