APLICACIONES DE LA INTEGRAL ( ( ) ( )) A = f x g x dx EJERCICIOS: 5) Calcular el área de la región limitada por las líneas y = xln(x), y = x.

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL Si R es la región limitada por las líneas y f() y y g(), con f() g(), entre a y b, el área de R viene dada por la integral A: b a ( ( ) ( )) A f g EJERCICIOS: ) Calcular el área de la región limitada por la curva y, el eje X, en el intervalo [0,]. ) Calcular el área de la región limitada por la curva y, el eje X, en el intervalo [0,4]. 3) Calcular el área limitada por las curvas y +, + y. 4) Calcular el área de la región limitada por las líneas y, y -. 5) Calcular el área de la región limitada por las líneas y ln(), y. 6) Calcular el área de la región limitada por los ejes coordenados y la línea y +. 7) Calcular el área de la región limitada por la línea y - ln() 0, el eje X, en el intervalo [a,b], donde a es el intercepto con el eje X y b es la abscisa del punto máimo. 8) Calcular el área de la región limitada por las líneas y e, y e -,. ln( ) 9) La función y presenta un punto máimo y un punto de infleión. Calcular el área bajo la curva, sobre el eje X y entre los dos puntos críticos nombrados. 0) Hallar el área bajo la curva y log(), sobre el eje X, en el intervalo [,5]. ) Hallar el área bajo y e -, sobre el eje X y limitada por las abscisas de los máimos y mínimos de la función. ) Hallar el área encerrada por la línea y e -, sobre el eje X, desde 0 hasta el máimo de la función. 3) Calcular el área de la región limitada por la curva 4 + 9y

2 4) Calcular el área limitada por la curva y 4 4, el eje X, desde 0 hasta 3/. 5) Hallar el área de la región limitada por el folio de la curva y ( - ). 6) Hallar el área de la región limitada por las líneas y a, y - a 0, ay - 0, a. 7) Hallar el área de la región limitada por las líneas y, y +. 8) Hallar el área de la región limitada por la línea y, el eje X, entre sus dos valores + etremos. 9) Calcular el área de la región limitada por las líneas y +, y -. 0) Determinar el área de la región limitada por la curva y ( ln() ), el eje X y las ordenadas, e. - -

3 Sea R la región limitada por las líneas y f() y y g(), con f() g(), entre a y b. Entonces el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar R alrededor del eje X viene dada por la integral V π ( ) b f () g (). a Si R es la región limitada por las líneas f(y) y g(y), con f(y) g(y), entre y c y y d. Entonces el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar R alrededor del eje Y viene dada por la integral V π ( ) d f (y) g (y). c Sea R es la región limitada por la curva y f(), el eje X, las rectas a y b, f() 0, a 0. Entonces el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar R alrededor del eje Y viene dada por la integral 3 b π V f(). a EJERCICIOS: ) Sea R la región limitada por las líneas y r, eje X, 0, h. Hallar el volumen del cilindro obtenido al girar R alrededor del eje X. ) Sea R la región limitada por las líneas y r, y r, 0, h. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje X. 3) Sea R la región limitada por las líneas ry h, eje X, 0, r. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor de la recta r. 4) Sea R la región limitada por las líneas y +, eje X, 0,. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje X. 5) Hallar el volumen de cono truncado de altura h y radios de las bases iguales a r y R. 6) Sea R la región limitada por las líneas y r y el eje X. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) del eje X; (b) del eje Y. 7) Sea R la región limitada por las líneas y Sen(), eje X, 0, π. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje X. 8) Sea R la región limitada por las líneas y, eje X, 0, 4. Hallar el volumen del cilindro obtenido al girar R alrededor de: (a) el eje X; (b) el eje Y. 9) Sea R la región limitada por las líneas y y y 4. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) del eje X; (b) del eje Y; (c) de la recta

4 0) Sea R la región limitada por encima por la línea y 4 y por debajo por la línea y. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor de (a) eje X; (b) eje Y. ) Sea R la región limitada por la línea b + a y a b. Hallar el volumen del elipsoide obtenido al girar R alrededor del eje X. ) Una esfera de aluminio de radio r es perforada de polo a polo por un taladro de radio r. Calcular el volumen del material removido. 3) Sea R la región limitada por las líneas (-4) + (y-5) 4. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor de: (a) el eje X; (b) la recta -; (c) la recta y -; (d) de la recta y 8. 4) Sea R la región limitada por las líneas y 4+, y 6. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) del eje X; (b) del eje Y. 5) Sea R la región limitada por las líneas y + 4, y 4. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje Y. 6) Sea R la región limitada por las líneas y, (y + ). Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje Y. 7) Sea R la región limitada por las líneas + y, eje X, -,. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) del eje X; (b) de la recta y -. 8) Sea R la región limitada por las líneas +y 4, (y-) + 4. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) de la recta y; (b) de la recta y 3. 9) Sea R la región limitada por las líneas y + 3 6, 4y + 3, eje X. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor de: (a) el eje X; (b) el eje Y ; (c) la recta y -. 0) Sea R la región limitada por las líneas y -, y 3-6, eje Y. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor: (a) del eje Y; (b) del eje X; (c) de la recta -. ) Sea R la región limitada por la línea /3 + y /3 a /3. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor : (a) del eje X; (b) del eje Y. ) Sea R la región limitada por la línea y 7 3, eje Y, y m, donde m es la ordenada del punto máimo de y 7 3. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor de: (a) el eje Y; (b) el eje X. 3) Sea R la región limitada por y Tan (), eje Y, recta y π/4. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar R alrededor del eje Y

5 Sean P(a,f(a)) y Q(b,f(b)) dos puntos sobre la línea y f(). La longitud de la curva comprendida entre P y Q viene dado por la integral L ; Si la ecuación está dada en forma paramétrica, la longitud viene dada por la integral L. b ( ) ; ( ) + ( ) L + f () a t L dt t EJERCICIOS: ) Calcular la longitud del arco de la curva y ln(), desde hasta 4. ) Calcular la longitud del arco de la curva y, desde 0 hasta. 3) Calcular la longitud del arco de la curva y 3, desde 8 hasta 7. 4) Calcular la longitud del arco de la curva y ln(sen), desde π/6 hasta π/3. 5) Calcular la longitud del arco de la curva y Sen(), desde 0 hasta π/ 6) Calcular la longitud del arco de la curva y 4, desde 0 hasta. 7) Calcular la longitud del arco de la curva hipocicloide astroide /3 + y /3 4. 8) Calcular la longitud del arco de la curva e y (e + )/(e - ), desde hasta. 9) Calcular la longitud del arco de la curva y (/3 - / ), desde 0 hasta. 0) Calcular la longitud del arco de la curva 4y - ln( ), dentro del intervalo [,4]. ) Calcular la longitud del arco de la curva y ln(sec()), desde π/6 hasta π/3. ) Calcular la longitud del arco de la curva + y, cortada por los ejes coordenados. 3) Calcular la longitud del arco de la curva 6y 4 + 3, desde hasta 4. 4) Calcular la longitud del arco de la curva cicloide a( - Cost ), y a( t - Sent ). 5) Calcular la longitud del arco de la curva y, desde 0 hasta 6) Calcular la longitud del arco de la curva hipocicloide astroide acos 3 t, y asen 3 t. 7) Calcular la longitud del arco de la curva y - t, 4 + t, desde t 0 hasta t. 8) Calcular la longitud del arco de la curva y ln(t ), t, desde t hasta t. 9) Calcular la longitud del arco de la curva y Arctan(t), ln ( + t ), desde t 0, hasta t. 0) Calcular la longitud del arco de la curva y ArcSen(e - ), dentro del intervalo [0,ln(5/4)]

6 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por separación de variables, o mediante una sustitución adecuada, cuando sea necesario: ) y + ) + y ysen( ) 3) y ) Sec ( y) + Sen( y) Sen( + y) 5) y + 3 y 3 y + 4y 8 6) y + y y 3y ) 7) ( ) y y y y 9) y ; con y()0 0) + y + + y + ) ( ) ) Tan ( + y) 3) y 4) + y y 5) y 3 + y 6) + y 6 y 7) + 3y 3 + y 8) y + y y 9) ( + + y + y ) y 0) Sen( ) ( e + ) ( + Cos( ) ) - 6 -

7 ) Lím n n+ n+ n π π π (n-)π ) Lím Sen +Sen +...+Sen n n n n 3) Lím n - 4n - 4n -n 3 n n n n 4) Lím n n+3 n+6 n+9 n+3(n-) 5) 6) 7) 8) n Lím n n n n n Lím 3 4 n π π π (n-)π Lím +Cos +Cos +...+Cos n n n n n n n Lím n (n+) (n+) (n+n) n n! 9) A Lím n n n n n 0) Lím n+ n+ n+ n n- ) Lím n n n n n n ) Lím n + n + n +n - 7 -

8 ) Obtener la serie de Taylor de la función f() Sen() alrededor de a0. a) Obtener la serie de Taylor de f() Sen( ) alrededor de a0. b) Calcule la integral Sen( ) 0 ) Obtener la serie de Taylor de la función f() Cos() alrededor de a0. a) Obtener la serie de Taylor de f() Cos( ) alrededor de a0. b) Calcule la integral Cos( ) 0 3) Obtener la serie de Taylor de la función f() e alrededor de a0. a) Obtener la serie de Taylor de f() b) Calcule la integral e e alrededor de a0. 4) Obtener la serie de Taylor de la función f() Sen() alrededor de a0. a) Obtener la serie de Taylor de f() Sen() alrededor de a0. π / Sen() b) Calcule la integral 0 5) Obtener la serie de Taylor de la función f() e alrededor de a0. e a) Obtener la serie de Taylor de f() alrededor de a0. 3 e b) Calcule la integral - 8 -