* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3.

Transcripción

1 págin DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 7.1, los focos están representdos por los puntos f 1 y f. En un elipse, si se sumn ls distncis d 1 + d se obtie ne un vlor constnte sin importr l ubicción del punto p. Por es rzón es fácil trzr un elipse: se clvn un pr de lfileres en el sitio de los focos, se mrr un cordel que pse por esos dos lfileres y que quede un tnto flojo. Luego con un lápiz, como lo muestr l figur 7., se tens el cordel y se v desplzndo dicho lápiz sobre el ppel. Se obtiene un elipse porque l longitud del cordel mrrdo es siempre l mism, no import en dónde se encuentre el lápiz. Si dich longitud se le rest l distnci tmbién constnte que hy entre mbos focos, se obtiene un segmento de cordel de longitud constnte, que es l sum de ls longitudes de cd foco l lápiz. Concuerd justmente con l definición de elipse. figur 7.1 L simbologí que se utiliz pr representr ls prtes fundmentles de l elipse es l siguiente: * L letr represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más lrgd. Ver l figur 7.3. figur 7.

2 págin 111 * L letr b represent l distnci que hy desde el centro hst el extremo de l elipse por su prte más chtd o cort. * L letr c represent l distnci que hy desde el centro hst cd foco. Ls crcterístics o prtes principles de un elipse son (ver figur 7.3): * Vértices: Son los puntos extremos más lejdos del centro. * Eje myor: Es l distnci de un vértice hst el otro y equivle. * Eje menor: Es l distnci de extremo extremo medid por su prte más ngost y equivle b. * Distnci focl: Es l distnci que hy de un foco l otro foco y equivle c. figur 7.3 * L posición del centro, cuys coordends son (h, k). Pr evitr confusiones con l distnci del centro l foco l que se le nombró con l letr c minúscul, l centro de l elipse se le sign l letr O (myúscul). * Ldo recto: Es l cuerd perpendiculr l eje myor y que ps por el foco. Hy dos posibiliddes de obtener un elipse: horizontl o verticl.

3 págin 11 A prtir de ls coordends del centro (h, k), de l longitud del semieje myor y de l longitud del semieje menor b se pueden obtener o deducir tods ls crcterístics nteriores, ls cules están dds en l ecución prticulr de l elipse, que de hecho son dos, según se trte de un elipse horizontl o de un elipse verticl. L ecución prticulr de l elipse es: x h y k 1 b si el eje focl es horizontl o bien x h y k b 1 si el eje focl es verticl en donde debe cumplirse que b Pr sber si se trt de un elipse horizontl o un elipse verticl, bst comprr los dos denomindores de l ecución prticulr. Como b, el denomindor myor debe ser. El eje myor es prlelo l eje de l vrible en donde está. Igul que en ls nteriores cónics que tienen términos l cudrdo, h signific el desplzmiento horizontl del centro y k el desplzmiento verticl del centro. El significdo de ls letrs y b de los denomindores están definidos en l figur 6.3. Existe un relción entre ls tres constntes, b y c, que prtir del teorem de Pitágors está dd por l fórmul b c de donde, despejndo cd literl, se obtiene: b c b c c b

4 págin 113 Otr crcterístic interesnte de l elipse es que l longitud del ldo recto mide lr b en donde ls letrs y b que precen, son ls misms definids nteriormente. Finlmente, un medid interesnte es l llmd excentricidd, denotd por l letr e. Excéntrico en este cso signific fuer del centro. Se refiere qué tn lejos del centro de l elipse se encuentrn los focos en proporción l tmño de dich elipse. Pr comprender mejor este concepto bst drse cuent que en un elipse mientrs más se lejen los focos del centro, l form de dich elipse es más lrgd (ver figur 7.4, inciso ); conforme los focos se cercn l centro, es decir, conforme el clor de c se hce más pequeño, l elipse se proxim un circunferenci (ver figur 7.4, inciso b); y finlmente, cundo los focos coinciden con el centro, o se que c = 0, l elipse se convierte en un circunferenci (ver figur 7.4, inciso c). figur 7.4 Anlíticmente puede verse trvés de l relción de ls constntes, b y c. Si los focos coinciden con el centro, signific que c = 0. Entonces de donde b c b b 0 b Si es el semieje myor y b es el semieje menor, l ser igules cundo los focos coinciden con el centro, se convierten mbos semiejes en el rdio de un circunferenci.

5 págin 114 L excentricidd se mide trvés de l proporción e. L escl posible de medición de l excenc tricidd v de cero uno, es decir, 0 e 1. Si e = 0 (se necesit que c = 0) se trt de un circunferenci. Mientrs más cercno esté el vlor de e l cero, más cercn estrá l elipse de un circunferenci. Por el contrrio, mientrs más se proxime e l vlor de 1, más lrgd estrá cercándose l líne rect. 7. TRANSFORMACIONES Dr, por medio de un regl, como se hizo en el cso de l circunferenci y de l prábol, el procedimiento pr trnsformr de l ecución generl l prticulr, en el cso de l elipse result muy extenso; de mner que, por es rzón, se v mostrr dicho proceso trvés de un ejemplo. Ejemplo 1: L ecución generl de un elipse es 4x 9y 16x 18y Trnsformrl su ecución prticulr y esbozr su gráfic. Solución: Pr trtr de dr clridd l explicción, se hrá por psos l trnsformción pedid. PASO 1: Se grupn en el ldo izquierdo los términos que contengn ls misms vribles y se escribe en el ldo derecho l constnte sol: x x y y PASO : Se fctoriz en cd grupo el coeficiente del término l cudrdo: x x y y PASO 3: Se complet un trinomio cudrdo perfecto en cd grupo, ñdiendo l ldo derecho l mism cntidd gregd en el izquierdo: x x y y x x y y NOTA: Se gregó 16 en el ldo derecho porque es el 4 que se gregó dentro del primer préntesis, el cul está multiplicdo todo por 4; de l mism form, en el segundo préntesis se gregó dentro un 1, pero como está multiplicdo por 9, en relidd fue 9 en totl lo que se gregó. PASO 4: Se fctorizn los dos préntesis: x y

6 págin 115 PASO 5: Se dividen mbos ldos de l iguldd entre 36 (pr que quede igul 1 en el ldo derecho, y que sí es l form de l ecución prticulr) y se simplific: x y x y donde 9 (por ser el denomindor myor) y b 4 ; por lo tnto, se trt de un elipse horizontl, y que el denomindor myor está bjo l vrible x. De est ecución se deducen los vlores de: x. Se obtiene del binomio x de l ecución prticulr; h x 1. Se obtiene del binomio y 1 de l ecución prticulr; k x El centro está en O, 1 ; x Si 9 y b 4 obtenidos prtir de los denomindores en l ecución prticulr, se deduce que 3 y b. Y por l relción de ls constntes, b y c, se clcul que l distnci semivocl es c b c (proximdmente) x L longitud del ldo recto de est elipse se clcul con l relción lr b lr 6. 3 (proximdmente) x L excentricidd es e c

7 págin 116 e 3. 3 e L figur 7.5 muestr los detlles de l elipse. figur 7.5 Si = 3 es l distnci del centro los vértices, prtir del centro deben contrse tres uniddes l izquierd y tres l derech pr obtener ls coordends de los vértices. Son: 3,, V 1 V , 5, 1 V 1 V L longitud del eje myor es = 6 ; l del eje menor es b = 4. Pr obtener ls coordends de cd foco, de mner semejnte los vértices, como c =.3 es l distnci del centro cd foco, prtir del centro deben contrse.3 uniddes l izquierd y.3 l derech, esto signific que pr el foco f 1 debe restrse -.3 mientrs que pr el foco f debe sumrse +.3. Por lo tnto, ls coordends de los focos son

8 págin , 0., 1 f 1 f , 43., 1 f 1 f Ejemplo : Trnsformr su ecución generl l ecución prticulr de l elipse x 4 y Solución: Pr eliminr los denomindores debe multiplicrse tod l iguldd por el producto de los dos denomindores, es decir, por 196. Hciéndolo, se obtiene: x 4 y x y elevndo l cudrdo los binomios indicdos: x x y y hciendo ls multiplicciones indicds: 4x 3x 64 49y 196y finlmente, escribiendo todo l lzo izquierdo y reduciendo términos semejntes se lleg : 4x 3x 64 49y 196y x 49y 3x 196y 64 0 Ejemplo 3: De l siguiente elipse, hllr ls coordends de sus vértices y sus focos, ls longitudes de sus ejes myor y menor, ls coordends del centro, l longitud del ldo recto, l excentricidd y esbozr su gráfic: x 1 y 9 5 1

9 págin 118 Solución: El denomindor myor es 5 y como está bjo el numerdor que contiene l vrible ye, signific que se trt de un elipse verticl. Así que en este cso se tiene que b 5 9, de donde = 5, de donde b = 3 por lo tnto, l semidistnci focl es y demás h = 1 y k = -. c b c L figur 7.6 es un esbozo de l gráfic, l cul es muy útil pr yudrse con ell scr los vlores de ls coordends solicitds. Pr obtener dich gráfic se mrc primero el punto correspondiente l centro de l elipse cuys coordends son h y k, es decir, O(1, - ). A continución, ls ordend del centro k = - se le greg pr rrib y pr bjo (y que se trt de un elipse verticl) el vlor clculdo de c 4, en virtud de que l distnci del centro los focos está dd por c, obteniéndose sí ls coordends de los focos, o se f 1 (1, ) y f (1, - 6). Igulmente, sumándole y restándole l ordend del centro el vlor de = 5, se obtienen ls coordends de los vértices, o se V 1 (1, 3) y V (1, - 7). Finlmente, como el eje myor es igul, entonces su longitud es 10 y como el eje menor es igul b, su longitud es 6. figur 7.6 Ejemplo 4: L longitud del ldo recto de un elipse mide 16/3. Hllr su ecución sbiendo que ls coordends de sus vértices son V 1 (- 3, 6) y V (- 3, - 6). Clculr ls coordends de sus focos y esbozr l gráfic.

10 págin 119 Solución: El centro tiene que estr ubicdo l mitd de los dos vértices. Hciendo un gráfic con ls coordends de los vértices (ver figur 7.7), se deduce fácilmente que el centro está en O 30,, es decir que h = - 3 y k = 0; demás, se trt de un elipse verticl. Por otr prte, bst medir l distnci que hy entre los dos vértices y l mitd será el vlor correspondiente de. Como desde y 1 = 6 hst y = - 6 hy un distnci de 1, entonces = 6. Con el vlor del ldo recto ddo desde el enuncido del problem y con el de = 6, se puede estblecer que lr b 16 3, donde = 6 sustituyendo y despejndo, se obtiene: b b 3 figur 7.7 b 16 b 4 Sustituyendo los vlores en l ecución prticulr, se lleg l ecución pedid: x h y k b 1 x 3 y x 3 y L semidistnci focl es c b, o se

11 págin 10 c c (proximdmente) De donde se deduce, gregndo pr rrib y pr bjo est cntidd prtir del centro, que ls coordends de los focos son f 3; y f 3; Finlmente, su excentricidd es e c 447. e L figur 7.8 muestr l gráfic de est elipse. Ejemplo 5: Solución: Un elipse horizontl con centro en el origen tiene un excentricidd e y ls coordends de sus focos son f ; 0 y f ; 0. Hllr 1 l ecución de dich elipse y esbozr su gráfic. Inicilmente conviene grficr los dtos del enuncido, en este cso los focos y el centro, los cules se muestrn en l figur 7.9. Recordndo que l distnci del centro de un elipse culquier de los focos es c, se tiene entonces que c Además, como el centro está en el origen, se desprende que h = 0 y k = 0. Por otr prte, sbiendo que l excentricidd está dd por l relción figur 7.8 e c con los vlores de e y de c se obtiene que de donde figur 7.9

12 págin Conociendo los vlores de ls constntes = 4 y c = se clcul el de b: b Por lo tnto, su ecución es b c b x 0 y x y L gráfic se muestr en l figur 7.10: figur 7.10

13 págin 1 EJERCICIO 7.1 Trnsformr l form prticulr ls siguientes ecuciones de elipses: 1) 4x + y + 8x + 6y - 3 = 0 ) 5x + 4y - 150x + 8y + 19 = 0 3) x + 4y + 4x + 3y + 3 = 0 4) 5x + 64y - 350x + 104y = 0 5) 9x + 16y + 16x - 3y = 0 6) x + 5y - x + 150y + 31 = 0 7) 5x + 36y + 100x + 7y = 0 8) 16x + y - 19x + 14y = 0 Trnsformr su ecución generl ls siguientes elipses: x 5 y 9) 1 10) 16 4 x 4 y 7 11) 1 1) 36 4 x 8 y 4 13) 1 14) 9 4 x 6 y 15) 1 16) 64 1 x 1 y x 9 y x 11 y x 5 y En los siguientes problems hllr l ecución de l elipse y todos sus elementos restntes: 17) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (1, 11) y V (1, - 15) y ls coordends de sus focos son f 1 (1, 10) y f (1, - 14). 18) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (- 10, ) y V (16, ) y ls coordends de sus focos son f 1 (-, ) y f (8, ). 19) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (- 4, 0) y V (16, 0) y ls coordends de sus focos son f 1 (0, 0) y f (1, 0). 0) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (-, 8) y V (-, - ) y ls coordends de sus focos son f 1 (-, 7) y f (-, - 1). 1) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (13, 0) y V (- 17, 0) y l longitud de su ldo recto es 88/15. ) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (- 9, 1) y V (17, 1) y l longitud de su ldo recto es 88/13.

14 págin 13 3) Ls coordends de los vértices de un elipse son V 1 (4, 15) y V (4, - 5) y l longitud de su ldo recto es 18/5. 4) Ls coordends de los focos de un elipse son f 1 (1, 5) y f (1, - 3) y l longitud de su eje menor es 6. 5) Ls coordends de los focos de un elipse son f 1 (- 10, - ) y f (0, - ) y l longitud de su eje myor es 6. 6) Ls coordends de los focos de un elipse son f 1 (- 5, 0) y f (5, 0) y l longitud de su eje menor es 8. 7) Ls coordends del centro de un elipse son O (3, - 1), l de uno de sus focos es f (15, - 1) y l longitud de su eje menor es 10. 8) Ls coordends del centro de un elipse son O (0, ), l de uno de sus focos es f (5, ) y l longitud de su eje myor es 6. 9) Ls coordends del centro de un elipse son O ( - 7, 5), l de uno de sus focos es f (8, 5) y l longitud de su eje myor es 5. PROBLEMAS ESPECIALES 30) Un elipse verticl tiene sus focos sobre l circunferenci x 3 y 49 y ls coordends de uno de sus vértices son V 1 (3, 10). Hllr l ecución de l elipse. 31) Un elipse horizontl tiene sus vértices sobre l circunferenci x 1 y 4 81 y ls coordends de uno de sus focos son f 1 (5, 4). Hllr l ecución de l elipse. 3) L longitud del eje myor de un elipse es 78 y su excentricidd es e 1. Sbiendo que se trt de un 13 elipse horizontl con centro en el origen, hllr su ecución.

15 págin INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR UNA ELIPSE CON PAPEL 1) En un hoj tmño crt de ppel lbnene, trzr un circunferenci que brque l máximo l hoj. Mrcr el centro de dich circunferenci (ver figur 7.11). ) Dibujr un punto entre 1.5 cm y cm por dentro de l circunferenci (ver figur 7.11). 3) Doblr l hoj por l prte posterior, de mner que l líne de l circunferenci trzd en el pso1 coincid con el punto del pso (ver figur 7.1). Mrcr bien el doblez. 4) Repetir el proceso nterior hciendo coincidir hor otro punto de l circunferenci del pso 1 con el punto del pso. 5) Continur sí hst llenr de dobleces l hoj. figur ) Un vez concluid l construcción de l elipse bse de dobleces, el lumno deberá de mner intuitiv deducir cuáles son los dos focos de dich elipse. 7) L figur 7.13 muestr el trbjo termindo. figur 7.1 figur 7.13