Concepto de funcio n y funciones elementales

Transcripción

1 Concepto de uncio n unciones elementles Ls unciones describen enómenos cotidinos, económicos, psicológicos, cientíicos Tles unciones se obtienen eperimentlmente, medinte observción. Después, se idelizn sirven de modelos pr ls grndes milis de unciones que se conocen de cursos nteriores. Vemos el concepto de unción lguns de ls milis de unciones más conocids. Concepto de unción Un unción rel de vrible rel es un plicción = corresponder un único número rel, llmdo dominio de l unción de en, de tl mner que cd número rel Dom le hce, llmndo tmbién imgen de. Recuerd que Dom es un subconjunto de, el cul represent el conjunto de números reles de los que tiene sentido clculr l imgen. El conjunto de todos los números reles que son imgen de los elementos del dominio se le llm imgen de por Im. Normlmente l vrible Simbólicmente, un unción se represent sí: Funciones lineles se represent, se le llm vrible independiente l vrible, vrible dependiente. : Dom = Se describen medinte ecuciones de primer grdo, = m + n, su representción gráic es un rect. Recordemos que l coeiciente m qued de l orm se le llm pendiente de l rect l término independiente, n, ordend en el origen. Si, l rect ps por el origen de coordends. Si, l unción es = m un rect horizontl que ps por el punto ( 0,n ). Además, si 0 m = 0 = n n = 0 m, l unción linel es creciente; si m 0 l unción linel, cu representción es, es decreciente. Pr hcer l representción gráic de un unción linel bst con obtener dos puntos de l mism: (, ), (, ) representrlos en unos ejes de coordends unirlos medinte un rect. El dominio de un unción linel es todo. Funciones cudrátics Se describen medinte ecuciones de segundo grdo, Recordemos que si 0 b c, = + + ( 0 ). Su representción gráic es un prábol. l prábol se bre hci rrib, si 0 l prábol se bre hci bjo. El vértice de l prábol b viene dd por l epresión =. Por tnto, ls b b. L prábol cort l eje Y,0 son ls soluciones de l ecución + b + c = 0. Si l ecución nterior tiene es el punto más lto o más bjo de l prábol, cu coordend coordends del vértice son, los puntos,0, donde un únic solución, sólo hbrá un punto de corte con el eje X en el punto de coordends ( 0,c ) l eje X en, (,0 ), l prábol será tngente l eje X. Si l ecución + b + c = 0 no tiene soluciones reles, l prábol no cort l eje X, estrá tod ell por encim o por debjo del eje X b b. Se llm eje de l prábol l rect =, que es un rect verticl que ps por el punto,0. El eje de l prábol ps por el vértice divide ést en dos rms simétrics. Es como un espejo en el que el relejo de un rm de l prábol es l otr rm de l prábol. El dominio de un unción cudrátic es todo. Funciones polinómics L ecución de un unción polinómic viene dd medinte un polinomio de grdo n : n n = n + n Su representción gráic es un curv que se dobl vris veces, dependiendo del grdo del polinomio. Su dominio tmbién es todo el conjunto de los números reles. Funciones Págin

2 Funciones de proporcionlidd invers Son unciones cu ecución es de l orm son l rect horizontl =, l rect verticl c Ls hipérbols más sencills son de l orm k 0 + b = c + d d =. c k =, con c 0. Su representción gráic es un hipérbol cus síntots, cu representción gráic son hipérbols cus síntots son los ejes de coordends. En este cso, si, ls rms de l hipérbol se encuentrn en el primer tercer cudrntes, si de l hipérbol se encuentrn en el segundo curto cudrntes. El dominio de un unción de proporcionlidd invers, + b = c + d, es d c, que el punto k 0 d = c denomindor, sbemos que cundo el denomindor es cero l epresión correspondiente no eiste o no tiene sentido. Funciones rcionles L ecución de un unción rcionl viene dd por un rcción lgebric, es decir, polinomios. El dominio de un unción rcionl es q el conjunto de los números reles, slvo quéllos que nuln el denomindor. p = q, donde p( ), ls rms nul el q Dom = : = 0. Es decir, el dominio está ormdo por todo Ls unciones rciones tienen representciones gráics mu vrids. Pr poder hcer l representción gráic de un unción rcionl debemos hcer un estudio detlldo de l unción: puntos de corte con los ejes, simetrí, síntots, tendencis, monotoní, etremos, puntos de inleión, etc. Todo ellos se verá en los dos tems siguientes. Funciones ríz o unciones rdicles Son unciones de l orm = donde es un unción elementl culquier (por ejemplo, de ls vists nteriormente). Su dominio es Dom = : 0 (recuérdese que l ríz cudrd no es un número rel si el rdicndo es menor que cero). Por tnto, pr clculr el dominio debemos resolver l inecución 0. El intervlo o intervlos solución de est inecución coincide justmente con el dominio de l unción. Ls unciones ríz tmbién tienen representciones gráics mu vrids. Pr hcernos un ide de l representción gráic, l igul que ocurre con ls rcionles, hemos de estudir detlldmente l unción, pr eso debemos tener en cuent los contenidos de los dos tems siguientes. De tods orms, un cso prticulr mu sencillo son l mili de unciones del tipo = k, donde k es un número rel. Su representción gráic es un rm de prábol que se encuentr por encim del eje X cuo eje es precismente el eje X. Un ejemplo es l unción =. Su representción gráic es l siguiente: son Funciones Págin

3 Funciones deinids por trozos A veces un enómeno cmbi drásticmente con el tiempo, por tnto, tmbién su representción gráic sure cmbios bruscos. Es es l rzón por l que conviene epresr l unción medinte vrios trozos. Un unción deinid por trozos será entonces lgo sí como vris unciones elementles, pero epresds de un sol vez. Representr l gráic de un unción deinid por trozos será sencillo si sbemos representr cd uno de los trmos o trozos correspondientes. Además tendremos que tener especil cuiddo en quellos puntos en donde termin un trozo comienz otro, puntos que veces estrán en contcto veces no. Como ejemplo vmos dr dos unciones deinids por trozos su correspondiente representción gráic ) + si 3, 0 = + si 0,3 4 si 3, 7 Observ que, empezndo por l izquierd, el primer trozo (l rect inclind) corresponde l unción = +, el segundo trozo = +, el tercer trozo (l rect horizontl) l unción constnte = 4 (l prábol) l unción. Observ que l primer se encuentr en l rnj del eje X entre 0, l segund en l rnj entre 0 3 l tercer en l rnj situd entre 3 7. Además es conveniente observr que en los puntos en que l unción ps de un trozo l siguiente los trozos o rms correspondientes pegn bien, es decir, en esos puntos l unción es continu. 3 = g + si si En este cso l rect es l gráic de l unción = +, l prábol es l gráic de l unción =. L primer está deinid pr vlores de menores que, l segund pr vlores de mores o igules que. En este cso los trozos no pegn bien cundo se ps de l primer l segund se dice que l unción no es continu en el punto =. Funciones Págin 3

4 Recordemos que el vlor bsoluto de un número negtivo. Por tnto, l unción vlor bsoluto de Vlor bsoluto de un uncio n coincide con el propio si éste es positivo o cero, o con su opuesto, si, se deine de l siguiente mner: si 0 = = si 0 Obsérvese que est es un unción deinid por trozos. Su representción gráic es: es En generl, l unción vlor bsoluto de un unción culquier se deine sí: si 0 = = si 0 Pr representrl gráicmente, se represent l unción ( ) se trsld, tomndo como eje de simetrí el eje X, l prte de l gráic de ( ) que esté debjo del mismo, justmente por encim. Como ejemplo representremos gráicmente ls unciones = +, su vlor bsoluto 3 3 = +. Funciones Págin 4

5 Trnsormciones elementles de unciones Trslciones verticles = Dd un unción culquier = k son como l de = un número rel positivo, k 0, l gráic de ls unciones = + k, pero trsldds k uniddes hci rrib o hci bjo, respectivmente. = +3 = = 3 Trslciones horizontles Dd un unción culquier = un número rel positivo, k 0, l gráic de ls unciones ( k ) = ( k ) son como l de = pero trsldds k uniddes hci l derech o hci l izquierd, respectivmente. = +, = ( +3 ) = = ( 3 ) Funciones Págin 5

6 Simetrí respecto del eje Y L gráic de l unción = ( ) es simétric l de = respecto del eje Y 3 espejo). Un ejemplo son ls unciones = (es como si el eje Y ctur como un 3 3 = = 3 + : 3 3 = ( ) = = Si un unción será simétric respecto del eje Y cumple que = ( ), pr todo, entonces se dirá que es un unción pr su propi gráic (es decir, si doblmos por el eje Y, ls rms de l gráic de l unción coinciden). 6 4 Por ejemplo, l unción = es pr, que 4 = ( compruéblo!). Su gráic es: Si un unción = cumple que =, pr todo, entonces se dirá que es un unción impr su propi gráic será simétric respecto del origen de coordends. Esto quiere decir que, si doblmos dos veces, un por el eje X, otr 3 por el eje Y, ls rms de l unción coinciden. Por ejemplo, l unción = es impr que = ( ) 3 ( compruéblo!). Su gráic es: Funciones Págin 6

7 Composicio n de unciones. Funcio n invers de un uncio n Composición de unciones Dds dos unciones g se denomin unción compuest de g, se design por Dom en ( g ) = g. Observ el siguiente esquem: L epresión ( g )( ) se lee l primer en ctur sobre Dom g. Vemos un ejemplo. Dds ls unciones Funciones Págin 7 g ( ) g compuest con g. Se nombr en primer lugr l unción. Obsérvese que pr que l unción compuest = 3 6 g ( ) = +, vmos hllr g = g = + = = = ( ) ( ) g = g = = g. g g, l unción que trnsorm que está l derech porque es teng sentido se debe de cumplir que Observ que no se cumple en generl que g = g, es decir, l composición de unciones no es conmuttiv. Función invers o recíproc de un unción Se llm unción invers de un unción otr unción, que designremos por Dom ( ) b b = =, entonces Como consecuenci de l deinición nterior se dn ls relciones siguientes: L unción invers de = ; es, su vez,, cumpliendo l siguiente condición: =. Por eso se dice, simplemente, que ls unciones son inverss o recíprocs. Es necesrio hcer un observción: pr que un unción teng invers h de ser inectiv, es decir, cd vlor = h de corresponder un único vlor de, es decir, no puede hber dos vlores distintos del dominio de = = pues, si sí uer, l unción invers cumplirí lo siguiente: ( ) ( ) = = = = Lo cul es bsurdo pues hemos supuesto que son distintos.,, tles que El procedimiento práctico pr hllr l invers de = consiste en intercmbir ls vribles e, despejndo posteriormente l vrible en est últim epresión. Vemos un ejemplo. Pr hllr l invers de l unción g = + del ejemplo nterior procedemos sí. Llmmos g = : = +. Intercmbimos ls vribles: = +. Despejmos : = = ( ). Por tnto, l unción invers de g es g =. Comprobmos inlmente que sí es: g g = g g = g = + = + = g g = g g = g + = + = =

8 L uncio n eponencil Un unción eponencil es de l orm =, donde eponencil son ls siguientes: 0. Ls propieddes o crcterístics de l unción. Son continus en todo el conjunto de los números reles (que es su dominio de deinición), psn por los puntos ( 0, ), que. De quí se deduce que siempre cortn l eje Y en el punto., 0 = =. L imgen de l unción eponencil es siempre el intervlo ( 0,+ ). 3. Si son crecientes, tnto más cunto mor se. El crecimiento de culquier de ells lleg ser mu rápido, superndo n = k. Es por ello que l epresión crecimiento eponencil es sinónimo de incluso culquier unción potencil del tipo crecimiento mu rápido. Además, si 4. Si 0, se dn ls siguientes tendencis: 0 ; son decrecientes. Además se dn ls siguientes tendencis: 5. Se bren siempre hci rrib, es decir, son cóncvs ; Se cercn indeinidmente l eje X sin llegr cortrlo; por l izquierd si eje X es un síntot horizontl. 7. En mtemátics superiores l unción = e unción eponencil, sin mencionr cuál es su bse, se está hciendo reerenci ell. 8. Tmbién son eponenciles ls unciones del tipo de bse k. Como ejemplo representremos continución ls unciones 0, por l derech si 0. Es decir, el es etrordinrimente importnte. Tnto es sí que cundo se hbl de l k k k =, que =, =, es decir, = k = es l unción eponencil Funciones Págin 8

9 L uncio n logrí tmic Un unción logrítmic es de l orm = log, donde l unción eponencil vist nteriormente,. Es ácil demostrr que, eectivmente, ( g ) = ( g ) =. g = 0 Ls propieddes o crcterístics de l unción logrítmic son ls siguientes: 0,+. Son continus el intervlo log = 0 log =. L unción logrítmic de bse es l invers de (que es su dominio de deinición), psn por los puntos. De quí se deduce que siempre cortn l eje X. L imgen de l unción logrítmic es todo el conjunto de los números reles. en el punto (, 0 )., 0,, que 3. Si son crecientes. Su crecimiento es mu lento, tnto más cunto mor se. Pr vlores mu grndes de llegn n tomr vlores mucho menores que los de culquier unción ríz =, por grnde que se n. Además, si ls siguientes tendencis: 4. Si 0 5. Si 0 log ; + log + son decrecientes. Además se dn ls siguientes tendencis: 0 log + ; + log se bren hci bjo, es decir, son conves. Y si 0 6. Se cercn indeinidmente l eje Y sin llegr tocrlo; pr vlores de si 0. Es decir, el eje Y es un síntot verticl. se bren hci rrib, es decir, son cóncvs. negtivos sin, pr vlores de, se dn positivos 7. En mtemátics superiores l unción = log e es mu importnte. Se le llm logritmo neperino se design por = ln. Es l unción invers de l eponencil de bse e. Como ejemplo representremos continución ls unciones = log = log Funciones Págin 9

10 Funciones trigonome trics + k Veremos ls tres unciones trigonométrics más importntes: seno, coseno tngente. Sbemos que los ángulos son igules en el sentido de que tienen ls misms rzones trigonométrics. Por tnto, l gráic de ls unciones trigonométrics se repetirá periódicmente en cd intervlo de longitud (cd vuelt complet). Función seno Función coseno Función tngente Funciones Págin 0