CARRERA ADMINISTRACION DE NEGOCIOS INTERNACIONALES SEPARATA MATEMATICA FINANCIERA

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1 CARRERA ADMINISTRACION DE NEGOCIOS INTERNACIONALES SEPARATA MATEMATICA FINANCIERA El presente documento es una recopilación de información obtenida en libros de autores prestigiosos y diversos sites de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y sin fines de lucro Edición de circulación restringida sustentada en la Legislación sobre Derechos del Autor DECRETO LEGISLATIVO 822 Artículo 43 Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin autorización del autor la reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes de instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro

2 SESIONES 1-3 En el curso de Matemática, en la última parte, se detalla el tema de Interés simple donde la tasa de interés se aplica sobre el mismo capital durante un periodo de tiempo concreto, es decir, al final se tiene la suma del capital (Va) más los intereses, originando la siguiente relación: Va + I, lo que se conoce como monto o valor futuro (Vf). EL INTERES COMPUESTO Ahora en el presente curso observaremos al capital (va) y su transformación como consecuencia de la adición del interés sobre el capital, a esto se denomina interés compuesto. INTERES COMPUESTO: Es la formación de un nuevo capital, a partir de un stock inicial (Va), donde en cada periodo se adicionan los intereses para formar un nuevo capital, durante un periodo de tiempo. A este cambio del capital original en el tiempo se le conoce como PERIODO DE CAPITALIZACION. Va n i Veamos un ejemplo: Se tiene una inversión de S/ , por un periodo de seis meses a una tasa de interés del 0,4% mensual, determinar el monto y los intereses obtenidos. Ilustramos este caso a través de una tabla de capitalización: PER Va i Va(i) I Vf 01 S/ , (0,004) S/ , (0,004) 20, ,80 03 S/ ,08 0, ,08(0,004) 20, ,24 04 S/ ,24 0, ,24(0,004) 20, ,48 05 S/ ,48 0, ,48(0,004) 20, ,80 06 S/ ,80 0, ,80(0,004) 20, ,20 NOTA: Recordando que en el interés compuesto el interés se agrega al capital para poder formar un nuevo capital o valor actual Para explicar en detalle el cuadro anterior y establecer las formulas pertinentes, tenemos: P. CAPITALIZACION MONTO (0,004) = 5.000(1 + 0,004) 5.000(1,004) (1,004) (1,004)(0,004) = 5.000(1,004)(1,004) 5.000(1,004) (1,004) (1,004) 2 (0,004)=5.000(1+0,004) 2 (1+0,004) 5.000(1,004) (1,004) (1,004) 3 (0,004)=5.000(1+0,004) 3 (1+0,004) 5.000(1,004) (1,004) (1,004) 4 (0,004)=5.000(1+0,004) 4 (1+0,004) 5.000(1,004) (1,004) (1,004) 5 (0,004)=5.000(1+0,004) 5 (1+0,004) 5.000(1,004) 6 Vf 2

3 Agregaremos que el monto se obtiene como resultado de extraer el FACTOR común (1,004), que más adelante observaremos asume entre otros el nombre de FAS (factor de actualización de la serie), es decir: El monto final será: 5.000(1,004) 6 = 5.121,20; idéntico resultado al obtenido en la primera tabla. FORMULAS Dejamos establecido que en adelante para poder obtener el monto a interés compuesto de forma inmediata, podemos aplicar la siguiente fórmula: En el caso analizado teníamos un capital de S/ ; una tasa de interés del 0,4% mensual y un periodo de seis meses, con estos datos podemos establecer la siguiente simbología: Capital o valor actual: Va= Tasa de interés en tanto por uno: i = 0,4% = 0,4/100 = 0,004 Tiempo o periodo de capitalización: n = 6 meses. Monto o Valor futuro: Vf. (Capital más el interés) Con los datos anteriores podemos establecer las siguientes formulas: Vf = Va(1+i) n Si despejamos el valor actual o pasamos a dividir el factor (1+i) n, obtenemos una fórmula para el capital o valor actual: Para obtener una expresión que nos permita determinar el valor de la tasa de interés, dividimos el valor futuro entre el valor actual, extraemos la raíz enésima de ambas expresiones, y luego despejamos ola variable i : Vf Va 1 i 1 i 1 i n Va n Vf Va Vf 1i n n n n Vf Va n Vf Va 1 i Si deseamos conocer el periodo de capitalización, debemos aplicar el logaritmo natural a los dos lados de la igualdad, donde debemos dividir el valor futuro (Vf) entre el valor actual (Va), es decir 3

4 Vf Va 1 i Log Log 1 i n n Vf Va Vf Va exponencial para un logaritmo se tiene Log nlog 1 i obtenemos: Vf Log Va n Log 1i aplicando la propiedad del ; despejamos n y Ahora que contamos con las fórmulas para esta primera parte podemos ver algunos problemas de aplicación, no sin antes señalar al igual que en el interés simple la tasa y tiempo deben coincidir en unidades, es decir si la tasa es mensual, el tiempo debe ser meses; si la tasa es diaria el tiempo debe ser días, etc. Ejemplos: 1) Se deposita en una entidad financiera S/.4.560, durante tres meses y medio, a una tasa de interés del 0,35% mensual. Determinar el monto. : En este caso, debemos considerar los datos respectivos: Va = S/ i = 0,35% mensual = 0,0035 n= Tres meses y medio = 3 + 0,5 = 3,5; aplicamos nuestra formula y obtenemos: Vf = Va (1 + i ) n = (1 + 0,0035) 3,5 = (1,0035) 3,5 = S/.4.616,10. NOTA: En adelante dejaremos de lado 1+ 0,0035 por ejemplo y pasaremos directamente a 1, ) En una inversión de S/ , durante 185 días, a una tasa del 3,85% anual, se obtendrá un monto de : : Va = S/ i = 3,85% anual = 0,0385 n= 185 días como la tasa es anual, debemos establecer estos días como 185/360, para tener una fracción de año. Aplicamos nuestra formula del monto: Vf = Va (1+i) n = (1,0385) (185/360) = S/ ,90. 3) Calcular el monto de S/ , invertidos durante cinco meses a una tasa del 1,05% trimestral. : Va = S/ i = 1,05% trimestral = 0,0105 n = 5 meses, ahora debemos tener una fracción de trimestre, por lo que debemos considerar 5/3. 4

5 Aplicamos nuestra fórmula: Vf = Va ( 1 + i ) n = (1,0105) (5/3) = 8.496,63 4) Se tiene un capital de S/ , que luego de cinco semanas, el monto obtenido fue S/ , la tasa semanal para esta inversión ha sido: : Va = S/ Vf = S/ n = 5 semanas. Para este caso debemos considerar la fórmula para la tasa de interés: Vf i = n 1 = 5 1 = 1, = 0, Va Este resultado i = 0, es un factor que multiplicado por 100, permite conocer la tasa semanal en términos porcentuales: i = 0, ( 100 ) = 0, % semanal 5) Determinar el capital depositado en el banco C&T, si al cabo de dos trimestres, se obtiene un monto de S/ ,40, al 1,38% trimestral. : Vf = S/.6.485,40 i = 1,38% trimestral = 0,0138 n= 2 trimestres Vf 6.485,40 Va = Va = S/.6.310,04 n 2 (1 i) (1,0138) 6) Determinar cuánto tiempo habrá transcurrido luego de invertir S/ y obtener S/ , a una tasa de interés del 3,92% anual. : Vf = Va = i = 3,92% anual = 0,0392 Tomemos nuestra fórmula para hallar el periodo de capitalización: Vf Log Log Va n = n = 0,0632 año Log1 i Log1,0392 El resultado anterior, debido a la tasa representa una fracción de año, el tiempo exacto es posible obtenerlo al multiplicar por 365 días y nuestro periodo de capitalización estará expresado en días. 5

6 n = 0,0632 (365) = 23 días OBSERVACION: Antes de pasar a nuestro siguiente tema, veremos lo siguiente: En el primer ejemplo teníamos un valor inicial de S/ y el monto obtenido fue S/ ,10. Si hallamos la diferencia del valor futuro y el valor actual, obtendremos el interés o la ganancia por el préstamo de dinero. I = S/ ,10 S/ = S/. 56,10 Tomando en cuenta lo anterior, una fórmula para obtener el interés surgirá de la siguiente manera: I = Vf Va, sabemos que: Vf = Va (1 + i ) n, al reemplazar en la primera igualdad nos permitirá llegar a la fórmula del interés: I = Va (1 + i) n Va = Va [(1+i) n 1] I= Va [(1+i) n 1] Aplicando la fórmula anterior a nuestro primer ejemplo, tenemos: I = 4.560[(1,0035) 3,5 1]=S/.56,10 Dejamos para el estudiante la posibilidad de obtener algunas fórmulas más a partir de la fórmula del interés. PROBLEMAS 1) Una persona presta S/ para ser devuelto en cinco años al 4,85% anual. Calcular el monto. 2) Se tiene el pago de una obligación por S/.2.000, cancelable en cinco meses al 0,75% mensual. Determinar el importe final a cancelar. 3) Se deposita en el banco W&T, S/ , durante 7 meses al 1,24% bimestral. Calcular el monto obtenido. 4) Al depositar S/ en una entidad financiera por 85 días, la tasa de interés para este depósito es 2,38% semestral. Determinar el monto. 5) Una señora desea saber cuánto obtendrá al cabo de 3 quincenas, cuando deposita en el banco Mi Ahorro S/ , a una tasa del 0,854% mensual. 6) Qué interés se podrá obtener, cuando se deposita S/ durante seis semanas, a una tasa de interés del 1,48% bimestral? 7) Cuánto debe depositar un inversionista, para obtener S/. 185 de interés, después de dos años y medio a una tasa del 4,85% anual. 8) Se invierte S/ y al cabo de 225 días se obtiene S/.240 de interés. Cuál es la tasa diaria? 9) Cuando se invirtió S/ se obtiene un monto de S/ , en cuatro trimestres. Cuál ha sido la tasa trimestral? 10) En el banco Mercantil de Lima, se depositó S/ , al 1,345% mensual. Al cabo de cierto tiempo el banco entrega S/ Determinar en cuántos días se entregó el monto anterior. 11) La señorita Kiara deposita en el banco Mi Mundo S/ durante ocho meses y 20 días, al 1,67% mensual. Determinar el monto. 6

7 12) El señor Antony deposita en el banco Latinoamericano S/ , durante 20 meses, el banco le informa que para ese periodo las tasas serán 1,2% mensual durante ocho meses; 1,35% mensual durante los cinco meses siguientes y 1,4% en los últimos siete meses. Qué monto habrá obtenido durante ese periodo? 13) Un ama de casa deposita en un banco S/.2.400, a los cuatro meses deposita S/.3.500, retirando todo su dinero conjuntamente con los intereses a los diez meses, a una tasa del 2,15% mensual. Cuál fue el monto final? 14) Un pagaré por S/ cancelable en 90 días, se decide cancelarlo a los cincuenta días, si la tasa de interés para esta obligación es 5,85% anual. Cuánto se pagó? 15) La señora Fabiola compra una refrigeradora abonando una cuota inicial del 20% y el saldo a una letra por S/ que vence en 120 días, si la tasa ha sido 21% anual. Determinar el precio de contado. SESIONES 4-6 TASAS DE INTERES En la presente sesión desarrollaremos y analizaremos la tasa de interés tanto como tasa nominal y efectiva. TASA NOMINAL: Es aquella que se puede fraccionar dentro de un periodo anual, lo que permite obtener una tasa proporcional, es decir, la tasa es anual pero convertible a una tasa diaria, quincenal, semanal, mensual, trimestral, etc. Para identificar la tasa nominal utilizaremos el símbolo: j, además se deberá considerar la siguiente expresión: Donde j representa la tasa nominal; m el periodo de capitalización en el año. NOTA: Cuando una tasa nominal se fracciona, se obtiene la tasa efectiva. j m Ejemplos: 1) 15% TNAM (Tasa nominal anual capitalizable mensualmente) 0,15 0,0125 = 1,25% mensual 12 2) 8% TNAT (Tasa nominal anual capitalizable trimestralmente) 0,08 0,02 = 2% trimestral 4 3) 20% TNAB (Tasa nominal anual capitalizable bimestralmente) 0,18 0,03 = 3% bimestral 6 4) 25% TNAD (Tasa nominal anual capitalizable diariamente) 0,18 0,0005 = 0,05% diario 360 Ahora nuestra fórmula para hallar el monto o el interés se verá modificada cuando la tasa sea nominal, es decir: 7

8 n j Vf Va1 m Vf Va n j 1 m 1 Vf j m n 1 Va Vf log Va n j log 1 m NOTA: En la solución de problemas, recordar que n debe tener las mismas unidades que m. A continuación veremos algunos casos para aclarar esta idea. Ejemplos: 1. Determinar el monto de S/ depositados en una financiera, a una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente, durante tres años. Va= S / m = 12 (por la capitalización mensual y el total de meses en el año) n = 3 años = 3*12 = 36 meses, tenemos las mismas unidades para m y n. j = 18% = 0,18 Vf n 36 j 0,18 Va1 = = S/ ,14 m La señora Victoria acude al banco REAL, para depositar S/ , durante año y medio, el banco le ofrece una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. Determinar el monto que recibirá al final del plazo. Va = S/ m = 4 (en el año hay 4 trimestres) n = año y medio = (1,5)(4) = 6 trimestres j = 15% = 0,15 Vf n 6 j 0,15 Va1 = = S/ ,66 m 4 3.Un cliente del banco M&T, deposita S/ , al 14% anual capitalizable bimestralmente, durante 15 meses. Calcular el monto obtenido. 8

9 Va = S/ m = 6 (en el año hay 6 trimestres) n = 15 meses = 15 : 2 = 7,5 bimestres ó 7 bimestres y medio. j = 14% = 0,14 Vf n 7,5 j 0,14 Va1 = = S/ ,25 m 6 4.Una empresa invierte S/ , durante dos años, a una tasa del 8,5% anual capitalizable semestralmente. Determinar el monto de esta inversión. Va = S/ m = 2 (en el año hay 2 semestres) n = 2 años = (2)(2) = 4 semestres j = 8,5% = 0,085 Vf n 4 j 0,085 Va1 = = S/ ,29 m 2 5.La señora Amalia está indecisa frente a tres avisos publicados en el diario donde indica lo siguiente: Traiga sus ahorros a nuestro banco y nosotros le pagaremos más que la competencia, las propuestas son: Banco Bluebird : Le pagamos 9,5% anual capitalizable mensualmente. Banco Redman : Pagamos el 9,5% anual capitalizable semanalmente. Banco Whitesky : Ofrecemos el 9,5% anual capitalizable diariamente. Ayudemos a la señora Amalia a tomar una decisión, ya que tiene S/ y desea depositar el dinero por espacio de 4 años. Banco Bluebird Va = S/ m = 12 (en el año hay 12 meses) n = 4 años = (4)(12) = 48 meses j = 9,5% = 0,095 Vf n 48 j 0,095 Va1 = = S/ ,03 m 12 Banco Redman Va = S/ m = 52 (52 semanas se considera en el año) n = 4 años = (4)(52) = 208 semanas j = 9,5% = 0,095 9

10 Vf n 208 j 0,095 Va1 = = S/ ,48 m 52 Banco Whitesky Va = S/ m = 360 8se consideran 360 días en el año) n = 4 años = días j = 9,5% = 0,095 Vf n j 0,095 Va1 = = S/ ,99 m 360 CONCLUSION: Con los resultados obtenidos podemos observar que cuanto más se fracciona la tasa se obtendrá un monto mayor. 6.Un pequeño comerciante desea obtener S/.9.600, en el banco le informan que deberá depositar cierta cantidad por año y medio al 7.25% anual capitalizable mensualmente. Determinar cuánto debe ser el depósito inicial. Vf = S/ m = 12 n = año y medio = 1,5 = (1,5)(12) =18 meses j = 7,25% = 0,0725 Va Vf j n 1 m S/ ,58 0, Determinar la tasa de interés anual para un deposito de S/ , si al cabo de año y medio se retiro del banco S/ , además la tasa se capitaliza trimestralmente. Vf = S/ Va = S/ m = 4 n = 1,5(4) = 6 trimestres 1 1 Vf j m n 1 j , = 5,3719% CT Va En cuánto tiempo S/ se podrá transformar a S/ , sabiendo que la tasa de interés es 11.25% capitalizable bimestralmente? 10

11 Va = S/ Vf = S/ m = 6 j = 11,25% = 0,1125 Vf log log Va n 4,19 bimestres aproximadamente ó 251 días. j 0,1125 log1 log1 m 6 NOTA: Recordar que, I = Vf - Va PROBLEMAS 1) Se colocan S/ a plazo fijo, la tasa es 8,15% anual con capitalizaciones mensuales. Cuánto será el monto a los 2 años y 4 meses? Cuánto se ganó de interés? 2) Un comerciante de aves obtuvo un préstamo por S/ el 15 de agosto al 14,35% anual capitalizable bimestralmente. Con qué monto debe cancelar la deuda el comerciante el 15 de diciembre del mismo año? 3) Una caja rural coloca todo su capital de S/ en bonos del estado que garantizan un 2,4% trimestral capitalizable quincenalmente. Qué cantidad de intereses habrá obtenido al pasar un año? 4) Una tienda de artefactos vende televisores LED, si la compra fuera a crédito en tres años el precio sería S/ , a una tasa del 15% anual capitalizable semanalmente. Cuál sería el precio si la compra fuera al contado? 5) Don Juan desea tener dentro de 10 años un capital de S/ en el banco, para lo cual debe depositar hoy una determinada cantidad a plazo fijo. Si el banco le ofrece un 9,25% semestral capitalizable trimestralmente. Cuánto debe depositar hoy? 6) Se invierte S/ por espacio de 45 meses a una tasa del 13,5% anual capitalizable quincenalmente. Determinar el total de intereses. 7) Cuántos meses deben estar invertidos S/ al 3% bimestral capitalizable mensualmente ganen S/. 900 de intereses? 8) Un empleado recibe por concepto de CTS S/ y desea invertir en fondos mutuos donde ganara el 20% anual con capitalización mensual, hasta que pueda obtener S/ Cuántos días durará su inversión? 9) Los intereses obtenidos en ocho meses por una inversión de S/ son S/ Calcular la tasa de interés con capitalización mensual. 10) En cinco años el valor de un terreno comercial aumenta de S/ a S/ Determinar la tasa de interés anual capitalizable trimestralmente. 11) Cuántos meses deben transcurrir para que un capital de S/ gane S/. 800 de interés con una tasa del 13% semestral capitalizable trimestralmente? 12) Un confeccionista adquiere una maquina bordadora computarizada cuyo valor de contado es S/ El confeccionista acepta pagar una inicial del 32% y financiar el saldo a ocho meses al 15% semestral capitalizable bimestralmente. Cuánto será el pago final? Cuánto paga de intereses? 13) Una empresa grafica adquiere un préstamo para la compra de una maquina offset e insumos por un valor de S/ La empresa conviene pagarla dentro de 2 años y 5 meses a la tasa del 25% anual con capitalización mensual. Determine cuánto pagará de intereses al final del plazo convenido. 11

12 14) Un capital de S/ se duplica al pasar 3 años de capitalizaciones mensuales. A qué tasa anual está colocado? 15) Una inversión gana el 60% de su valor cuando se coloca al 2% semestral con capitalizaciones mensuales. Determine cuántos meses se necesitan para lograrlo. TASA EFECTIVA: Es la tasa que un capital o inversión ganará por un tiempo determinado. Se le simboliza con la letra i. En líneas anteriores dejamos establecido el concepto de una tasa nominal convertible una determinada cantidad de periodos en el año, el cociente nos proporciona una tasa efectiva. Por ejemplo, si tenemos el 36% anual capitalizable mensualmente, tenemos 0,36/12 = 0,03 ó 3% mensual. Ahora bien si queremos obtener una tasa anual efectiva a partir de la tasa mensual anterior, utilizaremos la siguiente expresión: m 12 j 0,36 i 1 1= 1 m 12 1 = 0, =1, =0, i = 42,576% anual Como se puede apreciar de una tasa anual del 36% apareció un 42,576% anual que resulta ser la tasa anual efectiva, esto se explica debido a la tasa del 36% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE, es decir los intereses se capitalizan cada mes. En nuestro medio en las diversas transacciones se utiliza la TASA EFECTIVA ANUAL ó TEA, desde luego que puede asumir diversas capitalizaciones, como: TEM : Tasa efectiva mensual TET : Tasa efectiva trimestral TEB. Tasa efectiva bimestral TED : Tasa efectiva diaria. Tasa efectiva semanal Tasa efectiva cada 21 días, etc. OBSERVACIONES: 1) Si tenemos una tasa efectiva, según las condiciones establecidas se podrá convertir a otra efectiva. Para lo cual podemos establecer lo siguiente: Donde: i x : Tasa efectiva que se busca i y : Tasa efectiva programada X: Total de días para la tasa que se busca Y: Total de días para la tasa programada i x 1i y x y 1 2) En ocasiones es posible utilizar las siguientes relaciones: TEA 1 TEM360/30 1 TET 1 TEM90/30 1 TEM 1 TEA 30/360 1 TEB 1 TEA 60/360 TEQ 1 TEA 15/360 TED 1 TEA 1/

13 A continuación veremos algunos ejemplos: 1)Convertir una TEA del 25% a las siguientes tasas: TEM; TEQ; TED, TASA EFECTIVA CADA 21 DIAS. 30/360 a i 1 i 1 m 30/360 =1, = m i m =1,8769% (Tasa efectiva mensual),. = i 1 0,25 1 Desde luego que podemos utilizar la relación: TEM=(1+TEA) 30/360-1=(1+0,25) 30/360-1=1, = TEM=1,8769% TEQ=(1+TEA) 15/360-1=(1+0,25) 15/360-1=1, =0, TEQ=0,9341% TED=(1+TEA) 1/360-1=(1+0,25) 1/360-1=1, =0, TED=0,062% TE C/21 días = (1+TEA) 21/360-1=(1+0,25) 21/360-1=1, TE C/21 días = 0, =1,310179% 2)Si tenemos una TEB DE 2,05%, calcular : TEA; TET; TESemanal: TEA=(1+TEB) 360/60-1= (1+ 0,0205) 360/60-1=1, =0, TEA=12,9478% TET=(1+TEB) 90/60-1=(1+0,0205) 90/60-1=1, =0, TET=3,0907% TESemanal=(1+TEB) 7/60-1=(1+0,0205) 7/60-1= TESemanal=0, =0,23702% Ahora procederemos a resolver algunos problemas: 1) La señora Pilar acude a una Caja Municipal y apertura una cuenta de ahorros con S/ , por espacio de 14 meses, si la caja municipal le ofrece una TEA del 8,75%. Determinar el monto y los intereses al final del periodo. Va = S/ n = 14 meses i = TEA = 8,75% Como el tiempo es 14 meses, debemos obtener una tasa mensual: i m = TEM = (1+0,0875) 30/360-1 = 0, ó 0,7014%. En la aplicación de la fórmula para obtener el monto se recomienda tomar en cuenta el factor 0,

14 VF=Va(1+i) n = 6.350(1+0, ) 14 = 7002,84 Con el valor del monto podemos encontrar el total de los intereses y nos valemos de la relación: I = Vf Va = 7.002, = 652,84 Desde luego que existe la alternativa de mantener la misma tasa de interés y establecer un tiempo equivalente, veamos: Vf = 6.350(1+0,0875) 14/12-1= S/ ,84 Como se puede observar teniendo en cuenta un tiempo equivalente, se desconoce el valor de la tasa efectiva mensual. 2) Se deposita en un banco S/ durante 15 meses a una TEA del 14,5%. Determinar el monto y los intereses ganados. Va = S/ n = 15 meses i = TEA = 14,5% = 0,145 i m = TEM = (1+0,145) 30/360 1 = 1, =0, ó 1,1347% Vf = Va(1+i) n = (1+0, ) 15 = S/ ,99 I=Vf Va= , = S/ ,99 3) Una empresa metal mecánica accede a un préstamo por S/ , para ser devueltos en 30 semanas, a una TEM del 1,38%. Determinar el monto de este préstamo. Va = S/ n = 30 semanas i = TEM = 1,38% = 0,0138 TESemanal = (1,0138) 7/30 1 = 1, = 0, ó 0,3203% Vf = Va(1+i) n = (1+0, ) 30 = S/ ,11 4) Una confeccionista ropa para damas ahorra S/ durante ocho quincenas, a una TET del 3,9%. Calcular la cantidad entregada por la entidad financiera al final de plazo. 14

15 Va = S/ n = 8 quincenas i = TET = 3,9% = 0,039 TEQ = (1+0,039) 15/90-1 = 1, = 0, = 0,6396% Vf = Va(1+i) n = (1+0, ) 8 = S/ ,57 5) Un cliente de una entidad financiera deposita S/ , el 04 de abril y retira su dinero el 20 de octubre, a una TEA del 11,85%. Determinar el monto. V a = S/ n = Del 04 de abril al 20 de octubre = 199 días i = TEA = 11,85% = 0,1185 TED = (1,1185) 1/360 1 = 1, =0, ó 0,0311% Vf = Va(1+i) = (1+0, ) = S/ ,05 PROBLEMAS 1) Si tenemos una TEA de 20,5% calcular las siguientes tasas: a) TEM b) TEB c) TET d) TEQ e) TED 2) Una entidad financiera tiene programada para sus depósitos una TEM del 1,48%, determinar las siguientes tasas: a) TEA b) TESemanal c) TEsemestral d) TED e) TEB 3) Determinar el monto y el interés al final de seis meses de S/ , invertidos a una TEA del 29%. 4) Se invierte S/ a una TEM del 1,5% por 2 años. Cuál es la cantidad acumulada al término de ese tiempo? A cuánto asciende el interés? 5) El Banco Adef, ofrece una TEA del 8.75% y en su avisos publicitarios señala que se pagaran los intereses cada 25 días. Si se invierten S/ cuál será el monto a los dos años? 6) El anuncio de una Caja Rural señala que por los depósitos en moneda nacional gana intereses a una TEA del 12,7%. Encontrar el monto para un depósito de S/ durante 3 años. 7) Un comerciante decide invertir parte de sus ganancias por 300 días, la entidad financiera le ofrece una TEA del 6.5%. Cuánto habrá obtenido al final del periodo si invierte S/ ? 8) Luis ingresa a la universidad cuando tenía 16 años, motivo por lo que sus padres deciden abrir una cuenta en el Banco Akai depositando S/ , dinero que no podrá ser retirado hasta que concluya su carrera profesional. Luis culmino su carrera a los 21 años, el banco concedió una TEM del 1,255%. Determinar el monto obtenido. 9) Un comerciante de abarrotes está indeciso sobre donde depositar sus ganancias que ascienden a S/ por el término de 14 meses. Tiene dos alternativas: el banco Puerto paga una TEA del 5,25% y abona los intereses cada semana; el banco Faro paga una TEA del 5,25% y abona los intereses cada día. Determinar cuál es la mejor opción. 15

16 10) Por una inversión de S/ se ofrece una TEQ del 0,048%, si el dinero permanecerá en el banco por espacio de cinco trimestres. Determinar el monto y los intereses. 11) Determinar la TEM y la TEA, si al invertir S/ después de 80 días se recibe S/ ) Un certificado bancario por S/ vencerá en 250 días, cuánto se pagará por este título valor si la rentabilidad debe ser una TEM del 3%. 13) Un capital se colocó durante 15 meses a una TEM del 3%. Calcular el monto total obtenido, si sabemos que al final del 5º mes el valor acumulado era de S/ ) El 18 de mayo un fabricante de camisas compra una máquina industrial por S/ , abonando el 30% al contado y el saldo se cancelará el 18 de diciembre del mismo año a una TEA del 22,75%. Determinar el importe que se abonará al final del plazo. 15) Un panificador tiene una deuda por S/ y firmo un pagaré el 20 de abril cuyo vencimiento será el 20 de noviembre, se establece una TEQ del 1,08%. Determinar el monto que deberá abonar. 16) Un pequeño fabricante de zapatos acude el 17 de marzo y deposita S/ , el banco le informa que las tasas de interés serán TEA de 12% inicialmente; el 20 de junio la tasa será 11,5%; el 14 de julio la tasa será 11%. Si el cliente retira todo su dinero el 28 de agosto. Determinar el monto final. 17) El señor José deposita el 8 de enero S/ a una TEM del 1,52%; el 20 de febrero retira S/ ; el 18 de marzo deposita S/ ; el 20 de abril retira S/ El 20 de mayo cancela su cuenta. Determinar el saldo final. 18) Por un plazo de seis meses se invierte una suma de dinero a una TESemestral del 7%. Pero si se invirtieran S/ más, durante 12 meses a una TET del 5%, se obtendría un monto que superaría al anterior en un 50%. Determinar la cantidad invertida inicialmente y el monto final. TASA REAL: Cuando en una sociedad se genera un proceso inflacionario, la subida incontenible de precios, las tasas de interés se ven afectadas por este proceso de tal manera que es necesario reajustar las mismas tomando en cuenta el índice de inflación, y así poder mantener en parte el poder adquisitivo del dinero. En esta parte estableceremos una fórmula para conocer la tasa real: r: Tasa real i: Tasa efectiva ofrecida ω : Tasa Ejemplos: 1i r 1 1 ω 1) Determinar la tasa real si la tasa que ofrece el banco es 15% anual y la tasa de inflación es 13% anual. i = 15% anual = 0,15 ω = 13% anual = 0,13 1 i 1 0,15 r 1= 1 = 1, =0, =1,7699%, se podría señalar que se 1 ω 1 0,13 mantiene el poder adquisitivo sobre el 1,79%. 16

17 2) Determinar la tasa real, cuando la tasa de inflación es cero y la tasa que ofrece una entidad financiera es 21% anual. i = 21% anual = 0,21 ω = 0 1 i 1 0,21 r 1= 1 1 ω 1 0,00 = 1,21-1=0,21=21%, se mantiene el mismo poder adquisitivo. 3) Calcular la tasa de interés real cuando la tasa de una entidad financiera es 16% y el nivel de inflación es 18%. i = 16% anual = 0,16 ω = 18% anual = 0,18 1 i 1 0,16 r 1= 1 = 0, = - 0, = - 1,69%, pierde el 1,69% de 1 ω 1 0,18 poder adquisitivo, se adquiere: 100% - 1,69% = 98,31% OBSERVACION: En los problemas que implican tomar en cuenta la tasa real, una manera de encontrar la inflación acumulada, es mediante la siguiente expresión: ω a = (1+ ω 1 )(1+ ω 2 )(1+ ω 3 )..(1+ ω k ) -1 Ejemplo: Determinar la tasa de inflación acumulada para, si en los dos primeros meses ha sido 2% por cada mes, en el tercer mes 2,05%; en el cuarto mes 2,08; en el quinto mes 2,09. Para determinar la inflación acumulada usamos la formula respectiva: ω a = (1+ 0,02) 2 (1+ 0,0205)(1+ 0,0208)(1+ 0,0209) -1= 0, =10,606% A continuación veremos la solución de algunos problemas: 1) Se deposito en una entidad financiera S/ , por un plazo de ocho meses, a una TEA del 14%; si la tasa de inflación acumulada hasta el octavo mes es 8,5%. Determinar el monto que se obtiene considerando la inflación. 17

18 Va = S/ n = 8 meses TEA = 14% TEM = (1+0,14) 30/360 1= 1, = 0, = 1,09788% ω = 8,5% = 0,085 Con la tasa efectiva mensual encontraremos el monto sin tomar en cuenta la tasa de inflación: Vf=Va(1+i) n = 4.950(1, ) 8 =S/ ,84 Ahora encontraremos el monto influenciado por la tasa de inflación, para lo cual hallaremos la tasa real,, previamente hallaremos la tasa de interés hasta el octavo mes: Tasa al 8 mes = (1, ) 8 1 = 1, = 0, ó 9,128% 1 i 1 0, r 1 1 0, ó 0,5788% 1 ω 1 0,085 Entonces el monto es: Vf = 4.950(1, ) = 4.978,65 Explique el motivo del incremento del monto 2) Un exportador de espárragos invierte en una entidad S/ , durante cuatro meses a una TEM del 2,32%, además la tasa de inflación para los meses señalados es 1,28; 1,29; 1,30; 1,32 respectivamente. Hallar el monto que recibirá el exportador. Va = S/ n = 4 meses TEM = 2,32% ω a = (1+ 0,0128)(1+ 0,0129)(1+ 0,013)(1+ 0,0132) -1= 0, ó 5,29% Tasa para 4 meses = (1,0232) 4-1 = 0, ó 9,607% La tasa real es : 1 i 1 0, r 1 1 0, ó 4,099% 1 ω 1 0, Veamos los montos sin la tasa de inflación y con está tasa. 18

19 Vf = Va(1+i) n = (1,0232) 4 = ,77 Vf = (1, ) = ,29 PROBLEMAS 1) Se deposita en una caja municipal S/ , por cinco meses a una TEM del 1,98%, si las tasas de inflación en estos cinco meses fueron 0,85%; 0,87%; 0,89%; 0,90% y 0,92%. Determinar el monto. 2) Una asociación de comerciantes invierte por un lapso de 120 días en una cooperativa S/ , a una TET del 2,02%, las tasas de inflación para estos meses son: 1,01%; 1,02%; 1,1% respectivamente. Calcular el monto obtenido. 3) Un empleado decide depositar en un banco S/ para poder adquirir un departamento, durante cinco años, a una TEA del 16%, si la inflación acumulada para estos cinco años es: 9%; 9,2%; 9,35%; 9,4%; 9,48% respectivamente. Determinar el monto de este depósito. 4) Una empresa constructora invierte S/ , durante seis meses, a una TEM del 1,95% en un banco, para los cuatro primeros meses es 1.38% en adelante serán 1,4% y 1,45%. Calcular el monto que se obtiene al final del periodo. 5) El 12 de junio la Empresa CEA, tiene un saldo en el banco de S/ , el 20 de julio deposita S / ; el 14 de setiembre retira S/ Hallar el saldo al 30 de setiembre, sabiendo que la TEM es 1,78% y las tasas de inflación fueron para ese periodo: mayo: 1,68%, junio: 1,75%; julio: 1,82; agosto: 1,91%. ECUACION DE VALOR Es una expresión matemática que representa un contexto financiero, donde se relacionan los flujos con una o más variables, todas ellas afectadas por sus correspondientes factores financieros, bajo una determinada condición. CASOS: 1) Refinanciar deudas. 2) Modificar el número de pagos o depósitos 3) Adelantar o postergar fechas de pago 4) Determinar letras que se giran bajo ciertas condiciones especiales. PROCEDIMIENTO 1) En un diagrama de tiempo-valor se colocan todos los datos proporcionados, y se ubican una o más variables según sea el caso. 2) Se establece analíticamente una equivalencia financiera, es decir, con los datos y variables indicamos la relación que se debe cumplir, ( Qué pide el problema?) 3) Se escoge un punto de referencia temporal, llamado fecha focal, en el cual se reunirán las cantidades involucradas (datos y variables) con sus respectiva tasa de interès. 4) Según lo establecido anteriormente, se plantea la ecuación de valor, y aplicando las operaciones respectivas para la soluciòn de una ecuación obtenemos el resultado final. 19

20 EJEMPLOS: 1) Se solicita un préstamo de S/ con una TEA del 23%, el cual se cancelará con un primer pago de S/ dentro de un mes y dos pagos de igual valor, dentro de dos y cuatro meses, respectivamente. Calcular el valor de dichos pagos. : Ubicamos los datos en un horizonte temporal, luego planteamos la ecuación respectiva Va = S/ TEA = 23% = 0,23 TEM = (1+0,23) 30/360 1 = 0, n = 4 meses Adelanto de S/ en un mes. Dos pagos de igual valor a los dos y cuatro meses = x La fecha focal se ubicará al final del plazo x x De la grafica podemos plantear nuestra ecuación de valor: 4.000(1+0, ) 4 = 1.500(1+0, ) 2 + x(1+0, ) 1 + x 4.285,76 = 1.552,65 + 1, x + x 4.285, ,65 = 2, x 2.733,11 = 2, x 2.733,11 x 2, x 1.354,76 2) Para la cancelación de un préstamo de acuerda abonar un pago de S/. 800 en quince días y otro de S/ en tres meses; estos montos se calcularon con una TEA del 19,5% anual. El deudor desea cancelar la deuda con un solo pago a los 45 días de recibido el préstamo cuánto deberá desembolsar? Va = x (Pago único a los 45 días) Adelanto de S/.800 en 15 días Adelanto de S/ en tres meses o 90 días TEA = 19,5% = 0,195 TED = (1+0,195) 1/360 1 =0,

21 800 x meses Por las condiciones del problema y de la gráfica podemos elegir el final del segundo mes como la fecha focal. Planteamos la ecuación: x(1, ) 15 = 800(1, ) (1, ) -30 1, X = 818, ,31 1, X = 2.000, ,32 X 1.985,52 1, OBSERVACION: En el planteamiento de la ecuación se actualizó el monto que se abonaría al final del tercer mes, hacia la fecha focal ubicada en el 2 mes. PROBLEMAS 1. Una empresa desea refinanciar sus deudas pendientes de pago: S/ dentro de 5 trimestres, S/ dentro de 8 bimestres, S/ dentro de un año y medio. El banco MTQ le propone las siguientes opciones: a) Pagar todo dentro de 1 año; b) Pagar hoy el 25% de la deuda y el resto dentro de 3 semestres. Determine los pagos que deberá hacer la empresa en cualquiera de las opciones, con una TEM del 3% mensual. Fecha focal al final del mes Por la compra de un departamento. Se acuerda pagar anualmente S/ durante 5 años. El comprador considera una segunda posibilidad que consiste en pagar S/ por 4 años a partir del segundo año, y compensar la diferencia con una cuota inicial hoy, si la tasa de interés es una TEA del 13,5% anual. Calcular: a) Cuánto es el valor de contado del departamento? b) Cuánto sería la cuota inicial en la segunda opción? 3. Se compra un artefacto a crédito, cancelable en 6 cuotas mensuales de S/.120. El cliente decide refinanciar el pago de tal manera que pagará 5 cuotas mensuales de S/. 100 y un último aporte el sexto mes. Determinar el monto de esa última cuota considerando para todos los casos una TET del 4,2%. 4. Tres pagos sucesivos de S/ cada trimestre se van a sustituir por un pago único en un año. A una TEB del 3%. Determinar el pago único. 5. El gerente financiero de una empresa revisa sus deudas a futuro y encuentra los siguientes compromisos adquiridos: a) S/ dentro de 4 meses al 1,3% bimestral; b) S/ dentro de 2 trimestres y medio al 2,5% semestral; c) S/ dentro de 7 meses al 1,7% trimestral. Luego de un análisis financiero, sugiere al directorio realizar un único pago dentro de 5 meses. Determinar este pago si se considerò una TEA del 22%. 6. Un cliente del banco BC desea pagar un crédito por S/ , adquirido para cancelarlo en 5 bimestres, con dos pagos iguales: uno dentro de 3 meses y otro dentro de 8 meses. Calcule el monto de dichos pagos considerando una TEA del 25%. 7. Un tractor que cuesta S/ se paga con 4 cuotas semestrales, las tres primeras de S/ cada una y la cuarta cuota por el saldo. Determinar el valor del saldo considerando una TEB del 2,7% bimestral. 21

22 8. Un cliente de BANDESCO conviene pagar 3 cuotas semestrales de S/ cada una. Paga una de las cuotas y dos meses después decide pagar S/ Si se considera una tasa semestral del 9%, calcule el monto del último pago. 9. Una letra de cambio está firmada por S/ con vencimiento para el 22 de Octubre. El girador de la misma desea hacerla efectiva el 4 de Septiembre del mismo año y acude a BANPECO que le cobrará una TEA del 25%. Determinar el importe que recibirá por la letra de cambio, además el banco cobra un 1,5% de comisión sobre el valor nominal de la letra. 10. Un pequeño confeccionista de calzado ha contraído una deuda por S/ , cancelable en 5 meses a una tasa de interés del 4% bimestral. Por razones personales se ve imposibilitado de hacer ese pago en la fecha acordada y solicita a BANCOPER un refinanciamiento que consiste en un pago de S/ dentro de 3 meses y el resto en un año. Determine el pago que hará en ese momento si el banco aplica una TEA del 28%. 11. Cierta empresa solicita un préstamo a una institución financiera que cobra un interés del 17% semestral. Se acuerda el pago en tres partes iguales de S/ cada una dentro de uno, dos y tres semestres respectivamente. La empresa decide que prefiere hacer un solo pago por S/ Cuánto es el monto del préstamo? 12. La Compañía MT firma 3 letras: Una por S/ a 90 días, otra por S/ a 120 días y la última a 165 días por S/ Esta Compañía desea liquidar toda su deuda con un solo pago dentro de 140 días. Cuánto deberá ser el monto de ese pago con una TEA del 27,5%? 13. Una empresa tiene dos deudas: La primera por S/ para ser pagada en 45 días al 3,9% trimestral y la segunda por S/ con vencimiento a 70 días al 1,1% mensual. Se renegocia la deuda en un solo pago cancelable en un trimestre a una TEA del 19%. Determine el monto del pago. 14. Un cliente del banco INDUSTRIAL debe S/ con vencimiento en 4 meses y S/ con vencimiento en 6 meses. Si desea saldar la deuda con un pago único hoy a una TEA del 5% anual, Cuánto deberá pagar? 15. Una empresa tiene una serie de deudas con el banco B&C al 4 % anual, Con qué pagos iguales al final de un año y al final de tres años es posible reemplazar las siguientes obligaciones, que se tienen hoy: S/ con vencimiento en tres años y S/ con vencimiento en seis años? NOTA: Considerar la fecha focal al final del período, salvo se indique lo contrario. SESIONES 7-9 APLICACIONES DE LA TASA EFECTIVA EN EL CÁLCULO DE INTERESES ADELANTADOS El cobro de interés adelantado en nuestro medio está relacionado directamente con la posibilidad de hacer efectivo un título valor antes de su vencimiento en tal sentido las instituciones financiera establecerán una tasa de interés originando un descuento al título valor. Para el desarrollo de la presente sesión debemos considerar lo siguiente: VALOR NOMINAL: Es la cantidad en unidades monetarias que se fija en el título valor VALOR LIQUIDO: Cantidad que la entidad financiera adelantará en efectivo antes el vencimiento del título valor. DESCUENTO: Es el interés que la entidad financiera cobrará por adelantado al girador del título valor, mediante una tasa efectiva de descuento. Además la entidad financiera de ser el caso fijara una comisión; gastos de envío o notariales; así como una tasa compensatoria y compensatoria de ser el caso. 22

23 La siguiente formula nos permitirá conocer el descuento: D=Vf [1- (1+I) -n ] D Vf1 1 1 i Ejemplos: 1) Una letra por S/ , que vencerá en 60 días se presenta al descuento, el banco establece una TEA del 25%, además cobra una comisión del 0,02% sobre el valor nominal del título valor y gastos por S/ Determina el descuento asi como el abono en cuenta corriente del girador del documento. Vf = S/ n = 60 días TEA = 25% = 0,25 TED = (1,25) 1/360 1 = 0, Comisión del 0,02% (9.600) = 192 Gastos = S/. 300 D = 9600[1-(1, ) -60 ] = 350,47 Abono en cuenta corriente: (350, ) = S/ ,53 2) Un pagaré por S/ vence en 80 días, presentado al descuento, la entidad financiera cobrará un interés adelantado mediante una TET del 1,5%, los gastos son de S/.180; además de una comisión del 0,04% sobre el valor nominal del título valor. Calcular cuánto se depositará en la cuenta corriente del girador. Vf = S/ n = 80 días TET = 4,15% = 0,0415 TED = (1,0415) 1/90 1 = 0, Comisión del 1,5% (17.500) = S/. 262,50 Gastos = S/. 180 D = [1-(1, ) -80 ] = 621,22 Abono en cuenta corriente: (621, , ) = S/ ,28 23

24 PROBLEMAS 1) Un exportador presenta al descuento una letra por S/ , la tasa que el banco establece es una TEA del 28%, además los gastos son el 1,85% del valor nominal y S/.200 de gastos. Calcular el abono que se le hará en cuenta corriente. 2) El banco recibe un título valor por S/ , que vence en 100 días, además el banco establece una TEQ del 3,62%, y cobrara una comisión del 2,75% sobre el valor nominal y gastos por S/ Determinar cuánto depositará el banco en cuenta corriente. 3) Se negocia un título valor cuyo nominal es S/ , 180 días antes del vencimiento, a una TEB del 1,85%, además los gastos son S/.450 y la comisión del banco es 3,45% sobre el valor nominal. Calcular el abono en cuenta corriente. 4) Un pagaré se presenta al descuento el 16 de enero y el depósito en cuenta corriente del valor líquido será el 20 de enero, el documento vence el 20 de abril, la tasa que el banco fija es una TEA del 28,5%, los gastos son S/. 190 y la comisión es 1,95% sobre el valor nominal. 5) Una letra que se giro el 6 de abril por S/ se paga el 27 de mayo, esta obligación vencía en 45 días, el banco cobra un interés moratorio del 32% anual, además una comisión del 1,28% sobre el valor nominal y gastos notariales de S/ Determinar la liquidación final del título valor. SESIONES RENTAS Y ANUALIDADES Cuando en una operación financiera para iguales periodos de tiempo se presenta igual flujo de dinero, estamos ante el concepto de RENTA o ANUALIDAD, donde la tasa de interés es constante. Va P P P Vf OBSERVACIONES: Ampliamos esta idea señalando lo siguiente: Para la aplicación de una formula se debe tener presente que las unidades debe ser las mismas entre tasa de interés; el tiempo y los periodos. ANUALIDAD CONOCIDA; Se sabe el inicio y el final del plazo. Por ejemplo: La compra de un artefacto a crédito en 18 meses. ANUALIDAD TEMPORAL: El inicio y el final depende de una eventualidad. Por ejemplo el pago mensual por un seguro de vida. ANUALIDAD ANTICIPADA: Los pagos se efectúan al inicio de cada periodo. Por ejemplo el alquile de un departamento. ANUALIDAD VENCIDA: Los pagos se realizan al final de cada periodo. Por ejemplo el pago por llamadas telefónicas. ANUALIDAD DIFERIDA: El primer pago se efectúa luego de un plazo convenido, se le suele denominar periodo de gracia. Por ejemplo se compra a crédito el mes de marzo y la primera cuota se paga en el mes de junio. ANUALIDAD PERPETUA: Es aquella que tiene un número de pagos indeterminado como algunos proyectos de inversión. 24

25 Veamos las formulas que nos permitirán resolver los problemas respectivos. n 1 i 1 Vf P i Esta fórmula sirve para hallar un futuro dado un flujo o renta fija n 1 i 1 Al factor se le denomina FSC (factor simple de capitalización ) i i P Vf 1 i n 1 Esta fórmula permite hallar la renta fija dado un futuro o monto. i Al factor se le denomina FDFA (factor de depósito a un fondo de n 1 i 1 amortización. n 1 i 1 Va P i(1 i) n La presente fórmula permite encontrar el valor actual dado una renta o cuota fija n 1 i 1 El factor se denomina FAS (factor de actualización de la serie) i(1 i) n i(1 i) n P Va 1i n 1 Esta fórmula permitirá encontrar el valor presente dado una renta o cuota fija. i(1 i) n El factor se denomina FRC (factor de recuperación del capital) 1 i n 1 Veamos algunos ejemplos : 1) Con la finalidad de tener un fondo en dos años se deposita S/. 350 cada fin de mes, en el banco IDEAL, a una TEA del 14,8%. Determinar el monto que se obtendrá. 25

26 Vf =? P = S/. 350 n = 2 años = 2(12) = 24 depósitos mensuales i=tea = 14,8% = 0,148 i=tem = (1,148) 30/360 1 = 0, Vf 24 1, , = S/ ,32 0, , NOTA: Como pueden observar el factor correspondiente se ha tomado con la totalidad de decimales que aparecen en la calculadora, es preferible para evitar cualquier controversia. En los siguientes problemas pasaremos directamente al resultado. 2) Una asociación de vivienda con la finalidad de comprar un terreno decide depositar en el banco CRECER, S/ cada fin de trimestre durante tres años, a una TEB del 2,89%. Calcular cuánto habrá acumulado la asociación al final del tercer año. Vf =? P = S/ n = 3 años = 3(4) = 12 depósitos trimestrales i = TEB = 2,89% = 0,0289 i = TET = (1,0289) 90/60-1 = 0, , Vf S/ ,25 0, ) Para adquirir un artefacto eléctrico la señora Fiorella, deposita en una Caja Municipal S/. 20 semanal durante un año, a una TEM del 2,72%. Determinar el monto que la Caja Municipal entregará a la señora Fiorella. Vf =? P = S/. 20 n = 1 año = 52 semanas i = TEM = 2,72% = 0,0272 i = TESemanal = (1,0272) 7/30-1=0, , Vf 20 S/ ,45 0,

27 4) Una empresa desea poder reunir en dos años y medio S/ , para lo cual acude al Banco Laredo, para es fin tienen programada una TESemestral del 3,28%. Determinar cuánto deberán depositar cada fin de mes. P =? Vf = S/ n = 2 años y medio = 2,5(12) = 30 meses i = TESemestral = 3,28% = 0,0328 i = TEM = (1,0328) 30/180-1 = 0, , P = S/ , , ) El señor Pabel desea adquirir un automóvil, que tiene un precio de S/ , está pensando realizar depósitos cada fin de quincena en el Banco Boreal, le informan que la TEA es 18,4%. Decide ahorrar por espacio de tres años. Cuánto será el depósito quincenal? P =? Vf = S/ n = 3 años = 3(24) = 72 quincenas TEA = 18,4% = 0,184 TEQ = (1,184) 15/360 1= 0, , P = S/. 128, , ) Por la compra de un departamento se pagará S/. 650 cada fin de mes, por espacio de 10 años, las cuotas fueron calculadas por la entidad financiera con una TEA del 32,82%. Calcular el precio al contado del departamento. En este problema nos dan la cuota y nos piden el presente, por lo tanto haremos uso de la formula que nos permite hallar un presente dada una renta o cuota fija Va =? P = S/. 650 n = 10 años = 10(12) = 120 meses TEA = 32,82% = 0,3282 TEM = (1,3282) 30/360-1 = 0,

28 120 1, Va 650 = S/ , , (1, ) 7) Por la adquisición de un tractor una empresa debe pagar S/. 800, durante 5 años, las cuota fueron calculadas tomando en cuenta una TEA del 9,87%. Determinar el precio de contado del tractor: Va =? P = S/. n = 5 años = 5(12) = 60 meses TEA = 9,87% = 0,0987 TEM = (1,0987) 30/360-1 = 0, , Va 800 = S/ , , (1, ) 8) La señorita Natalia, adquiere un departamento abonando una cuota inicial de S/.6.500, y durante 12 años deberá abonar cada fin de mes S/.750, para determinar la cuota se tomo una TET del 4,85%. Determinar el precio al contado del departamento. Va =? P = S/. 750 CI = S/ n = 12 años = (12)(12) = 144 meses TET = 4,85% = 0,0485 TEM = (1,0485) 30/90 1 = 0, , Va 750 = S/ , , (1, ) Al precio de contado le agregamos la cuota inicial y tenemos: S/ ,43 + S/ = S/ ,43 9) Un estudiante dese adquirir una PC, acude a una tienda comercial, le informan que el precio al contado es S/ , solicita un crédito a 3 años con pagos cada fin de mes, al calcular la cuota la tienda considera una TEA del 28%. Determinar el valor de la cuota. P =? Va = S/ n = 3 años = 3(12) = 36 meses TEA = 28% = 0,28 TEM= (1,28) 30/360-1 = 0,

29 0, (1, ) 36 P = S/. 77, , ) La señora Romina desea adquirir un televisor LCD cuyo precio de contado es S/ , utiliza su tarjeta de crédito para cancelar el artefacto en dos años, la entidad financiera establece una TEA del 34%, a la cuota se le debe agregar S/.12 por mantenimiento de tarjeta y 0,05% de ITF. Calcular el valor de la cuota. P =? Va = S/ n = 2 años = 2(12) = 24 meses. Mantenimiento = S/.12 ITF = 0,05% TEA = 34% = 0,34 TEM= (1,34) 30/360 1 = 0, , (1, ) 24 P = S/. 195, , A esta cuota debemos agregar el mantenimiento de tarjeta y el ITF S/. 195,02 + S/ (0,05%*195,02) = S/.207,11 PROBLEMAS 1. Eduardo durante dos años, al final de cada bimestre S/. 600 en una entidad financiera a una TEA del 35%l, determinar la cantidad de dinero que obtendrá Eduardo al final del segundo año. 2. Una ama de casa compra una lavadora con un cuota inicial de S/. 400 y 24 cuotas mensuales de S/. 65, con una TEA del 36%. Determinar el precio de contado del artefacto eléctrico. 3. Determinar el valor futuro y presente para las siguientes rentas: S/.450 mensuales durante 5 años a una TEB del 2,05%. S/. 185 quincenales durante año y medio, a una TESemanal del 0,085%. 4. Determinar el valor al contado de una propiedad por la que se abona S/ de inicial y durante dos años y medio se abonará cada fin de mes S/ Determinar el precio al contado de un artefacto por el que se paga un cuota inicial de S/ y durante dos años y medio se paga cada fin de mes S/.460 y un último pago de S/ La entidad financiera consideró una TEQ del 1,038%. 6. Una empresa tiene previsto invertir durante 10 años estimando un ingreso de S/ cada fin de año, determinar el valor presente de estos ingresos si se considera una tasa efectiva semanal del 0,078%. 7. Una asociación de comerciantes aspiran a tener su galería en 8 años para lo cual deposita cada fin de mes S/ durante los cinco primeros años, luego de estos cinco años el depósito aumenta a S/ , el banco consideró una TEA del 21,5%. Calcular la cantidad que recibirán al final del plazo. 8. Un cliente del Banco Fania, deposita S/. 150 cada fin de mes durante 15 años, para lo cual el banco otorga una TET del 3,05% Qué monto habrá obtenido? 29

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