Experimento Aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando se repita bajo las mismas condiciones.

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1 CAPITULO II PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD El termino probabilidad está asociado con el estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre El objetivo es tratar de asociar a uno o varios resultados de un eperimento una medida de la posibilidad de ocurrencia de dichos resultados Eperimento Aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando se repita bajo las mismas condiciones Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un eperimento aleatorio Se denota S Un Evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados de un espacio Muestral S (simples y compuestos) Ejemplos: -Lanzamiento de una moneda no cargada S { c,s} ó S { cara, sello} - Lanzamiento de un dado no cargado, S {,, 3, 4, 5, 6} - Medición del tiempo de duración de una batería en horas, S { 0, } + - Se selecciona al azar tres artículos de la producción diaria de una empresa Cada artículo se clasifica como defectuoso ( D) ó No defectuoso ( N ) Así S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD { } - Lanzamiento de dos dados no cargados S (,)(, ),,( 6,5)( 6,6) Sean los siguientes eventos A { } A : El resultado es cara { C} B : El resultado del lanzamiento del dado es par B {,4,6} C : La bombilla dura menos de 000 horas C [ 0, 000) D: Solo un artículo es defectuoso D { NDD, DND, DDN} E : La suma de los resultados al lanzar dos dados es siete ( 7) E {(,6)(,5)( 3,4)( 4,3)( 5,)( 6,) } - De la producción diaria de una empresa se eaminan al azar artículos hasta encontrar el primero defectuoso S D, ND, NND, NNND, NNNND, Si D : denota defectuoso y N : No defectuoso entonces { } Sea F : el número de artículos no defectuosos antes de un primer defectuoso es par F NND, NNNND, { } Ejemplo: Se toman al azar tres artículos de un gran lote Cada artículo es clasificado como defectuoso D, o no- defectuoso N El espacio Muestral para este eperimento es: S { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, NDD, DDD}

2 Sea E el evento dado por el conjunto de resultados en los cuales al menos dos artículos son defectuosos: E { NDD, DDN, DND, DDD} Sea E el evento dado por todos los resultados en los cuales los tres artículos son defectuosos DDD E { } Debido a que los eventos son finalmente subconjuntos de un conjunto mayor, las operaciones entre conjuntos se aplican a los eventos (unión, intersección, complemento, entre otras) Ejemplo: Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el acabado de la superficie (en micro pulgadas) y con las mediciones de longitud Se presenta un resumen de los resultados obtenidos con 00 muestras Longitud Ecelente Bueno Acabado Ecelente 75 7 Superficie Bueno 0 8 Considere los siguientes eventos: A : La muestra tiene acabado ecelente B : La muestra tiene longitud ecelente Determine el numero de muestras en: A, B, A, B, A B, A B, A B, A B Grafique en un diagrama de Venn #A 85 #B 7 #A B 9 #A B 75 #A 8 #B 5 #A B 0 #A B 5 Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S Se dice que A y B ecluyentes o Disjuntos si A B (Vacío es un evento de S ) En general si E,E,, E n eventos de S, se dicen mutuamente disjuntos o ecluyentes si E E, i j i j Ejemplo: Se lanza un dado no cargado El espacio Muestral para este eperimento es S {,, 3, 4, 5, 6} Defina los siguientes eventos: E : El resultado es un número par E : El resultado es un número primo E 3 : El resultado es un número impar Identifique los eventos Cuál par de ellos son ecluyentes? Son los tres eventos mutuamente ecluyentes?

3 Solución: E {, 4, 6},E {, 3, 5},E 3 {, 3, 5} E E { },E E { },E E { 3, 5} 3 3 E y E 3 son ecluyentes, pero E,E y E 3 no son mutuamente ecluyentes, aunque E E E 3 Ejercicios propuestos Capitulo, -, -9, -0, -4, -, -4 Técnicas de conteo: En algunos eperimentos no es fácil enumerar todos los posibles resultados de este Se hace necesario entonces proponer métodos que permitan el conteo de dichos resultados Ejercicio: Se selecciona al azar un vehículo en cierta ciudad Si todas las letras de la placa del vehículo son diferentes, Cuántos autos tienen la misma característica? Cuántos autos tienen placas con todos sus dígitos impares? Ejercicio: Se lanzan 0 monedas no cargadas, Cuántos posibles resultados tienen solo tres caras? Ejercicio: Se seleccionan al azar tres personas de un grupo por 0 obreros, 4 pintores y 6 carpinteros Cuántos grupos diferentes conformados por un obrero, un pintor y un carpintero se pueden formar? Regla multiplicativa: Si una operación puede describirse como una secuencia de k pasos donde el número de maneras de completar el paso es n, para cada manera de completar el paso eisten n maneras de completar el paso, y así sucesivamente, entonces el número total de formas de completar la operación es k i n i Ejemplo: En una operación de manufactura se produce una pieza con operaciones de maquinado, pulido y pintado Eisten tres herramientas para maquinado, cuatro para pulido y tres para el pintado Cuantas rutas distintas (maquinado pulido - pintura) son posibles para fabricar una pieza? Solución: # Formas de operaciones de maquinado: 3 # Operaciones de pulido : 4 # Operaciones de pintado : 3 # Rutas diferentes: Ejemplo: En Colombia las placas de los automóviles constan de tres letras y tres números Cuántas placas diferentes se pueden tener? Cuántas con los dígitos pares? Cuántas con todas las letras diferentes? Cuántas con todas las letras y números diferentes? Solución: Placas diferentes:

4 Placas con dígitos pares: diferentes: Placas con letras Placas con letras y números diferentes: Permutaciones: Una permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de objetos El número de permutaciones (acomodos) de n elementos diferentes es n! n! n n n El numero de permutaciones (acomodos) de r elementos seleccionados de un conjunto de n n elementos distintos se denota Pr y n n! Pr n( n )( n ) ( n r + ) n r! Ejemplo: Juan, Carlos, Ana, y Milena esperan en la parada del autobús De cuantas maneras se pueden filar para subir al bus? Si solo hay puesto para dos, De cuantas maneras se pueden organizar ellos en los primeros dos lugares? Solución: Usemos las iniciales para mayor facilidad: JCAM # Formas en que se pueden filar: 4! 4 4 4! # Formas en que se pueden acomodar en dos lugares: P! El número de acomodos de n n + n + + n k objetos de los cuales n son del tipo, n del tipo dos, del tipo k, es: P n n,,n k n k n! n!n!n! k son Ejemplo: Una pieza se etiqueta usando 4 líneas delgadas, tres líneas medianas y dos líneas gruesas Si cada ordenamiento de las nueve líneas representa una etiqueta diferente Cuántas etiquetas distintas pueden generarse con este esquema? 9 9! P 43,, 60 Solución: # de etiquetas diferentes 43!!! El numero de subconjuntos de tamaño r distintos, que pueden seleccionarse de un conjunto de n n n n n P elementos, se denota ó C r ó nc r y r n! r r r! ( n r )!r!

5 n n n n Propiedades: n 0! ; 0 n n Ejemplo: De una baraja de 5 cartas se etraen al azar dos cartas y sin reemplazo Cuántas muestras de dos cartas contienen un As y un dos? Cuántas muestras contienen un diez y una figura? Cuántas muestras contienen dos figuras? Solución: Defina los siguientes eventos: A: La carta etraída es un As; D: La carta etraída es un dos F: La carta etraída es una figura; T: La carta etraída es un diez 4 a) Maneras de etraer un As de 4 posibles: 4 Maneras de etraer un dos de 4 posibles: 4 4 Maneras de etraer un AS y un dos: 6 b) Maneras de etraer un diez y una figura: 4 48 c) Maneras de etraer dos figuras de posibles: 66 Ejercicios propuestos: - El pedido de una computadora personal digital puede especificar uno de cinco tamaños de memoria, cualquier tipo de monitor de tres posibles, cualquier tamaño de disco duro de entre cuatro posibles, y puede incluir o no una tableta para lápiz electrónico Cuántos sistemas distintos pueden ordenarse? - Un proceso de manufactura está formado por 0 operaciones, las cuales pueden efectuarse en cualquier orden Cuántas secuencias de producción distintas son posibles? - Un proceso de manufactura está formado por 0 operaciones Sin embargo, cinco de ellas deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco Dentro de cada conjunto de cinco, las operaciones pueden efectuarse en cualquier orden Cuál es el número de secuencias de operaciones distintas posible? - Se inspecciona un lote de 40 chips mediante la selección de una muestra de cinco de ellos Suponga que 0 chips no cumplen con los requerimientos del cliente a Cuál es el número de muestras distintas posibles? b Cuántas muestras de cinco contienen eactamente un chip que no cumple con los requerimientos? c Cuántas muestras de cinco contienen al menos un chip que no cumple con los requerimientos?

6 - El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas: a Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar un área geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9? b Al igual que en el inciso a), Cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse de modo que el primer dígito no sea 0 ni, y el segundo sea 0 o? c Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparece más de una vez en cada prefijo? Probabilidad y Aiomas de Probabilidad Introducción: En la realización de un eperimento aleatorio, la variación en las mediciones obtenidas puede ser muy pequeña o apreciable y se hace necesario determinar que tanto influye esta variación en las conclusiones que se desprendan del análisis de la información recolectada Estas decisiones varían de una muestra a otra debido a lo aleatorio del eperimento Otra componente adicional se debe tener en cuenta: La incertidumbre Ejemplo: Suponga que un fabricante de bombillas asegura a un futuro comprador que estas tienen una duración media de 570 horas El comprador requiere de un gran número de bombillas Para él resulta difícil evaluar la duración de todas las bombillas Para tomar una decisión, este decide eaminar 30 bombillas elegidas al azar y si o mas no cumple con el requisito establecido por el (duración superior a 5300 horas), el lote no es adquirido La incertidumbre acerca de elegir o no el adquirir el lote, recae en determinar de las 30 bombillas, cuantas no cumplen el requisito En un sentido amplio la Probabilidad mide el grado de Creencia de una afirmación hecha con base en la información recolectada o la posibilidad de ocurrencia de uno o varios resultados del eperimento aleatorio Si un eperimento tiene N posibles resultados, todos igualmente posibles, la probabilidad aproimada asociada a cada resultado será n Si en vez de un resultado se tiene un conjunto de resultados (digamos el evento E ), la n E probabilidad asociada al evento E después de n repeticiones del eperimento es n ; donde es el número de resultados contenidos en E de las n repeticiones n E Ejemplo: - Se lanza un dado no cargado, S {,, 3, 4, 5, 6} 6 la probabilidad asociada a cada resultado es - Se lanzan tres monedas no cargadas S { ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} asignada a cada resultado es 8 La probabilidad Definición: Sea E un evento de un espacio Muestral S, la probabilidad de E, se calcula como la suma de las probabilidades de los resultados contenidos en E (Probabilidades aproimadas) Ejemplo: El espacio Muestral de un eperimento aleatorio es { a,b,c,d,e }, y las probabilidades asignadas a cada resultado son 0, 0, 0, 04 y 0, respectivamente Sean A { a,b} y B { c,d,e} La probabilidad del evento A es La probabilidad del

7 evento B es La probabilidad del evento A B es Si A denota el complemento de A, entonces la probabilidad de A es Definición: Una función P:S, será llamada una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones: I) Si A es cualquier evento de S( AS) P( A) 0 II) PS III) Si E,E,,E n, es una colección (finita o infinita) de eventos de S, mutuamente ecluyentes, entonces P( E E E n ) P E i P( E i) i i En este caso tanto P( A) como P( E i ) Teorema: Sea E un evento de un espacio Muestral S 0P E I) II) P( ) 0 III) P( E ) P( E), siendo E el complemento de E denotan la probabilidad asociada a estos eventos Proposición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S Si A B, entonces P( A) P( B) Demostración: ( ) + ( ) P( A) P( B ), P( B A ) B A B A P B P A P B A pues 0 Proposición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S entonces P A B P A + P B P A B Ejemplo: Se etraen al azar y sin reemplazo tres cartas de una baraja de 5 cartas a) Cuál es la probabilidad de etraer un As, un dos y una figura? b) Cuál es la probabilidad de etraer dos figuras y un diez? c) Cuál es la probabilidad de etraer tres Ases? Solución: Definamos los eventos: A : Carta etraída es un As F : Carta etraída es una figura D: Carta etraída es un diez DD : Carta etraída es un dos

8 44 ( 4)( 4) P( ADD F ) P( FF D ) P( AA A ) Ejemplo: La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores Se elige al azar una oblea de esta tabla Sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación Sea B el evento en que la oblea está en el centro de instrumentación electrónica En el centro de instrumentación electrónica NO SI Contami- NO nación SI alta Solución: Calcule: P( A ),P( B ),P( AB ),P( AB ),P( AB) 358 P( A ) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( A B) P( A B ) Ejemplo: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S Muestre que P A B P A + P B P AB Sugerencia: A ( AB) ( A B ) ; B ( AB) ( B A) A B ( AB) ( AB) ( BA) Ejemplo: Si A y B son eventos de un espacio Muestral tales que P( A ) 03, P( B ) 0, P( A B ) 0 P A B P A B P A B P A B Calcule P( A ), ( ), ( ), ( ), Solución:

9 P( A ) P( A ) P( A B) P( A) + P( B) P( A B ) P( A B )? P( B) P( B A ) + P( A B) P( A B) P( B) P( A B ) P( A B ) P ( A B ) P( A B ) P A B P A + P B P A B Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas, se observaron las variables NAC : # accidentes en el año, SEXO del conductor y TIPO : tipo del vehículo según su peso: TIPO : Automóvil; TIPO : Camión o bus; TIPO 3 : Camioneta o campero; SEXO H Hombre y SEXO M : Mujer El resumen de esta información se presenta en la siguiente tabla: H N A C 0 T I P O Se M elige al azar una persona de este grupo a) N 0 A C Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? b) Cuál es la probabilidad de que maneje un vehículo TIPO? c) Cuál es la probabilidad de que sea hombre y se haya accidentado una vez? De que sea mujer y se haya accidentado? d) Si se ha accidentado una vez, Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil? e) Si se ha accidentado, Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil? f) Si se ha accidentado y conduce un bus, Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? Una mujer? g) Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil o se haya accidentado dos veces? Solución: Defina los eventos H : Persona seleccionada es un hombre M : Persona seleccionada es una mujer Ti : Persona seleccionada maneja un vehículo Tipo i, i,, 3 Ni : Persona seleccionada ha tenido NAC i accidentes, i 0,, 39 P H a) b) P( T)

10 c) P( H N ) 000, P M ( N N ) d) P( Msi N ), P( Hsi N) P HT si N N e) ( ) P HsiT N N P( MsiT( N N ) ) f) ( ) g) P H T N P HT HN ( ( ) ) ( ) P( H T ) + P( HN ) P( HT N ) Las preguntas d), e) y f) involucran dos o mas eventos, donde la ocurrencia de uno o mas, esta condicionada a la ocurrencia de otro o de otros Este tipo de probabilidad es llamada condicional Probabilidad Condicional En muchos eperimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente asociada a la ocurrencia de otro u otros eventos de manera que al calcular la probabilidad de dicho eventos es necesario considerar aquellos que condicionan su ocurrencia Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo: Un comité de dos personas va a ser seleccionado al azar de un grupo de 3 médicos y 4 sociólogos Cuál es la probabilidad de que el primer seleccionado sea médico? Sociólogo? De que los dos sean médicos? Cuál es la probabilidad de que el segundo sea médico? La última pregunta revierte cierto interés Si M : es el evento donde el segundo seleccionado es médico M : El primer seleccionado es médico S : El primer seleccionado es sociólogo Entonces para calcular P( M ) es necesario tener en cuenta que pasó con el primer seleccionado Si el primer seleccionado es médico entonces P( M ) Si el primer seleccionado es sociólogo entonces P( M ) 6 depende de lo ocurrido con la primera selección En este sentido diremos La probabilidad de M que la ocurrencia de M está condicionada a la ocurrencia de otro evento (ya sea M ó S )

11 Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S La probabilidad Condicional de A P A B, esta dada por dado B, la cual se denota P( A B) P( A B ), si P( B) 0 P( B) P( A B) P( B A ), si P( A) > 0 P( A) > Análogamente De esta manera se tiene la siguiente Regla Multiplicativa ( ) ( ) ( ) P A B P A P A B P B P A B En general pueden tenerse una serie de eventos que condicionan o son condicionados por otros eventos, es decir los eventos A y B pueden ser combinaciones de otros eventos Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas Se observaron las variables NAC : # de accidentes en el año, SEXO : del conductor y TIPO : tipo de vehículo según su peso: TIPO Automovil ; TIPO Camión o bus TIPO 3 Camioneta o campero SEXO H Hombre SEXO M Mujer La información resumida se muestra a continuación: SEXO H N A C T 0 I P O Se elige al azar una persona de este grupo a) Cuál es la probabilidad de que tenga un vehículo tipo? b) Cuál es la probabilidad de que sea hombre? y se haya accidentado? c) Si se ha accidentado, Cuál es la probabilidad de que sea hombre? De que maneja automóvil? d) Si conduce un camión o bus Cuál es la probabilidad de que se haya accidentado? e) Cuál es la probabilidad de que sea mujer, si conduce un campero y no se ha accidentado? f) Cuál es la probabilidad de que sea un hombre dado que maneja un automóvil o se ha accidentado dos veces? Solución: Defina los siguientes eventos H : La persona seleccionada es hombre M : La persona seleccionada es mujer T : La persona seleccionada maneja un vehículo TIPO i, i 3,, i N : La persona seleccionada se ha accidentado i veces i 0,, i M N A C ( ó NAC i ; i 0,, ) 45 5 P T A: se ha accidentado 539 a)

12 b) P( H A) Si la persona se ha accidentado es porque NAC es ó Así P( H A ) P( H( N N ) ) P( H N ) + P( H N ) P H A c) P A T d) ( ) P M T A e) ( 3 ) ( ) ( ) P H TN P HT HN 47 P( H T N ) P( T N ) P T + P N P TN f) P( H T) + P( HN ) P( HTN ) P T + P N P T N ( ) P ( H T N ) Otra forma P( H T N ) Ejemplo: Considere una urna con 4 bolas blancas y 3 bolas negras Se etrae al azar una bola pero no se mira de que color es Seguidamente se etrae una segunda bola Qué tan probable es que sea blanca? La probabilidad del segundo evento depende eclusivamente del resultado en el primer eperimento (ó primera etracción) Si la primera bola es blanca, la respuesta es 3 6 Si la primera bola es negra, la respuesta es (Mayor) Por lo tanto dicha probabilidad tiene un valor diferente dependiendo del resultado en el primer eperimento Sean A A S A( B B ) ( AB) ( A B ) Como A B y A B son ecluyentes, entonces A y B eventos de un espacio Muestral Observe que

13 P( A) P( A B) + P( A B ) P( A B) P( B) + P( A B ) P( B ) Lo anterior se conoce como Teorema de Probabilidad Total Para el ejemplo, Si B : La primera bola es blanca y A : La segunda bola es blanca entonces ( ) + ( ) + P A P A B P A B P A B P B P A B P B Ejemplo: Suponga que un lote contiene 5 piezas de hierro fundido de un proveedor local y 5 de un proveedor de otro estado Se eligen al azar y sin reemplazo dos piezas del lote de 40 Sean A : el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local y B : el evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor local P A? a) Cuál es el valor de b) Cuál es el valor de P( B A )? c) Cuál es el valor de P( A B)? d) Cuál es el valor de P( B A )? Solución: 5 a) P( A ) 40 4 b) P( B A ) c) P( A B) P( A) P( B A ) d) P( B A ) 39 Ejercicios propuestos Si A,B y C son eventos mutuamente ecluyentes, con P( A ) 0, P( B ) 03 y P( C ) 04 determine las siguientes probabilidades, - Si A,B y C son eventos mutuamente ecluyentes, es posible que P( A ) 03, P( B ) 04 y P( C ) 05? Por qué? - La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos

14 la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple sí sí no con los requerimientos no a Si se toma una flecha al azar, cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? b Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura? c Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? d Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y curvatura? - Continuación del ejercicio anterior Las flechas se clasifican, además, en términos de la máquina herramienta utilizada en su fabricación Máquina herramienta Máquina herramienta la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple sí no con los requerimientos si 00 no 4 la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple sí no con los requerimientos si 45 4 no 8 6 a Si se elige una flecha al azar, Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina herramienta? b Si se escoge una flecha al azar, Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o que no cumpla con los de curvatura o que provenga de la máquina herramienta? c Si se elige una flecha al azar, Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta? d Si se toma una flecha al azar, Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado o que provenga de la máquina herramienta? - Un lote contiene 5 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 5 de un proveedor de otro estado Se eligen tres piezas al azar, sin reemplazo, del lote de 40 Sean A : el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local, B : el evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor local y C : el evento donde la tercera pieza seleccionada es del proveedor local P A B C? a Cuál es el valor de

15 b Cual es el valor de P( A B C )? - Considere los datos sobre contaminación de obleas y posición en un instrumento de deposición electrónica, dados a continuación Suponga que de este conjunto se toma al azar una oblea Sean A : el evento donde la oblea contiene cuatro o más partículas, y B : El evento donde la oblea está en el centro del instrumento de deposición P A? a Cuál es el valor de b Cuál es el valor de P( A B )? c Cuál es el valor de P( B )? d Cuál es el valor de P( B A )? e Cuál es el valor de P( A B)? P A B? f Cuál es el valor de - Si P( A B ), Puede concluirse que A su respuesta B? Dibuje un diagrama de Venn para eplicar - Suponga que A y B son eventos mutuamente ecluyentes Construya un diagrama de P A C y P( B C ) 0 Venn que contenga los eventos A, B y C, tales que Teorema de Probabilidad Total Sean A,A, A n, eventos no vacíos de un espacio Muestral mutuamente ecluyentes que constituyen una partición de S, es decir, n n ( i ) ( i) ( i) P B P A B P A P B A i i n i A i S Si B es un evento cualquiera de S, entonces Ejemplo: Considere una urna que contiene 4 bola blancas y 3 negras De la urna se etrae una bola sin mirar de qué color es y se etrae una segunda bola Qué tan probable es que ésta sea blanca? Indudablemente todo depende de cuál bola fue etraída primero Si la bola etraída primero es blanca, la respuesta es 3 6 Si la bola etraída primero es negra, la respuesta es Para resolver este problema, observe que para cualquier par de eventos A y B de un espacio Muestral S : A A S A( B B ) ( AB) ( A B ) como A B y A B son ecluyentes, entonces: P A P A B + P A B P A B P B + P A B P B Para el ejercicio en cuestión sean B : La primera bola etraída es blanca y A : La segunda bola etraída es blanca

16 Ahora, Este resultado se conoce como Regla de Probabilidad Total Así, P( A) Ejemplo: La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de las cuchillas se desgastan Se sabe que el % de los productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados que se cortan con cuchillas de filo promedio tienen cortes irregulares y el 5% de los cortados con cuchillas desgatadas tienen cortes irregulares Además, el 5% de las cuchillas son nuevas, el 60% tienen filo promedio y el 5% están desgastadas, Cuál es la proporción de productos con cortes irregulares? Solución: Defina I : Producto presenta cortes irregulares N : Las cuchillas son nuevas P : Las cuchillas tienen filo medio D: Las cuchillas están desgastadas Según el enunciado se tiene que: P( N ) 05 P( P ) 06 P( D ) 05 NP D 5 además son mutuamente disjuntos P I N 00, P I P 003, P I D 005 Ahora ( ) + ( ) P( A B) P( B) + P( A B ) P( B ) P A P A B P A B + + ( 00 )( 05 ) + ( 003 )( 06 ) + ( 005 )( 05 ) P I P I N P N P I P P P P I D P D 008 El 8% de los productos cortados presenta cortes irregulares Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral Se dice que A y B son estadísticamente independientes si y solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones se cumple: P A B P A P B A P B P A B P A P B a) b) c) En general, una colección de eventos E,E, E n de un espacio Muestral S, se dicen Mutuamente Independientes, si y solo si, la intersección de cualquier subconjunto de eventos de esta colección cumple que la probabilidad de dicha intersección es el producto de las probabilidades de los eventos involucrados Ejemplo: La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos niveles de contaminación es 0 Se analizan 3 muestras de este tipo Se asume que los resultados obtenidos del análisis de cada muestra son independientes a) Cuál es la probabilidad de que ninguna muestra contenga altos niveles de contaminación? b) Cuál es la probabilidad de que al menos una los tenga?

17 Solución: Sea N : La muestra tiene altos niveles de contaminación P N, sin importar cuál sea la muestra 0 a) b) 3 3 P N N N P N (( ) ( ) ( )) 3 ( ) P N N N N N N N N N P N N N 3P N P N Eactamente los contenga P( al menos una) P( Ninguna) c) Ejemplo: El siguiente circuito trabaja si y solo si, eiste una trayectoria de dispositivos en funcionamiento de izquierda a derecha Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione? Los números al interior de los recuadros son las probabilidades de falla de cada dispositivo P I P I 0 099! " # Ejemplo: Retomando el ejemplo de la irregularidad en los cortes de productos de papel, si el producto presenta cortes irregulares, que tan probable es que se hayan utilizado cuchillas nuevas Solución: Usando los mismos eventos definidos previamente se pide: P( N I) P( N) P( I N) P( N I) P( I) P( I) Como P( N ) 05 P( I N ) 00 y P( I ) 008 Así: ( 05 )( 00 ) ( 06 )( 003 ) P( N I ) , P( P I ) ( 008 ) 008 ( 05 )( 005 ) P( D I ) Teorema de Bayes Sean A,A, A n eventos no vacíos de un espacio Muestral S, mutuamente ecluyentes y tales que A S Si B es un evento de S ; entonces: i ( j ) P A B ( ) i P B A P B A P A P B A P A n P( B) P( B) P B A j j j j j P( A ) i i

18 Ejemplo: (Ejercicio - 9) Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos En el pasado, el 95% de los productos con mayor éito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 0% de los productos con poco éito recibieron buenas evaluaciones Además, el 40% de los productos han tenido mucho éito, el 35% un éito moderado y el 5% una baja aceptación a) Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éito? c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éito? Solución: Defina los siguientes eventos G : Un producto es catalogado como de gran éito M : Un producto es catalogado como de éito moderado E : Producto catalogado como de baja aceptación (éito escaso) B : La evaluación del producto es buena [ ] [ ] [ ] [ ] P G, P M, P E PB G 095, PB M 06, PB E 0 a) b) c) + + ( 095 )( 04 ) + ( 06 )( 035 ) + ( 0 )( 05 ) P B P B G P G P B M P M P B E P E 065 ( 095)( 04) P B G P G PG B [ ] 0679 P B 065 [ ] [ ] ( PB G [ ]) PG ( ) PB G PG B [ ] 005 PB PB 0 65 Ejercicios propuestos - La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período de garantía, es % Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante el período de garantía es 5% Si el 90% de los conectores se mantienen secos, y el 0% se humedece, qué proporción de conectores fallará durante el periodo de garantía? - Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en empaques pesados y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños, Cuál es la proporción de muestras que se romperán durante el envío? - Si P( A ) 0 y P( B ) 0, y los eventos A y B son mutuamente ecluyentes, puede afirmarse que son independientes?

19 - Se toman muestras de espuma de dos proveedores y se hace una evaluación a éstas paara determinar el grado con el que cumplen ciertas especificaciones A continuación se resumen losa resultados obtenidos con 6 muestras Sí No Proveedor Sean A : el evento en que la muestra es del proveedor, y B : el evento donde la muestra cumple con las especificaciones a Los eventos A y B son independientes? b Los eventos A y B son independientes? - En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba aleatorio, un arreglo de 0 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero Suponga que los bits son independientes a Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean uno? b Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean cero? c Cuál es la probabilidad de que eactamente cinco bits sean uno, y los otros cinco, cero? - Las ocho cavidades de una máquina de moldeo por inyección producen conectores plásticos que caen en una banda de transporte común Se toma una muestra de conectores cada determinado tiempo Suponga que las muestras son independientes a Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la cavidad uno del molde? b Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la misma cavidad del molde? c Cuál es la probabilidad de que cuatro de cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la cavidad uno del molde? - Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja de congelado contiene cinco que están defectuosos Se escogen dos al azar, sin reemplazo Sean A y B los eventos donde el primero y el segundo contenedor son defectuosos, respectivamente a Los eventos A y B son independientes? b Si el muestreo se hace con reemplazo, Los eventos A y B son independientes? - El circuito siguiente trabaja si, y solo si, eiste una trayectoria en funcionamiento, de izquierda a derecha El dibujo indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione Suponga que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los demás dispositivos Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?

20 - El siguiente circuito trabaja si, y solo si, eiste una trayectoria en funcionamiento, de izquierda a derecha En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione Suponga que la probabilidad de que un dispositivo trabaje no depende del funcionamiento de los demás dispositivos Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione? - Suponga que P( A B ) 08 P( A ) 05 y P( B ) 0 Calcule P( B A) - Los láseres de semiconductor utilizados en los productos para almacenamiento óptico requieren niveles de potencia mucho mayores para las operaciones de escritura que para las de lectura Entre más grande es el nivel de potencia menor es la duración del láser Los láseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnéticos de alta velocidad se utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que su vida útil sea mayor que cinco años es 095 Los láseres que se emplean en productos para almacenamiento, invierten aproimadamente el mismo tiempo en operaciones de lectura y escritura, y la probabilidad de que la vida útil de éstos sea mayor que cinco años es 0995 El 5% de los productos de cierto fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el 75% restante se emplea para almacenamiento Sean A : el evento donde la vida útil de láser es mayor que cinco años, y B : el evento donde el producto que emplea el láser se utiliza para respaldar información Utilice un diagrama de árbol para determinar lo siguiente P B a b P( B ) c P( A B) d P( A B ) e P( A B) f P( A B ) g P( A) - En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 000 cuando el proceso se realiza a baja velocidad Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 00 Suponga que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, mientras que el resto se ejecuta el proceso se lleva a cabo a baja velocidad a Cuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto? b Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad? - Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas que la dimensión requerida Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo

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