Suficiencia de Capital y Riesgo de Crédito en Carteras de Préstamos Bancarios

Transcripción

1 Sufceca de Captal y Resgo de Crédto e Carteras de Préstamos Bacaros U modelo de mpago que relacoa la sufceca de captal co el resgo de crédto, mde el resgo de cocetracó, y determa límtes dvduales para los crédtos. Javer Márquez Dez-Caedo Abrl Documeto de Ivestgacó o. -4 Dreccó Geeral de Aálss del Sstema Facero Baco de Méxco El autor desea agradecer la colaboracó de Marbell Rojas Garduño e la costruccó de los ejemplos presetados, y muy especalmete a Calxto López Castañó, por su mportate cotrbucó e las pruebas de los teoremas 6. y 6. del apédce, la elaboracó de los resultados del últmo ejemplo y u s úmero de dscusoes que codujero a mejorar cosderablemete la cossteca del modelo. Otra persoa que cotrbuyó sgfcatvamete a redodear alguos aspectos del modelo, fue José Lus Farah del IAM. Las opoes expresadas e este documeto so resposabldad exclusva del autor y o ecesaramete correspode a las del Baco de Méxco.

2 Sufceca de Captal y Resgo de Crédto e Carteras de Préstamos Bacaros: U modelo de mpago que relacoa la sufceca de captal co el resgo de crédto, mde el resgo de cocetracó, y determa límtes dvduales para los crédtos. Javer Márquez Dez-Caedo Baco de Méxco Abrl Resume La búsqueda de ua regla explícta que relacoe el resgo de crédto co la sufceca de captal, es uo de los temas más mportates tato para los reguladores como para los admstradores de resgo. Las metodologías actuales de resgo de crédto depede sobremaera de métodos umércos para obteer la dstrbucó de pérddas de ua cartera; debdo a esto, la determacó de la sufceca de captal y de límtes dvduales para los crédtos, es u proceso empírco que requere de u gra susteto computacoal. La obtecó de ua medda de cocetracó y su cotrbucó al resgo e carteras de crédtos así como la detfcacó de segmetos que exhba cocetracó excesva, so problemas que hasta el mometo o se ha poddo resolver a pesar de su gra mportaca. Co base e las probabldades de mpago de los crédtos y de sus respectvas covarazas, se desarrolló u modelo que obtee ua forma fucoal de la dstrbucó de pérddas, supoedo que dcha dstrbucó puede caracterzarse por dos parámetros. La represetacó del Valor e Resgo (VaR) e térmos de la meda y la varaza, coduce a ua cota feror para el cocete de captalzacó bacara y la desgualdad resultate establece codcoes para que u baco cuete co sufceca de captal. El ídce de Herfdahl-Hrschma surge como ua medda de cocetracó, que cuatfca de maera precsa la cotrbucó de la cocetracó al resgo de crédto total de ua cartera. Se obtee dos propedades uevas de este ídce, que relacoa los límtes dvduales de los crédtos co la cocetracó exstete e los dsttos segmetos e los que se pueda descompoer la cartera, de tal maera que se garatce la sufceca de captal. Los ejerccos umércos realzados hasta la fecha e carteras de crédtos reales, arroja resultados comparables co aquellos obtedos usado otras metodologías, co ua reduccó cosderable e esfuerzo computacoal. A lo largo de este artículo, se dscute las mplcacoes de esto para la admstracó de resgos y la regulacó. Palabras clave: Sufceca de captal, resgo de cocetracó credtca, ídce de cocetracó Herfdahl-Hrschma, límte de crédto dvdual, valor e resgo, modelos de mpago.

3 . IRODUCCIÓ. Actualmete, e los paradgmas más aceptados para medr resgo de crédto se puede dstgur dos efoques, a saber: el de marcar a mercado y el de modelos de mpago. Las dferecas etre ambos estrba, e prmer térmo, e la forma e que se cosdera las pérddas. Metras que e los modelos de mpago u deudor sólo puede estar e uo de dos estados, es decr pago o mpago, las pérddas que resulte sólo se debe a los cumplmetos del deudor. Los modelos de marcar a mercado e cotraste, cosdera además las pérddas resultates del cambo e el valor de los crédtos, debdo a la mgracó de caldad de los msmos. S embargo, las mayores dferecas etre ambos paradgmas, se debe a la forma e que cojuga los dferetes elemetos del resgo de crédto para obteer la dstrbucó de probabldades de las pérddas. Por ejemplo 3, e CredtMetrcs M que es u modelo de marcar a mercado, el compoete prcpal es la matrz de trascó que está relacoada co u sstema de calfcacó, y que provee el mecasmo probablístco que modela la mgracó de la caldad de los crédtos. Esto determa las pérddas resultates de los cumplmetos del deudor, y los cambos e el valor de mercado de los crédtos de la cartera, a través de u proceso de smulacó Motecarlo que toma e cueta explíctamete la matrz de covarazas de mgracó, para falmete obteer la dstrbucó de pérddas de la cartera. La matrz de trascó, los cambos e el valor y las pérddas debdas al cumplmeto de los crédtos, así como las covarazas de mgracó e cumplmeto se estma a partr de datos estadístcos e formacó de mercado. E cotraste, el proceso de smulacó depede e gra medda de u supuesto de ormaldad que permte establecer ua relacó etre la caldad del crédto y el valor de los actvos de las empresas deudoras y aplcar el modelo de Merto 4, así como determar el comportameto de mgracó cojuta de los crédtos de la cartera. La metodología KMV 5 també se basa e el modelo de Merto. Defe ua dstaca al mpago, que es la dfereca etre el valor de los actvos de las empresas y u certo umbral, de maera que s esta catdad es egatva, la compañía estaría e bacarrota y o podría cumplr co sus oblgacoes. Para propóstos de estadarzacó, esta dstaca al mpago se mde como u múltplo de la desvacó estádar del valor de los actvos de las empresas. KMV ha acumulado ua gra base de datos, que usa para estmar probabldades de mpago y correlacoes, así como las dstrbucoes de pérddas debdas al cumplmeto del deudor y a las mgracoes de caldad de U aálss detallado de las dferetes aproxmacoes se preseta e M. Crouhy et al., JBF (4). 3 CredtMetrcs M es u subproducto del grupo de desarrollo de los sstemas de Admstracó de Resgos de J.P. Morga. 4 Véase Merto Esta metodología es propedad de la corporacó KMV. 3

4 los crédtos. Para ua compañía e partcular, esta probabldad se aproxma por las frecuecas esperadas de mpago ; es decr, el cocete etre el úmero de compañías que está a la msma dstaca de mpago que realmete cumplero, y el úmero total de compañías que está a la msma dstaca al mpago cotedas e la base de datos. Auque també es u método de marcar a mercado, dfere sgfcatvamete de CredtMetrcs M ya que depede de las FEI de cada deudor, e lugar de depeder de las probabldades de trascó estmadas de los datos hstórcos, ya sea teros de cada baco o producdas por las agecas calfcadoras. Exste també dferecas cosderables e los supuestos y e las formas fucoales utlzadas. CredtRsk +6 es u modelo de mpago e dode la pedra agular de la metodología, es el cojuto de probabldades dvduales de mpago de los crédtos e la cartera, y el supuesto de que las probabldades de mpago sempre so pequeñas, de maera que el úmero de cumplmetos e la cartera se puede aproxmar adecuadamete por ua dstrbucó de probabldad Posso. E su versó más geeral, dode las probabldades de mpago puede cambar e el tempo, se supoe además que estas probabldades está completamete explcadas por ua suma poderada de K factores de resgo cada uo de ellos dstrbudo de acuerdo a ua dstrbucó Gamma depedete. Los poderadores de los factores de resgo dfere depededo de la calfcacó dvdual del deudor y, codcoados a estos factores, se supoe que los cumplmetos de los deudores dvduales se comporta como esayos Beroull depedetes. E este caso geeral, la correlacó de mpago está mplícta e los patroes de covaracó etre los factores de resgo, y el supuesto Posso coduce a ua dstrbucó Bomal egatva para el úmero de cumplmetos. Ua vez obteda la dstrbucó del úmero de cumplmetos e la cartera, procededo co u efoque actuaral, se seleccoa ua udad de pérdda y dadas las tasas de recuperacó de los crédtos dvduales, éstos se agrupa e badas dode la pérdda es la msma para cada crédto que cae e cumplmeto. Co esto, se obtee la fucó geeradora de probabldad de las pérddas. Falmete, se recurre a u procedmeto umérco de recursó para obteer la dstrbucó de probabldad de pérddas. Este procedmeto volucra el cálculo de los coefcetes de dos polomos cuyo orde es gual al producto del úmero de badas y el úmero de factores de resgo e u caso, y el producto del úmero de badas meos uo y el úmero de factores de resgo e el otro caso. Este cálculo puede mplcar u esfuerzo computacoal mportate, s la cartera es grade y la udad de pérdda escogda es pequeña. 6 CredtRsk + es comercalzado por Productos Faceros de Crédto Suzos. 4

5 Otra metodología popular de mpago es Credt Portfolo Vew 7, que es u modelo dscreto de perodos múltples. Además del hecho de que esta metodología se cocbe e u prcpo como u modelo dámco, su atraccó prcpal radca e que obtee las probabldades de mpago como fucoes logt de ídces de varables macroecoómcas, que de algua maera represeta el desempeño de la ecoomía. La cartera se segmeta de acuerdo a la localzacó geográfca y a la actvdad ecoómca de los deudores, y se supoe que los ídces para cada segmeto so fucoes leales de las varables macroecoómcas asocadas a cada segmeto. Este modelo supoe que cada varable macroecoómca sgue u proceso autoregresvo de segudo orde, y debdo a las correlacoes e los errores de los modelos leales para los ídces y de las expresoes autoregresvas de las varables macroecoómcas subyacetes, los parámetros de ambas se estma smultáeamete de u sstema de ecuacoes. Como CredtMetrcs M, Credt Portfolo Vew també recurre a la smulacó de mgracoes de caldad de los crédtos a través de matrces de trascó para obteer la dstrbucó de las pérddas. E este proceso, las matrces de trascó codcoales geeradas por las agecas calfcadoras se ajusta al estado de la ecoomía de cada segmeto, reducedo o cremetado las probabldades codcoales de trascó de acuerdo al cocete etre la probabldad de mpago smulada y la tasa promedo hstórca codcoal de mpago del segmeto. E ua cotrbucó recete, Kre y Rose (999) propoe u modelo dámco de etapas múltples dode las probabldades de mpago se hace depeder de la evolucó cojuta de los factores de resgo de mercado y de crédto. Esto faclta la cojucó del resgo de mercado y de crédto, co la vrtud adcoal de que el modelo puede cuatfcar mejor la exposcó de los segmetos a la cotraparte, así como la poscó e dervados de la cartera. Otra mejora e estos modelos recetes de resgo de crédto es la posbldad de modelar las exposcoes estocástcas medate smulacó, y la extesó del modelo de mpago de Merto a etapas múltples. La dstrbucó de pérddas se obtee por smulacó bajo la dea de Marcar a Futuro de las exposcoes de la cotraparte y e el cotexto de la probabldad codcoal de mpago, alcazado ua gra efceca computacoal. odas las metodologías mecoadas ha cotrbudo al etedmeto de las deas prcpales de los modelos de resgo de crédto y ahora se acepta que todos los modelos está covergedo a producr resultados comparables. Los resultados de Crouhy et. al. (), Fger (998) y Gordy () dca que, bajo certas equvalecas paramétrcas, las metodologías prcpales como CredtMetrcs M y CredtRsk + puede mapearse ua e la otra. Es mportate otar que el 7 Este producto lo ofrece McKsey, la compañía cosultora. La refereca clásca es Wlso (I) & (II)

6 éfass de todas estas metodologías es producr ua dstrbucó de pérddas, que se apega lo más posble a la realdad. Auque dfíclmete se puede r e cotra de este prcpo, el esfuerzo computacoal requerdo puede resultar mpráctco para certos usuaros como los reguladores, quees tee que supervsar todo el sstema facero, y o sólo u baco e partcular. Además, el desarrollo de herrametas de gestó admstratva, tales como la obtecó de reglas smples para establecer sufceca de captal, la detfcacó de segmetos que preseta las mayores cocetracoes de resgo y el establecmeto de límtes dvduales para los crédtos, que está drectamete relacoados co el perfl de resgo de la cartera, o se puede obteer drectamete. El modelo que aquí se preseta, supoe que está dadas las probabldades de cumplmeto de los crédtos y sus covarazas. Co estos elemetos, se desarrolla u modelo de mpago que obtee ua forma fucoal de la dstrbucó de pérddas, supoedo que puede caracterzarse por dos parámetros: la meda y la varaza. Dada ua dstrbucó de pérddas co ua meda y varaza específcas, o ecesaramete ormal, es posble obteer el Valor e Resgo (VaR) de la cartera como la pérdda esperada más u certo múltplo de la desvacó estádar de las pérddas. Esto coduce a ua cota feror de la razó de captalzacó del baco y la desgualdad que resulte establece la sufceca de captal. Del desarrollo del modelo emerge de maera atural el ídce de Herfdahl-Hrschma como medda de cocetracó, proporcoado ua cuatfcacó precsa de la maera e que la cocetracó cotrbuye al resgo de crédto de la cartera. Dos propedades uevas que se obtee de este ídce, relacoa los límtes dvduales de los crédtos co la cocetracó exstete e los dsttos segmetos e los que se dvdó la cartera, de tal maera que se garatce la sufceca de captal. Los ejerccos umércos realzados hasta la fecha e carteras reales, muestra resultados comparables co aquellos obtedos usado otras metodologías. Además, se observa que las dstrbucoes obtedas aproxma aquéllas que se obtee co las metodologías más estádar, pero co ua reduccó cosderable e esfuerzo computacoal. Dado que la medcó de cocetracó es el corazó del modelo, se comezará co la dscusó de este tema.. El ema de la Cocetracó. La cocetracó de los crédtos ha sdo detfcada como ua fuete mportate de resgo para los bacos desde hace mucho tempo. A juzgar por la lteratura actual relatva al resgo credtco, al meos para el tema de cocetracó, el establecmeto de paradgmas geeralmete aceptados o 6

7 se ha materalzado, a pesar de la mportaca del problema 8. Los acercametos más formales, basados e la teoría de cartera 9, se ha efocado prcpalmete a la dversfcacó óptma de carteras de strumetos de reta fja, para los cuales se puede obteer formacó compatble co los modelos tradcoales de Markowtz (959). Altma y Sauders (998) preseta u efoque teresate, que trata de evtar los prcpales problemas asocados co los datos y su aálss, al msmo tempo que explota las vrtudes de la teoría modera de cartera. S embargo, se debe recalcar que los estudos basados e la teoría tradcoal de cartera trata el problema de cocetracó drectamete, ya que su prcpal preocupacó es la dversfcacó de los actvos a través del coocdo esquema de meda-varaza, pero s proporcoar ua medda de cocetracó clara ua relacó explícta co el resgo de la cartera. Kealhoffer (998) hace ua dscusó teresate del tema desde el puto de vsta de la dversfcacó. Prmero, señala que realmete o ha exstdo método alguo para medr el grado de dversfcacó e ua cartera de deuda, y que ex ate, gú método ha sdo creado para cuatfcar cocetracó; la cocetracó sólo ha sdo detectada ex post. Después, argumeta que medr la dversfcacó de ua cartera sgfca especfcar el tervalo de posbles pérddas y la probabldad co la que se podría dar. Más adelate, Kealhoffer provee ua defcó que permte la comparacó del grado de dversfcacó de dos carteras como: La cartera A está mejor dversfcada que la cartera B s ambas tee la msma pérdda esperada, pero la probabldad de que la pérdda exceda u certo porcetaje es más pequeña para A que para B. De esta maera, cuado se trata de préstamos bacaros tradcoales, gua metodología formal para medr la cocetracó parece emerger. Como dce Altma y Sauders (998), el tema de la medcó de la cocetracó se ha tratado de maera subjetva. ípcamete, los bacos y otros agetes aplca ua técca de calfcacó basada e la opó de u grupo de expertos, sobre el grado de cocetracó observado e dferetes segmetos de la cartera, cosderados co base e u crtero de clasfcacó, para obteer u dcador de la cocetracó de crédto. Geeralmete, el úmero obtedo vale más e térmos cardales y jerárqucos, que como ua medda drecta del resgo que pueda ser traducda rápdamete e pérddas potecales o e valor del resgo. o obstate, los resultados del ejercco provee los elemetos prcpales para establecer límtes sobre 8 Véase Caouette, Altma, y arayaa 998, capítulos 7 y 8. Véase també Kealhofer Véase por ejemplo Beet 984. Véase por ejemplo Moody s Ivestor Servces 99, y el Iforme de 993 de Coopers y Lybrad. 7

8 los crédtos como ua proporcó del captal que puede destarse a las dferetes áreas dode puede ocurrr la cocetracó. La obtecó de ua buea medda ex-ate de cocetracó es dfícl por varas razoes. Prmero, uo debe detfcar o decdr las clases o tpos de cocetracó que so relevates e ua stuacó e partcular (v.gr. por regó geográfca, dustra, mercados, productos, etc.). Au s todos los crédtos e estas dmesoes de posble cocetracó so relatvamete pequeños e lo dvdual, puede mostrar excesva cocetracó e cualquer dmesó, s las probabldades de mpago está altamete correlacoadas o se correlacoa sgfcatvamete e crcustacas ecoómcas adversas. Segudo, es ecesaro decdr la jerarquía adecuada detro de cada clasfcacó e partcular. Por ejemplo, qué es más mportate: Que el crédto sea ua pequeña hpoteca o que el deudor vva e u pueblo e partcular, o ambos? Otro obstáculo es la cultura tradcoal de los aalstas de crédto, que cas por defcó está altamete especalzados. Esto hace dfícl para estos aalstas percbr el resgo de la cocetracó, porque cada uo se dedca a ua dmesó partcular de la cocetracó. Además, el aálss que se aplca a crédtos al cosumo dfere sgfcatvamete del que se aplca para aalzar u crédto para la costruccó de ua plata sderúrgca. o se emplea las msmas herrametas aalítcas, los msmos crteros y squera el msmo argot. E cualquer caso, el leguaje empleado geeralmete o está asocado co los coceptos co los térmos actualmete aceptados e la admstracó de resgos. Metras que los aalstas de crédto al cosumo fere resgos de cosas como la establdad e el trabajo y el greso famlar, los que aalza crédtos dustrales lo hace e térmos de razoes faceras, flujos de efectvo descotados y garatías. Los admstradores de resgo e cambo dscute e térmos de volatldades, correlacoes, Gregas, perfles de resgo y valor e resgo. De esta maera, auque o hay duda de que hay aalstas de crédto y admstradores de resgo que etede los térmos del otro, exste ua brecha coceptual y de comucacó que ecesta llearse, para establecer u cojuto comú de meddas de resgo, que proporcoe la asesoría tegral ecesara para ateder el tema de la cocetracó. El efoque adoptado e el aálss que sgue o resuelve todos estos problemas, pero sí provee u marco teórco que puede permtr la medcó de la cocetracó ex-ate. La medda obteda está relacoada drectamete co el resgo de crédto expresado e térmos afes a los usados por los admstradores de resgos. Se verá que la medda de cocetracó obteda es compatble co la ocó de Kealhoffer ates ctada. Partedo de u modelo smple, dode se supoe ua sola dmesó de cocetracó y crédtos co la msma probabldad de cumplmeto, se desarrolla 8

9 u modelo geeral dode, por lo meos teórcamete, se puede maejar cualquer úmero de dmesoes de cocetracó, y los crédtos de cada segmeto puede teer probabldades de cumplmeto dferetes, además de estar correlacoados etre sí. 3. Valor e Resgo, Cocetracó y el Límte Idvdual : El Caso Smple. radcoalmete, los bacos trata de ateder el resgo de cocetracó poedo u límte a la catdad máxma que puede prestarse a u solo deudor, a lo largo de las dferetes dmesoes dode se puede dar la cocetracó; esto es, por dustra, regó geográfca, productos, países, etc. E lo que sgue, se supoe que la cocetracó ocurre e ua sola dmesó, y la probabldad de mpago p de cualquer crédto es la msma para todos los crédtos y cada uo es depedete de los demás. ormalmete, el límte dvdual se expresa como ua proporcó δ del captal K del baco. S embargo, al dscutr la cocetracó del crédto, uo ormalmete dreccoa el tema a cuáto del crédto total está cocetrado e u solo dvduo o grupo pequeño de deudores. Así, cualesquera que sea las vrtudes de establecer límtes como porcetaje del captal, ello o da mucha formacó sobre la cocetracó del crédto de ua cartera. Para ver esto, ótese que por lo meos teórcamete, u baco puede teer todo el crédto otorgado a u solo deudor s que este crédto exceda la proporcó del captal que exge el límte pero bajo cualquer crtero represetaría ua cartera totalmete cocetrada. Por otro lado, el baco puede teer u mlló de crédtos del msmo tamaño e cuyo caso su cartera está totalmete dversfcada, depedetemete de que cada crédto respete o o el límte. De esta maera, uo puede teer carteras muy cocetradas así como carteras altamete dversfcadas que respete las restrccoes e térmos del captal. Por estas razoes se hace a u lado la tradcó, ya que es mejor pesar e la cocetracó e térmos de proporcoes del valor total de la cartera de crédto, y cambar el cocepto de los límtes. Así, para propóstos de cocetracó credtca, se fjará el límte como ua proporcó θ del valor total de la cartera V. Además, se puede comprobar fáclmete que δ y θ está relacoados lealmete a través de la razó de captalzacó del baco, por lo que o se perde geeraldad. Para ver esto, sea f k el moto del késmo de crédtos de la cartera y ótese que: f k K δ K δ V δ ψ V θ V ; k,,,3,...,...(3.) V Por ejemplo, s e u baco co mlloes de pesos de captal, los crédtos está lmtados a o exceder el % del captal, esto puede hacerse co solo u crédto de mlloes, e cuyo caso la cocetracó es la máxma. Por otro lado, s la cartera tee ml crédtos y cada uo es de mlloes, guo excede el % del captal, pero se trata de ua cartera altamete dversfcada. 9

10 K dode ψ es la razó de captalzacó del baco. Así, θ δψ, y el límte sobre el tamaño de V los crédtos se puede represetar medate la restrccó sguete: f k θv ; k,,,3,...,...(3.) S la cocetracó tee que ver co el úmero de deudores que tee más crédtos, etoces la máxma cocetracó que puede teerse respetado el límte, es cuado se cocetra todo el crédto e u úmero mímo de crédtos, que respeta la restrccó preva, es decr: f k θv ; k,,,3,..., ; k +, +,..., (3.3) E el sguete argumeto se supoe que es sempre u etero y satsface : θv V θ.e. /θ Co base e estos supuestos, la probabldad de que m de los crédtos deje de pagarse se dstrbuye de acuerdo a ua bomal; es decr: Pr m { } m ( ) m; p p m Es be sabdo que para ua grade, la dstrbucó bomal se puede aproxmar co ua dstrbucó ormal, dode: y la Desvacó Estádar σ p( p) Meda µ p Ahora, procededo e forma actuaral, sea el vel de cofaza adoptado y sea: ( p) p + z p...(3.4) Es decr: La probabldad de que más de crédtos deje de pagar es. E la expresó ateror, z es la varable ormal estadarzada que correspode al vel de cofaza o se perde mucha geeraldad bajo este supuesto, dado que el úmero de crédtos es usualmete grade y θ está sempre bajo el cotrol del admstrador de resgo. Relajar el supuesto o camba el resultado y complca el álgebra ecesaramete.

11 escogdo. Ahora, s cada crédto vale θv, lo ateror sgfca que el Moto e Resgo para ua cartera que exhbe este patró de cocetracó, co vel de cofaza es: VaR θv S se quere que la pérdda co vel de cofaza, o exceda el captal K, etoces: [ p + z p( p) ] θv K Despejado θ de lo ateror, y recordado que θ, co u poco de mapulacó algebraca se llega a: θ K pv z V p ( p) ( ψ p) p( p) z Θ ( p, ψ, )...(3.5) K E la expresó ateror, ψ es la razó de captalzacó del baco. ótese que e estos V térmos, la sufceca de captal exste s se satsface la desgualdad sguete: VaR ψ p + z p( p ) θ V...(3.6) La expresó (3.5) es por demás atractva, porque relacoa u dcador de cocetracó θ, co la razó de captalzacó del baco ψ, el resgo de cumplmeto de los deudores dvduales a través de la probabldad de mpago p, y el moto e resgo a través de z. El límte dvdual de los crédtos se asoca co el mímo úmero de deudores dode se cocetra todo el crédto, que es també u dcador de cocetracó, por lo que la cota obteda també se puede θ tomar como u límte para la cocetracó de la cartera. La expresó (3.6) represeta ua relacó de sufceca de captal e térmos del resgo de crédto de la cartera, que explíctamete cluye ua medda θ de la cocetracó de la cartera. Como se verá e este documeto, estas expresoes so muy robustas bajo codcoes mucho más geerales.

12 4. Ua Prmera Geeralzacó. Evdetemete, el patró de cocetracó descrto, e dode la cartera de crédto cotee exactamete crédtos e el tope permtdo, o es demasado realsta. Por tato, es mportate ver s se puede obteer u dcador de cocetracó, que tega setdo e térmos de moto e resgo, y que al msmo tempo permtera u poco más de juego e la coformacó de la cartera credtca de u baco. Así, sea F (f ) E el vector que represeta la cartera credtca de u baco 3, y sea f moto del -ésmo crédto e la cartera;,,...,. S la probabldad de mpago de cada crédto es p, y supoedo depedeca, podemos defr varables aleatoras baras x tales que: x f co probabldad p co probabldad -p p f Se sabe que E(x ) pf y que la varaza de x es ( ) depedeca, se tee que: p. Etoces, bajo el supuesto de a) µ E x pf pv ; dode V f b) σ VAR x VAR(x ) p( p)f p( p) f Al ser F (f ) u vector arbtraro, es dfícl coocer la dstrbucó exacta de x. S embargo, para ua grade, la dstrbucó ormal debe ser ua aproxmacó razoable 4 y por tato: VaR µ + z σ pv + z p( p)...(4.) Sguedo la tóca del aálss ateror, s se requere que VaR K, después de u poco de mapulacó algebraca se obtee: f 3 E deota al espaco Eucldao -dmesoal. 4 Véase por ejemplo DeGroot (988), pág. 63.

13 f H(F) z f ( ψ p) p( p) Θ ( p, ψ, )... (4.) ótese que la cota obteda Θ(p,ψ,) es exactamete la msma que la que se obtuvo e el prmer caso, cuado se supuso que la cartera credtca cosstía e crédtos del msmo moto θv. La gra dfereca, es que e lugar de usar el límte de crédto otorgable a u deudor como medda de cocetracó, ahora la cocetracó del crédto está medda por: Cocetracó () H F f f El lector famlarzado co la lteratura técca sobre cocetracó dustral habrá recoocdo e el ateror al ídce de Herfdahl-Hrschma Aálss de la Desgualdad de la Sufceca de Captal. El prmer puto mportate a otar es que, co las lmtacoes del caso, parece que el vel de cocetracó de ua cartera puede cotrolarse utlzado ua medda geeral de cocetracó, aparte del límte dvdual del crédto. Después, es teresate otar que la sufceca de captal represetada por la razó de captalzacó ψ requere que: ( F) ψ p + z p( p) H...(5.) Esta desgualdad relacoa la sufceca de captal co la probabldad de mpago, el vel de cofaza usado para calcular el valor e resgo (VaR) y el ídce de cocetracó. ambé muestra que exste ua relacó drecta etre el ídce de Herfdahl y la varaza de la probabldad de mpago p. Dado que el ídce toma valores etre el recíproco del úmero de crédtos y uo, 5 Véase por ejemplo rol 995 y/o Shy

14 cuado exste ua alta cocetracó, la varaza p( p) H ( F) varará etre p ( p) y p( p), depededo del grado de cocetracó e la cartera meddo por H(F). Además, ótese que el papel que juega H(F) es totalmete compatble co la defcó de cocetracó de Kealhoffer dado que es obvo de (5.) que para carteras co la msma pérdda esperada, etre meor sea el valor de H(F), meor será la probabldad de que la pérdda exceda u vel específco. E lo que sgue, se verá que todo se comporta como debe. El teorema sguete resume las prcpales mplcacoes de las relacoes aterores. El resultado se troduce temprao porque o camba co las geeralzacoes posterores dode se relaja los supuestos de gualdad de probabldades de mpago e depedeca, y porque muestra el poder del modelo para la admstracó de resgos, la regulacó y la supervsó bacara. eorema 5.. La cota Θ(p,ψ,) sobre la medda de cocetracó tee las sguetes propedades:. Θ(p,ψ,) tee ua relacó drecta co la razó de captalzacó ψ y ua relacó versa co la probabldad de mpago p y el vel de cofaza del valor e resgo z.. S la medda de cocetracó excede la cota (.e. H(F) > Θ(p,ψ,)), etoces el captal del baco está e resgo para el vel de cofaza escogdo. 3. S la probabldad de mpago p excede la razó de captalzacó ψ, etoces el captal del baco es sufcete para efretar el resgo asumdo, para cualquer vel de cofaza y valor de la medda de cocetracó H(F). 4. S Θ(p,ψ,) >, cualquer vel de cocetracó es aceptable. Prueba. El puto uo es obvo por la forma de Θ(p,ψ,). El segudo puto se verfca fáclmete; esto es: S H(F) > Θ(p,ψ,) etoces, ( p + z H(F) p( p) ) V > ( p + z Θp( p) ) ( ψ p) z p( p) VaR V p + V K z p( p) 4

15 El puto tres sale drecto de (5.): VaR K p+ z p( p) H(F) ψ S p > ψ, etoces se vola (5.): ( p + z H() F p( p) ) V > ψ + z H() F ( p( p) ) V K + z V H(F) p( p) K VaR > Y para el puto cuatro, es be sabdo que H(F) para cualquer F 6. El eorema 5. proporcoa reglas útles tato para el admstrador como para el regulador. Prmero, permte determar la sufceca de captal además de que se puede calcular co precsó los ajustes requerdos e la razó de captalzacó por efretar varacoes e las tasas de cumplmeto y/o la cocetracó de la cartera de crédtos. Además, depededo del cotrol que los bacos tega sobre la razó de mpago y la cocetracó de los crédtos, puede calcularse també los ajustes ecesaros e la probabldad de mpago y la cocetracó de la cartera de crédtos. Así, s la cocetracó de la cartera de crédtos excede la cota al vel de cofaza elegdo, la desgualdad (4.) proporcoa ua forma coveete de hacer los ajustes ecesaros e ψ, p y H(F) de maera que el resgo de crédto o poga e pelgro el captal del baco. Otro resultado teresate, es que s la tasa de mpago de la cartera excede la razó de captalzacó, se está madado ua señal de alerta al admstrador de resgo y a las autordades faceras, de que el captal del baco está e resgo depedetemete de la cocetracó de la cartera de crédto y el vel de cofaza elegdo. 6. El ídce de Herfdahl: Dos Propedades Importates para Maejar el Resgo de Cocetracó de Crédto. Los resultados aterores proporcoa u marco aalítco atractvo para determar la sufceca de captal, y medr la cocetracó e su relacó co el resgo de crédto. Ua de las prcpales vrtudes, es que surge de maera atural el ídce de Herfdahl como medda de cocetracó, drectamete relacoado co el resgo de crédto. E partcular, se muestra que bajo certos supuestos, el límte dvdual de crédto y el ídce de Herfdahl so meddas de la cocetracó de la cartera que tee la msma cota para propóstos de sufceca de captal. S embargo queda cabos sueltos, co respecto a cómo el ídce de Herfdahl se relacoa co la dea tutva de que 6 Ver Ecaoua y Jacquem 98. 5

16 la cocetracó está relacoada co el úmero mímo de crédtos dode exste mayor cocetracó. Además, dado que la cocetracó credtca se admstra y regula fjado límtes a los crédtos dvduales, otra característca deseable de u ídce de cocetracó, es que el valor del ídce esté relacoado co el límte que se fje para el tamaño de los crédtos. Es coveete adoptar la otacó matrcal-vectoral para smplfcar el aálss. Etoces, se cambará la otacó como sgue: H () F f f F ( F) dode, F es la orma Eucldaa del vector F E. Además, f F f dode deota el vector utaro e E ; esto es:.. ótese que F V sempre, y puede cosderarse u factor costate de ormalzacó, de maera que lo que realmete dfereca la cocetracó e ua cartera de crédto es F. Para examar cómo la cocetracó se relacoa co la dea de que mucho crédto e pocas maos sgfca más cocetracó, se debe ser cosstete co la dea de que la máxma cocetracó ocurre cuado todo el crédto está e u solo deudor y la míma cuado todos los deudores debe el msmo moto. De maera formal: E ua cartera de crédtos, a) La máxma cocetracó ocurre cuado para algú, se tee que: f V para j j para j ; j,,....e. F max Ve, dode e E es el -ésmo vector utaro. 6

17 b) La cocetracó míma ocurre cuado V f para,,..., El ídce de Herfdahl-Hrschma ha sdo estudado amplamete, prcpalmete e relacó co la cocetracó dustral, y se sabe que tee varas propedades mportates. Así, es be coocdo que el ídce toma valores etre el recíproco de y uo 7, y també se ha establecdo que este ídce se comporta be e térmos de las cco propedades de las meddas de desgualdad 8. El ídce de Herfdahl tee varas propedades teresates relacoadas co úmeros. La más coocda es la del equvalete-umérco 9 de Adelma, que establece que su verso puede terpretarse como el mímo úmero de crédtos del msmo tamaño que resultaría e u valor específco del ídce. E la prmera obtecó de la cota Θ(p,ψ,), basada e deas puramete tutvas, se establecó que la cocetracó máxma que se puede presetar, respetado el límte de crédto establecdo, se da cuado se les presta hasta el límte al mímo úmero posble de deudores. Se muestra ahora que el ídce de Herfdahl es compatble co esta dea tutva; esto es: E ua cartera e la que los crédtos está restrgdos a o exceder certo límte, el valor del ídce se maxmza cuado todo el crédto está cocetrado e el mímo úmero de acredtados, y cada acredtado está edeudado hasta el límte. El teorema establece la relacó etre el límte dvdual de crédto y la medda de cocetracó Herfdahl-Hrshma, y al hacerlo, se muestra que el equvalete umérco es de hecho la máxma cocetracó posble, cuado los préstamos se restrge a certo límte. eorema 6.. S se requere que F θv, etoces H(F) θ y la máxma cocetracó bajo la medda de Herfdahl-Hrschma se da s y sólo s F es algua permutacó de la dstrbucó sguete: 7 Es posble ua ormalzacó smple, dode fáclmete se ve que φ(f) como a cotuacó se defe, satsface φ φ ( F ) H 8 Véase Cowell 995 y Ecaoua y Jacquem Véase Adelma 969 y Kelly Jr. 98. Para otras propedades teresates umércas relacoadas, véase Westock 984. Auque el resultado cocuerda co la tucó, o se ecotraro pruebas formales de los autores e referecas como Sleuwaege et. al. 989, Westock o Ecaoua y Jaquem op. ct.. ( F ) 7

18 f k θv ; k,,,3,..., ; k +, +,..., dode θ V V θ o /θ Prueba: Por ser algo laborosa, aquí se proporcoará solamete u esbozo de la prueba. Los detalles de la demostracó del teorema se puede cosultar e el apédce. Prmero se prueba que la cocetracó máxma posble respetado el límte, se logra cuado el mímo úmero posble de acredtados se edeuda hasta el tope θv, y los demás tee cero crédto. Determar el máxmo de H(F) respetado la restrccó F θv, equvale a ecotrar ua solucó al problema de optmzacó sguete: max F s.a.: F F V F θv F Para probar ecesdad, se demuestra que la solucó propuesta satsface las codcoes de Karush- Kuh-ucker para este problema. Para probar sufceca, se argumeta que dado que se está maxmzado ua fucó covexa sujeta a restrccoes leales, la solucó óptma del problema se ecuetra e u puto extremo del poledro covexo defdo por las restrccoes. Se puede ver que todos los putos extremos de este poledro so vectores co k elemetos guales a θv, y los restates so ceros; k. De esta maera el máxmo se obtee cuado k. De aquí, es fácl verfcar que F θv mplca H(F) θ como sgue: dado que la máxma cocetracó tee exactamete crédtos e el límte θv, etoces: F * (f *) k k k ( θv) θv θv Como θ, esto sgfca que H (F) H( F ) F ( F ) θ V V θ 8

19 Este resultado tee mplcacoes mportates para la admstracó de resgos y la regulacó, de hecho, establece que poedo u límte sobre los crédtos dvduales, se está aplcado també u límte a la cocetracó medda co el ídce de Herfdahl e la msma catdad θ. De esta maera, es smple comprobar la sufceca de captal comparado el parámetro dvdual θ co ( ψ p) p( p) z Θ ( p, ψ, ). De forma alteratva, de (5.), puede obteerse la relacó de sufceca de captal e térmos del límte dvdual del crédto (3.6); es decr: ψ p + z p( p) θ...(6.) Así, (6.) proporcoa ua regla de dedo smple para verfcar la sufceca de captal, s hacer cálculos complcados. Por ejemplo, se toma θ como el cocete etre el crédto más grade que tee la cartera y el valor total de ésta, y la tasa observada de mpago como la aproxmacó ex post de la probabldad de mpago y se susttuye estos valores e el lado derecho de (6.). Como el eorema (6.) garatza que H(F) θ, s la desgualdad se coserva es ua buea señal de que el baco está be captalzado. S embargo, debe tomarse e cueta que esta codcó es sufcete mas o ecesara. Como se mostrará e el sguete teorema, s uo adopta la polítca de que la cartera debe satsfacer la restrccó H (F) θ, se pudera dar u crédto que a la luz de la regla de límtes se vera como muy grade. La prueba també es laborosa ya que mplca ver las codcoes KK para u problema de optmzacó o covexo y també se relegó al apédce para o dstraer al lector del tema cetral de este documeto. Aquellos teresados e los detalles puede remtrse al apédce a su coveeca. eorema 6.. S H(F) θ etoces: Corolaro: f ( + ( θ )( ) ) V < θv para,,3,..., Sea *V el crédto dvdual más grade que se puede teer bajo la restrccó a θ. Etoces: 9

20 ( ) ) * + ( θ )( ) ) θ < * < θ ) H (F) θ * < θv k. f k El corolaro se afrma s prueba, ya que es obvo el resultado por la demostracó del teorema segú se muestra e el apédce. Lo teresate de este resultado está cotedo e los csos () y () del corolaro, ya que bajo este crtero, la mposcó de ua restrccó al ídce de cocetracó acota el máxmo crédto superor e ferormete, y se sabe que gú crédto puede exceder la cota superor, que e este caso es θ V > θv. Es ecesaro efatzar que las meddas de cocetracó que puede ser apropadas e alguos casos, o so ecesaramete bueas e otros. S embargo, es deseable teer u bue ídce de cocetracó, partcularmete desde el puto de vsta regulatoro, ya que faclta las comparacoes e térmos de cocetracó de crédtos etre dferetes sttucoes, y coduce a ua evaluacó del resgo de cocetracó del sstema facero e su cojuto. Para el admstrador de resgos de u baco e partcular, aparte de medr su propo resgo, le provee de putos de refereca para establecer estrategas de egocos y metas, y le permte hacer comparacoes co la competeca. Como se ha vsto, el ídce de Herfdahl parece ser muy coveete dado que aparte de medr la cocetracó, está drectamete relacoado co el resgo y provee u medo rápdo para comprobar la sufceca de captal. E la sguete seccó se verá que el cocepto es robusto bajo codcoes mucho más geerales. 6. U ejemplo umérco. Para poder ver el sgfcado de los resultados aterores, a cotuacó se preseta u ejemplo umérco. Cosdérese la sguete cartera de 5 crédtos tomada del maual de CredtRsk + : Cuadro 6. de Crédtos A B C CALIFICACIÓ D E F G OAL $4,78 $5,58 $3,38 $5,3 $,8 $,933 $358 $,85 $7,78 $5,848 $3,4 $5,765 $5,4 $,37 $,9 $3,994 3 $4,83 $,39 $5,4 $,4 $,65 $45,544 4 $4,9 $,598 $4,99 $,439 5 $5,435 $6,467 $,9 6 $6,48 $6,48 OAL $,456 $,376 $,5 $3,34 $,53 $9,59 $,976 $3,64

21 Las probabldades de mpago para los crédtos se toma de la sguete tabla: Cuadro 6.. Calfcacó A B C D E F G Probabldad de Impago.(%) Hasta este mometo, el modelo sólo permte cosderar carteras de crédto e dode la probabldad de cumplmeto es la msma para todos los crédtos. Así, para los propóstos de este ejercco, supógase que se toma como probabldad de cumplmeto, el promedo poderado de las probabldades de cumplmeto mostradas e la tabla 6.; que es.89%. El ídce HH de la cartera es 6.6%. Supoedo ormaldad y escogedo u vel de cofaza de 5%, z.96 se obtee: ψ p + z p ( p) H ( F) Esto sgfca que el captal ecoómco del baco debe ser cuado meos de: VaR V.658 $3,64. $34,6.79 Supógase que el captal ecoómco es $35,, etoces la razó de captalzacó es: V K ψ 35, 3, Como.689 >.658, el baco tee sufceca de captal. Ahora bajo (4.), la máxma cocetracó admsble para la cartera sería: ( ψ p) p( p) z ( ) Dado que H(F) 6.6%, la cartera o preseta ua cocetracó excesva. Falmete, s el valor máxmo del ídce es 6.87%, segú el eorema 6., gú crédto de la cartera puede ser mayor que: * f.687 V.6 3,64 34,7.88

22 El Cuadro 6. muestra que el crédto más grade e la cartera es el de calfcacó D y moto gual a $,39, que es efectvamete feror a la catdad ateror. Es teresate ver cual sería el tamaño máxmo de crédto admsble, s se qusera lmtar los crédtos a la cota de cocetracó. De acuerdo a 3.5, los crédtos o puede exceder: f.687 3,64 $8,94.7 De hecho hay dos crédtos cosderablemete mayores que esta catdad; el de $,39 y el de moto gual a $5,4 co calfcacó E. Esto poe e evdeca que la codcó solamete es sufcete más o ecesara para evtar ua cocetracó excesva. Falmete, se verfca que las cotas proporcoadas por el eorema 6., se cumple para el crédto más grade: $8,94.7 $,39 $34, La Iclusó Explícta de Correlacó de Icumplmetos Los resultados obtedos hasta ahora depede de los sguetes supuestos: a) Las probabldades de mpago so homogéeas e depedetes etre sí, para todos los crédtos e la dmesó dode la cocetracó del crédto puede ocurrr. b) Sólo hay ua dmesó de la posble cocetracó del crédto. c) ada se recupera de los crédtos que cae e mpago. Excepto e casos muy partculares, como para certas arredadoras o socedades de ahorro y préstamo, guo de los supuestos es totalmete realsta. E esta seccó, se relaja los supuestos y los resultados obtedos se geeralza uo por uo. La prmera geeralzacó relaja completamete el supuesto de homogeedad para examar el caso dode las probabldades de mpago puede ser dferetes y estar correlacoadas. 7.. U Modelo Geeral. Cosdérese el caso geeral dode todos los crédtos tee dferetes probabldades de mpago, y que además está correlacoados etre sí. Supógase que la dstrbucó de probabldad de mpago se puede caracterzar medate u vector de probabldades esperadas de mpago π y la correspodete matrz de varaza-covaraza M. La relacó del moto e resgo queda como sgue:

23 VaR π F + z F M F K...(7.) Como M es postva defda, exste ua matrz Q tal que, M QΛQ...(7.) dode Λ es la matrz dagoal de valores característcos de M y Q es ua matrz ortogoal de los vectores característcos de M, co la propedad de que Q - Q.. Sea S Q Λ Q, dode Λ es la matrz dagoal formada co las raíces cuadradas de los valores característcos de M, de maera que M S S. Ahora se hace el cambo de varable G SF para obteer: VaR π F + z G G K Al multplcar y dvdr G G por ( G), y dvdr todo por el valor de la cartera V, se obtee: p + z σ H( G) ψ y ( ) ψ p H G...(7.3) z σ E lo ateror, π F p...(7.4) V es la probabldad esperada de mpago de la cartera y G G σ...(7.5) V F es ua medda de la desvacó estádar. De hecho, las desgualdades de (7.3) tee exactamete la msma forma que (4.) y (5.) excepto que ahora, el ídce de Herfdahl se calcula sobre G e lugar de hacerse drectamete sobre F. Este cambo de varable efectuado equvale a u redmesoameto de F e fucó de la matrz S que represeta la raíz cuadrada de la matrz de varaza-covaraza M. E térmos de resgo, lo que esto sgfca es que los crédtos Se puede cosultar cualquer lbro de texto de álgebra leal de vel termedo. Véase por ejemplo Strag G

24 de la cartera se redmesoa de acuerdo a las covarazas etre las probabldades de mpago de cada crédto. Es fácl verfcar que lo ateror se reduce al caso smple udmesoal e dode las probabldades de cumplmeto so guales e depedetes para todos los deudores. Debe otarse que este redmesoameto mplca que la cocetracó e úmeros o es lo úco que debe tomarse e cueta. S be mucho crédto e pocas maos puede ser resgoso, seguramete es aú más pelgroso que mucho resgo esté cocetrado e u grupo de crédtos. Vsto de otra maera, e u mometo dado puede represetar más resgo u grupo de muchos crédtos pequeños pero de varazas grades y altamete correlacoadas etre sí, que u pequeño grupo de crédtos grades, cuya varaza y probabldades de mpago sea pequeñas y que además o esté muy correlacoadas etre sí, co otros crédtos. El redmesoameto de F a través de S, proporcoa los medos para abordar este problema. Al redmesoar el vector de crédtos, la varaza total de las pérddas σ H ( G), se descompoe e el efecto de la varaza de las probabldades de cumplmeto, medda por σ y el efecto de la cocetracó medda por H(G). 7. La Determacó de Límtes Idvduales sobre los Crédtos y Sufceca de Captal. Como se ha mecoado, la forma típca de admstrar la excesva cocetracó de crédto es fjado límtes a la catdad de crédto que se le puede otorgar a u deudor. Auque el eorema 6. dca que G θ( G) mplca H(G) θ, es dfícl de strumetar. Para propóstos práctcos, los límtes que so útles so aquellos que está puestos drectamete sobre F. 3 Por ejemplo, dado que F θv mplca H(F) θ por el eorema 6. etoces: H ( G ) H ( G ) ψ p θ H ( ) z F σ Etoces H( F) ψ p θ H( ) z...(7.6) G σ Smplemete hágase π p y M p(-p)i. 3 Quséramos señalar que F θvs -, preseta complcacoes téccas seras ya que, etre otras cosas, la desgualdad o se cumple para cualquer S. 4

25 ótese que G G es el Cocete de Raylegh, y es be sabdo que λm λmax, dode F F λ m y λ max so los valores característcos meor y mayor de la matrz M. Así, después de u poco de álgebra, por (7.5) se verfca que: θ λ max G F ψ p zσ λ max ψ p z...(7.7) també es ua cota para el límte dvdual, auque más estrcta que (7.6) (Véase la ota de pe de la pága sguete). Por tato, s se escoge θ que satsfaga (7.6) o (7.7) se garatza que F θv mplca el cumplmeto de (7.3). Falmete, se puede comprobar fáclmete que co la trasformacó de F a través de S, o se afecta los resultados del eorema 5., así como sus mplcacoes regulatoras y de admstracó de resgos. Específcamete, e lo que se refere a la sufceca de captal, la desgualdad (7.3), se geeralza a: ( G) ψ p + z σ H...(7.8) Además, (7.7) tee ua aalogía co (6.) dode la sufceca de captal se relacoa co el límte dvdual de la forma sguete: ψ max p + z λ θ...(7.9) Es teresate otar que la úca dfereca etre (7.9) y (6.) es que aparece el valor característco mayor de M e la expresó. Se puede demostrar que λ max θ σh(g), y que éste crece co correlacó postva, lo cual es cogruete co la ocó tutva de que el aumeto e la correlacó, cremeta el requsto de captalzacó 4. ótese que (7.8) y (7.9) mplca que la sufceca de captal puede evaluarse co cuatro parámetros. 4 Smplemete dvídase (7.6) etre (7.7) y utlícese las cotas sobre el cocete de Raylegh para llegar a la coclusó de que la relacó es mayor que uo. 5

26 Ejemplo 7. Para lustrar los resultados aterores, cosdérese el grupo de crédtos del ejemplo ateror; Cuadro 6.. Cuadro 7.. Calfcacó A B C D E F G Probabldad Meda (p) de Impago (%) Desv. Est. [p(-p)] Por su tamaño, la matrz de covarazas M, se segmetó e tres bloques 5. M M C, C 3, C M C, 3, C C M, 3, 3 3 Factorzado la matrz para obteer S Q Λ Q y hacedo el cambo de varable GSF, se obtee el vector de crédtos redmesoado, el cual se compara e la tabla 7. co el orgal. ótese que, dado que el valor característco más grade de M es λ max.8758 <, G es ua cotraccó de F, y además, sus elemetos está mejor dstrbudos de maera que preseta meor cocetracó: H(G) 4.57% < H(F) 6.6%. Así, auque au es certo que el crédto D de $,39 y el crédto E de $5,4, so los más grades e ambos vectores, los dos dsmuye cosderablemete de tamaño. Del Cuadro 7., ótese que hay elemetos que dsmuye e tamaño y metras que otros aumeta. E resume, metras que los crédtos calfcados de A a D represeta ua proporcó meor e la cartera redmesoada e comparacó co la orgal. odos los crédtos calfcados como F o meores, toma valores proporcoalmete mayores, y por tato pesa más e la cartera redmesoada. Parecera que los crédtos calfcados como E represeta ua líea dvsora, dode los dos más grades ( y 3) se reduce e tamaño, pero el más pequeño (), aumeta. 5 Dchos bloques se preseta e las tablas B. a B.7 e el apédce B. 6

27 Cuadro 7. Calfcacó F proporcó G proporcó A 4,78 3.6%,66.7% C 3,4.5%,4.4% 3 C 4,9 3.8%,738.8% 4 D 5,3 4.% 3,37 3.4% 5 D,39 5.5% 6, % 6 F,933.5% 3,6 3.% 7 F,598.% 3,43 3.5% 8 G,9.8% 3, % 9 B 5,58 4.%,66.6% C 3,38.4%,76.8% C 4,83 3.7% 3,85 3.% E 5,4 3.9% 4,8 4.% 3 E 5,4.8% 6,8 6.9% 4 F,4.9% 3, % 5 G 358.3% 3, % 6 G 6,467 5.% 6,3 6.4% 7 A 7,78 5.9%,9.3% 8 B 5, %,759.8% 9 C 5,435 4.% 3, % D 5, % 4,39 4.% E,8.4% 3,69 3.7% F,37.8% 4,33 4.3% 3 G,65.% 5, % 4 G 4,99 3.8% 6,43 6.% 5 G 6,48 5.% 6, % 3,64 99,93 Supoedo ormaldad, co u vel de cofaza de 5%, el valor e resgo o moto e resgo de la cartera es: VaR.5 π F + z.5 F MF 4, (,76) $55,684 Así, el captal mímo requerdo es de $55,684 de maera que los $35, supuestos como captal e el ejemplo 6., sería sufcetes para cubrr este vel de resgo. Calculado ahora: π F 4,79 G 99,93 p.89 y σ.763 V 3,64 F 3,64 La sufceca de captal debe cumplr la desgualdad: ψ > p + z σ H ( G).478 7

28 Supógase que K $6,, de maera que ψ 6,/3, Etoces: ψ p z σ (.763).5568 Al calcular el límte dvdual como proporcó del valor de la cartera, de la ecuacó (7.6), se obtee: θ H ( F) ψ p ( ) H G z σ (.5568).85 Esto es: f.85 $3,64 $,48.97 Sólo exste dos crédtos que excede este límte (Cuadro 7.). Utlzado el cocete de Raylegh, de (7.7) se obtee: θ V λ f ( $3,64) $4,796.9 max ψ p V z Como era de esperarse, este límte es mucho más restrctvo que el ateror; de hecho, es meos de la mtad del obtedo prevamete. La mayoría de los crédtos e la cartera sobrepasa este límte. Debe otarse que la cartera de este ejemplo es muy mala, dado que exste ua gra proporcó de crédtos co probabldades de mpago altas. Esto explca el requermeto ta alto de captal de cas 43% del valor de la cartera. Por ello resulta teresate comparar la desvacó estádar de mpago de los crédtos correlacoados σ H ( G). 67, co p ( p) H ( F). 8 de los crédtos que supoe depedeca e los mpagos. ótese que la correlacó duplca la desvacó estádar de la dstrbucó de pérddas de los crédtos o correlacoados, de tal maera que el requermeto de captalzacó de 43% de la cartera co crédtos correlacoados, es substacalmete mayor que el 6.6% requerdo bajo el supuesto de depedeca. 8

29 7.3 El ratameto de Dferetes Dmesoes de Cocetracó Geeralmete, los bacos clasfca sus carteras de crédtos e segmetos de acuerdo a algú crtero práctco de clasfcacó, como regó geográfca, dustra, o productos. Otro crtero es el de separar crédtos al cosumo por vel de greso de los deudores, o crédtos corporatvos o empresarales por egocos de dferetes tamaños, y la clasfcacó respode de algua maera a la forma e que los bacos hace sus egocos. Para el propósto de resgo de crédto e geeral y de cocetracó e partcular, se desearía adoptar u crtero dferete. Como se mecoó, uo de los problemas más dfícles es determar ex-ate, dmesoes potecalmete pelgrosas de cocetracó, y eso puede o teer ada que ver co la estructura orgazacoal del baco. Afortuadamete, el modelo desarrollado permte ua segmetacó totalmete arbtrara de la cartera, de maera que puede aalzarse desde varos águlos, y permte determar los segmetos dode la cocetracó es potecalmete resgosa. Esto permte la dstcó de límtes para cada segmeto, y la evaluacó de las mplcacoes e térmos de la sufceca de captal. E lo que sgue, se empleará las palabras clase, segmeto y dmesó de cocetracó como sómos El Aálss de Segmetos Idvduales. Supógase que se hace ua partcó arbtrara de F e h clases, F ( F,..., F ), dode F es u vector que cotee los saldos de los crédtos que perteece al -ésmo segmeto. Ahora se parte el vector de probabldades esperadas de cumplmeto y la matrz de varaza-covaraza, de esta maera: a) π ( π ) ; Partcó del vector de probabldades de mpago, dode π es el vector de probabldades de mpago del segmeto ;,,3,...,h b) La matrz de varaza-covaraza se parte como: h M C M Ch C M C h C C h h M h Cada submatríz M correspode a la matrz de varaza-covaraza doscrátca del grupo y tee dmesó ( ); dode es el úmero de crédtos e el segmeto. odas estas matrces 9