11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

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1 Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimo relativo: O0, 0 Mínimo relativo: B, Creciente Decreciente : 0,, y Aplica la teoría. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a y + b y a y' 6 y' 0 ò 0, Máimo relativo: A0, Mínimo relativo: B, Creciente Decreciente : 0, b y' y' 0 ò 0, Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a, Creciente :, Decreciente Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a y + b y + a y' y' 0 ò, Máimo relativo: A, Mínimo relativo: B, Creciente Decreciente :, 0 0, b y' 6 + y' 0 ò 0 Máimo relativo:a0, Mínimo relativo: no tiene. Creciente Decreciente : 0, Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y + y' y' 0 ò 0 + Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a0, Creciente : 0, Decreciente Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y e 6 SOLUCIONARIO

2 y' e y' 0 ò Máimo relativo:a, e Mínimo relativo: no tiene. Creciente Decreciente :, 5. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función en 0, π: y sen y' / cos y' 0 ò π/, 5π/ 5π Máimo relativo: A, 5π + 6 π π Mínimo relativo: B, 6 Creciente : π/, 5π/ Decreciente : 0, π/ 5π/, π. Puntos de infleión y curvatura Piensa y calcula Dada y representada en el margen, halla los puntos de infleión y los intervalos + de concavidad y conveidad. Punto de infleión: O0, 0 Convea Cóncava»: 0, f + Aplica la teoría 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a y b y + a y' y'' 6 8 y'' 0 ò y''' 6 y''' 6 0 Punto de infleión:a, Convea «:, b y' + 6 y'' y'' 0 ò y''' 6 y''' 6? 0 Punto de infleión:a, 0 Convea Cóncava»:, 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a y b y + a y' + y'' + y'' 0 ò 0 6 y''' +6 + y'''0 6? 0 Punto de infleión: O0, 0 Convea «:, 0, 0, b y' + y'' 6 + TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7

3 y'' 0 ò, 0, 8 y''' y''' 9/6? 0 y'''0 8? 0 y''' 9/6? 0 Punto de infleión: A, /, O0, 0, B, / Convea «:, 0, 8. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y e y' + e y'' + e y'' 0 ò y''' + e y''' /e? 0 Punto de infleión:a, /e Convea «:, 9. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y L + y' + y'' + y'' 0 ò, y''' + y''' /8 0 y''' /8 0 Punto de infleión:a, L, B, L Convea «:, 0. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y sen cos en 0, π y' + cos y'' sen cos y'' 0 ò π/, π, π/ y''' cos y'''π/? 0 y'''π? 0 y'''π/? 0 Punto de infleión:aπ/, 0, Bπ,0, Cπ/, 0 Convea «: π/, π π/, π Cóncava»: 0, π/ π,π/. Teorema de Rolle y el teorema del Valor Medio Piensa y calcula Representa en unos ejes coordenados los puntos A, y B5, y dibuja una función que comience en A, y finalice en B5,. Hay algún punto en el que la derivada es cero? Sería posible evitar que haya un punto así? Puede haber varios puntos en los que la derivada es cero. Por ejemplo: 8 SOLUCIONARIO

4 Se puede evitar si la función no es continua. Por ejemplo: si es continua, que tenga un pico. Por ejemplo: Aplica la teoría. Eplica por qué el teorema de Rolle no es aplicable a las siguientes funciones en el intervalo [, ] a pesar de ser f f 0 a b f y a f no es derivable en, ; no eiste la derivada en 0 b f no es continua en [, ]; tiene una discontinuidad de salto infinito en 0. Discute si es aplicable el teorema de Rolle a las siguientes funciones en los intervalos que se dan: a f sen en [0, π] b f + en [, ] c f en [0, ] a El dominio de f es y [0, π] å f es continua en [0, π] porque las funciones trigonométricas son continuas en f es derivable en 0, π porque las funciones trigonométricas son derivables en su dominio. f0 fπ 0 Luego se puede aplicar el teorema de Rolle. b El dominio de f es y [, ] å f es continua en [, ] por ser una función irracional. f', que en 0 no está definida. Luego no es derivable en, No se puede aplicar el teorema de Rolle. c El dominio de f es [0, y [0, ] å [0, f es continua en [0, ] por ser la diferencia de una función polinómica y una irracional. f es derivable en 0, por ser la diferencia de una función polinómica y una irracional. f0 f 0 Luego se puede aplicar el teorema de Rolle.. Discute si es aplicable el teorema del Valor Medio a las siguientes funciones en los intervalos [a, b] que se dan y en caso afirmativo calcula los valores de c éa, b tales que f'c fb fa b a a f en [, ] b f en [0, ] c f + en [, ] a El dominio de f ] y [, ] f es continua en [, ] porque las funciones irracionales son continuas en su dominio. f es derivable en, porque las funciones irracionales son derivables en su dominio. TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9

5 Se puede aplicar el teorema del valor medio. f f f' ò ò b El dominio de f es y [0, ] å f es continua en [0,] porque las funciones irracionales son continuas en su dominio. f es derivable en 0, porque el único valor donde no es derivable es 0, pero sí lo es por la derecha. Se puede aplicar el teorema del valor medio. f f f' ò ò 8/7 c El dominio de f es {0} y [, ] å {0} f es continua en [, ] porque las funciones racionales son continuas en su dominio. f es derivable en, porque las funciones racionales son derivables en su dominio. Se puede aplicar el teorema del valor medio. f f f' ò, Solo vale el valor é,. Regla de L Hôpital Piensa y calcula Calcula mentalmente los ites siguientes: a b c a b c 0 8 e Aplica la teoría sen sen 0 cos [ 0 ] L e e + L ] [ L ] e e 8 8 e /e 8 0 sen / sen 0 cos [ ] [ ] sen 0 cos ] / [ SOLUCIONARIO

6 9. cotg sen cotg sen 0 ] e 8 0 sen L cotg e 8 0 e 8 0 e cos e 0 0. sen sen [0 0 ] e L cotg /sen 8 0 sen L e 8 0 /sen 8 0 e cos /sen 8 0 e 8 0 e e L / cosec /cotg cos / sen 8 0 sen cos 8 + L 8 + L 0 ] [ L + L sen sen cos cos sen. [0 0 ] e 8 0 e e 0. sen sen e L e 8 0 / e 8 0 / [ L sen ] e / 8 0 e + Æ e + e + 0 e e 0. e cos /sen / 8 e [ ] e cos sen 8 + L e L sen cos / 5. Problemas de optimización Piensa y calcula Un rectángulo tiene 8 cm de perímetro; por tanto, la base más la altura mide cm. Completa la siguiente tabla y calcula las dimensiones del rectángulo que tiene mayor superficie. Largo 0 Alto y Superficie cm cm cm cm 0 cm 0 cm cm cm cm cm Largo 0 Alto y 0 Superficie 0 0 Un cuadrado de cm de lado. TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

7 Aplica la teoría 5. Calcula dos números cuya suma sea 00 y de forma que su producto sea máimo. a Incógnitas y datos. primer número. y segundo número. + y 00 b Función que hay que maimizar. f, y y Sujeto a: + y 00 ò y 00 c Se escribe la función con una sola variable. f 00 f 00 d Se calculan los máimos y mínimos relativos. f' ò 50 Si 50 ò y 50 e Se comprueba en la segunda derivada. f'' < 0 ò máimo relativo. f El primer número es 50; el segundo, y 50 d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. S' 0 ò 6 Si 6 ò y 6 e Se comprueba en la segunda derivada. S'' < 0 ò máimo relativo. f El recinto mide 6 m por 6 m 7. Calcula el área del mayor triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio cm a Incógnitas, datos y dibujo. y base del triángulo. h altura del triángulo BD A y cm B O D cm y C 6. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mida 6 m y su área sea máima. a Incógnitas, datos y dibujo. longitud de la base. y altura. Perímetro 6 m b Función que hay que maimizar. S, y y Sujeta a las condiciones: Perímetro 6 m ò + y y S,y y c Se escribe la ecuación con una sola variable. + y ò y S S Sea OD El triángulo ABC es rectángulo en A Por el teorema de la altura: y BD DC + 6 b Función que hay que minimizar. Ay, h yh Sujeta a las condiciones: y 6 ò y 6 h + c Se escribe la ecuación con una sola variable. A 6 + A + 6 d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. A' A' ò, 6 Si, no tiene sentido en el problema. Si cm ò y cm ; h 6 cm SOLUCIONARIO

8 e Se comprueba en la segunda derivada. A'' A'' < 0 ò máimo relativo. f El triángulo tiene un área de 6 6 cm 8. Calcula la altura y el radio que debe tener un bote cilíndrico cuya área total, incluyendo las dos tapas, es de 50 cm para que su volumen sea máimo. a Incógnitas, datos y dibujo. R radio del cilindro. H altura del cilindro. Superficie 50 cm 9. Dada la función f, encuentra el punto de su gráfica que está más cerca del punto A0, a Incógnitas, datos y dibujo. Punto incógnita: P, y Punto fijo:a0, Parábola: y A0, b Función que hay que minimizar. da, P d, y + y Sujeta a las condiciones: y y P, y H R c Se escribe la función con una sola variable. dy y + y dy y y + b Función que hay que maimizar. VR, H πr H Sujeta a las condiciones: Superficie 50 cm ò πr + πrh 50 c Se escribe la ecuación con una sola variable. πr 50 πr + πrh 50 ò y 75 R πr πr VR πr 75 R πr VR 75R πr d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'R 75 πr 75 πr 5 0 ò R π 5 π 0 π Si R ò H π π 5 π π d Se calculan los máimos y mínimos derivando. y d'y y y + y 0 ò y / y y + 6 Si y / ò ± e Se comprueba en la segunda derivada. 7 d''y y y + y y + d''/ 7 7 > 0 + ò mínimo relativo. 6 6 f Los puntos son: P, / y Q, / e Se comprueba en la segunda derivada. 5 π V''R 6πR òv'' < 0 ò máimo relativo. π 5 π 0 π f El cilindro mide cm de radio y cm de π π altura. TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

9 6. Problemas de derivadas Piensa y calcula La función f + a + b pasa por el punto A0, y tiene un mínimo en el punto B, 0. Calcula mentalmente el valor de a y b f + Aplica la teoría 0. Halla la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva de ecuación y en el punto de abscisa 0 y' y'0 y0 0 Recta tangente: y 0 0 ò y Recta normal: y 0 0 ò y /. Halla el máimo y el mínimo absolutos de la siguiente función en el intervalo [0, ] f + a Etremos relativos: f' + f' 0 ò, Solo se toma el valor Si ò f / 6 f'' + f'' / < 0 ò máimo relativo. Máimo relativo:a, / b Valores en los etremos: f0 0 f 6/5 El máimo absoluto lo alcanza en el máimo relativo: A, / El mínimo absoluto lo alcanza en O0, 0. Demuestra que la ecuación siguiente tiene una única solución real Se toma la función: f Eistencia de la raíz: f es continua porque es una función polinómica. f f0 Por el teorema de Bolzano, eiste un valor c é, 0 tal que fc 0 Unicidad: f' f' > 0 para todo ; luego la función f es estrictamente creciente. Solo puede cortar una única vez al eje. Obtén los valores de los parámetros a, b y c para que la función f a + b + c pase por el punto O0, 0 y tenga un mínimo local en A, a Pasa por O0,0 f0 0 ò c 0 b Pasa por A, f ò a + b + c c Tiene un mínimo local en A, f' a + b f' 0 ò a + b 0 Se resuelve el sistema: c 0 a + b 0 a + b + c ò a /, b /, c 0 La función es f SOLUCIONARIO

10 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 5 Dada la curva y e, el valor de la abscisa en el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima, es: 6 0 No eiste ningún valor. El 8 0 sen + es: 8 + La monotonía de la función f decreciente: Ö creciente: /, decreciente: 0, / creciente: 0, / decreciente: /, ninguna de las anteriores es correcta La función f tiene: e máimo relativo: O0, 0 9 máimo relativo:a, e e mínimo relativo: B, e 5 e máimo relativo:a, e 9 mínimo relativo: B, e No tiene máimos ni mínimos relativos. El es: 8 0 ln + / 0 / es: 6 9 El 8 0 e sen + es: / / 7 Unos altos hornos producen al día toneladas de 0 5 acero de baja calidad y 0 toneladas de acero de alta calidad, siendo 8 toneladas la producción máima diaria de acero de baja calidad. Si el precio de una tonelada de acero de baja calidad es 00 euros y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es 50 euros, el número de toneladas que se deben producir por día de acero de baja calidad para que el valor de venta de la producción diaria sea máimo es: Los valores de a y b para que la función f ae + b tenga un punto de infleión en 0 y un mínimo relativo en son: a ; b e a ; b e a ; b a ; b Se considera la función f ln. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son: creciente: decreciente: Ö creciente: 0, creciente:, «, decreciente:, 0 Sea la función con dominio los números reales no nulos f Los puntos M y N de la gráfica de f para los que las rectas tangentes a la gráfica en M y N se cortan en el punto, 8 son: M, ; N, M, ;N, M, ;N, No hay solución porque, 8 no pertenece a la gráfica de f TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5

11 Ejercicios y problemas. Máimos, mínimos y monotonía. Identifica en las siguientes gráficas los máimos y los mínimos relativos y los intervalos donde la función es creciente y decreciente: a b f g Creciente Decreciente :, 6. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a y + b y 9 a y' y' 0 ò, Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a,, B, Creciente :, 0, Decreciente 0, a Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a, Creciente :, Decreciente b Máimo relativo: O0, 0 Mínimo relativo:a,, B, Creciente :, 0, Decreciente 0, 5. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a y 5 b y + 5 a y' y' 0 ò, Máimo relativo:a, /5 Mínimo relativo: B, /5 Creciente Decreciente :, b y' y' 0 ò, Máimo relativo:a, 0 Mínimo relativo: B, 7 b y' 8 9 y' 0 ò 0 Máimo relativo: O0, 0 Mínimo relativo: no tiene. Creciente 0 Decreciente : 0,, 7. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y y' y' 0 ò 0 Máimo relativo:a0, y' no eiste en los valores, Mínimo relativo:b,0,c,0 Creciente :, 0, Decreciente 0, 8. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: e y e y' y' 0 ò Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a, e 6 SOLUCIONARIO

12 Creciente :, Decreciente 0, 9. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y L + y' + y' 0 ò 0 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O0, 0 Creciente : 0, Decreciente 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos, y determina la monotonía de la siguiente función en 0, π: y + cos y' / sen y' 0 ò π/6, 5π/6 π π + 6 Máimo relativo:a, 6 5π 5π 6 Mínimo relativo: B, 6 Creciente : 0, π/6 5π/6, π Decreciente : π/6, 5π/6. Puntos de infleión y curvatura. Identifica en las siguientes gráficas los puntos de infleión y los intervalos de concavidad y conveidad: a b f a Punto de infleión:a, Convea Cóncava»:, b Punto de infleión: O0, 0 Convea «:, 0, 0, f. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a y 5 5 b y a y' 5 5 y'' 60 0 y'' 0 ò /, 0, / y''' 80 0 y''' / 60? 0 y'''0 0? 0 y''' / 60? 0 Punto de infleión: A /, 7 /8, O0, 0, B /, 7 /8 Convea «: /, 0 / 0, / b y' y'' 6 y'' 0 ò 0, y''' 6 6 y'''0 6? 0 y''' 6? 0 Punto de infleión:a0,, B, 6 Convea Cóncava»: 0,. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a y b y + a y' + y'' + y'' 0 ò /, / y''' + y''' / 7 /6? 0 y''' / 7 /6? 0 Punto de infleión: A /, /, B /, / Convea «: /, / / TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7

13 Ejercicios y problemas b y' y'' + y''? 0 Puntos de infleión: no tiene. Convea «:, Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y y' y'' y''? 0 Puntos de infleión: no tiene. Convea «: Ö Cóncava»:, 6 +L y''' L y'''e? 0 8e Puntos de infleión:ae,e / Convea «:, e Cóncava»: 0, 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función en [0, π]: y + cos y' sen y'' cos y'' 0 ò π/, π/ y''' sen y'''π/? 0 y'''π/? 0 Punto de infleión: Aπ/, π/, Bπ/, π/ Convea «: π/, π/ Cóncava»: 0, π/ π/, π 5. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y e y' e y'' e y'' 0 ò /, / y''' e y''' / / e? 0 y''' / / e? 0 Punto de infleión:a /, / e, B /, / e Convea / Cóncava»: /, / 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y L +L y' L L y'' L y'' 0 ò e. Teorema de Rolle y del Valor Medio 8. Sea la función f tg, definida en el intervalo [0, π]. Deduce, de forma razonada, si son ciertas estas afirmaciones: a f0 fπ 0 b La función f es continua en [0, π] y derivable en 0, π c Por lo tanto, por el teorema de Rolle, eiste un c é0, π tal que f'c 0 a Cierto: f0 fπ 0 b Falso: f tg es discontinua en π/ y no es derivable en π/ c No se puede aplicar el teorema de Rolle. 9. Dada la función siguiente: f 5 halla todos los valores c é, tales que: f f f'c El dominio de f es {0} y [, ] å {0} f es continua en [, ] porque las funciones racionales son continuas en su dominio. f es derivable, porque las funciones racionales son derivables en su dominio. 8 SOLUCIONARIO

14 Se puede aplicar el teorema del valor medio. f f f' ò ò, En el intervalo dado solo es válido 50. Dada la función siguiente: si Ì < f si Ì Ì 0 comprueba que la función cumple las hipótesis del teorema del Valor Medio y calcula el valor intermedio vaticinado por el teorema. Si hay varios valores, calcula todos ellos. El dominio de f es [, 0] La función está definida por dos funciones continuas y derivables en sus dominios. Hay que estudiar el punto de enlace. En f y f f ò f es continua en si < < f' ò si < < 0 ò f es derivable en Luego: f es continua en [, 0] y es derivable en, 0 Se puede aplicar el teorema del valor medio. f0 f / + / 0 si < < f' ò si < < 0, 5. Comprueba si se puede aplicar el teorema del valor medio a la función siguiente: f en el intervalo [, ]. En caso afirmativo, encuentra el valor c é, en el que f'c coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por, f y, f f es continua en [, ] y derivable en, por ser una función polinómica. f f 0 f' ò /, Es válido el valor / é,. Regla de L Hôpital Calcula los siguientes ites: 5. cos 0 sen e [ ] [ 0 ] e e cos 8 0 e e 5. + L L [ ] e e 8 0 e e 5. cos cotg cos cos cotg tg 0 sen ] 0 [ sec / + / ] e e 8 0 e e / / cos e + L e + + L L + L + L + TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9

15 Ejercicios y problemas e 0 [ ] 0 e 0 ] [ + e e e + e L L L L L 8 8 L 0 L ] [ L L L sen tg sen tg ] e 8π/ e e L + tg L sen cos 8 0 L + L L + [ 0 ] 0 ] L + + [ 0 L e π/ 8 8π/ L sen /tg 8 e + 0 ] e Le + Le e e e e + 6 e e + e + e e + 6 8π/ 8 e + 6 e + e e e e e e 5. Problemas de optimización 6. Epresa el número 60 como suma de tres enteros positivos, de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máimo. Determina el valor de dicho producto. a Incógnitas y datos. primer número y segundo número z tercer número + y + z 60 y ò z 60 b Función que hay que maimizar. f, y, z yz Sujeto a: + y + z 60 y c Se escribe la función con una sola variable. f 60 f 0 6 d Se calculan los máimos y mínimos relativos. f' ò 0, 0/ Si 0 ò y 0 ò z 60 Si 0/ ò y 80/ ò z 0 e Se comprueba en la segunda derivada. f'' 0 6 f''0 0 > 0 + ò mínimo relativo. f''0/ 0 < 0 ò máimo relativo. f El máimo se alcanza en 0/, pero el enunciado del problemas pide que los números sean enteros positivos. Como 0/ é[, ], se debe buscar la solución en los etremos del intervalo cerrado: f 0 6 f f La solución entonces es, y 6, z 6. Calcula el área máima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos valga cm a Incógnitas, datos y dibujo. y 0 SOLUCIONARIO

16 longitud de un cateto. y longitud de otro cateto. + y b Función que hay que maimizar. y f, y Sujeto a: + y ò y c Se escribe la función con una sola variable. f d Se calculan los máimos y mínimos relativos. f' f' 0 ò Si ò y e Se comprueba en la segunda derivada. f'' f'' < 0 ò máimo relativo. f El máimo se alcanza en, y, que es un triángulo rectángulo isósceles cuya área es cm e Se comprueba en la segunda derivada. 7 f'' f'' /8 > 0 + ò mínimo relativo. f El mínimo se alcanza tomando el punto a una distancia de cm La suma de las distancias: cm 6. Halla la base y la altura y de una cartulina rectangular de 60 cm de perímetro, que, al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical, genera un cilindro de volumen máimo. a Incógnitas, datos y dibujo. H R 6. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de cm, y la altura relativa a este lado, de 5 cm. Encuentra un punto sobre la altura, tal que la suma de las distancias a los tres vértices sea mínima. R radio del cilindro. H altura del cilindro. R + H 0 cm a Incógnitas, datos y dibujo. B y P z z A C 6 cm 6 cm distancia de P al lado desigual. dp, B y 5 dp, C z + 6 dp,a z + 6 b Función que hay que minimizar. f y + z c Se escribe la función con una sola variable. f d Se calculan los máimos y mínimos relativos. f' f' 0 ò b Función que hay que maimizar. VR, H πr H Sujeta a las condiciones: R + H 0 c Se escribe la ecuación con una sola variable. H 0 R VR πr 0 R VR 0πR πr d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'R 60πR πr 60πR πr 0 ò R 0, R 0 Si R 0 ò H 0 La solución R 0 no tiene sentido. e Se comprueba en la segunda derivada. V''R 60π 6πR V''0 60π < 0 ò máimo relativo. f El cilindro mide 0 cm de radio y 0 cm de altura. TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

17 Ejercicios y problemas 65. Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de 500 cm de volumen, para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Halla la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la menor posible. B H a Incógnitas, datos y dibujo. A R D 0 cm y C El triángulo ABC es rectángulo en A Por el teorema de la altura: R BD DC H 0 H 0H H longitud de la arista de la base. y altura de la caja. Volumen y 500 b Función que hay que minimizar. A, y + y Sujeta a las condiciones: y 500 d Se calculan los máimos y mínimos derivando. 000 A' A' 0 ò 0 Si 0 ò y 5 e Se comprueba en la segunda derivada. 000 A'' + A''0 6 > 0 + ò mínimo relativo. f La caja mide 0 cm de arista de la base y 5 cm de alto. El área es A 00 cm 66. Halla la altura del cono de máimo volumen que se pueda inscribir en una esfera de 0 cm de radio. a Incógnitas, datos y dibujo. R radio del cono. H altura del cono BD c Se escribe la función con una sola variable. A, y + y 500 y A A b Función que hay que maimizar. VR, H πr H Sujeta a las condiciones: R 0H H c Se escribe la ecuación con una sola variable. VH π 0H H H VH π 0H H d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'H π 0H H π 0H H 0 ò H 0 y H 0/ Si H 0, no tiene sentido en el problema. 0 Si H 0/ cm ò R cm e Se comprueba en la segunda derivada. V''H π 0 6H 0π A''0/ < 0 ò máimo relativo. f El cono tiene una altura de 0/ cm 6. Problemas de derivadas 67. Sea la función: f + Calcula de forma razonada los puntos de la gráfica en los que la recta tangente forma un ángulo de 5 f' + Pendiente de la recta tangente tg 5 f' ò, 0, SOLUCIONARIO

18 68. Demuestra que la siguiente ecuación tiene una única raíz real Se aplica el teorema de Bolzano a la función: f Como y f eiste al menos un c é tal que fc 0 f' f' > 0 para todo, ya que el coeficiente de es > 0 y el discriminante D 5 6 < 0 La función f es estrictamente creciente y solo corta el eje una vez. 69. Utiliza el teorema de Bolzano y el cálculo de derivadas para demostrar que las funciones f ;g, definidas para > 0, se cortan en un solo punto. Se toma la función h La función cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. Es continua por ser la diferencia de una función polinómica y una eponencial. h0 y f 8 8 Luego por el teorema de Bolzano eiste al menos un c é0, tal que hc 0 Por otra parte: h' + L > 0 para > 0 Luego h es creciente. Si 0 para solo un valor c é0, se cumple que f y g se cortan solo una vez para > Para cada valor de a, se considera la función: f a + Calcula el valor de a para que f tenga un mínimo relativo en f' + a + Si ha de tener un mínimo en f' 0 8 a 0 ò a 8 8 a + 6 f'' + a + 6 f'' > 0 para a 8 6 Efectivamente, es un mínimo. Para ampliar 7. Dada la gráfica de la función f, haz en cada caso un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f': a b a La derivada de una función constante es cero. f f f f' c d b La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. f f f f' TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

19 Ejercicios y problemas c La derivada de una parábola es una recta. La función tiene en un máimo. Luego f' 0. Así, a la izquierda del máimo f es creciente f' > 0, y a la derecha, f es decreciente f' < 0 f' f a f': La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. f'': La derivada de una constante es cero. f' f'' d La derivada de una cúbica es una parábola. f' b La derivada de una parábola es una recta. f'' f f' En 0 hay un máimo, f'0 0, f' > 0 a la izquierda de 0, y f' < 0 a la derecha de 0 En hay un mínimo, f' 0, f' < 0 a la izquierda de, y f' > 0 a la derecha de En hay un punto de infleión. La función f' pasa de decreciente a creciente, es decir, f' tiene un mínimo. 7. Dada la gráfica de la función f, haz en cada caso un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f' y de la gráfica de la segunda derivada f": a b f': La función tiene en un mínimo. Luego f' 0. Entonces, a la izquierda del mínimo, f es decreciente f' < 0, y a la derecha, f es creciente f' > 0 f'': La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. Como f es cóncava, f'' > 0 c La derivada de una cúbica es una parábola. f' f f f'' f': En hay un máimo, f' 0, f' > 0 a la izquerda de y f' < 0 a la derecha de c d f f En hay un mínimo, f' 0, f' < 0 a la izquierda de y f' > 0 a la derecha de En 0 hay un punto de infleión. La función f' pasa de decreciente a creciente, es decir, f' tiene un mínimo. f'': En 0, f''0 0, y a la derecha de cero la función es cóncava f'' > 0 y a la izquierda de cero la función es convea f'' < 0 SOLUCIONARIO

20 d La derivada del seno es el coseno. f'' f: En los puntos de máimo relativo, f' 0, y a la izquierda del valor f' > 0, y a la derecha del valor f' < 0 f'': En los puntos de infleión, f'' 0, y en los intervalos de concavidad f'' > 0, y en los intervalos de conveidad f'' < 0 7. Se considera la curva de ecuación y 6 Halla, si eisten, las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. y' 6 y'' 6 y' 0 ò, Máimo relativo:a, Mínimo relativo: B, f' 76. Dada la curva siguiente: y + calcula los máimos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. f' + f' 0 ò 0 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a0, Creciente : 0, Decreciente 77. Dada la función siguiente: f + determina sus máimos y mínimos relativos. f' + f' 0 ò, Máimo relativo:a, / Mínimo relativo: B, / 7. Dada la función f + + a determina sus máimos y sus mínimos relativos. b calcula sus puntos de infleión. f' + a f' 0 ò, Máimo relativo: A, / Mínimo relativo: B, /6 b f'' + f'' 0 ò / f''' Punto de infleión: C /, 5/ 75. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función siguiente: f + f' f' 0 ò /, / Creciente / /, Decreciente : /, 0 0, / 78. Sea la función f Calcula: a las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b los intervalos donde es creciente y decreciente. f' f' 0 ò 0, Máimo relativo:a, / Mínimo relativo: O0, 0 Creciente : 0, Decreciente 79. Dada f +, escribe la ecuación de la se cante a f que une los puntos, f y, f. Eiste un punto c en el intervalo [, ] que verifica que la tangente a la gráfica de f en c, fc es paralela a la secante que se ha hallado? En caso afirmativo razona la respuesta y calcula c; en caso negativo, razona por qué no eiste. Secante: A,, B, 5/ TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5

21 Ejercicios y problemas f f + 5/ Pendiente y + ò y 6 6 f es continua en [, ], puesto que lo es en su dominio. Domf f es derivable en, Por el teorema del valor medio, eiste un c é, tal que f f f'c 6 f' f' ò +, 6 Como el valor + no pertenece al intervalo,, el único valor que sirve es 80. Calcula un punto del intervalo [, ] en el que la recta tangente a la curva y + es paralela a la cuerda que une los puntos A, y B, 8 Se puede aplicar el teorema del valor medio porque f es continua en [, ] y derivable en,, ya que es una función polinómica. Recta secante que pasa por A,, B, 8 8 Pendiente: y ò y f' f' ò 8. La gráfica siguiente corresponde a la función f', primera derivada de una cierta función f 8. 8 L sen a Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f interpretando la gráfica de f' b Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de la función f utilizando solo la gráfica de f' a La función derivada se hace cero en A la izquierda de, f' < 0; luego f es decreciente A la derecha de, f' > 0; luego f es creciente en, En la función f tiene un mínimo. b f' es creciente en. Por lo tanto, la función f es convea en ; luego no tiene puntos de infleión. Calcula los siguientes ites: 8. 8 sen L 0 8 L sen 8 L sen [ 0 ] sen + cos 0 8 [ 0 sen + L cos ] cos + cos sen 8 sen + cos + cos L sen cos sen 0 sen 8 0 [ ] 0 0 ] sen cos ] [ [ 0 cos cos + sen cos sen f' 6 SOLUCIONARIO

22 8 + L [ ] 8 + L + L Obsérvese que arc sen cotg arc sen cotg arc sen tg [ 0 ] 8 0 sec 86. cos cos L cos L + sen 8 + sen ] e tg L cos 8 0 sen e e e e 8 0 sen 8 0 sen 8 0 cos e 8 0 sec 8 0 tg 0 ] e 8 0 e e + e tg L/ e cotg sen cos e sen 8 0 sen 8 0 sen 0 cos 0 ] ] [ sen + cos [ 0 sen 0 cos + cos sen 9. / cosec ] e L sen L e e e L 87. cotg 8 0 e e e + cos sen e 88. tg sen 0 sec cos 8 0 sen [ 0 ] 8 0 cos 0 sec ] tg + sen [ sen cos 89. cosec cotg tg sen sen L tg L cotg L cotg ] e L sen cos e 9. L L [0 0 ] e L 8 e + 8 e + e L + L L 8 + e 9. Calcula ] 8 0 [ si No eiste si 8 0 El ite no eiste cuando 8 0 LL TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7

23 Ejercicios y problemas 9. Calcula dos números positivos tales que su producto es 9 y la suma de tres veces el primero más el segundo es mínima. a Incógnitas y datos. primer número. y segundo número. y 9 b Función que hay que minimizar. f, y + y 9 Sujeto a: y 9 ò y c Se escribe la función con una sola variable. 9 f + d Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. f' 9 0 ò 8, 8 9 Si 8 ò y El valor 8 no es válido, ya que piden números positivos. e Se comprueba en la segunda derivada. 8 f'' f''8 / > 0 + ò mínimo relativo. f El primer número es 8; el segundo, y, y la suma pedida, f Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de infleión de la función siguiente: L f L f' L f'' f'' 0 ò e / Si e / ò y e / 6 L f''' ò f'''e /? 0 Recta tangente: y f'e / e / e / y e / e / e 96. Sea P un polinomio de grado cuatro tal que verifica las tres condiciones siguientes: P es una función par. Dos de sus raíces son, 5 P0 5 Halla sus puntos de infleión. a Si es función par: P a + b + c b Si es raíz y 5 es raíz: P 0 ò a + b + c 0 P 5 0 ò 5a + 5b + c 0 c Si P0 5: c 5 Se resuelve el sistema: a + b + c 0 5a + 5b + c 0 c 5 a, b 6, c 5 La función es: P Sus puntos de infleión serán: P' P'' P'' 0 ò, P''' P'''? 0 P'''? 0 e 6 Puntos de infleión: A, 0, B, 0 8 SOLUCIONARIO

24 Problemas 97. Dada la gráfica de la función f, haz, en cada caso, un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f': a b a b f f' Como f es creciente, f' > 0. Como f es cóncava, f' es decreciente, y cuando tiende a por la derecha, f' debe tender a infinito, es decir, la recta tangente debe ser una recta vertical. f' f f f f' 0 ò, Máimo relativo:a, Mínimo relativo: B, Creciente Decreciente :, 0 0, b f'' f'' 0 para todo Punto de infleión: no tiene. Convea «: 0, 99. Dada la función f e +, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos de la función. f' e + + f' 0 ò, Máimo relativo:a, e Mínimo relativo: B, /e Creciente :, Decreciente 00. Dada la función 9 f para? 0 y?, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Como f es creciente, f' > 0. 0 la función es convea, por lo que f' debe ser creciente, y en 0, la función f es cóncava, luego f' es decreciente. En 0 la tangente a la gráfica sería vertical y las derivadas laterales tenderían a infinito. 98. Sea la función f + con? 0 a Halla las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. Estudia la monotonía. b Determina los intervalos de concavidad y conveidad. a f' f' + f'? 0 para todo Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente : Ö Decreciente 0,, 0. Sea f L Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f Dom f, TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9

25 Ejercicios y problemas f' + f'? 0 para todo Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente :, Decreciente : Ö 0. Dada la función f, calcula: a los máimos y los mínimos relativos. b los puntos de infleión. a f' f' 0 ò, Máimo relativo:a, /9 Mínimo relativo: B, /9 b f'' 6 5 f'' 0 ò 6, 6 60 f''' 6 f''' 6 /9? 0 f''' 6 /9? 0 Puntos de infleión: C 6, 5 6/6,D 6,5 6/6 0. Calcula los máimos y mínimos relativos de: f L f' L f' 0 ò /e Máimo relativo:a/e, /e Mínimo relativo: no tiene. 0. Dada la función f + halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. f' + f' 0 ò 0, Máimo relativo: O0, 0 Mínimo relativo:a, 8/9 Creciente 0, Decreciente : 0,, 05. Sea la función f. Halla los etremos y los puntos de infleión de la función f f + f' + f' 0 ò /, f'' 6 Máimo relativo:a/, /7 Mínimo relativo: B, 0 f'' 0 ò / Punto de infleión: C/, /7 06. Sea f e Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f' + + e f' 0 ò, Máimo relativo:a, e Mínimo relativo: B, 0 Creciente :, Decreciente 07. Estudia el crecimiento de f e cos + sen y determina los máimos y mínimos relativos para é[0, π] f' e cos f' 0 ò π/, π/ Máimo relativo:a π, e π π π Mínimo relativo: B, e Creciente : 0, π/ π/, π Decreciente : π/, π/ 08. La gráfica siguiente corresponde a la derivada f' de una cierta función f. Determina a partir de la gráfica si eisten máimos relativos, f' mínimos relativos o puntos de infleión en los puntos de abscisa y 0 SOLUCIONARIO

26 En, f' 0.A la izquierda de, f' > 0 y la función f es creciente; y a la derecha de, f' < 0 y la función f es decreciente. Luego f en tiene un máimo relativo. En, f' tiene un mínimo relativo. Luego a la izquierda de la función derivada, f', es decreciente y, por lo tanto, la función f es cóncava; y a la derecha de, f' es creciente, con lo que f es convea. Por lo tanto, la función f tiene un punto de infleión en 09. Dada la función f +a si Ì < b + c si Ì Ì 5 halla a, b y c para que la función f cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, 5] Calcula el punto en el que se verifica la tesis. a f debe ser continua en [, 5] Como la función está definida por dos funciones polinómicas que son continuas, el punto conflictivo está para + a 9 + a b + c b + c 9 + a b + c a b c 9 b Debe ser derivable en, 5 Como la función está definida por dos funciones polinómicas que son derivables, el punto conflictivo está para + a si Ì < f' ò b si < < 5 + a 6 + a 8 ò b b 8 + a b 6 c f f5 ò a 5b + c a + 5b + c Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones: a b c 9 a b 6 a + 5b + c a 0/, b 8/, c 9 Para calcular el punto se tiene: 0 + si < < f' 8 si < < 5 f' 0 ò + 0/ 0 ò 5/ 0. En una carretera hay dos radares a una distancia de 0 km. Un coche pasa delante del primero a una velocidad de 60 km/h, y 6 minutos más tarde pasa a 70 km/h por el segundo. Si en ese tramo de carretera el ite de velocidad es de 90 km/h, demuestra que el coche ha sobrepasado ese ite. Sea t 0 el instante en el que se pasa por el primer radar. El instante en el que se pasa por el segundo radar es: t 6/60 /0 h Sea et el espacio recorrido por el coche. La velocidad media del coche entre los dos puntos: e/0 e0 0 0 v 00 km/h /0 0 /0 0 Si la función et es derivable, el teorema del valor medio permite concluir que ha habido algún instante en el que la velocidad ha sido igual a la media.. Calcula el valor de a para que: + 5 ] e e a L 8 + e e e a + a L 8 + ] e e a 8 e a/ De la igualdad de los dos ites se tiene: a. Determina el valor de a para el cual: a + e e a L L + + L a Si e a e ò a / ] e a L 8 8 e a 8 e a a TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

27 Ejercicios y problemas. Halla el punto de la gráfica de f + que esté más cerca del punto A, 0 a Incógnitas, datos y dibujo. Punto incógnita P, y Punto fijo A, 0 y + b Función que hay que minimizar. da, P d, y +y Sujeta a las condiciones: y + c Se escribe la función con una sola variable. d + + d d Se calculan los máimos y mínimos derivando. 5 d' d'y 0 ò 5/ Si 5/ ò y 7 e Se comprueba en la segunda derivada. 5 d'' d"5/ > 0 + ò mínimo relativo. 5 5 f El punto es: P,. De todas las rectas que pasan por el punto,, encuentra la que determina con los ejes coordenados y en el primer cuadrante un triángulo de área mínima y el valor de dicha área. a Incógnitas, datos y dibujo. Punto fijo P, y + P, y A,0 B O P, A Las rectas que pasan por el punto P, son: y m ò y m + b Función que hay que minimizar. ÁreaA, B OA OB Sujeta a las condiciones: m A éy m + ò A m,0 B éy m + ò B0, m + c Se escribe la función con una sola variable. m m dm m + m m d Se calculan los máimos y mínimos derivando. d'm + m d'm 0 ò m, m e Se comprueba en la segunda derivada. d''m m d'' / > 0 + ò mínimo relativo. d'' / < 0 ò máimo relativo. f La recta que hace el área mínima es: y + ò y + 5. Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles cuyo perímetro es de 60 cm, de forma que su área sea máima. a Incógnitas, datos y dibujo. Perímetro 60 cm ò + y 60 ò y 60 b Función que hay que maimizar. Ay, h yh Sujeta a las condiciones: y h y 60 c Se escribe la función con una sola variable. A 60 0 A y h SOLUCIONARIO

28 d Se calculan los máimos y mínimos derivando. 900 A' A' 0 ò m 0 Si 0, y 0 e Se comprueba en la segunda derivada A'' A''0 < 0 ò máimo relativo. f El área del triángulo es máima para y 0 cm 6. Calcula el área de un sector circular, cuyo perímetro es de 00 m, para que su área sea máima. a Incógnitas, datos y dibujo. R Perímetro 00 m L longitud del arco. R longitud del radio. b Función que hay que maimizar. AL, R L R Sujeta a las condiciones: L + R 00 ò L 00 R c Se escribe la función con una sola variable. AR 00 R R AR 50R R d Se calculan los máimos y mínimos derivando. A' 50 R A' 0 ò R 5 Si R 5, L 50 e Se comprueba en la segunda derivada. A''R < 0 ò máimo relativo. f El área del sector es máima para R 5 m, L 50 m L R R L R 7. Calcula las dimensiones de un rectángulo inscrito en un semicírculo de 0 cm de radio para que su área sea máima. a Incógnitas, datos y dibujo. Radio 0 y + 00 ò y 00 b Función que hay que maimizar. A, y y Sujeta a las condiciones: y 00 c Se escribe la función con una sola variable. A 00 A 00 d Se calculan los máimos y mínimos derivando. 00 A' 00 A' 0 ò 0, 0 Si 0 ò y 50 5 El valor negativo no tiene sentido. e Se comprueba en la segunda derivada. A'' A''0 < 0 ò máimo relativo. f El área del rectángulo es máima para 0 cm, y5 cm 8. Un solar rectangular de 50 m se divide en tres zonas rectangulares para venderlo como muestra la figura. Se valla el borde del campo y la separación entre las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. 0 cm y TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

29 Ejercicios y problemas a Incógnitas, datos y dibujo. y y largo del solar. ancho de una parcela. b Función que hay que maimizar. L, y 6 + y Sujeta a las condiciones: 750 y 50 ò y c Se escribe la función con una sola variable. 750 L L 6 + d Se calculan los máimos y mínimos derivando L' 6 L' 0 ò 50, 50 Si 50 ò y 75 El valor negativo no tiene sentido. e Se comprueba en la segunda derivada L'' L''50 6/5 > 0 + ò mínimo relativo. f La longitud se hace mínima para 50 m, y 75 m R radio del cilindro. H altura del cilindro. Volumen πr H 8π m CR 0 πrh + 5 πr 8 CR 60πR + 90πR 860π CR + 90πR R b Para calcular el coste mínimo, se deriva: C'R 860π + 80πR R 860π + 80πR 0 ò R R R Si R m ò H 9 m Se comprueba en la segunda derivada: 9 70π C''R + 80π R C'' 50π > 0 + ò mínimo relativo. c C 0π 7 6,07 0. Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos segmentos de longitud y 00. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. 9. Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 8π m de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 0 /m,y las dos bases con un material que cuesta 5 /m a Determina la relación que hay entre el radio, R, de las bases circulares y la altura, H, del cilindro, y da el coste, CR, del material necesario para construir el depósito en función de R b Qué dimensiones ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios sea el mínimo posible? c Cuál será, en este caso, el coste del material? a H R a Determina el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar b Con el estudio de la derivada de f obtén cuándo f es creciente y cuándo es decreciente. c Obtén de forma razonada para qué valor de se obtiene que las sumas de las áreas del triángulo y el cuadrado es mínima. a 00 h 00 SOLUCIONARIO

30 f, h h + La altura del triángulo: h 6 f + 6 Dom f 0, Creciente :, Decreciente : 0, + 9 c f'' > 0 para todo del dominio. 7 Luego el área será mínima.. A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 0 cm de lado. Decide si la observación es correcta o no. 00 b f' f' 0 ò cm a Incógnitas, datos y dibujo. 60 cm b Función que hay que maimizar. V 60 V cm 60 cm c Se calculan los máimos y mínimos derivando. V' V' 0 ò 0, 0 d Se comprueba en la segunda derivada. V'' 80 V''0 0 < 0 ò máimo relativo. V''0 0 > 0 + ò mínimo relativo. e Como el máimo se obtiene para 0, la observación es correcta.. Se considera la función real de variable real definida por f + Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de infleión de abscisa positiva. f' + 6 f'' + f'' 0 ò, f''' + f''' /6 0 Punto de infleión: A, / Recta tangente en A: y / f' y / 8 y 8. Sea la función f sen. Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa π f' cos Punto:Aπ/, / Recta tangente: y / f'π/ π/ y / / π/ y / π/ +. Se considera la función siguiente: f TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5

31 Ejercicios y problemas a Halla los etremos relativos de la función f y sus intervalos de concavidad y conveidad. b Halla el máimo y el mínimo absolutos en el intervalo [, ] a f' f' 0 ò 0 f'' + ò f''0 > 0 8 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a0, / Punto de infleión: no tiene. Convea «:, b Para calcular los máimos y mínimos absolutos, se observa que la función es continua en [, ], es decreciente en, 0 y es creciente en 0, Como: f / f / se tiene: el mínimo absoluto es A0, /, que coincide con el mínimo relativo, y el máimo absoluto se alcanza en los etremos del intervalo. 5. Dada la función f e + a estudia los etremos de f b demuestra que e > + para todo positivo. a f' e f' 0 ò 0 f'' e ò f''0 e 0 > 0 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O0, 0 b Hay que demostrar que la función f e + > 0 para todo positivo. Como la función tiene un mínimo en 0, 0 y es creciente en 0, se verifica que e > + para todo positivo. Para profundizar b 6. Dada la función f a + siendo a y b constantes positivas, se pide: a demostrar que el mínimo valor de f en 0, es ab a + b b deducir que ab < b a f' 0 ò a 0 ò ± b a En el intervalo 0, ò b a b b + b ba ab f b a b a a + ab b b a a ab f " > 0 para todo é0, Luego hay un mínimo relativo en el punto: A b a, ab Creciente : b a, Decreciente : 0, b a El mínimo relativo es el mínimo absoluto en 0, b Si ò f a + b Como el mínimo se alcanza en A, se tiene: f b a < f a + b ab < a + b ò ab < 7. Demuestra que la ecuación tiene una única raíz positiva f es continua por ser polinómica f0 f 8 b Por el teorema de Bolzano, eiste un c tal que fc 0 Además f' f' > 0 para todo > 0 Luego f es creciente porque todos los coeficientes son positivos, y, por lo tanto, solo corta al eje una vez. 8. Dada la función f L con > 0, eplica de forma razonada por qué la ecuación L tiene eactamente una raíz. f es continua por ser el producto de una función polinómica por una logarítmica menos una constante. 6 SOLUCIONARIO

32 Como L 0 f L Como L Por el teorema de Bolzano, eiste un c tal fc 0 Para estudiar la unicidad, se estudia f' f' L + f' 0 ò /e Si /e ò f/e /e Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: /e, /e Creciente : /e, Decreciente : 0, /e La función solo puede cortar al eje una vez, en 0, 9. Determina los valores de las constantes a, b, c y d para los cuales la gráfica de la función f a sen + b + c + d tiene tangente horizontal en el punto 0, y, además, su segunda derivada es f" sen 0 a Si la función pasa por A0, f0 ò d b Si la tangente es horizontal en 0 f' a cos + b + c f'0 0 ò a + c 0 c Si f'' sen 0 f'' a sen + b a sen + b sen 0 b 0 ò b 5 a Luego: a, b 5, c, d 0. Si es posible, dibuja de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0, ] que tenga al menos un máimo relativo en el punto, y un mínimo relativo en el punto,. Si la función fuese polinómica, cuál habría de ser como mínimo su grado? Se observa que f tiene al menos etremos. Por lo tanto, f' se anula veces, es decir, es de grado cuatro. Si la función es polinómica, para que f' sea de grado cuatro, f debe ser de grado 5. Para cada valor de a se considera la función f + a L a Calcula el valor del parámetro real a, sabiendo que la función tiene un etremo relativo en el punto de abscisa. Clasifica el etremo. b Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento para a a f' + a Si tiene un etremo en ò f' 0 + a 0 a 0 a f'' a + Para a ò f'' + f'' 6 > 0 + ò mínimo relativo. Para se tiene un mínimo relativo. b f' + 6 f' 0 ò /, no pertenece al dominio de f Si /, f/ 8/ L/ Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: /, 8/ L/ Creciente : /, Decreciente : 0, /. Se sabe que la función f + a + b corta a su función derivada en y que además, en dicho punto, f tiene un etremo. a Determina los valores de a y b b Determina la naturaleza del etremo que f tiene en c Tiene f algún otro etremo? a Si f y f'se cortan en : f' + a + a + a + b Si en hay un etremo, f' 0 + a 0 + a 0 Resolviendo el sistema: + a + a + b a, b b f'' 6 f'' 6 > 0 + ò mínimo relativo. TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7

33 Ejercicios y problemas c f' f' 0 ò, f'' 6 < 0 ò máimo relativo.. Sean las funciones f L b y g a + b Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por a Las funciones se cortan en f g ò L b a + b ò a + b 0 b Las funciones tienen la tangente común en f' g' a a ò ò a Si a ò b Las funciones son: f L + g. Dada la función f a + b a, calcula los valores de a y b sabiendo que la función tiene dos puntos de infleión, uno en y otro en f' a + 9b 6 a f'' a + 8b 6 f'' 0 ò a + 8b 6 0 ò a + b f''/ 0 ò a + 9b 6 0 ò a + b Resolviendo el sistema: a, b f' + a + b f'' 6 + a f ò + a + b + c ò a + b + c 0 f' 0 ò + a + b 0 ò a + b Si no hay etremo relativo y f', hay un punto de infleión: f'' 0 ò 6 + a 0 Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones: a, b, c 0 7. Dada la función f +, se pide: a hallar los máimos y mínimos relativos. b hallar los puntos de la gráfica de f donde tiene tangente vertical. a f' + f' 0 ò / Máimo relativo:a /, Mínimo relativo: no tiene. b f' no eiste para 0 y para + 0 En 0 y en la tangente es vertical. 8. Dos postes de m y 8 m de altura distan entre sí 0 m. Se desea tender un cable uniendo un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de éstos. En qué posición debe situarse el punto en el suelo para que la longitud total del cable sea mínima? 5. De la función f a + b se sabe que tiene una gráfica que pasa por, y que en ese punto tiene una tangente paralela a + y 0. Halla a y b m 8 m Si pasa por, ò f a + b Si en, la tangente es paralela a y, f' f' a + b a + b Resolviendo el sistema: a Incógnitas, datos y dibujo. 0 B a + b a + b a, b 6. La función f + a + b + c verifica que f, f' 0 y f no tiene un etremo relativo en. Calcula a, b y c A m P y 0 8 m 8 SOLUCIONARIO

34 b Función que hay que maimizar. L, y AP + PB y Sujeta a las condiciones: y 0 c Se escribe la función con una sola variable. L L d Se calculan los máimos y mínimos relativos. 0 L' L' 0 ò e Se comprueba en la segunda derivada. L'' L'' 5 / > 0 + ò mínimo relativo. f El cable debe estar a m del poste que mide m, y a 8 m del poste que mide 8 m 9. Calcula las dimensiones que debe tener un cilindro inscrito en una esfera de 5 cm de radio para que su volumen sea máimo. H VH π 5H d Se calculan los máimos y mínimos relativos. H V'H π V'H 0 ò H,H La solución negativa no tiene sentido Si H ò R e Se comprueba en la segunda derivada. 6H πh V''H π 0 V'' 5π < 0 ò máimo relativo. f El radio del cilindro debe medir R 0 tura, H cm cm, y la al- 0. Calcula las dimensiones de un cilindro inscrito en un cono de 5 m de radio y 0 m de altura para que su volumen sea máimo. a Incógnitas, datos y dibujo. 5 6 a Incógnitas, datos y dibujo. R cm h h H r 5 r r 5 r 5 R radio del cilindro. H altura del cilindro. H + R 5 b Función que hay que maimizar. VR, H πr H Sujeta a las condiciones: R H 5 c Se escribe la función con una sola variable. VH π 5 H H r radio del cilindro. h altura del cilindro. 0 5 h 5 r b Función que hay que maimizar. Vr, h πr h Sujeta a las condiciones: h 5 r c Se escribe la función con una sola variable. Vr πr 5 r Vr π5r r d Se calculan los máimos y mínimos relativos. V'r π0r r V'r 0 ò r 0, r 0/ TEMA. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9

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