Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2010

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1 Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 200 Matrícula: Nombre:. Una pequeña empresa fabrica artículos de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A, B, C. El artículo tipo produce utilidad de $400 por unidad, y para su fabricación se requieren un kilogramo de A, un kilogramo de B y tres gramos de C. El artículo tipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricación se necesitan un kilogramo de A, 2 kilogramos de B y 2 gramos de C. La empresa dispone de 50 kilogramos de A, 240 kilogramos de B y 420 gramos de C, para el siguiente periodo de producción semanal.. La compañía desea conocer cuántas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los artículos producidos se venden. a) Modele la situación mediante programación lineal. Suponga que las variables de decisión son x i el total de productos tipo i (i =, 2) a producir. Indique: la función objetivo y cada restricción. c) Indique cómo queda el tableau inicial. a) Modelo Variables de decisión: x = Numero de unidades del artículo a producir. x 2 = número de unidades del artículo 2 a producir. Objetivo: Maximizar la utilidad total z = 400 pesos unidad x pesos unidad x 2 Restricciones: Recurso A (En kilogramos) x + x 2 50 Recurso B (En kilogramos x + 2 x Recurso C (En gramos) 3 x + 2 x Con x, x 2 0. Siendo x y x 2 número de unidades, ellos deben ser enteros. b) Forma estándar: Maximizar z = 400 x x 2 Sujeta a: x + x 2 + s 50 x + 2 x 2 + s x + 2 x 2 + s con x, x 2, s, s 2, y s 3 no negativos. c) Tableau inicial del Simplex: z x x 2 s s 2 s 3 RHS

2 TC Una compañía produce artículos de tres tipos, realizando las operaciones C, F, T. La máquina de la operación C cuesta $500/hora de funcionamiento, la de la operación F cuesta $2400/hora y la de la operación T cuesta $200/hora. El costo del material para una unidad del artículo es $50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $40. Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $402, $420 y $600, la unidad. Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de artículol se dan en la siguiente tabla: Minutos de operación por unidad TIPO DE ARTÍCULO C F T A A A La compañía necesita conocer cuántas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar en una hora, para obtener la máxima utilidad. a) Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones. a) Modelo Variables de decisión X i : cantidad de artículos del tipo i a fabricar en una hora (i =, 2, 3). Objetivo Maximizar: Utilidad Z = 49.5 X X X 3 Restricciones Sujeto a: 2.5 X X X 3 60 Minutos de C / hora 2 X + X X 3 60 Minutos de F/ hora 2 X X X 3 60 Minutos de T/ hora Con X, X 2, X 3 0. Las restricciones se refieren a que una máquina no puede utilizarse durante una hora por un tiempo total mayor que la hora. Es decir, el tiempo que una máquina dedique a la producción del artículo, más el que dedique al artículo 2 más el dedicado al artículo 3, no puede exceder a una hora de capacidad, pues ese es el período de tiempo que se tomó como referencia. b) Forma estándar: Maximizar z = 49.5 X X X 3 Sujeta a: 2.5 X X X 3 + s = 60 2 X + X X 3 s 2 = 60 2 X X X 3 + s 3 = 60 con X, X 2, X 3, s, s 2, y s 3 no negativos. 3. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, G y G2. La gasolina G se vende a $3.0 galón y la G2 en $3.6. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes A y B aparecen a continuación: COMPONENTES CRUDO A B Costo por galón 60 % 40 % % 70 %.2

3 TC300 3 La gasolina G debe contener máximo 60 % de B, mientras que la G2 debe contener mínimo 50 % de A. El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 4 millones de galones de crudo, y 3 millones de crudo 2, al día. La compañía ya tiene pedidos por 2.5 millones de galones de gasolina G y millón de gasolina G2, cada día. El proceso de la refiniería convierte.6 galones de mezcla de crudos en un galón de gasolina a un costo 0.25 dólares. Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria? a) Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones. a) Modelo Variables de decisión X i,j : el número de galones de crudo i que se dedican a producir la gasolina j (i =, 2);(j = ( = G, 2 = G2). Función objetivo Maximizar: donde Utilidad = ventas costos crudo costos refinacion ventas = (X, + X 2, ) (X,2 + X 2,2 ) costos crudo =.50 (X, + X,2 ) +.20 (X 2, + X 2,2 ) costos refinacion = (X, + X,2 + X 2, + X2, 2) Restricciones Sujeto a: Suministro de crudo : X, + X,2 4, 000, 000 Suministro de crudo 2: X 2, + X 2,2 3, 000, 000 Cumplir la demanda de G:.6 (X, + X 2, ) 2, 500, 000 Cumplir la demanda de G2:.6 (X,2 + X 2,2 ), 000, 000 Calidad de G por la componente B: (40 60) X, + (70 60) X 2, 0 Calidad de G2 por la componente A: (60 50) X,2 + (30 50) X 2,2 0 Naturales: X,, X,2, X 2,, X 2,2 0 b) Forma estándar sujeta a máx z = X, X, X 2, X 2,2 X, + X,2 + s = 4, 000, 000 X 2, + X 2,2 + s 2 = 3, 000, X, +.6 X 2, e = 2, 500, X,2 + con X,, X,2, X 2,, X 2,2, s, s 2, s 3, e, e 2, e X 2,2 e 2 =, 000, X, + 0 X 2, + s 3 = 0 0 X,2 20 X 2,2 e 3 = 0 4. El administrador de una caseta de peaje determinó que el número de empleados que necesita se distribuyen durante el día así:

4 TC300 4 Periodo Intervalo de Tiempo Número Mínimo de Empleados Cada empleado trabaja 8 horas diarias consecutivas. El administrador desea conocer el número mínimo de empleados que debe tener para cumplir con las necesidades de personal durante el día. a) Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones. a) Variables de decisión: X i = Número de personas contratadas que inician en el período i b) Función objetivo: Minimizar el total de personas contratadas Z = X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 c) Restricciones Cumplir que en cada período se tenga al menos el mínimo número de trabajadores. Personal necesario en cada intervalo: Periodo de 6 a 0: X + X6 8 Periodo de 0 a 4: X + X2 6 Periodo de 4 a 8: X2 + X3 8 Periodo de 8 a 22: X3 + X4 7 Periodo de 22 a 2: X4 + X5 5 Periodo de 2 a 6: X5 + X6 3 con Xi 0 y X i entera. d) Forma estándar sujeta a con Xi 0, X i enteras y e i Considere el siguiente tableau mín z = 6 i= X i X + X 6 e = 8 X + X 2 e 2 = 6 X 2 + X 3 e 3 = 8 X 3 + X 4 e 4 = 7 X 4 + X 5 e 5 = 5 X 5 + X 6 e 6 = 3 z x x 2 x 3 x 4 s s 2 s 3 RHS

5 TC300 5 Indique cuál es la SBF que se representa. En la parte de la matriz correspondiente a las restricciones, los renglones 4, 5 y 6, vemos la identidad presente, aunque intercambiada, en las columnas de las variables s, s 2 y s 3. Por tanto, en la SBF presente variables básicas: s = 4, s 2 = 6, s 3 = ; VNB: x, x 2, x 3, x 4 Si el problema es de maximización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Siendo de maximizar, el simplex busca variables con coeficiente negativo en el primer renglón: están x 2 y x 4 ; y la de mayor valor es x 2. Entrante: x 2 Saliente: s Al pivotear queda: VB(z = 8, x 2 = 4, s 2 = 4, s 3 = ) Si el problema es de minimización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Siendo de minimizar, el simplex busca variables (z descartada) con coeficiente positivo: aparecen x y x 3. La de mayor valor es x. Entrante: x Saliente: s 3 Al pivotear queda: VB(z = 7, x =, s = 2, s 2 = 6) 6. Para el siguiente PL, encuentre su solución. sujeta a: Maximizar Z = 3 x + 2 y 2 x + y 8 x + y 5 x + 2 y 8 Con x, y 0. Resolviendo a pares las restricciones tenemos los extremos de la región factible con sus correspondientes evaluaciones son: P (0, 0), Z(P ) = 0 P 2 (4, 0), Z(P 2 ) = 2 P 3 (3, 2), Z(P 3 ) = 3 Máximo P 4 (2, 3), Z(P 4 ) = 2 P 5 (0, 4), Z(P 4 ) = 8 7. Determine una SBF para: Maximizar Z = 00 X + 90 X 2 sujeta a: 6 X + 4 X X + 8 X X + 2 X 2 5 X 2 5 Con X, X 2 0. Haciendo referencia a las columnas de la matriz de la forma estándar, las únicas soluciones básicas factibles son Columnas: [, 2, 3, 4] SBF: [X = 5/3, X 2 = 5, e = 6, s = 260/3, e 2 = 0, s 2 = 0]: P (5/3, 5) Columnas: [, 2, 3, 5] SBF: [X = 6, X 2 = 5, e = 32, e 2 = 3, s = 0, s 2 = 0]: P 2 (6, 5)

6 TC300 6 Columnas: [, 3, 4, 6] SBF: [X = 5, X 2 = 0, e = 6, s = 60, s 2 = 5, e 2 = 0]: P 3 (5, 0) Columnas: [, 3, 5, 6] SBF: [X = 8, X 2 = 0, e = 24, e 2 = 9, s 2 = 5, s = 0]: P 4 (8, 0) P P2 P 3 P 4